2024屆江蘇省百校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2024屆江蘇省百校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在正項等比數(shù)列中，，為方程的兩根，則（）A．9 B．27 C．64 D．812．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表.其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為:弧田面積(弦矢+矢).弧田，由圓弧和其所對弦所圍成.公式中“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為，弦長等于的弧田.按照《九章算術(shù)》中弧田面積的經(jīng)驗公式計算所得弧田面積為（）A． B． C． D．3．角的終邊經(jīng)過點且，則的值為()A．-3 B．3 C．±3 D．54．已知正四面體ABCD中，E是AB的中點，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為()A． B． C． D．5．已知平面向量，，且，則等于（）A． B． C． D．6．向量，，且，則等于（）A． B． C．2 D．107．圓周運動是一種常見的周期性變化現(xiàn)象，可表述為：質(zhì)點在以某點為圓心半徑為r的圓周上的運動叫“圓周運動”，如圖所示，圓O上的點以點A為起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)到點P，若連接OA、OP，形成一個角，當(dāng)角，則（）A． B． C． D．18．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則一定是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形9．甲.乙兩人同時從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半時間步行，一半時間跑步，如果兩人步行速度.跑步速度均相同，則（）A．甲先到教室 B．乙先到教室C．兩人同時到教室 D．誰先到教室不確定10．已知的三個內(nèi)角之比為，那么對應(yīng)的三邊之比等于（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若在上是減函數(shù)，則的取值范圍為______.12．已知，，，則的最小值為__________．13．已知向量，，且，點在圓上，則等于．14．設(shè)為三條不同的直線，為兩個不同的平面，給出下列四個判斷:①若則；②若是在內(nèi)的射影，，則；③底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；④若球的表面積擴大為原來的16倍，則球的體積擴大為原來的32倍；其中正確的為___________.15．在中，角所對的邊分別為，，的平分線交于點D，且，則的最小值為________．16．已知，若直線與直線垂直，則的最小值為_____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．對于定義域相同的函數(shù)和，若存在實數(shù)，使，則稱函數(shù)是由“基函數(shù)，”生成的.（1）若函數(shù)是“基函數(shù)，”生成的，求實數(shù)的值；（2）試?yán)谩盎瘮?shù)，”生成一個函數(shù)，且同時滿足：①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上的最小值為.求函數(shù)的解析式.18．從高三學(xué)生中抽出50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，由成績得到如圖所示的頻率分布直方圖.利用頻率分布直方圖求：（1）這50名學(xué)生成績的眾數(shù)與中位數(shù)；（2）這50名學(xué)生的平均成績.（答案精確到0.1）19．已知無窮數(shù)列，是公差分別為、的等差數(shù)列，記（），其中表示不超過的最大整數(shù)，即.（1）直接寫出數(shù)列，的前4項，使得數(shù)列的前4項為：2，3，4，5；（2）若，求數(shù)列的前項的和；（3）求證：數(shù)列為等差數(shù)列的必要非充分條件是.20．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，，數(shù)列的前項和.（1）求；（2）記，求數(shù)列的前項和.21．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，已知向量，又點，，，.（1）若，且，求向量；（2）若向量與向量共線，常數(shù)，求的值域.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

由韋達定理得，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得結(jié)果.【題目詳解】由已知得是正項等比數(shù)列本題正確選項：【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的三項之積的求法，關(guān)鍵是對等比數(shù)列的性質(zhì)進行合理運用，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解題分析】

首先根據(jù)圖形計算出矢，弦，再帶入弧田面積公式即可.【題目詳解】如圖所示：因為，，為等邊三角形.所以，矢，弦..故選：C【題目點撥】本題主要考查扇形面積公式，同時考查學(xué)生對題意的理解，屬于中檔題.3、B【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義建立方程關(guān)系即可．【題目詳解】因為角的終邊經(jīng)過點且，所以則解得【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，應(yīng)注意求出的b為正值．4、B【解題分析】試題分析：如圖，取中點，連接，因為是中點，則，或其補角就是異面直線所成的角，設(shè)正四面體棱長為1，則，，．故選B．考點：異面直線所成的角．【名師點睛】求異面直線所成的角的關(guān)鍵是通過平移使其變?yōu)橄嘟恢本€所成角，但平移哪一條直線、平移到什么位置，則依賴于特殊的點的選取，選取特殊點時要盡可能地使它與題設(shè)的所有相減條件和解題目標(biāo)緊密地聯(lián)系起來．如已知直線上的某一點，特別是線段的中點，幾何體的特殊線段．5、B【解題分析】

