2024屆福建省福州市三校聯盟高一數學第二學期期末教學質量檢測模擬試題含解析

2024屆福建省福州市三校聯盟高一數學第二學期期末教學質量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知,是兩個不同的平面,是兩條不同的直線,下列命題中錯誤的是（）A．若∥，，，則B．若∥，，，則C．若，，,則⊥D．若⊥，，,,則2．現有1瓶礦泉水，編號從1至1．若從中抽取6瓶檢驗，用系統抽樣方法確定所抽的編號為（）A．3，13，23，33，43，53 B．2，14，26，38，42，56C．5，8，31，36，48，54 D．5，10，15，20，25，303．已知集合A={x︱x>－2}且，則集合B可以是（）A．{x︱x2>4} B．{x︱}C．{y︱} D．4．生活中有這樣一個實際問題：如果一杯糖水不夠甜，可以選擇加糖的方式，使得糖水變得更甜．若，則下列數學模型中最能刻畫“糖水變得更甜”的是（）A． B．C． D．5．已知數列的通項公式是，則等于（）A．70 B．28 C．20 D．86．在正方體中，點是四邊形的中心，關于直線，下列說法正確的是（）A． B．C．平面 D．平面7．若經過兩點、的直線的傾斜角為，則等于（）A． B． C． D．8．已知數列且是首項為2，公差為1的等差數列，若數列是遞增數列，且滿足，則實數a的取值范圍是（）A． B．C． D．9．若，則函數的最小值是（）A． B． C． D．10．直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量，，則的最大值為_______.12．若數列是正項數列，且，則_______．13．已知圓C:，點M的坐標為(2，4)，過點N(4，0)作直線交圓C于A，B兩點，則的最小值為________14．已知數列的前項和滿足，則______．15．已知向量，則________16．函數在的值域是______________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．為了比較兩種治療失眠癥的藥（分別成為A藥，B藥）的療效，隨機地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者服用一段時間后，記錄他們日平均增加的睡眠時間（單位：h）實驗的觀測結果如下：服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5（1）分別計算兩組數據的平均數，從計算結果來看，哪種藥的效果好？（2）完成莖葉圖，從莖葉圖來看，哪種藥療效更好？18．如圖，在三棱柱中，底面，，，，分別為的中點，為側棱上的動點（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若為線段的中點，求證：平面；（Ⅲ）試判斷直線與平面是否能夠垂直．若能垂直，求的值；若不能垂直，請說明理由19．已知函數，的部分圖像如圖所示，點，，都在的圖象上.（1）求的解析式；（2）當時，恒成立，求的取值范圍.20．正項數列的前項和滿足.（I）求的值；（II）證明：當，且時，；（III）若對于任意的正整數，都有成立，求實數的最大值.21．已知不經過原點的直線在兩坐標軸上的截距相等，且點在直線上.（1）求直線的方程；（2）過點作直線，若直線，與軸圍成的三角形的面積為2，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

根據平面和直線關系，依次判斷每個選項得到答案.【題目詳解】A.若，，，則如圖所示情況，兩直線為異面直線，錯誤其它選項正確.故答案選A【題目點撥】本題考查了直線平面的關系，找出反例是解題的關鍵.2、A【解題分析】

根據系統抽樣原則，可知編號成公差為的等差數列，觀察選項得到結果.【題目詳解】根據系統抽樣原則，可知所抽取編號應成公差為的等差數列選項編號公差為；選項編號不成等差；選項編號公差為；可知錯誤選項編號滿足公差為的等差數列，正確本題正確選項：【題目點撥】本題考查抽樣方法中的系統抽樣，關鍵是明確系統抽樣的原則和特點，屬于基礎題.3、D【解題分析】

