上海市大團(tuán)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

上海市大團(tuán)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．52．已知是第二象限角,（）A． B． C． D．3．若函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，再向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度得函數(shù)的圖象，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)之和為（）A． B． C． D．4．設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（）A． B． C． D．5．?dāng)?shù)列的首項(xiàng)為，為等差數(shù)列，且（），若，，則（）A． B． C． D．6．若等差數(shù)列和的公差均為，則下列數(shù)列中不為等差數(shù)列的是（）A．（為常數(shù)） B．C． D．7．為了了解運(yùn)動(dòng)員對(duì)志愿者服務(wù)質(zhì)量的意見(jiàn)，打算從1200名運(yùn)動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為40的樣本，考慮用系統(tǒng)抽樣，則分段間隔為A．40 B．20 C．30 D．128．P是直線x+y+2=0上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓x-22+yA．2 B．4-2 C．4+29．在中，a、b分別為內(nèi)角A、B的對(duì)邊，如果，，，則（）A． B． C． D．10．在中，邊，，分別是角，，的對(duì)邊，且滿足，若，則的值為A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若在等比數(shù)列中，，則__________．12．?dāng)?shù)列中，其前n項(xiàng)和,則的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____________..13．抽樣調(diào)查某地區(qū)名教師的年齡和學(xué)歷狀況，情況如下餅圖：則估計(jì)該地區(qū)歲以下具有研究生學(xué)歷的教師百分比為_(kāi)______．14．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．15．已知函數(shù)fx=Asin16．已知數(shù)列滿足，若，則的所有可能值的和為_(kāi)_____；三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．直線的方程為.(1)若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的值；(2)若不經(jīng)過(guò)第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．已知向量，.（1）當(dāng)為何值時(shí)，與垂直？（2）若，，且三點(diǎn)共線，求的值.20．（1）設(shè)，直接用任意角的三角比定義證明：.（2）給出兩個(gè)公式：①；②.請(qǐng)僅以上述兩個(gè)公式為已知條件證明：.21．如圖，已知中，.設(shè)，，它的內(nèi)接正方形的一邊在斜邊上，、分別在、上.假設(shè)的面積為，正方形的面積為.（Ⅰ）用表示的面積和正方形的面積；（Ⅱ）設(shè)，試求的最大值，并判斷此時(shí)的形狀.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】

在同一直角坐標(biāo)系下，分別作出與的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解.【題目詳解】解：由題意知：函數(shù)在上零點(diǎn)個(gè)數(shù)，等價(jià)于與的圖象在同一直角坐標(biāo)系下交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作圖如下：由圖可知：函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn).故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.2、A【解題分析】cosα＝±＝±，又∵α是第二象限角，∴cosα＝－.3、C【解題分析】

先由誘導(dǎo)公式以及兩角和差公式得到函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)函數(shù)伸縮平移得到，將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖像交點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)而得到結(jié)果.【題目詳解】函數(shù)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得到，再向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度得函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)，即的所有零點(diǎn)之和，畫(huà)出函數(shù)和函數(shù)的圖像，有6個(gè)交點(diǎn)，故得到根之和為.故答案為：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)問(wèn)題，以及函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題。于函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，它和方程的根的問(wèn)題，和兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題是同一個(gè)問(wèn)題，可以互相轉(zhuǎn)化；在轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)時(shí)，如果是一個(gè)常函數(shù)一個(gè)非常函數(shù)，注意讓非常函數(shù)式子盡量簡(jiǎn)單一些。4、C【解題分析】

利用特殊值，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行排除，由此得到正確選項(xiàng).【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，由此排除D選項(xiàng).當(dāng)時(shí)，，由此排除B選項(xiàng).當(dāng)時(shí)，，由此排除A選項(xiàng).綜上所述，本小題選C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查分段函數(shù)求值，考查利用特殊值法解選擇題，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】由題意可設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，所以所以，所以，即=2n-8,=,所以,選B.6、D【解題分析】

利用等差數(shù)列的定義對(duì)選項(xiàng)逐一進(jìn)行判斷，可得出正確的選項(xiàng).【題目詳解】數(shù)列和是公差均為的等差數(shù)列，則，，.對(duì)于A選項(xiàng)，，數(shù)列（為常數(shù)）是等差數(shù)列；對(duì)于B選項(xiàng)，，數(shù)列是等差數(shù)列；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以，數(shù)列是等差數(shù)列；對(duì)于D選項(xiàng)，，不是常數(shù)，所以，數(shù)列不是等差數(shù)列.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，注意等差數(shù)列定義的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.7、C【解題分析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法，結(jié)合題意可分段的間隔等于個(gè)體總數(shù)除以樣本容量，即可求解.【題目詳解】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法，結(jié)合題意可分段的間隔，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了系統(tǒng)抽樣的定義和方法，其中解答中熟記系統(tǒng)抽樣的定義和方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】

首先求出圓心到直線的距離與半徑比較大小，得到直線與圓是相離的，根據(jù)圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值等于圓心到直線的距離減半徑，求得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)閳A心(2,0)到直線x+y+2=0的距離為d=2+0+2所以直線x+y+2=0與圓(x-2)2所以PQ的最小值等于圓心到直線的距離減去半徑，即PQmin故選D.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)直線與圓的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值問(wèn)題，屬于簡(jiǎn)單題目.9、A【解題分析】

先求出再利用正弦定理求解即可.【題目詳解】，，，由正弦定理可得，解得，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題注意考查正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.正弦定理主要有三種應(yīng)用：求邊和角、邊角互化、外接圓半徑.10、A【解題分析】