先由求出，然后按照向量的坐標(biāo)運算法則算出答案即可【題目詳解】因為，，且所以，即，所以所以故選：B【題目點撥】若，則6、B【解題分析】

先由數(shù)量積為，得出，求出的坐標(biāo)，利用模長的坐標(biāo)公式求解即可.【題目詳解】由題意可得，則則故選：B【題目點撥】本題主要考查了向量模的坐標(biāo)表示以及向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解題分析】

運用求任意角的三角函數(shù)值的步驟：化正、脫周、變銳角和求值，可得所求值.【題目詳解】.故選：A.【題目點撥】本題考查任意角三角函數(shù)值的求法，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】

利用余弦定理、等邊三角形的判定方法即可得出．【題目詳解】由余弦定理得，則，即，所以.∵∴是等邊三角形.故選D.【題目點撥】本題考查了余弦定理、等邊三角形的判定方法，考查了推理能力與計算能力，熟練掌握余弦定理是解答本題的關(guān)鍵．9、B【解題分析】

設(shè)兩人步行，跑步的速度分別為，（）．圖書館到教室的路程為，再分別表示甲乙的時間，作商比較即可.【題目詳解】設(shè)兩人步行、跑步的速度分別為，（）．圖書館到教室的路程為．則甲所用的時間為：．乙所用的時間，滿足+，解得．則＝＝＝1．∴．故乙先到教室．故選：B．【題目點撥】本題考查了路程與速度、時間的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解題分析】∵已知△ABC的三個內(nèi)角之比為,∴有,再由,可得，故三內(nèi)角分別為.再由正弦定理可得三邊之比，故答案為點睛：本題考查正弦定理的應(yīng)用，結(jié)合三角形內(nèi)角和等于，很容易得出三個角的大小，利用正弦定理即出結(jié)果二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

化簡函數(shù)解析式，，時，是余弦函數(shù)單調(diào)減區(qū)間的子集，即可求解.【題目詳解】,時，,且在上是減函數(shù)，，，因為解得.【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的三角恒等變化，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.12、8【解題分析】由題意可得：則的最小值為.當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.點睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．13、【解題分析】試題分析：因為且在圓上，所以，解得，所以．考點：向量運算．【思路點晴】平面向量的數(shù)量積計算問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可起到化繁為簡的妙用．利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關(guān)角度問題、線段長問題及垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決．列出方程組求解未知數(shù)．14、①②【解題分析】

對四個命題分別進行判斷即可得到結(jié)論【題目詳解】①若，垂足為，與確定平面，，則，，則，，則，故，故正確②若，是在內(nèi)的射影，，根據(jù)三垂線定理，可得，故正確③底面是等邊三角形，側(cè)面都是有公共頂點的等腰三角形的三棱錐是正三棱錐，故不正確④若球的表面積擴大為原來的倍，則半徑擴大為原來的倍，則球的體積擴大為原來的倍，故不正確其中正確的為①②【題目點撥】本題主要考查了空間中直線與平面之間的位置關(guān)系、球的體積等知識點，數(shù)量掌握各知識點然后對其進行判斷，較為基礎(chǔ)。15、9【解題分析】分析：先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.詳解：由題意可知，,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡得，因此當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則的最小值為.點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.16、8【解題分析】

兩直線斜率存在且互相垂直，由斜率乘積為-1求得等式，把目標(biāo)式子化成，運用基本不等式求得最小值.【題目詳解】設(shè)直線的斜率為，，直線的斜率為，，兩條直線垂直，，整理得：，，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，的最小值為.【題目點撥】利用“1”的代換，轉(zhuǎn)化成可用基本不等式求最值，考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2)【解題分析】