A、B={x|x＞2或x＜-2}，

∵集合A={x|x＞-2}，

∴A∪B={x|x≠-2}≠A，不合題意；

B、B={x|x≥-2}，

∵集合A={x|x＞-2}，

∴A∪B={x|x≥-2}=B，不合題意；

C、B={y|y≥-2}，

∵集合A={x|x＞-2}，

∴A∪B={x|x≥-2}=B，不合題意；

D、若B={-1，0，1，2，3}，

∵集合A={x|x＞-2}，

∴A∪B={x|x＞-2}=A，與題意相符，

故選D．4、B【解題分析】

由題意可得糖水甜可用濃度體現，設糖的量為，糖水的量設為，添加糖的量為，對照選項，即可得到結論．【題目詳解】由題意，若，設糖的量為，糖水的量設為，添加糖的量為，選項A，C不能說明糖水變得更甜，糖水甜可用濃度體現，而，能體現糖水變甜；選項D等價于，不成立，故選：B．【題目點撥】本題主要考查了不等式在實際生活中的運用，考查不等式的等價變形，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．5、C【解題分析】

因為，所以，所以=20.故選C.6、C【解題分析】

設，證明出，可判斷出選項A、C的正誤；由為等腰三角形結合可判斷出B選項的正誤；證明平面可判斷出D選項的正誤.【題目詳解】如下圖所示，設，則為的中點，在正方體中，，則四邊形為平行四邊形，.易知點、分別為、的中點，，則四邊形為平行四邊形，則，由于過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，則A選項中的命題錯誤；，平面，平面，平面，C選項中的命題正確；易知，則為等腰三角形，且為底，所以，與不垂直，由于，則與不垂直，B選項中的命題錯誤；四邊形為正方形，則，在正方體中，平面，平面，，，平面，平面，，同理可證，且，平面，則與平面不垂直，D選項中的命題錯誤.故選C.【題目點撥】本題考查線線、線面關系的判斷，解題時應充分利用線面平行與垂直等判定定理證明線面平行、線面垂直，考查推理能力，屬于中等題.7、D【解題分析】

由直線的傾斜角得知直線的斜率為，再利用斜率公式可求出的值.【題目詳解】由于直線的傾斜角為，則該直線的斜率為，由斜率公式得，解得，故選D.【題目點撥】本題考查利用斜率公式求參數，同時也涉及了直線的傾斜角與斜率之間的關系，考查計算能力，屬于基礎題.8、D【解題分析】

根據等差數列和等比數列的定義可確定是以為首項，為公比的等比數列，根據等比數列通項公式，進而求得；由數列的單調性可知；分別在和兩種情況下討論可得的取值范圍.【題目詳解】由題意得：，，是以為首項，為公比的等比數列為遞增數列，即①當時，，，即只需即可滿足②當時，，，即只需即可滿足綜上所述：實數的取值范圍為故選：【題目點撥】本題考查根據數列的單調性求解參數范圍的問題，涉及到等差和等比數列定義的應用、等比數列通項公式的求解、對數運算法則的應用等知識；解題關鍵是能夠根據單調性得到關于變量和的關系式，進而通過分離變量的方式將問題轉化為變量與關于的式子的最值的大小關系問題.9、B【解題分析】

直接用均值不等式求最小值.【題目詳解】當且僅當,即時，取等號.故選：B【題目點撥】本題考查利用均值不等式求函數最小值,屬于基礎題.10、D【解題分析】

先求出AB的長，再求點P到直線AB的最小距離和最大距離，即得△ABP面積的最小值和最大值，即得解.【題目詳解】由題得,由題得圓心到直線AB的距離為，所以點P到直線AB的最小距離為2-1=1，最大距離為2+1=3，所以△ABP的面積的最小值為，最大值為.所以△ABP的面積的取值范圍為[1,3].故選D【題目點撥】本題主要考查點到直線的距離的計算，考查面積的最值問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、.【解題分析】

計算出，利用輔助角公式進行化簡，并求出的最大值，可得出的最大值.【題目詳解】，，，所以，，當且僅當，即當，等號成立，因此，的最大值為，故答案為.【題目點撥】本題考查平面向量模的最值的計算，涉及平面向量數量積的坐標運算以及三角恒等變換思想的應用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.12、【解題分析】

有已知條件可得出，時，與題中的遞推關系式相減即可得出，且當時也成立?！绢}目詳解】數列是正項數列，且所以，即時兩式相減得，所以（）當時，適合上式，所以【題目點撥】本題考差有遞推關系式求數列的通項公式，屬于一般題。13、8【解題分析】

