2024屆北京市西城區(qū)北京教育學院附中高一數(shù)學第二學期期末考試試題含解析

2024屆北京市西城區(qū)北京教育學院附中高一數(shù)學第二學期期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數(shù)，且的圖象向左平移個單位后所得的圖象關于坐標原點對稱，則的最小值為（）A． B． C． D．2．某種產品的廣告費用支出與銷售額之間具有線性相關關系，根據(jù)下表數(shù)據(jù)（單位：百萬元)，由最小二乘法求得回歸直線方程為.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有個數(shù)據(jù)看不清，請你推斷該數(shù)據(jù)值為（)345582834★5672A．65 B．60 C．55 D．503．已知分別為的三邊長，且，則=（）A． B． C． D．34．已知函數(shù)的圖像如圖所示，關于有以下5個結論:（1）；（2），；（3）將圖像上所有點向右平移個單位得到的圖形所對應的函數(shù)是偶函數(shù)；（4）對于任意實數(shù)x都有；（5）對于任意實數(shù)x都有；其中所有正確結論的編號是（）A．(1)(2)(3) B．(1)(2)(4)(5) C．(1)(2)(4) D．(1)(3)(4)(5)5．已知圓（為圓心，且在第一象限）經過，，且為直角三角形，則圓的方程為（）A． B．C． D．6．如圖是一圓錐的三視圖，正視圖和側視圖都是頂角為120°的等腰三角形，若過該圓錐頂點S的截面三角形面積的最大值為2，則該圓錐的側面積為A． B． C． D．47．已知圓錐的底面半徑為，母線與底面所成的角為，則此圓錐的側面積為（）A． B． C． D．8．以橢圓的兩個焦點為直徑的端點的圓與橢圓交于四個不同的點,順次連接這四個點和兩個焦點恰好組成一個正六邊形,那么這個橢圓的離心率為（）A． B． C． D．9．若，則下列不等式不成立的是()A． B． C． D．10．已知與均為單位向量，它們的夾角為，那么等于（）A． B． C． D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設等比數(shù)列滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為．12．有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內放一個半徑為的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，則這時容器中水的深度為___________．13．在等比數(shù)列中，，公比，若，則達到最大時n的值為____________．14．用數(shù)學歸納法證明“”，在驗證成立時，等號左邊的式子是______.15．在中，若，則____；16．設數(shù)列滿足，，且，用表示不超過的最大整數(shù)，如，，則的值用表示為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知集合，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且等比數(shù)列的前三項滿足.（1）求通項公式；（2）若是等比數(shù)列的前項和，記，試用等比數(shù)列求和公式化簡（用含的式子表示）18．如圖，正方體．（1）求證：平面；（2）求異面直線AC與所成角的大?。?9．已知函數(shù).（1）求在區(qū)間上的單調遞增區(qū)間；（2）求在的值域.20．在平面直角坐標系中，已知，，動點滿足條件.（1）求點的軌跡的方程；（2）設點是點關于直線的對稱點，問是否存在點同時滿足條件：①點在曲線上；②三點共線，若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由.21．小明同學在寒假社會實踐活動中，對白天平均氣溫與某家奶茶店的品牌飲料銷量之間的關系進行了分析研究，他分別記錄了1月11日至1月15日的白天氣溫（）與該奶茶店的品牌飲料銷量（杯），得到如表數(shù)據(jù)：日期1月11號1月12號1月13號1月14號1月15號平均氣溫（）91012118銷量（杯）2325302621（1）若先從這五組數(shù)據(jù)中抽出2組，求抽出的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天數(shù)據(jù)的概率；（2）請根據(jù)所給五組數(shù)據(jù)，求出關于的線性回歸方程式；（3）根據(jù)（2）所得的線性回歸方程，若天氣預報1月16號的白天平均氣溫為，請預測該奶茶店這種飲料的銷量.（參考公式：，）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

由函數(shù)圖像的平移變換得的圖象向左平移個單位，得到，再結合三角函數(shù)的性質運算即可得解.【題目詳解】解：，將的圖象向左平移個單位，得到，因為平移后圖象關于對稱，所以，可得，，，，因為，所以的最小值為，故選C.【題目點撥】本題考查了函數(shù)圖像的平移變換及三角函數(shù)的性質，屬基礎題.2、B【解題分析】

