2024屆遼寧省鞍山市臺安縣高級中學數(shù)學高一下期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆遼寧省鞍山市臺安縣高級中學數(shù)學高一下期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數(shù)的部分圖像如圖所示，則A．B．C．D．2．正方體中，的中點為，的中點為，則異面直線與所成的角是()A． B． C． D．3．設(shè)直線與直線的交點為,則到直線的距離最大值為()A． B． C． D．4．在正六邊形ABCDEF中，點P為CE上的任意一點，若，則（）A．2 B． C．3 D．不確定5．已知函數(shù)圖象的一條對稱軸是，則函數(shù)的最大值為（）A．5 B．3 C． D．6．數(shù)列中，，且，則數(shù)列前2019項和為（）A． B． C． D．7．某中學舉行高一廣播體操比賽，共10個隊參賽，為了確定出場順序，學校制作了10個出場序號簽供大家抽簽，高一（l）班先抽，則他們抽到的出場序號小于4的概率為（）A． B． C． D．8．在平面直角坐標系中，直線與x、y軸分別交于點、，記以點為圓心，半徑為r的圓與三角形的邊的交點個數(shù)為M.對于下列說法：①當時，若，則；②當時，若，則；③當時，M不可能等于3；④M的值可以為0，1，2，3，4，5.其中正確的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．49．若直線上存在點滿足則實數(shù)的最大值為A． B． C． D．10．下列四組中的函數(shù)，表示同一個函數(shù)的是（）A．， B．,C．， D．，二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在平面直角坐標系中，點到直線的距離為______.12．圓上的點到直線的距離的最小值是______.13．已知扇形的半徑為6，圓心角為，則扇形的弧長為______.14．函數(shù)的最小正周期為_______.15．已知角的終邊經(jīng)過點，若，則______.16．在正四面體中，棱與所成角大小為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知圓：和點，，，.(1)若點是圓上任意一點，求；(2)過圓上任意一點與點的直線，交圓于另一點,連接，，求證：.18．（1）證明：；（2）證明：對任何正整數(shù)n，存在多項式函數(shù)，使得對所有實數(shù)x均成立，其中均為整數(shù)，當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，；（3）利用（2）的結(jié)論判斷是否為有理數(shù)？19．已知不等式的解集為或.（1）求實數(shù)a，b的值；（2）解不等式.20．隨著我國經(jīng)濟的發(fā)展，居民的儲蓄存款逐年增長.設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款（年底余額）如下表：年份

2010

2011

2012

2013

2014

時間代號

1

2

3

4

5

儲蓄存款（千億元）

5

6

7

8

10

（Ⅰ）求y關(guān)于t的回歸方程（Ⅱ）用所求回歸方程預測該地區(qū)2015年（）的人民幣儲蓄存款.附：回歸方程中21．已知等差數(shù)列滿足，的前項和為.（1）求及；（2）記，求

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】試題分析：由題圖知，，最小正周期，所以，所以.因為圖象過點，所以，所以，所以，令，得，所以，故選A.【考點】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)【名師點睛】根據(jù)圖像求解析式問題的一般方法是：先根據(jù)函數(shù)圖像的最高點、最低點確定A，h的值，由函數(shù)的周期確定ω的值，再根據(jù)函數(shù)圖像上的一個特殊點確定φ值．2、D【解題分析】

首先根據(jù)得到異面直線與所成的角就是直線與所成角，再根據(jù)即可求出答案.【題目詳解】由圖知：取的中點，連接.因為，所以異面直線與所成的角就是直線與所成角.因為，所以，.因為，所以，.所以異面直線與所成的角為.故選：D【題目點撥】本題主要考查異面直線所成角，平移找角為解題的關(guān)鍵，屬于簡單題.3、A【解題分析】

先求出的坐標，再求出直線所過的定點，則所求距離的最大值就是的長度.【題目詳解】由可以得到，故，直線的方程可整理為：，故直線過定點，因為到直線的距離，當且僅當時等號成立，故，故選A.【題目點撥】一般地，若直線和直線相交，那么動直線（）必過定點（該定點為的交點）.4、C【解題分析】

延長交于點，延長交于點，可推出，，所以有，然后利用平面向量共線的推論即可求出【題目詳解】如圖，延長交于點，延長交于點設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長為則在中有，，所以，所以有，同理可得因為所以因為三點共線，所以有，即故選：C【題目點撥】遇到三點共線時，要聯(lián)想到平面向量共線的推論：三點共線，若，則.5、B【解題分析】