利用正弦定理把題設(shè)等式中的邊換成角的正弦，進(jìn)而利用兩角和公式化簡(jiǎn)整理可得的值，由可得的值【題目詳解】在中，由正弦定理可得化為：即在中，，故,可得，即故選【題目點(diǎn)撥】本題以三角形為載體，主要考查了正弦定理，向量的數(shù)量積的運(yùn)用，考查了兩角和公式，考查了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)，將等式化成即可求得答案．【題目詳解】是等比數(shù)列，若，則．因?yàn)?，所以，．故答案為?．【題目點(diǎn)撥】本題考查等比中項(xiàng)的性質(zhì)，考查基本運(yùn)算求解能力，屬于容易題.12、【解題分析】

利用遞推關(guān)系，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即可求出.【題目詳解】由題知：當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查根據(jù)數(shù)列的前項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式，體現(xiàn)了分類討論的思想，屬于簡(jiǎn)單題.13、【解題分析】

根據(jù)餅狀圖中的歲以下本科學(xué)歷人數(shù)和占比可求得歲以下教師總?cè)藬?shù)，從而可得其中的具有研究生學(xué)歷的教師人數(shù)，進(jìn)而得到所求的百分比.【題目詳解】由歲以下本科學(xué)歷人數(shù)和占比可知，歲以下教師總?cè)藬?shù)為：人歲以下有研究生學(xué)歷的教師人數(shù)為：人歲以下有研究生學(xué)歷的教師的百分比為：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用餅狀圖計(jì)算總體中的數(shù)據(jù)分布和頻率分布的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

利用空間直角坐標(biāo)系中，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征解答即可.【題目詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)互為相反數(shù)，所以點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查空間直角坐標(biāo)系中對(duì)稱點(diǎn)的特點(diǎn)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.15、f【解題分析】分析：首先根據(jù)函數(shù)圖象得函數(shù)的最大值為2，得到A=2，然后算出函數(shù)的周期T=π，利用周期的公式，得到ω=2，最后將點(diǎn)（5π代入，得：2=2sin（2×5π12+φ所以fx的解析式是f詳解：根據(jù)函數(shù)圖象得函數(shù)的最大值為2，得A=2，又∵函數(shù)的周期34T=5π將點(diǎn)（5π12，2）代入，得：2=2sin所以fx的解析式是f點(diǎn)睛：本題給出了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象，要確定其解析式，著重考查了三角函數(shù)基本概念和函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．16、36【解題分析】

根據(jù)條件得到的遞推關(guān)系，從而判斷出的類型求解出可能的通項(xiàng)公式，即可計(jì)算出的所有可能值，并完成求和.【題目詳解】因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，是等差數(shù)列，，所以；當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列，，所以，所以的所有可能值之和為：.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差和等比數(shù)列的判斷以及求數(shù)列中項(xiàng)的值，難度一般.已知數(shù)列滿足(為常數(shù))，則是公差為的等差數(shù)列；已知數(shù)列滿足，則是公比為的等比數(shù)列.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解題分析】

(1)先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得項(xiàng)之間遞推關(guān)系，再根據(jù)等比數(shù)列定義以及通項(xiàng)公式求結(jié)果，(2)根據(jù)錯(cuò)位相減法求結(jié)果.【題目詳解】(1)因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，,相減得，，當(dāng)時(shí)，，因此數(shù)列為首項(xiàng)為，2為公比的等比數(shù)列，(2),所以，則2，兩式相減得.【題目點(diǎn)撥】本題考查錯(cuò)位相減法求和以及由和項(xiàng)求通項(xiàng)，考查基本求解能力，屬中檔題.18、(1)0或2；(2).【解題分析】

（1）當(dāng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，可求得滿足題意；當(dāng)不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，可根據(jù)直線截距式，利用截距相等構(gòu)造方程求得結(jié)果；（2）當(dāng)時(shí)，可得直線不經(jīng)過(guò)第二象限；當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象可知斜率為正，且在軸截距小于等于零，從而構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【題目詳解】（1）當(dāng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，，解得：，滿足題意當(dāng)不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，即時(shí)若，即時(shí)，，不符合題意若，即時(shí)，方程可整理為：，解得：綜上所述：或（2）當(dāng)，即時(shí)，，不經(jīng)過(guò)第二象限，滿足題意當(dāng)，即時(shí)，方程可整理為：，解得：綜上所述：的取值范圍為：【題目點(diǎn)撥】本題考查直線方程的應(yīng)用，涉及到直線截距式方程、由圖象確定參數(shù)范圍等知識(shí)；易錯(cuò)點(diǎn)是在截距相等時(shí)，忽略經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的情況，造成丟根.19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用坐標(biāo)運(yùn)算表示出與；根據(jù)向量垂直可知數(shù)量積為零，從而構(gòu)造方程求得結(jié)果；（2）利用坐標(biāo)運(yùn)算表示出，根據(jù)三點(diǎn)共線可知，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【題目詳解】（1），與垂直，解得：（2）三點(diǎn)共線，，解得：【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，涉及到向量平行和垂直的坐標(biāo)表示；關(guān)鍵是能夠明確兩向量垂直則數(shù)量積等于零，能夠利用平行關(guān)系表示三點(diǎn)共線.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解題分析】

（1）直接利用任意角的三角函數(shù)的定義證得．（2）由已知條件利用誘導(dǎo)公式，證明．【題目詳解】解：（1）將角的頂點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，設(shè)角終邊一點(diǎn)（非原點(diǎn)），其坐標(biāo)為.∵，∴，.（2）由于，將換成后，就有即，.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題．21、（Ⅰ），；，（Ⅱ）最大值為；為等腰直角三角形【解題分析】

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