山東省2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期新高考數(shù)學(xué)期末模擬卷（含解析）

-2024年山東新高考高二（上）數(shù)學(xué)期末模擬卷考生注意：1.本場考試時間120分鐘，滿分150分.2.作答前，考生在答題紙正面填姓名、考生號.3.所有作答務(wù)必填涂或書寫在答題紙上與試卷題號對應(yīng)的區(qū)域，不得錯位，在草稿紙、試卷上作答一律不得分.4.用2B鉛筆作答選擇題，用黑色筆跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題.一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）拋物線的準(zhǔn)線方程為A． B． C． D．2．（5分）等差數(shù)列中，已知，，則A．10 B．11 C．12 D．133．（5分）已知兩個平面的法向量分別為，則這兩個平面的夾角為A． B． C．或 D．4．（5分）近年來，部分高校根據(jù)教育部相關(guān)文件規(guī)定開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點（也稱強基計劃），假設(shè)甲、乙、丙三人通過強基計劃的概率分別為，那么三人中恰有兩人通過強基計劃的概率為A． B． C． D．5．（5分）如圖，已知正方體棱長為8，點在棱上，且，在側(cè)面內(nèi)作邊長為2的正方形，是側(cè)面內(nèi)一動點，且點到平面距離等于線段的長，則當(dāng)點在側(cè)面運動時，的最小值是A．87 B．88 C．89 D．906．（5分）已知為拋物線的焦點，為拋物線上一點，點的坐標(biāo)為，則周長的最小值是A． B． C．9 D．7．（5分）已知點與不重合的點，共線，若以，為圓心，2為半徑的兩圓均過點，則的取值范圍為A．， B．， C．， D．，8．（5分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上且在軸的下方，若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的傾斜角為A． B． C． D．二．多選題（共4小題，每小題5分，滿分20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．（5分）給出下列命題，其中是假命題的是A．若，，，是空間中的任意四點，則有 B．是，共線的充要條件 C．若，共線，則 D．對空間中的任意一點與不共線的三點，，，若，則，，，四點共面10．（5分）已知橢圓C：內(nèi)一點，過點M的直線l與橢圓C交于A，B兩點，且M是線段AB的中點，橢圓的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，則下列結(jié)論正確的是（）A．橢圓C的焦點坐標(biāo)為（2，0），（﹣2，0） B．橢圓C的長軸長為4 C．直線MF1與直線MF2的斜率之積為 D．|AB|＝11．（5分）如圖，此形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法．商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，．設(shè)第層有個球，從上往下層球的總數(shù)為，則A． B． C． D．12．（5分）已知曲線，，分別為的左、右焦點，點在上，且△是直角三角形，下列判斷正確的是A．曲線的焦距為 B．若滿足條件的點有且只有4個，則的取值范圍是且 C．若滿足條件的點有且只有6個，則 D．若滿足條件的點有且只有8個，則的取值范圍是三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）若空間向量共面，則實數(shù)．14．（5分）已知雙曲線的右頂點為，以為圓心、為半徑的圓與的一條漸近線相交于，兩點，若，則的離心率為．15．（5分）斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，是數(shù)學(xué)史上一個著名的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，．已知在斐波那契數(shù)列中，，，，若，則數(shù)列的前2020項和為（用含的代數(shù)式表示）．16．（5分）如圖，在和中，是的中點，，，，若，則與的夾角的余弦值等于．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）已知直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與交于，兩點．（1）求的方程；（2）求圓心在軸上，且過，兩點的圓的方程．18．（12分）已知直線經(jīng)過兩條直線和的交點，且與直線垂直．（1）求直線的一般式方程；（2）若圓的圓心為點，直線被該圓所截得的弦長為，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．19．（12分）在“①，；②，”兩個條件中任選一個，補充到下面問題中，并解答．已知正項等比數(shù)列的前項和為，滿足_____．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．20．（12分）如圖，在三棱錐O﹣ABC中，OA，OB，OC兩兩垂直，OA＝OC＝3，OB＝2．（1）求點B到直線AC的距離；（2）求直線OB與平面ABC所成角的正弦值．21．