2024屆內蒙古通遼市科左后旗甘旗卡第二高級中學數(shù)學高一第二學期期末綜合測試試題含解析

2024屆內蒙古通遼市科左后旗甘旗卡第二高級中學數(shù)學高一第二學期期末綜合測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．實數(shù)數(shù)列為等比數(shù)列，則（）A．-2 B．2 C． D．2．過點P(－2,4)作圓O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切線l，直線m：ax－3y＝0與直線l平行，則直線l與m間的距離為()A．4 B．2 C．85 D．123．設是定義在上的偶函數(shù)，若當時，，則()A． B． C． D．4．在中，，，，是外接圓上一動點，若，則的最大值是（）A．1 B． C． D．25．在中，角,,的對邊分別為,,，若，，則（）A． B． C． D．6．已知的模為1，且在方向上的投影為，則與的夾角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°7．已知數(shù)列是各項均為正數(shù)且公比不等于1的等比數(shù)列，對于函數(shù)，若數(shù)列為等差數(shù)列，則稱函數(shù)為“保比差數(shù)列函數(shù)”，現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)：①，②，③；④，則為“保比差數(shù)列函數(shù)”的所有序號為（）A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③④8．在中，角的對邊分別為.若，，，則邊的大小為（）A．3 B．2 C． D．9．已知，，，則的最小值是（）A． B．4 C．9 D．510．已知則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．記等差數(shù)列的前項和為，若，則________．12．若，則=.13．角的終邊經(jīng)過點，則___________________．14．設數(shù)列滿足，，且，用表示不超過的最大整數(shù)，如，，則的值用表示為__________．15．己知為數(shù)列的前項和，且，則_____．16．數(shù)列的前項和為，已知，且對任意正整數(shù)，都有，若恒成立，則實數(shù)的最小值為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖所示，已知三棱錐的側棱長都為1，底面ABC是邊長為的正三角形．（1）求三棱錐的表面積；（2）求三棱錐的體積．18．已知直線經(jīng)過點，且與軸正半軸交于點，與軸正半軸交于點，為坐標原點.（1）若點到直線的距離為4，求直線的方程；（2）求面積的最小值.19．設全集是實數(shù)集，集合，．（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求．20．如圖，在長方體中，，點為的中點．（1）求證：直線平面；（2）求證：平面平面；（3）求直線與平面的夾角．21．如圖是某設計師設計的型飾品的平面圖，其中支架，，兩兩成，，，且．現(xiàn)設計師在支架上裝點普通珠寶，普通珠寶的價值為，且與長成正比，比例系數(shù)為（為正常數(shù)）；在區(qū)域（陰影區(qū)域）內鑲嵌名貴珠寶，名貴珠寶的價值為，且與的面積成正比，比例系數(shù)為．設，．（1）求關于的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；（2）求的最大值及相應的的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

由等比數(shù)列的性質計算，注意項與項之間的關系即可．【題目詳解】由題意，，又與同號，∴．故選B．【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的性質，解題時要注意等比數(shù)列中奇數(shù)項同號，偶數(shù)項同號．2、A【解題分析】設l:ax-3y+m=0∴-2a-12+m=0∴ax-3y+2a+12=0因此|2a-3+2a+12|a2+32=5∴a=4，因此直線3、A【解題分析】

利用函數(shù)的為偶函數(shù)，可得，代入解析式即可求解.【題目詳解】是定義在上的偶函數(shù)，則，又當時，，所以.故選：A【題目點撥】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值，屬于基礎題.4、C【解題分析】

以的中點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，設M的坐標為，，求出點的坐標，得到，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質即可求出答案.【題目詳解】以的中點O為原點，以為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則外接圓的方程為，設M的坐標為，，過點作垂直軸，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中，，當時，有最大值，最大值為，故選C．【題目點撥】本題考查了向量的坐標運算和向量的數(shù)乘運算和正弦函數(shù)的圖象和性質，以及直角三角形的問題，考查了學生的分析解決問題的能力，屬于難題．5、A【解題分析】

