江西省贛州市會昌縣2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

江西省贛州市會昌縣2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．“是第二象限角”是“是鈍角”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要2．已知圓（為圓心，且在第一象限）經(jīng)過，，且為直角三角形，則圓的方程為（）A． B．C． D．3．下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的平面幾何圖形．此圖由兩個(gè)圓構(gòu)成，O為大圓圓心，線段AB為小圓直徑．△AOB的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色月牙部分記為Ⅱ，兩小月牙之和（斜線部分）部分記為Ⅲ．在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則（）A． B． C． D．4．如圖，在長方體中，，，，分別是，的中點(diǎn)則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．5．?dāng)S兩顆均勻的骰子，則點(diǎn)數(shù)之和為5的概率等于（）A． B． C． D．6．已知，則下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．7．袋中有個(gè)大小相同的小球，其中個(gè)白球，個(gè)紅球，個(gè)黑球，現(xiàn)在從中任意取一個(gè)，則取出的球恰好是紅色或者黑色小球的概率為（）A． B． C． D．8．如果全集，，則（）A． B． C． D．9．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．10 B．20 C．30 D．6010．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》第六章“均輸”中有這樣一個(gè)問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何.”（注：“均輸”即按比例分配，此處是指五人所得成等差數(shù)列；“錢”是古代的一種計(jì)量單位），則分得最少的一個(gè)得到()A．錢 B．錢 C．錢 D．1錢二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列滿足，，，則__________．12．底面邊長為，高為的直三棱柱形容器內(nèi)放置一氣球，使氣球充氣且盡可能的膨脹（保持球的形狀），則氣球表面積的最大值為_______．13．如圖，曲線上的點(diǎn)與軸的正半軸上的點(diǎn)及原點(diǎn)構(gòu)成一系列正三角形，，，設(shè)正三角形的邊長為（記為），.數(shù)列的通項(xiàng)公式=______.14．若圓:與圓:相交于，兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)處的切線互相垂直，則公共弦的長度是______.15．抽樣調(diào)查某地區(qū)名教師的年齡和學(xué)歷狀況，情況如下餅圖：則估計(jì)該地區(qū)歲以下具有研究生學(xué)歷的教師百分比為_______．16．已知等比數(shù)列an中，a3=2，a三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知關(guān)于直線對稱，且圓心在軸上.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知動點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)引的兩條切線、，切點(diǎn)分別為.①記四邊形的面積為，求的最小值；②證明直線恒過定點(diǎn).18．如圖，長方形材料中，已知，.點(diǎn)為材料內(nèi)部一點(diǎn)，于，于，且，.現(xiàn)要在長方形材料中裁剪出四邊形材料，滿足，點(diǎn)、分別在邊，上.（1）設(shè)，試將四邊形材料的面積表示為的函數(shù)，并指明的取值范圍；（2）試確定點(diǎn)在上的位置，使得四邊形材料的面積最小，并求出其最小值.19．已知向量.（1）若，且，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，且與的夾角為，求實(shí)數(shù)的值.20．已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對邊，.（1）求角的大?。唬?）若，的面積為，求邊，.21．某高中非畢業(yè)班學(xué)生人數(shù)分布情況如下表，為了了解這2000個(gè)學(xué)生的體重情況，從中隨機(jī)抽取160個(gè)學(xué)生并測量其體重?cái)?shù)據(jù)，根據(jù)測量數(shù)據(jù)制作了下圖所示的頻率分布直方圖.（1）為了使抽取的160個(gè)樣品更具代表性，宜采取分層抽樣，請你給出一個(gè)你認(rèn)為合適的分層抽樣方案，并確定每層應(yīng)抽取的樣品個(gè)數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，求的值，并估計(jì)全體非畢業(yè)班學(xué)生中體重在內(nèi)的人數(shù)；（3）已知高一全體學(xué)生的平均體重為，高二全體學(xué)生的平均體重為，試估計(jì)全體非畢業(yè)班學(xué)生的平均體重.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

由α是鈍角可得α是第二象限角，反之不成立，則答案可求．【題目詳解】若α是鈍角，則α是第二象限角；反之，若α是第二象限角，α不一定是鈍角，如α＝﹣210°．∴“α是第二象限角”是“α是鈍角”的必要非充分條件．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查鈍角、象限角的概念，考查了充分必要條件的判斷方法，是基礎(chǔ)題．2、D【解題分析】

設(shè)且，半徑為，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求解.【題目詳解】依題意，圓經(jīng)過點(diǎn)，可設(shè)且，半徑為，則，解得，所以圓的方程為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，其中解答中熟記圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，以及合理應(yīng)用圓的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】

