上海中學(xué)、復(fù)旦附中等八校2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

上海中學(xué)、復(fù)旦附中等八校2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1.已知,且,,這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列,也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列,則()A.7 B.6 C.5 D.92.傳說古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫點或用小石子表示數(shù).他們研究過如圖所示的三角形數(shù):將三角形數(shù)1,3,6,10記為數(shù)列,將可被5整除的三角形數(shù),按從小到大的順序組成一個新數(shù)列,可以推測:()A.1225 B.1275 C.2017 D.20183.設(shè),滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最大值是()A.3 B. C.1 D.4.已知數(shù)列的前項和為,且,若對任意,都有成立,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.5.已知,則比多了幾項()A.1 B. C. D.6.已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長為的正三角形,E,F(xiàn)分別是PA,AB的中點,∠CEF=90°.則球O的體積為()A. B. C. D.7.如圖是一個正方體的平面展開圖,在這個正方體中①②③與為異面直線④以上四個命題中,正確的序號是()A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④8.已知與均為單位向量,它們的夾角為,那么等于()A. B. C. D.49.在,,,是邊上的兩個動點,且,則的取值范圍為()A. B. C. D.10.函數(shù)()的部分圖象如圖所示,其中是圖象的最高點,是圖象與軸的交點,則()A. B. C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.若函數(shù)有兩個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍是______.12.在中,角所對的邊分別為,若,則=______.13.若角的終邊過點,則______.14.在直角坐標(biāo)系中,已知任意角以坐標(biāo)原點為頂點,以軸的非負半軸為始邊,若其終邊經(jīng)過點,且,定義:,稱“”為“的正余弦函數(shù)”,若,則_________.15.若把寫成的形式,則______.16.若滿足約束條件,則的最小值為_________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)求在區(qū)間上的最值.18.甲乙兩地生產(chǎn)某種產(chǎn)品,他們可以調(diào)出的數(shù)量分別為300噸、750噸.A,B,C三地需要該產(chǎn)品數(shù)量分別為200噸,450噸,400噸,甲地運往A,B,C三地的費用分別為6元/噸、3元/噸,5元/噸,乙地運往A,B,C三地的費用分別為5元/噸,9元/噸,6元/噸,問怎樣調(diào)運,才能使總運費最???19.已知向量滿足,且向量與的夾角為.(1)求的值;(2)求.20.設(shè)數(shù)列的前項和為,點均在函數(shù)的圖像上.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)設(shè),是數(shù)列的前項和,求使得對所有都成立的最小正整數(shù).21.四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,側(cè)面底面ABCD,已知,為正三角形.(1)證明.(2)若,,求二面角的大小的余弦值.

參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

由,可得成等比數(shù)列,即有=4;討論成等差數(shù)列或成等差數(shù)列,運用中項的性質(zhì),解方程可得,即可得到所求和.【題目詳解】由,可得成等比數(shù)列,即有=4,①若成等差數(shù)列,可得,②由①②可得,1;若成等差數(shù)列,可得,③由①③可得,1.綜上可得1.故選:C.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項的性質(zhì),考查運算能力,屬于中檔題.2、A【解題分析】

通過尋找規(guī)律以及數(shù)列求和,可得,然后計算,可得結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)題意可知:則由…可得所以故選:A【題目點撥】本題考查不完全歸納法的應(yīng)用,本題難點在于找到,屬難題,3、C【解題分析】

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,結(jié)合圖形找出最優(yōu)解,從而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值.【題目詳解】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,如陰影部分所示;平移直線,由圖像可知當(dāng)直線經(jīng)過點時,最大.,解得,即,所以的最大值為1.故答案為選C【題目點撥】本題給出二元一次不等式組,求目標(biāo)函數(shù)的最大值,著重考查二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃,也考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】即對任意都成立,當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時,歸納得:故選點睛:根據(jù)已知條件運用分組求和法不難計算出數(shù)列的前項和為,為求的取值范圍則根據(jù)為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況進行分類討論,求得最后的結(jié)果5、D【解題分析】

由寫出,比較兩個等式得多了幾項.【題目詳解】由題意,則,那么:,又比多了項.故選:D.【題目點撥】本題考查對函數(shù)的理解和帶值計算問題,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

計算可知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱互相垂直,可得球O是以PA為棱的正方體的外接球,球的直徑,即可求出球O的體積.【題目詳解】在△PAC中,設(shè),,,,因為點E,F(xiàn)分別是PA,AB的中點,所以,在△PAC中,,在△EAC中,,整理得,因為△ABC是邊長為的正三角形,所以,又因為∠CEF=90°,所以,所以,所以.又因為△ABC是邊長為的正三角形,所以PA,PB,PC兩兩垂直,則球O是以PA為棱的正方體的外接球,則球的直徑,所以外接球O的體積為.故選D.【題目點撥】本題考查了三棱錐的外接球,考查了學(xué)生的空間想象能力,屬于中檔題.7、D【解題分析】