由正弦定理求得sinA，利用同角三角函數(shù)的基本關系求得cosA，求出sinB=sin(120°+A)的值，可得

的值．【題目詳解】△ABC中，由正弦定理可得

，∴

，∴sinA=

，cosA=.

sinB=sin(120°+A)=

?+?=

，再由正弦定理可得

=

=

，

故答案為

A.【題目點撥】本題考查正弦定理，兩角和與差的正弦公式的應用，求出sinB是解題的關鍵，屬基礎題．6、A【解題分析】

根據(jù)投影公式，直接得到結果.【題目詳解】，.故選A.【題目點撥】本題考查了投影公式，屬于簡單題型.7、B【解題分析】

設數(shù)列{an}的公比為q（q≠1），利用保比差數(shù)列函數(shù)的定義，逐項驗證數(shù)列{lnf（an）}為等差數(shù)列，即可得到結論．【題目詳解】設數(shù)列{an}的公比為q（q≠1）①由題意，lnf（an）＝ln，∴l(xiāng)nf（an+1）﹣lnf（an）＝lnlnlnlnq是常數(shù)，∴數(shù)列{lnf（an）}為等差數(shù)列，滿足題意；②由題意，lnf（an）＝ln，∴l(xiāng)nf（an+1）﹣lnf（an）＝lnlnlnq2＝2lnq是常數(shù)，∴數(shù)列{lnf（an）}為等差數(shù)列，滿足題意；③由題意，lnf（an）＝ln，∴l(xiāng)nf（an+1）﹣lnf（an）＝lnlnan+1﹣an不是常數(shù)，∴數(shù)列{lnf（an）}不為等差數(shù)列，不滿足題意；④由題意，lnf（an）＝ln，∴l(xiāng)nf（an+1）﹣lnf（an）＝lnlnlnq是常數(shù)，∴數(shù)列{lnf（an）}為等差數(shù)列，滿足題意；綜上，為“保比差數(shù)列函數(shù)”的所有序號為①②④故選：B．【題目點撥】本題考查新定義，考查對數(shù)的運算性質，考查等差數(shù)列的判定，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．8、A【解題分析】

直接利用余弦定理可得所求.【題目詳解】因為，所以，解得或（舍）.故選A.【題目點撥】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應用，考查了一元二次方程的解法，屬于基礎題．9、C【解題分析】

利用題設中的等式，把的表達式轉化成展開后，利用基本不等式求得的最小值．【題目詳解】∵，，，∴＝，當且僅當，即時等號成立．故選：C．【題目點撥】本題主要考查了基本不等式求最值，注意一定，二正，三相等的原則，屬于基礎題．10、B【解題分析】

根據(jù)條件式,判斷出,,且.由不等式性質、基本不等式性質或特殊值即可判斷選項.【題目詳解】因為所以可得,,且對于A,由對數(shù)函數(shù)的圖像與性質可知,,所以A錯誤;對于B,由基本不等式可知,即由于,則,所以B正確;對于C,由條件可得,所以C錯誤;對于D,當時滿足條件,但,所以D錯誤.綜上可知,B為正確選項故選:B【題目點撥】本題考查了不等式性質的綜合應用,根據(jù)基本不等式求最值,屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、10【解題分析】

由等差數(shù)列求和的性質可得，求得，再利用性質可得結果.【題目詳解】因為，所以，所以，故故答案為10【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的性質，熟悉其性質是解題的關鍵，屬于基礎題.12、【解題分析】.13、【解題分析】

先求出到原點的距離,再利用正弦函數(shù)定義求解.【題目詳解】因為,所以到原點距離,故.故答案為：.【題目點撥】設始邊為的非負半軸,終邊經(jīng)過任意一點,則：14、【解題分析】

