第2課時(shí)+圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的綜合應(yīng)用 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

1.2.1第2課時(shí)新授課圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的綜合應(yīng)用1.會(huì)用待定系數(shù)法、幾何法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握?qǐng)Ax2+y2＝r2的一些簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì).知識(shí)點(diǎn)1：求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的不同方法例1:求經(jīng)過(guò)A(1,3)，B(4,2)兩點(diǎn)，且圓心C在直線l:x+y-3=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解法1:設(shè)該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.由圓經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)且圓心C在直線l上，可得方程組①②③①-②，得3a-b-5=0.④聯(lián)立③④解得代入①，得r2=5.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)2=5(如圖).待定系數(shù)法思考1：待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的要點(diǎn)是什么？根據(jù)條件設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2＝r2，再由題目給出的條件，列出關(guān)于a，b，r的方程組，求出a，b，r，代入標(biāo)準(zhǔn)方程即可.歸納總結(jié)例1:求經(jīng)過(guò)A(1,3)，B(4,2)兩點(diǎn)，且圓心C在直線l:x+y-3=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解法2:如圖，連接AB，作AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，則圓心C是線段AB的垂直平分線與直線l的交點(diǎn).線段AB的垂直平分線的方程為3x-y-5=0.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)2=5.聯(lián)立線段AB的垂直平分線方程和直線l的方程得方程組解得即圓心C的坐標(biāo)為(2,1).又該圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則r2=(1-2)2+(3-1)2=5，幾何法思考2：幾何法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的要點(diǎn)是什么？可以根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑：(1)圓心在弦的垂直平分線上；(2)過(guò)圓心的直線平分圓；(3)圓與x軸相切時(shí)，r＝|b|，圓與y軸相切時(shí)，r＝|a|.歸納總結(jié)1.已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)A(1，1)，B(2，-2)兩點(diǎn)，且圓心

C

在直線l：x–y+1=0上，請(qǐng)用兩種不同的方法求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.待定系數(shù)法:設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，b)，由已知得：a–b+1=0①；又A，B是圓上兩點(diǎn)，所以|CA|=|CB|，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，有綜上，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x+3)2+(y+2)2=25.由①②得：a=-3，b=-2，所以圓心C的坐標(biāo)為(-3，-2)；即a–3b–3=0②；圓的半徑r=|AC|=練一練OxyABDCl由垂徑定理可知，圓心C在線段AB垂直平分線上，綜上，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x+3)2+(y+2

)2=25.幾何法：如圖，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為D，由A(1,1)，B(2,–2)兩點(diǎn)的坐標(biāo)得：線段AB的垂直平分線l′的方程為：x–3y–3=0，經(jīng)過(guò)A(1,1)，B(2,–2)兩點(diǎn)，且圓心在x–y+1=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.所以圓心C的坐標(biāo)為(-3,-2)；圓的半徑r=|AC|=即圓心坐標(biāo)是方程組

的解，解得

點(diǎn)D的坐標(biāo)為

，直線AB的斜率為kAB=–3，問(wèn)題1：對(duì)于圓x2+y2＝2，該圓上任意一點(diǎn)P(x,y)的x與y應(yīng)滿足的條件是什么？知識(shí)點(diǎn)2：圓x2+y2＝r2的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問(wèn)題2：對(duì)于圓x2+y2＝2上的任意一點(diǎn)P(x,y)，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)(-x,-y)，關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)(x,-y)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)(-x,y)是否在該圓上？由題(-x)2+(-y)2=x2+y2＝2，所以關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)(-x,-y)在圓上；OxyPry＝y(tǒng)＝x＝x＝同理關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)(x,-y)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)(-x,y)也在在該圓上.歸納總結(jié)對(duì)于任何一個(gè)半徑為r的圓，為了方便研究，我們可以以圓心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，再依據(jù)圓的定義得到圓的方程為x2+y2＝r2①.由圓的方程①，可得圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：(1)范圍：|x|≤r，|y|≤r，(2)對(duì)稱性：該圓既是關(guān)于x軸和y軸的軸對(duì)稱圖形，也是關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形.OxyPry＝ry＝-rx＝-rx＝r2.已知點(diǎn)P(x，y)為圓x2+y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，求x2-4y的最小值.解：∵點(diǎn)P(x，y)為圓x2+y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，∴x2-4y＝1-y2-4y＝-(y+2)2