設(shè)OA＝1，則AB，分別求出三個(gè)區(qū)域的面積，由測度比是面積比得答案．【題目詳解】設(shè)OA＝1，則AB，，以AB中點(diǎn)為圓心的半圓的面積為，以O(shè)為圓心的大圓面積的四分之一為，以AB為弦的大圓的劣弧所對弓形的面積為π﹣1，黑色月牙部分的面積為π﹣（π﹣1）＝1，圖Ⅲ部分的面積為π﹣1．設(shè)整個(gè)圖形的面積為S，則p1，p1，p3．∴p1＝p1＞p3，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查幾何概型概率的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，正確求出各部分面積是關(guān)鍵，是中檔題．4、A【解題分析】

連結(jié)，由，可知異面直線與所成角是，分別求出，然后利用余弦定理可求出答案.【題目詳解】連結(jié)，因?yàn)椋援惷嬷本€與所成角是，在中，，，，所以.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了異面直線的夾角，考查了利用余弦定理求角，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.5、B【解題分析】

試題分析：擲兩顆均勻的骰子，共有36種基本事件，點(diǎn)數(shù)之和為5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）這四種，因此所求概率為，選B．考點(diǎn)：概率問題6、C【解題分析】試題分析：若，那么，A錯；，B錯；是單調(diào)遞減函數(shù)當(dāng)時(shí)，所以，C.正確；是減函數(shù)，所以，故選C.考點(diǎn)：不等式7、D【解題分析】

利用古典概型的概率公式可計(jì)算出所求事件的概率.【題目詳解】從袋中個(gè)球中任取一個(gè)球，取出的球恰好是一個(gè)紅色或黑色小球的基本事件數(shù)為，因此，取出的球恰好是紅色或者黑色小球的概率為，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型概率的計(jì)算，解題時(shí)要確定出全部基本事件數(shù)和所求事件所包含的基本事件數(shù)，并利用古典概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

首先確定集合U，然后求解補(bǔ)集即可.【題目詳解】由題意可得：，結(jié)合補(bǔ)集的定義可知.本題選擇C選項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查集合的表示方法，補(bǔ)集的定義等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.9、B【解題分析】

由三視圖可知幾何體為四棱錐，利用四棱錐體積公式可求得結(jié)果.【題目詳解】由三視圖可知，該幾何體為底面為長為，寬為的長方形，高為的四棱錐四棱錐體積本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)三視圖求解幾何體體積的問題，關(guān)鍵是能夠通過三視圖將幾何體還原為四棱錐，從而利用棱錐體積公式來進(jìn)行求解.10、B【解題分析】

設(shè)所成等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得出答案．【題目詳解】由題意五人所分錢成等差數(shù)列，設(shè)得錢最多的為，則公差.所以，則.又，即則，分得最少的一個(gè)得到.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、-2【解題分析】

根據(jù)題干中所給的表達(dá)式得到數(shù)列的周期性，進(jìn)而得到結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)題干表達(dá)式得到可以得數(shù)列具有周期性，周期為3，故得到故得到故答案為：-2.【題目點(diǎn)撥】這個(gè)題目考查了求數(shù)列中的某些項(xiàng)，一般方法是求出數(shù)列通項(xiàng)，對于數(shù)列通項(xiàng)不容易求的題目，可以列出數(shù)列的一些項(xiàng)，得到數(shù)列的周期或者一些其它規(guī)律，進(jìn)而得到數(shù)列中的項(xiàng).12、【解題分析】由題意，氣球充氣且盡可能地膨脹時(shí)，氣球的半徑為底面三角形內(nèi)切圓的半徑

∵底面三角形的邊長分別為，∴底面三角形的邊長為直角三角形,利用等面積可求得∴氣球表面積為4π.13、【解題分析】

先得出直線的方程為，與曲線的方程聯(lián)立得出的坐標(biāo)，可得出，并設(shè)，根據(jù)題中條件找出數(shù)列的遞推關(guān)系式，結(jié)合遞推關(guān)系式選擇作差法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即利用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。【題目詳解】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，易知直線的方程為，與曲線的方程聯(lián)立，解得，；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、，所以，點(diǎn)，直線的斜率為，則，即，等式兩邊平方并整理得，可得，以上兩式相減得，即，易知，所以，即，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差也為，因此，.故答案為：?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列通項(xiàng)的求解，根據(jù)已知條件找出數(shù)列的遞推關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在求通項(xiàng)公式時(shí)需結(jié)合遞推公式的結(jié)構(gòu)選擇合適的方法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查分析問題的能力，屬于難題。14、【解題分析】

根據(jù)兩圓在點(diǎn)處的切線互相垂直，得出是直角三角形，求出，然后兩圓相減求出公共弦的直線方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到公共弦的距離，進(jìn)而求出公共弦長.【題目詳解】由題意，圓圓心坐標(biāo)，半徑，圓圓心坐標(biāo),半徑，因?yàn)閮蓤A相交于點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)處的切線互相垂直，所以是直角三角形，，所以，由兩點(diǎn)間距離公式，，所以，解得，所以圓：，兩圓方程相減，得，即，所以公共弦：，圓心到公共弦的距離，故公共弦長故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查兩圓公共弦的方程、圓弦長的求法和點(diǎn)到直線的距離公式，考查學(xué)生的分析能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