由題設可得知該函數(shù)的最小正周期是，令，則由等差數(shù)列的定義可知數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，即，由此可得，將以上個等式兩邊相加可得，即，所以，故，應填答案．點睛：解答本題的關鍵是借助題設中提供的數(shù)列遞推關系式，先求出數(shù)列的通項公式，然后再運用列項相消法求出，最后借助題設中提供的新信息，求出使得問題獲解．15、【解題分析】

根據(jù)可知，得到數(shù)列為等差數(shù)列；利用等差數(shù)列前項和公式構造方程可求得；利用等差數(shù)列通項公式求得結果.【題目詳解】由得：，即：數(shù)列是公差為的等差數(shù)列又，解得：本題正確結果：【題目點撥】本題考查等差數(shù)列通項公式、前項和公式的應用，關鍵是能夠利用判斷出數(shù)列為等差數(shù)列，進而利用等差數(shù)列中的相關公式來進行求解.16、【解題分析】令，可得是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，，實數(shù)的最小值為，故答案為.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）分析得到側面均為等腰直角三角形，再求每一個面的面積即得解；（2）先證明平面SAB，再求幾何體體積.【題目詳解】（1）如圖三棱錐的側棱長為都為1，底面為正三角形且邊長為，所以側面均為等腰直角三角形．又，所以，又，．（2）因為側棱SB，SA，SC互相垂直，平面SAB，所以平面SAB，．【題目點撥】本題主要考查線面位置關系的證明，考查面積和體積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.18、（1）（2）【解題分析】

（1）直線過定點P，故設直線l的方程為，再由點到直線的距離公式，即可解得k，得出直線方程；（2）設直線方程，，表示出A，B點的坐標，三角形面積為，根據(jù)k的取值范圍即可取出面積最小值．【題目詳解】解：（1）由題意可設直線的方程為，即，則，解得.故直線的方程為，即.（2）因為直線的方程為，所以，，則的面積為.由題意可知，則（當且僅當時，等號成立）.故面積的最小值為.【題目點撥】本題考查求直線方程和用基本不等式求三角形面積的最小值．19、（1）或（2）當時，；當時，【解題分析】

（1）若，則或，解得實數(shù)的取值范圍；（2）若則，結合交集定義，分類討論可得.【題目詳解】解：（1）若，則或，即或.所以的取值范圍為或.（2）∵，則且，∴.當時，;當時，.【題目點撥】本題考查集合的交集運算，元素與元素的關系，分類討論思想，屬于中檔題.20、(1)見證明；(2)見證明；(3)【解題分析】

（1）連接，交于，則為中點，連接OP，可證明，從而可證明直線平面；（2）先證明AC⊥BD，，可得到平面，然后結合平面，可知平面平面；（3）連接，由（2）知，平面平面，可知即為與平面的夾角，求解即可.【題目詳解】（1）證明：連接，交于，則為中點，連接OP，∵P為的中點，∴，∵OP?平面，?平面，∴平面；（2）證明：長方體中，，底面是正方形，則AC⊥BD，又⊥面，則．∵?平面，?平面，，∴平面．∵平面，∴平面平面；（3）解：連接，由（2）知，平面平面，∴即為與平面的夾角，在長方體中，∵，∴．在中，．∴直線與平面的夾角為．【題目點撥】本題考查了線面平行、面面垂直的證明，考查了線面角的求法，考查了學生的空間想象能力和計算求解能力，屬于中檔題.21、（1）（）；（2），的最大值是.【解題分析】試題分析：（1）運用題設和實際建立函數(shù)關系并確定定義域；（2）運用基本不等式求函數(shù)的最值和取得最值的條件.試題解析：（1）因為，，，由余弦定理，，解得，由，得．又，得，解得，所以的取值范圍是．（2），，則，設，則．當且僅當即取等號，此時取等號，所以當時，的最大值是．考點：閱讀理解能力和數(shù)學建