求出樣本中心點的坐標，代入線性回歸方程求解．【題目詳解】設表中看不清的數(shù)據(jù)為，則，，代入，得，解得．故選：．【題目點撥】本題考查線性回歸方程，明確線性回歸方程恒過樣本點的中心是關鍵，是基礎題．3、B【解題分析】

由已知直接利用正弦定理求解．【題目詳解】在中，由A＝45°，C＝60°，c＝3，由正弦定理得．故選B．【題目點撥】本題考查三角形的解法，考查正弦定理的應用，屬于基礎題．4、B【解題分析】

由圖象可觀察出的最值和周期，從而求出，將圖像上所有的點向右平移個單位得到的函數(shù)，可判斷（3）的正誤，利用，可判斷(4)(5)的正誤.【題目詳解】由圖可知：，所以，，所以，即因為，所以，所以，故(1)(2)正確將圖像上所有的點向右平移個單位得到的函數(shù)為此函數(shù)是奇函數(shù)，故(3)錯誤因為所以關于直線對稱，即有故(4)正確因為所以關于點對稱，即有故(5)正確綜上可知：正確的有(1)(2)(4)(5)故選：B【題目點撥】本題考查的是三角函數(shù)的圖象及其性質，屬于中檔題.5、D【解題分析】

設且，半徑為，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求解.【題目詳解】依題意，圓經過點，可設且，半徑為，則，解得，所以圓的方程為.【題目點撥】本題主要考查了圓的標準方程的求解，其中解答中熟記圓的標準方程的形式，以及合理應用圓的性質是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.6、B【解題分析】

過該圓錐頂點S的截面三角形面積最大是直角三角形，根據(jù)面積為2求出圓錐的母線長，再根據(jù)正視圖求圓錐底面圓的半徑，最后根據(jù)扇形面積公式求圓錐的側面積.【題目詳解】過該圓錐頂點S的截面三角形面積最直角三角形，設圓錐的母線長和底面圓的半徑分別為，則，即，又，所以圓錐的側面積；故選B.【題目點撥】本題考查三視圖及圓錐有關計算，此題主要難點在于判斷何時截面三角形面積最大，要結合三角形的面積公式，當，即截面是等腰直角三角時面積最大.7、B【解題分析】

首先計算出母線長，再利用圓錐的側面積（其中為底面圓的半徑，為母線長），即可得到答案．【題目詳解】由于圓錐的底面半徑，母線與底面所成的角為，所以母線長，故圓錐的側面積；故答案選B【題目點撥】本題考查圓錐母線和側面積的計算，解題關鍵是熟練掌握圓錐的側面積的計算公式，即（其中為底面圓的半徑，為母線長），屬于基礎題8、D【解題分析】

四個交點中的任何一個到焦點的距離和都是，然后分析正六邊形中的長度和焦距的關系，從而建立等式求解.【題目詳解】設橢圓的焦點是，圓與橢圓的四個交點是,設，，，，.故選D.【題目點撥】本題考查了橢圓的定義和橢圓的性質，屬于基礎題型9、A【解題分析】

由題得a＜b＜0，再利用作差比較法判斷每一個選項的正誤得解.【題目詳解】由題得a＜b＜0，對于選項A,=，所以選項A錯誤.對于選項B,顯然正確.對于選項C,，所以，所以選項C正確.對于選項D,，所以選項D正確.故答案為A【題目點撥】(1)本題主要考查不等式的基本性質和實數(shù)大小的比較，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)比差的一般步驟是：作差→變形（配方、因式分解、通分等）→與零比→下結論；比商的一般步驟是：作商→變形（配方、因式分解、通分等）→與1比→下結論.如果兩個數(shù)都是正數(shù)，一般用比商，其它一般用比差.10、A【解題分析】本題主要考查的是向量的求模公式．由條件可知==，所以應選A．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】試題分析：設等比數(shù)列的公比為，由得，，解得.所以，于是當或時，取得最大值.考點：等比數(shù)列及其應用12、15【解題分析】

根據(jù)球的半徑，先求得球的體積；根據(jù)圓與等邊三角形關系，設出的邊長為，由面積關系表示出圓錐的體積；設拿出鐵球后水面高度為，用表示出水的體積，由即可求得液面高度.【題目詳解】因為鐵球半徑為，所以由球的體積公式可得，設的邊長為，則由面積公式與內切圓關系可得，解得，則圓錐的高為.則圓錐的體積為，設拿出鐵球后的水面為，且到的距離為，如下圖所示：則由，可得,所以拿出鐵球后水的體積為，由，可知，解得，即將鐵球取出后容器中水的深度為15.故答案為：15.【題目點撥】本題考查了圓錐內切球性質的應用，球的體積公式及圓錐體積公式的求法，屬于中檔題.13、7【解題分析】