（12分）已知拋物線的焦點為，過拋物線上一點向其準(zhǔn)線作垂線，垂足為，當(dāng)時，．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線與拋物線交于，兩點，與，軸分別交于，（異于坐標(biāo)原點，且，若，求實數(shù)的取值范圍．22．（12分）已知為坐標(biāo)原點，圓的圓心為點，點與關(guān)于原點對稱，關(guān)于直線的對稱點恰在圓上，直線與直線交于點，記點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）設(shè)不經(jīng)過的直線與曲線交于兩個不同點，，直線，，的斜率依次成等差數(shù)列，記點到直線的距離為，直線上兩點，的縱坐標(biāo)之差為，求的最小值．2023-2024年山東新高考高二（上）數(shù)學(xué)期末模擬卷答案解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）拋物線的準(zhǔn)線方程為A． B． C． D．【答案】【詳解】拋物線方程可化為，，拋物線的準(zhǔn)線方程為．故選：．2．（5分）等差數(shù)列中，已知，，則A．10 B．11 C．12 D．13【答案】【詳解】因為為等差數(shù)列，所以，所以．故選：．3．（5分）已知兩個平面的法向量分別為，則這兩個平面的夾角為A． B． C．或 D．【答案】【詳解】，因為向量夾角范圍為，，故兩向量夾角為，故兩平面夾角為，即，故選：．4．（5分）近年來，部分高校根據(jù)教育部相關(guān)文件規(guī)定開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點（也稱強基計劃），假設(shè)甲、乙、丙三人通過強基計劃的概率分別為，那么三人中恰有兩人通過強基計劃的概率為A． B． C． D．【答案】【詳解】甲、乙、丙三人通過強基計劃的概率分別為，三人中恰有兩人通過強基計劃的概率為，故選：．5．（5分）如圖，已知正方體棱長為8，點在棱上，且，在側(cè)面內(nèi)作邊長為2的正方形，是側(cè)面內(nèi)一動點，且點到平面距離等于線段的長，則當(dāng)點在側(cè)面運動時，的最小值是A．87 B．88 C．89 D．90【答案】【詳解】建系如圖，則，8，，，8，，，8，，作，交于，連接，則，作，交于，則即為點到平面距離，設(shè)，8，，，則，點到平面距離等于線段的長，，由兩點間距離公式可得，化簡得，，，．在中，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值是88．故選：．6．（5分）已知為拋物線的焦點，為拋物線上一點，點的坐標(biāo)為，則周長的最小值是A． B． C．9 D．【答案】【詳解】為拋物線的焦點，為拋物線上一點，點的坐標(biāo)為，可得，又拋物線的準(zhǔn)線方程為，過作，垂足為，由拋物線的定義可得，，當(dāng)，，三點共線時，取得最小值，且為，所以的周長的最小值為．故選：．7．（5分）已知點與不重合的點，共線，若以，為圓心，2為半徑的兩圓均過點，則的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【答案】【詳解】設(shè)點，，則以，為圓心，2為半徑的兩圓方程分別為，，因為兩圓過，所以和，所以，兩點的坐標(biāo)滿足圓，因為點與不重合的點，共線，所以為圓的一條弦，所以當(dāng)弦長最小時，，因為，半徑為2，所以弦長的最小值為，當(dāng)過點時，弦長最長為4，因為，所以當(dāng)弦長最小時，的最大值為，當(dāng)弦長最大時，的最小值為，所以的取值范圍為，．故選：．8．（5分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上且在軸的下方，若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的傾斜角為A． B． C． D．【答案】【詳解】如圖，設(shè)線段的中點為，連接，連接，則，橢圓的方程為，，，，即，，，，△是等邊三角形，則，即直線的傾斜角為．故選：．二．多選題（共4小題，每小題5分，滿分20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．（5分）給出下列命題，其中是假命題的是A．若，，，是空間中的任意四點，則有 B．是，共線的充要條件 C．若，共線，則 D．對空間中的任意一點與不共線的三點，，，若，則，，，四點共面【答案】【詳解】由向量的加法運算，顯然是真命題；若，共線，則（同向）或（反向），故是假命題；只有當(dāng)時，，，，四點才共面，故是假命題，若，共線，則直線，平行或重合，故是假命題，故選：．10．（5分）已知橢圓C：內(nèi)一點，過點M的直線l與橢圓C交于A，B兩點，且M是線段AB的中點，橢圓的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，則下列結(jié)論正確的是（）A．橢圓C的焦點坐標(biāo)為（2，0），（﹣2，0） B．橢圓C的長軸長為4 C．直線MF1與直線MF2的斜率之積為 D．|AB|＝【答案】【詳解】因為橢圓，所以，,所以焦點坐標(biāo)為，，A選項錯誤．長軸長2a＝4，B選項正確；，C選項正確．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，，兩式相減并化簡得，，，即直線AB的斜率為﹣1，直線AB的方程為，，由，得6x2﹣12x+1＝0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，，所以根據(jù)弦長公式可得：，所以D選項正確．