西南交通大學(xué)線性最優(yōu)化考博真題

2017年全國攻讀博士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題PAGE西南交通大學(xué)2016年攻讀博士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題考試科目：最優(yōu)化理論與方法科目代碼：2016考試時間：月日（注：特別提醒所有答案一律寫在答題紙上，直接寫在試題或草稿紙上的無效！）———————————————————————————————二．（10分）簡答題：試設(shè)計求解無約束優(yōu)化問題的一般下降算法。三．（25分）計算題（10分）用一階必要和充分條件求解如下無約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解：.（15分）用約束問題局部解的一階必要條件和二階充分條件求約束問題：的最優(yōu)解和相應(yīng)的乘子。四．證明題（共33分）1．（10分）設(shè)是正定二次函數(shù)，證明一維問題的最優(yōu)步長為2．（10分）證明凸規(guī)劃（其中為嚴(yán)格凸函數(shù)，D是凸集）的最優(yōu)解是唯一的（13分）考慮不等式約束問題其中具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，設(shè)是約束問題的可行點，若在處d滿足則d是處的可行下降方向。西南交通大學(xué)2015年攻讀博士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題考試科目：最優(yōu)化理論與方法科目代碼：2016考試時間：月日（注：特別提醒所有答案一律寫在答題紙上，直接寫在試題或草稿紙上的無效！）———————————————————————————————一、填空題：1．最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型一般為：____________________________，其中___________稱為目標(biāo)函數(shù)，___________稱為約束函數(shù)，可行域D可以表示為_____________________________，若______________________________，稱為問題的局部最優(yōu)解，若_____________________________________，稱為問題的全局最優(yōu)解。2．設(shè)f(x)=，則其梯度為___________，海色矩陣___________,令則f(x)在處沿方向d的一階方向?qū)?shù)為___________，幾何意義為___________________________________,二階方向?qū)?shù)為___________________，幾何意義為____________________________________________________________。3．設(shè)嚴(yán)格凸二次規(guī)劃形式為：則其對偶規(guī)劃為___________________________________________。4．求解無約束最優(yōu)化問題：，設(shè)是不滿足最優(yōu)性條件的第k步迭代點，則：用最速下降法求解時，搜索方向=___________用Newton法求解時，搜索方向=___________用共軛梯度法求解時，搜索方向=___________________________________________________________________________。二．（10分）簡答題：試敘述求解無約束優(yōu)化問題的優(yōu)化方法及其優(yōu)缺點。（200字左右）三．（25分）計算題（10分）用一階必要和充分條件求解如下無約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解：.（15分）用約束問題局部解的一階必要條件和二階充分條件求解約束問題：其中四．證明題（共33分）1．（10分）設(shè)是正定二次函數(shù)，證明一維問題的最優(yōu)步長為2．（23分）考慮如下規(guī)劃問題其中是凸函數(shù)，證明：（7分）上述規(guī)劃為凸規(guī)劃；（8分）上述規(guī)劃的最優(yōu)解集為凸集；（8分）設(shè)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，若是KT點，則是上述凸規(guī)劃問題的全局解。西南交通大學(xué)2014年攻讀博士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題考試科目：最優(yōu)化理論與方法科目代碼：2016考試時間：月日（注：特別提醒所有答案一律寫在答題紙上，直接寫在試題或草稿紙上的無效?。羁疹}1.設(shè)是凸集上的一階可微函數(shù)，則是S上的凸函數(shù)的一階充要條件是（），當(dāng)n=2時，該充要條件的幾何意義是（）；2.設(shè)是凸集上的二階可微函數(shù)，則是上的嚴(yán)格凸函數(shù)（）（填‘當(dāng)’或‘當(dāng)且僅當(dāng)’）對任意，是（）矩陣；3.已知規(guī)劃問題，則在點處的可行方向集為（），下降方向集為（）。二、選擇題1.給定問題，則下列各點屬于K-T點的是（）A)B)C)D)2.下列函數(shù)中屬于嚴(yán)格凸函數(shù)的是（）A)B)C)D)三、求下列問題取初始點。四、考慮約束優(yōu)化問題用兩種懲罰函數(shù)法求解。五．用牛頓法求解二次函數(shù)的極小值。初始點。六、證明題1.對無約束凸規(guī)劃問題，設(shè)從點出發(fā)，沿方向作最優(yōu)一維搜索，得到步長和新的點，試證當(dāng)時，。2.設(shè)是非線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解，試證也是非線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解，其中。西南交通大學(xué)2013年攻讀博士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題考試科目：最優(yōu)化理論與方法科目代碼：2016考試時間：月日（注：特別提醒所有答案一律寫在答題紙上，直接寫在試題或草稿紙上的無效?。欠穷}若某集合是凸集，則該集合中任意兩點的所有正線性組合均屬于此集合。設(shè)函數(shù)，若，并且半正定，則是的局部最優(yōu)解。設(shè)是的局部最優(yōu)解，則在處的下降方向一定不是可行方向。設(shè)是的局部最優(yōu)解，則是的K-T點。設(shè)函數(shù)，則用最速下降法求解時，在迭代點處的搜索方向一定是在處的下降方向。用外點法求解約束優(yōu)化問題時，要求初始點是不可行點。二、在區(qū)間上用黃金分割法求函數(shù)的極小點，求出初始的兩個試點及保留區(qū)間。三、驗證點與是否是規(guī)劃問題的K-T點。對K-T點寫出相應(yīng)的Lagrange乘子。四、用外點法求解五．用共軛梯度法求解無約束優(yōu)化問題取初始點，精度為。六、證明題1.設(shè)集合是凸集，是上的凸函數(shù)，令證明也是上的凸函數(shù)。2.設(shè)，記證明：是在處的可行方向的充要條件是。西南交通大學(xué)2012年攻讀博士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題考試科目：最優(yōu)化理論與方法科目代碼：2016考試時間：月日（注：特別提醒所有答案一律寫在答題紙上，直接寫在試題或草稿紙上的無效?。惶羁疹}1.設(shè)Q為n階對稱正定矩陣，為行滿秩矩陣，則問題的K-T點為（）；2.的平穩(wěn)點為（），該平穩(wěn)點（）（填‘是’或‘不是’）局部最優(yōu)解；3.設(shè)是問題的可行解，則在處有其中，則是的下降方向的充要條件為（），是的可行方向的充要條件為（）。運用0.618法求在區(qū)間上的極小點。要求最終區(qū)間長度不大于原區(qū)間長度的0.08倍。（計算結(jié)果精確到0.001）三、用最速下降法求解無約束問題，取初始點。四、證明題1.用牛頓法求函數(shù)（A為對稱正定矩陣）的極小值只需一次迭代；2.罰函數(shù)內(nèi)點法定義懲罰函數(shù)，（其中）。設(shè)產(chǎn)生序列，證明：（1）；（2）；（3）.五、求約束問題的Kuhn—Tucker點。六．設(shè)連續(xù)可微，考慮約束問題，其中。設(shè)，是問題的最優(yōu)解。求:1)什么條件下是問題的K-T點;2)什么條件下為處的可行下降方向.七、某銀行有投資資金，投資于A,B兩個項目，計劃5年為一個周期。A,B兩個項目的資金回收率分別為a,b（