利用，得的值【題目詳解】因為，，所以為7.故答案為：7【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的項的性質及單調性，找到與1的分界是關鍵，是基礎題14、【解題分析】

根據(jù)左邊的式子是從開始，結束，且指數(shù)依次增加1求解即可.【題目詳解】因為左邊的式子是從開始，結束，且指數(shù)依次增加1所以，左邊的式子為，故答案為.【題目點撥】項數(shù)的變化規(guī)律，是利用數(shù)學歸納法解答問題的基礎，也是易錯點，要使問題順利得到解決，關鍵是注意兩點：一是首尾兩項的變化規(guī)律；二是相鄰兩項之間的變化規(guī)律.15、【解題分析】試題分析：因為，所以．由正弦定理，知，所以＝＝．考點：1、同角三角函數(shù)間的基本關系；2、正弦定理．16、【解題分析】

由題設可得知該函數(shù)的最小正周期是，令，則由等差數(shù)列的定義可知數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，即，由此可得，將以上個等式兩邊相加可得，即，所以，故，應填答案．點睛：解答本題的關鍵是借助題設中提供的數(shù)列遞推關系式，先求出數(shù)列的通項公式，然后再運用列項相消法求出，最后借助題設中提供的新信息，求出使得問題獲解．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）觀察式子特點可知，只有2,4,8三項符合等比數(shù)列特征，再根據(jù)題設條件求解即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列通項公式表示出，再采用分組求和法化簡的表達式即可【題目詳解】（1）由題可知，只有2,4,8三項符合等比數(shù)列特征，又，故，故，；（2），，所以【題目點撥】本題考查等比數(shù)列通項公式的求法，等比數(shù)列前項和公式的用法，分組求和法的應用，屬于中檔題18、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）證明，，即得證；（2）求出即得異面直線AC與所成角的大?。绢}目詳解】（1）證明：因為為正方體，所以ABCD為正方形．所以，又因為平面ABCD，平面ABCD，故，又，平面,所以平面．（2）因為，所以直線AC與所成的角或補角即為AC與的角，又三角形為等邊三角形，所以，即直線AC與所成的角為．【題目點撥】本題主要考查線面位置關系的證明，考查異面直線所成角的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.19、(1)和.(2)【解題分析】

（1）利用輔助角公式可將函數(shù)化簡為；令可求出的單調遞增區(qū)間，截取在上的部分即可得到所求的單調遞增區(qū)間；（2）利用的范圍可求得的范圍，對應正弦函數(shù)的圖象可求得的范圍，進而得到函數(shù)的值域.【題目詳解】（1）令，解得：令，可知在上單調遞增令，可知在上單調遞增在上的單調遞增區(qū)間為：和（2）當時，即在的值域為：【題目點撥】本題考查正弦型函數(shù)單調區(qū)間和值域的求解問題；解決此類問題的常用方法是采用整體對應的方式，將整體對應正弦函數(shù)的單調區(qū)間或整體所處的范圍，從而結合正弦函數(shù)的知識可求得結果.20、（1）；（2）存在點，直線方程為.【解題分析】

（1）設，由題意根據(jù)兩點間的距離公式即可求解.（2）假設存在點滿足題意，此時直線的方程為：.設，，根據(jù)題意可得，求出，再將直線與圓聯(lián)立求出，根據(jù)向量共線的坐標表示以及點在圓上，求出即可求解.【題目詳解】（1）設，由得，整理得：，所以點的軌跡方程為.（2）假設存在點滿足題意，此時直線的方程為：.設，.因為與關于直線對稱，所以解得即.由，得，即.此時，，，所以，所以當時，三點共線.若在曲線上，則，整理得，即，所以，即.綜上所述，存在點，滿足條件①②，此時直線方程為.【題目點撥】本小題主要考查坐標法、圓的標準方程、直線與圓的位置關系等基礎知識，考查抽象概括能力、運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、整體運算思想，化歸與轉化思想等.21、(1)；(2)；(3)19杯.【解題分析】試題分析：（1）由“選取的組數(shù)