根據(jù)餅狀圖中的歲以下本科學(xué)歷人數(shù)和占比可求得歲以下教師總?cè)藬?shù)，從而可得其中的具有研究生學(xué)歷的教師人數(shù)，進(jìn)而得到所求的百分比.【題目詳解】由歲以下本科學(xué)歷人數(shù)和占比可知，歲以下教師總?cè)藬?shù)為：人歲以下有研究生學(xué)歷的教師人數(shù)為：人歲以下有研究生學(xué)歷的教師的百分比為：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用餅狀圖計(jì)算總體中的數(shù)據(jù)分布和頻率分布的問題，屬于基礎(chǔ)題.16、4【解題分析】

先計(jì)算a5【題目詳解】aaa故答案為4【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）①②證明見解析【解題分析】

（1）根據(jù)圓的一般式，可得圓心坐標(biāo)，將圓心坐標(biāo)代入直線方程，結(jié)合圓心在軸上，即可求得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）①根據(jù)切線性質(zhì)及切線長定理，表示出的長，根據(jù)圓的性質(zhì)可知當(dāng)最小時(shí)，即可求得面積的最小值；②設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩條切線可知M、A、C、B四點(diǎn)共圓，可得圓心坐標(biāo)及半徑，進(jìn)而求得的方程，根據(jù)兩個(gè)圓公共弦所在直線方程求法即可得直線方程，進(jìn)而求得過的定點(diǎn)坐標(biāo)．【題目詳解】（1）由題意知，圓心在直線上，即，又因?yàn)閳A心在軸上，所以，由以上兩式得：，，所以.故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①如圖，的圓心為，半徑，因?yàn)?、是的兩條切線，所以，，故又因?yàn)?，根?jù)平面幾何知識，要使最小，只要最小即可.易知，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，.此時(shí).②設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?、、、四點(diǎn)共圓.其圓心為線段的中點(diǎn)，，設(shè)所在的圓為，所以的方程為：，化簡得：，因?yàn)槭呛偷墓蚕?，所以，兩式相減得，故方程為：，當(dāng)時(shí)，，所以直線恒過定點(diǎn).【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，圓中三角形面積問題的應(yīng)用，直線過定點(diǎn)問題，綜合性強(qiáng)，屬于難題．18、(1)見解析;(2)當(dāng)時(shí)，四邊形材料的面積最小，最小值為.【解題分析】分析：（1）通過直角三角形的邊角關(guān)系，得出和，進(jìn)而得出四邊形材料的面積的表達(dá)式，再結(jié)合已知尺寸條件，確定角的范圍.（2）根據(jù)正切的兩角差公式和換元法，化簡和整理函數(shù)表達(dá)式，最后由基本不等式，確定面積最小值及對應(yīng)的點(diǎn)在上的位置.詳解：解：（1）在直角中，因?yàn)?，，所以，所以，在直角中，因?yàn)?，，所以，所以，所以?（2）因?yàn)椋?，由，得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號成立，此時(shí)，，，答：當(dāng)時(shí)，四邊形材料的面積最小，最小值為.點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，注意換元法和基本不等式的合理運(yùn)用.換元法求函數(shù)的值域，通過引入新變量（輔助式，輔助函數(shù)等），把所有分散的已知條件聯(lián)系起來，將已知條件和要求的結(jié)果結(jié)合起來，把隱藏在條件中的性質(zhì)顯現(xiàn)出來，或把繁瑣的表達(dá)式簡化，之后就可以利用各種常見的函數(shù)的圖象和性質(zhì)或基本不等式來解決問題.常見的換元方法有代數(shù)和三角代換兩種.要特別注意原函數(shù)的自變量與新函數(shù)自變量之間的關(guān)系.19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)平面向量加法和數(shù)乘的坐標(biāo)表示公式、數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合兩個(gè)互相垂直的平面向量數(shù)量積為零，進(jìn)行求解即可；（2）利用平面向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.因?yàn)椋?；?）當(dāng)時(shí)，所以有，因?yàn)榕c的夾角為，所以有.【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示公式，考查了平面向量夾角公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用正弦定理化邊為角，再依據(jù)兩角和的正弦公式以及誘導(dǎo)公式，即可求出，進(jìn)而求得角A的大小：（2）依第一問結(jié)果，先由三角形面積公式求出，再利用余弦定理求出，聯(lián)立即可求解出，的值．【題目詳解】（1）由及正弦定理得，整理得，，，因?yàn)椋?，所以，，又，所以?（2）因?yàn)榈拿娣e，所以，①由余弦定理得，，所以，