先將所求化為M到AB中點的距離的最小值問題，再求得AB中點的軌跡為圓，利用點M到圓心的距離減去半徑求得結果.【題目詳解】設A、B中點為Q，連接QC，則QC，所以Q的軌跡是以NC為直徑的圓，圓心為P（5，0），半徑為1，又，即求點M到P的距離減去半徑，又，所以，故答案為8【題目點撥】本題考查了向量的加法運算，考查了求圓中弦中點軌跡的幾何方法，考查了點點距公式，考查了分析解決問題的能力，屬于中檔題.14、5【解題分析】

利用求得，進而求得的值.【題目詳解】當時，，當時，，當時上式也滿足，故的通項公式為，故.【題目點撥】本小題主要考查已知求，考查運算求解能力，屬于基礎題.15、2【解題分析】

由向量的模長公式，計算得到答案.【題目詳解】因為向量，所以，所以答案為.【題目點撥】本題考查向量的模長公式，屬于簡單題.16、【解題分析】

利用，即可得出．【題目詳解】解：由已知，，又

，

故答案為：．【題目點撥】本題考查了反三角函數的求值、單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（4）服用A藥睡眠時間平均增加4.4；服用B藥睡眠時間平均增加4.6；從計算結果來看，服用A藥的效果更好；（4）A藥

B藥

6

4．

89565

45845

4．

794446844

7844567944

4．

46457

4544

4．

4

從莖葉圖來看，A的數據大部分集中在第二、三段，B的數據大部分集中在第一、二段，故A藥的藥效好.【解題分析】(4)設A藥觀測數據的平均數為，B藥觀測數據的平均數為.由觀測結果可得：＝×(4.6＋4.4＋4.4＋4.5＋4.5＋4.8＋4.4＋4.4＋4.4＋4.4＋4.5＋4.6＋4.7＋4.7＋4.8＋4.9＋4.4＋4.4＋4.4＋4.5)＝4.4，＝×(4.5＋4.5＋4.6＋4.8＋4.9＋4.4＋4.4＋4.4＋4.4＋4.4＋4.6＋4.7＋4.8＋4.9＋4.4＋4.4＋4.5＋4.6＋4.7＋4.4)＝4.6.由以上計算結果可得＞，因此可看出A藥的療效更好．(4)由觀測結果可繪制如下莖葉圖：從以上莖葉圖可以看出，A藥療效的試驗結果有的葉集中在莖4,4上，而B藥療效的試驗結果有的葉集中在莖4,4上，由此可看出A藥的療效更好．考點：莖葉圖、平均數.18、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）直線BC1與平面APM不能垂直，詳見解析【解題分析】

（Ⅰ）由等腰三角形三線合一得；由線面垂直性質可得；根據線面垂直的判定定理知平面；由面面垂直判定定理證得結論；（Ⅱ）取中點，可證得，；利用線面平行判定定理和面面平行判定定理可證得平面平面；根據面面平行性質可證得結論；（Ⅲ）假設平面，由線面垂直性質可知，利用相似三角形得到，從而解得長度，可知滿足垂直關系時，不在棱上，則假設錯誤，可得到結論.【題目詳解】（Ⅰ），為中點平面，平面又平面平面，平面又平面平面平面（Ⅱ）取中點，連接分別為的中點且四邊形為平行四邊形又平面，平面平面分別為的中點又分別為的中點又平面，平面平面平面，平面平面又平面平面（Ⅲ）假設平面，由平面得：設，當時，∽由已知得：，，，解得：假設錯誤直線與平面不能垂直【題目點撥】本題考查立體幾何中面面垂直、線面平行關系的證明、存在性問題的求解；涉及到線面垂直的判定與性質、線面平行的判定、面面平行的判定與性質定理的應用；處理存在性問題時，常采用假設法，通過假設成立構造方程，判斷是否滿足已知要求，從而得到結論.19、（1）；（2）【解題分析】

（1）由三角函數圖像，求出即可；（2）求出函數的值域，再列不等式組求解即可.【題目詳解】解：（1）由的圖象可知，則，因為，，所以，故.因為在函數的圖象上，所以，所以，即，因為，所以.因為點在函數的圖象上，所以，解得，故.（2）因為，所以，所以