（1）根據(jù)基函數(shù)的定義列方程，比較系數(shù)后求得的值.（2）設(shè)出的表達式，利用為偶函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)的定義列方程，化簡求得，由此化簡的表達式，構(gòu)造函數(shù)，利用定義法證得在上的單調(diào)性，由此求得的最小值，也即的最小值，從而求得的最小值，結(jié)合題目所給條件，求出的值，即求得的解析式.【題目詳解】解：（1）由已知得，即，得，所以.（2）設(shè)，則.由，得，整理得，即，即對任意恒成立，所以.所以.設(shè)，，令，則，任取，且則，因為，且所以，，，故即，所以在單調(diào)遞增，所以，且當(dāng)時取到“”.所以，又在區(qū)間的最小值為，所以，且，此時，所以【題目點撥】本小題主要考查新定義函數(shù)的理解和運用，考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的運用，考查利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查函數(shù)與方程的思想，綜合性較強，屬于中檔題.18、（1）眾數(shù)為75分，中位數(shù)為分；（2）76.2分【解題分析】

（1）由眾數(shù)的概念及頻率分布直方圖可求得眾數(shù)，根據(jù)中位數(shù)的概念可求得中位數(shù)；.（2）由平均數(shù)的概念和頻率直方圖可求得平均數(shù).【題目詳解】（1）由眾數(shù)的概念及頻率分布直方圖可知，這50名學(xué)生成績的眾數(shù)為75分.因為數(shù)學(xué)競賽成績在的頻率為，數(shù)學(xué)競賽成績在的頻率為.所以中位數(shù)為.（2）這50名學(xué)生的平均成績?yōu)?【題目點撥】本題考查根據(jù)頻率直方圖求得數(shù)字特征，關(guān)鍵在于理解各數(shù)字特征的含義，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）的前4項為1，2，3，4，的前4項為1，1，1，1；（2）；（3）證明見解析【解題分析】

（1）根據(jù)定義，選擇，的前4項，盡量選用整數(shù)計算方便；（2）分別考慮，的前項的規(guī)律，然后根據(jù)計算的運算規(guī)律計算；（3）根據(jù)必要不充分條件的推出情況去證明即可.【題目詳解】（1）由的前4項為：2，3，4，5，選、的前項為正整數(shù)：的前4項為1，2，3，4，的前4項為1，1，1，1；（2）將的前項列舉出：；將的前項列舉出：；則；（3）充分性：取，此時，將的前項列舉出：，將前項列出：，此時的前項為：，顯然不是等差數(shù)列，充分性不滿足；必要性：設(shè)，，當(dāng)為等差數(shù)列時，因為，所以，又因為，所以有：，且，所以；，，不妨令，則有如下不等式：；當(dāng)時，令，則當(dāng)時，，此時無解；當(dāng)時，令，則當(dāng)時，，此時無解；所以必有：，故：必要性滿足；綜上：數(shù)列為等差數(shù)列的必要非充分條件是【題目點撥】本題考查數(shù)列的定義以及證明，難度困難.對于充分必要條件的證明，需要對充分性和必要性同時分析，不能取其一分析；新定義的數(shù)列問題，可通過定義先理解定義的含義，然后再分析問題.20、（1）（2）【解題分析】

（1）先設(shè)等比數(shù)列的公比為，再求解即可；（2）由已知條件可得，再利用錯位相減法求和即可.【題目詳解】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由，，則，即，則，（2）由數(shù)列的前項和，則，即當(dāng)時，，即，又，所以，，①，②①-②得：，即.【題目點撥】本題考查了等比數(shù)列通項公式的求法，重點考查了錯位相減法求數(shù)列前項和，屬中檔題.21、（1）或；（2）當(dāng)時的值域為.時的值域為.【解題分析】分析：（1）由已知表示出向量，再根據(jù)，