故選：BCD．11．（5分）如圖，此形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法．商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，．設(shè)第層有個球，從上往下層球的總數(shù)為，則A． B． C． D．【答案】【詳解】由題意得，，，，，由以上式子累加得，滿足上式，，由已知，，，，，，故正確；，則，故錯誤；由通項公式得，故正確；，，故正確．故選：．12．（5分）已知曲線，，分別為的左、右焦點，點在上，且△是直角三角形，下列判斷正確的是A．曲線的焦距為 B．若滿足條件的點有且只有4個，則的取值范圍是且 C．若滿足條件的點有且只有6個，則 D．若滿足條件的點有且只有8個，則的取值范圍是【答案】【詳解】．當(dāng)表示橢圓時，因為，所以的焦點在軸上，且，所以，即，所以焦距為；當(dāng)表示雙曲線時，因為，即，所以的焦點在軸上，所以，即，所以焦距為；故正確；．若滿足條件的點有且只有4個，則表示橢圓，如圖1，以為直徑的圓與沒有公共點，所以，即，所以的取值范圍是，故錯誤；．若滿足條件的點有且只有6個，則表示橢圓，如圖2，以為直徑的圓與有2個公共點，所以，即，所以的取值范圍是，故正確；．若滿足條件的點有且只有8個，則當(dāng)表示橢圓時，如圖3，以為直徑的圓與有4個公共點，所以，即，所以的取值范圍是；當(dāng)表示雙曲線時，如圖4，以為直徑的圓與恒有8個公共點，所以，綜上，的取值范圍是或；故錯誤．故選：．三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）若空間向量共面，則實數(shù)．【答案】1【詳解】由題可知，，故，2，，1，，0，，有，解得．故答案為：1．14．（5分）已知雙曲線的右頂點為，以為圓心、為半徑的圓與的一條漸近線相交于，兩點，若，則的離心率為．【答案】【詳解】如圖所示，設(shè)雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，由題意可得，所以與重合，所以，所以，又，所以，所以．故答案為：．15．（5分）斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，是數(shù)學(xué)史上一個著名的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，．已知在斐波那契數(shù)列中，，，，若，則數(shù)列的前2020項和為（用含的代數(shù)式表示）．【答案】【詳解】因為，，，所以數(shù)列的前2020項和為．故答案為：．16．（5分）如圖，在和中，是的中點，，，，若，則與的夾角的余弦值等于．【答案】【詳解】由題意得：，，，，，，與的夾角的余弦值為．故答案為：．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）已知直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與交于，兩點．（1）求的方程；（2）求圓心在軸上，且過，兩點的圓的方程．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）依題意，拋物線的焦點在直線上，則，解得，所以的方程為．（2）由（1）知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，，，的中點為，，由，消去得，則，有，，即，因此線段的中垂線方程為，即，令，得，設(shè)所求圓的圓心為，則，又過的焦點，則有，設(shè)所求圓的半徑為，則，故所求圓的方程為．18．（12分）已知直線經(jīng)過兩條直線和的交點，且與直線垂直．（1）求直線的一般式方程；（2）若圓的圓心為點，直線被該圓所截得的弦長為，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）由題意知，解得，直線和的交點為；設(shè)直線的斜率為，與直線垂直，；直線的方程為，化為一般形式為；（2）設(shè)圓的半徑為，則圓心為到直線的距離為，由垂徑定理得，解得，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．19．（12分）在“①，；②，”兩個條件中任選一個，補充到下面問題中，并解答．已知正項等比數(shù)列的前項和為，滿足_____．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】見解析【詳解】（1）設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，選①：因為，，所以，又，兩式相除得，，則，代入上式中可得，所以；選；②，，則，解得，，所以；（2）由（1）可知，，所以，所以，，兩式相減得，，所以．20．（12分）如圖，在三棱錐O﹣ABC中，OA，OB，OC兩兩垂直，OA＝OC＝3，OB＝2．（1）求點B到直線AC的距離；（2）求直線OB與平面ABC所成角的正弦值．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）以，，方向分別為x，y，z軸正方向，建系如圖，則根據(jù)題意可得：A（0，0，3），B（2，0，0），C（0，3，0），∴，，，設(shè)，，則，，∴點B到直線AC的距離為；（2）設(shè)平面ABC的一個法向量為，則，取，設(shè)直線OB與平面ABC所成角為θ，則，∴直線OB與平面ABC所成角的正弦值為．21．（12分）已知拋物線的焦點為，過拋