作出直觀圖,根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征進行判斷.【題目詳解】作出正方體得到直觀圖如圖所示:由直觀圖可知,與為互相垂直的異面直線,故①不正確;,故②正確;與為異面直線,故③正確;由正方體性質(zhì)可知平面,故,故④正確.故選:D【題目點撥】本題考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征,直線,平面的平行于垂直,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】本題主要考查的是向量的求模公式.由條件可知==,所以應(yīng)選A.9、A【解題分析】由題意,可以點為原點,分別以為軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則點的坐標(biāo)分別為,直線的方程為,不妨設(shè)點的坐標(biāo)分別為,,不妨設(shè),由,所以,整理得,則,即,所以當(dāng)時,有最小值,當(dāng)時,有最大值.故選A.點睛:此題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,以及直線方程和兩點間距離的計算等方面的知識與技能,還有坐標(biāo)法的運用等,屬于中高檔題,也是??伎键c.根據(jù)題意,把運動(即的位置在變)中不變的因素()找出來,通過坐標(biāo)法建立合理的直角坐標(biāo)系,把點的坐標(biāo)表示出來,再通過向量的坐標(biāo)運算,列出式子,討論其最值,從而問題可得解.10、D【解題分析】函數(shù)的周期為,四分之一周期為,而函數(shù)的最大值為,故,由余弦定理得,故.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解題分析】

令,可得,從而將問題轉(zhuǎn)化為和的圖象有兩個不同交點,作出圖形,可求出答案.【題目詳解】由題意,令,則,則和的圖象有兩個不同交點,作出的圖象,如下圖,是過點的直線,當(dāng)直線斜率時,和的圖象有兩個交點.故答案為:.【題目點撥】本題考查函數(shù)零點問題,考查函數(shù)圖象的應(yīng)用,考查學(xué)生的計算求解能力,屬于中檔題.12、【解題分析】根據(jù)正弦定理得13、-2【解題分析】

由正切函數(shù)定義計算.【題目詳解】根據(jù)正切函數(shù)定義:.故答案為-2.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的定義,掌握三角函數(shù)定義是解題基礎(chǔ).14、【解題分析】試題分析:根據(jù)正余弦函數(shù)的定義,令,則可以得出,即.可以得出,解得,.那么,,所以故本題正確答案為.考點:三角函數(shù)的概念.15、【解題分析】

將角度化成弧度,再用象限角的表示方法求解即可.【題目詳解】解:.故答案為:.【題目點撥】本題考查弧度與角度的互化,象限角的表示,屬于基礎(chǔ)題.16、3【解題分析】

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),畫出可行解域,平行移動直線,在可行解域內(nèi),找到直線在縱軸上截距最小時所經(jīng)過點的坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)中,求出目標(biāo)函數(shù)的最小值.【題目詳解】在平面直角坐標(biāo)系中,約束條件所表示的平面區(qū)域如下圖所示:當(dāng)直線經(jīng)過點時,直線縱軸上截距最小,解方程組,因此點坐標(biāo)為,所以的最小值為.【題目點撥】本題考查了線性目標(biāo)函數(shù)最小值問題,正確畫出可行解域是解題的關(guān)鍵.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)最大值為,最小值為.【解題分析】

(1)利用兩角和的正弦公式以及二倍角的余弦公式、兩角和的余弦公式將函數(shù)的解析式化簡為,然后解不等式可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由,可計算出,然后由余弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【題目詳解】(1),解不等式,得,因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)當(dāng)時,.當(dāng)時,函數(shù)取得最大值;當(dāng)時,函數(shù)取得最小值.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間以及在定區(qū)間上最值的求解,解題時要利用三角恒等變換思想將三角函數(shù)的解析式化簡,并借助正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的基本性質(zhì)進行求解,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.18、甲到B調(diào)運300噸,從乙到A調(diào)運200噸,從乙到B調(diào)運150噸,從乙到C調(diào)運400噸,總運費最小【解題分析】

設(shè)從甲到A調(diào)運噸,從甲到B調(diào)運噸,則由題設(shè)可得,總的費用為,利用線性規(guī)劃可求目標(biāo)函數(shù)的最小值.【題目詳解】設(shè)從甲到A調(diào)運噸,從甲到B調(diào)運噸,從甲到C調(diào)運噸,則從乙到A調(diào)運噸,從乙到B調(diào)運噸,從乙到C調(diào)運噸,設(shè)調(diào)運的總費用為元,則.由已知得約束條件為,可行域如圖所示,平移直線可得最優(yōu)解為.甲到B調(diào)運300噸,從乙到A調(diào)運200噸,從乙到B調(diào)運150噸,從乙到C調(diào)運400噸,總運費最小.【題目點撥】本題考查線性規(guī)劃在實際問題中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)(2)【解題分析】

(1)根據(jù),得到,再由題中數(shù)據(jù),即可求出結(jié)果;(2)根據(jù)向量數(shù)量積的運算法則,以及(1)的結(jié)果,即可得出結(jié)果.【題目詳解】解:(1)因為,所以,即.因為,且向量與的夾角為,所以,即.(2)由(1)可得.【題目點撥】本題主要考查平面向量的數(shù)量積,熟記模的計算公式,以及向量數(shù)量積的運算法則即可,屬于??碱}型.20、(Ⅰ)(Ⅱ)10【解題分析】

解:(I)依題意得,即.當(dāng)n≥2時,;當(dāng)所以.(II)由(I)得,故=.因此,使得<成立的m必須滿足,故滿足要求的最小正整數(shù)m為10.21、(1)證明見解析.(2)二面角的余弦值為.【解題分析】

(1)作于點,連接,根據(jù)面面垂直性質(zhì)可得底面ABCD,由三角形全等性質(zhì)可得,進而根據(jù)線面垂直判定定理證明平面,即可證明.(2)根據(jù)所給角度和線段關(guān)系,可證明以均為等邊三角形,從而取中點,連接,即可由線段長結(jié)合余弦定理求得二面角的大小.【題目詳解】(1)證明:作于點,連接,如下

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