專題4.2等差數(shù)列的概念（九個重難點突破）（原卷版）

專題4.2等差數(shù)列的概念知識點一等差數(shù)列的概念與通項公式1.等差數(shù)列的定義一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示.2.等差中項由三個數(shù)組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列.這時,A叫做a與b的等差中項.根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道,.3.等差數(shù)列的遞推公式及通項公式已知等差數(shù)列的首項為,公差為d，則遞推公式為，通項公式為知識點二等差數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用1.等差數(shù)列通項公式的變形及推廣（1） （2）.（3）,且.2.若分別是公差為的等差數(shù)列,則有數(shù)列結(jié)論公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù))公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù))公差為2d的等差數(shù)列(k為常數(shù))公差為的等差數(shù)列(p,q為常數(shù))3.下標(biāo)性質(zhì)在等差數(shù)列中,若,則.特別的,若,則有重難點1利用定義判斷等差數(shù)列1．已知數(shù)列中，，，則.2．已知數(shù)列的通項公式為，其中p，q為常數(shù)，且，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？3．判斷以下數(shù)列是否是等差數(shù)列？如果是，指出公差；如果不是，說明理由．(1)7，13，19，25，31；(2)2，4，7，11；(3)．4．判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列：(1)an=3-2n；(2)an=n2-n.5．已知在數(shù)列中，，，則等于．6．（多選）若是等差數(shù)列，則下列數(shù)列中仍為等差數(shù)列的是（

）A．B．C．(為常數(shù))D．重難點2利用定義得到等差數(shù)列的通項公式7．等差數(shù)列3，11，19，27，…的通項公式是（

）A． B． C． D．8．已知數(shù)列滿足，（，），則．9．在數(shù)列中，，則數(shù)列的通項公式為.10．已知數(shù)列中，，且是等差數(shù)列，則（

）A．36 B．37 C．38 D．3911．在數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．12．已知數(shù)列（）為等差數(shù)列，且，，則數(shù)列的通項公式為.重難點3等差數(shù)列基本量的計算13．已知遞增數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則（

）A．2024 B．2023 C．4048 D．404614．已知等差數(shù)列中，，，則首項與公差分別為（

）A． B． C． D．15．已知等差數(shù)列單調(diào)遞增且滿足，則的取值范圍是．16．已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，且滿足，，則的取值范圍是.17．已知在等差數(shù)列中，，，則．18．已知等差數(shù)列滿足，則的值為.重難點4等差中項及其應(yīng)用19．一個直角三角形三邊長a，b，c成等差數(shù)列，面積為12，則它的周長是.20．已知等差數(shù)列滿足，則.21．記等差數(shù)列的公差為，若是與的等差中項，則d的值為（

）A．0 B． C．1 D．222．有窮等差數(shù)列的各項均為正數(shù)，若，則的最小值是.23．已知是等差數(shù)列，且是和的等差中項，則的公差為24．已知數(shù)列滿足：，，則．重難點5等差數(shù)列的性質(zhì)25．已知數(shù)列為等差數(shù)列，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件26．已知正項等差數(shù)列，若，，則(

)A． B．C． D．27．若是公差不為的等差數(shù)列，滿足，則該數(shù)列的前項和（

）A． B． C． D．28．已知等差數(shù)列中，，是函數(shù)的兩個零點，則（

）A．3 B．6 C．8 D．929．已知等差數(shù)列滿足，則．30．在等差數(shù)列中，若為方程的兩根，則．重難點6等差數(shù)列的證明31．已知數(shù)列{an}滿足，，令.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式．32．已知數(shù)列滿足，（），令.(1)求的值；(2)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式.33．已知滿足，且.(1)求；(2)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項公式.34．?dāng)?shù)列滿足.(1)求的值；(2)設(shè)，證明是等差數(shù)列.35．已知數(shù)列滿足，.(1)證明：是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.36．已知數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項積為，且滿足．求證：為等差數(shù)列；37．已知數(shù)列的前項和為．證明：數(shù)列是等差數(shù)列；重難點7構(gòu)造等差數(shù)列38．在數(shù)列中，，若，則（

）A．18 B．24 C．30 D．3639．已知數(shù)列滿足，則（

）A．2023 B．2024 C．2027 D．404640．已知各項均不為0的數(shù)列滿足，且，則．41．已知數(shù)列滿足，，則.42．設(shè)數(shù)列的前n項和為，且，，則．43．已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.重難點8等差數(shù)列的實際應(yīng)用44．習(xí)近平總書記提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵．要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．為鼓勵返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，黑龍江對青山鎮(zhèn)鎮(zhèn)政府決定投入創(chuàng)業(yè)資金和開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員．預(yù)計該鎮(zhèn)政府每年投入的創(chuàng)業(yè)資金構(gòu)成一個等差數(shù)列（單位萬元，），每年開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”投入的資金為第一年創(chuàng)業(yè)資金的倍，已知．則預(yù)計該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計總投入資金的最大值為（

）A．72萬元 B．96萬元 C．120萬元 D．144萬元45．稠環(huán)芳香烴化合物中有不少是致癌物質(zhì)，比如學(xué)生鐘愛的快餐油炸食品中會產(chǎn)生苯并芘，它是由一個苯環(huán)和一個芘分子結(jié)合而成的稠環(huán)芳香烴類化合物，長期食用會致癌.下面是一組稠環(huán)芳香烴的結(jié)構(gòu)簡式和分子式：名稱萘蒽并四苯…并n苯結(jié)構(gòu)簡式……分子式……由此推斷并十苯的分子式為.46．百善孝為先，孝敬父母是中華民族的傳統(tǒng)美德.因父母年事已高，大張與小張兄弟倆約定：如果兩人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把這一天記為“家庭日”.由于工作的特殊性，大張每工作三天休息一天，小張每周星期一與星期五休息，除此之外，他們沒有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他們約定的首個“家庭日”，則2021年全年他們約定的“家庭日”是星期五的天數(shù)為；2021年全年他們約定的“家庭日”共有個.47．某公司購置了一臺價值為220萬元的設(shè)備，隨著設(shè)備在使用過程中老化，其價值會逐年減少．經(jīng)驗表明，每經(jīng)過一年其價值就會減少d（d為正常數(shù)）萬元．已知這臺設(shè)備的使用年限為10年，超過10年，它的價值將低于購進價值的5%，設(shè)備將報廢．請確定d的取值范圍．重難點9等差數(shù)列與數(shù)學(xué)文化的結(jié)合48．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，立春當(dāng)日日影長為9.5尺，春分當(dāng)日日影長為6尺，則小滿當(dāng)日日影長為（

）A．尺 B．13尺 C．尺 D．尺49．天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，在1980年庚申年，我國正式設(shè)立經(jīng)濟特區(qū)，請問：在100年后的2080年為（

）A．戊戌年 B．辛丑年 C．己亥年 D．庚子年50．《九章算術(shù)》中的“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積是（

）A．升 B．升 C．升 D．升51．中國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有一道題：“今有七人差等均錢，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，問乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚這七個人，所分到的錢數(shù)成等差數(shù)列，甲、乙兩人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，問乙、丁兩人各分到多少文錢？則下列說法正確的是（

）A．乙分到37文，丁分到31文 B．乙分到40文，丁分到34文C．乙分到31文，丁分到37文 D．乙分到34文，丁分到40文52．諾沃爾（Knowall）在1740年發(fā)現(xiàn)了一顆彗星，并推算出在1823年、1906年……人類都可以看到這顆彗星，即該彗星每隔年出現(xiàn)一次.從現(xiàn)在（2023年）開