函數(shù)圖象的一條對稱軸是，可得，解得．可得函數(shù)，再利用輔助角公式、倍角公式、三角函數(shù)的有界性即可得出．【題目詳解】函數(shù)圖象的一條對稱軸是，，解得．則函數(shù)當時取等號．函數(shù)的最大值為1．故選．【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)應用以及利用二倍角公式和輔助角公式進行三角恒等變換．6、B【解題分析】

由，可得，化為：，利用“累加求和”方法可得，再利用裂項求和法即可得解．【題目詳解】解：∵，∴，整理得：，∴，又∴，可得：．則數(shù)列前2019項和為：．故選B．【題目點撥】本題主要考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“累加求和”方法、裂項求和，考查了推理能力、轉(zhuǎn)化能力與計算能力，屬于中檔題．7、D【解題分析】

古典概率公式得到答案.【題目詳解】抽到的出場序號小于4的概率：故答案選D【題目點撥】本題考查了概率的計算，屬于簡單題.8、B【解題分析】

作出直線，可得，，，分別考慮圓心和半徑的變化，結(jié)合圖形，即可得到所求結(jié)論．【題目詳解】作出直線，可得，，，①當時，若，當圓與直線相切，可得；當圓經(jīng)過點，即，則或，故①錯誤；②當時，若，圓，當圓經(jīng)過O時，，交點個數(shù)為2，時，交點個數(shù)為1，則，故②正確；③當時，圓，隨著的變化可得交點個數(shù)為1，2，0，不可能等于3，故③正確；④的值可以為0，1，2，3，4，不可以為5，故④錯誤.故選：B.【題目點撥】本題考查命題的真假判斷與應用，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查分析能力和計算能力.9、B【解題分析】

首先畫出可行域，然后結(jié)合交點坐標平移直線即可確定實數(shù)m的最大值.【題目詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示，由，得：，即C點坐標為（－1，－2），平移直線x＝m，移到C點或C點的左邊時，直線上存在點在平面區(qū)域內(nèi)，所以，m≤－1，即實數(shù)的最大值為－1.【題目點撥】本題主要考查線性規(guī)劃及其應用，屬于中等題.10、A【解題分析】

分別判斷兩個函數(shù)的定義域和對應法則是否相同即可．【題目詳解】．的定義域為，，兩個函數(shù)的定義域相同，對應法則相同，所以，表示同一個函數(shù)．．的定義域為，，兩個函數(shù)的定義域相同，對應法則不相同，所以，不能表示同一個函數(shù)．．的定義域為，的定義域為，兩個函數(shù)的定義域不相同，所以，不能表示同一個函數(shù)．．的定義域為，的定義域，兩個函數(shù)的定義域不相同，對應法則相同，所以，不能表示同一個函數(shù)．故選．【題目點撥】本題主要考查判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，判斷的依據(jù)主要是判斷兩個函數(shù)的定義域和對應法則是否相同即可．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解題分析】

利用點到直線的距離公式即可得到答案?！绢}目詳解】由點到直線的距離公式可知點到直線的距離故答案為2【題目點撥】本題主要考查點到直線的距離，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。12、【解題分析】

求圓心到直線的距離，用距離減去半徑即可最小值.【題目詳解】圓C的圓心為，半徑為，圓心C到直線的距離為：，所以最小值為：故答案為：【題目點撥】本題考查圓上的點到直線的距離的最值，若圓心距為d，圓的半徑為r且圓與直線相離，則圓上的點到直線距離的最大值為d+r，最小值為d-r.13、【解題分析】

先將角度化為弧度，再根據(jù)弧長公式求解.【題目詳解】因為圓心角，所以弧長.故答案為：【題目點撥】本題考查了角度和弧度的互化以及弧長公式的應用問題，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

將三角函數(shù)進行降次，然后通過輔助角公式化為一個名稱，最后利用周期公式得到結(jié)果.【題目詳解】，.【題目點撥】本題主要考查二倍角公式，及輔助角公式，周期的運算，難度不大.15、【解題分析】

利用三角函數(shù)的定義可求.【題目詳解】由三角函數(shù)的定義可得，故.故答案為：.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的定義，注意根據(jù)正弦的定義構(gòu)建關(guān)于的方程，本題屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征，取中點，連，，利用線面垂直的判定證得平面，進而得到，即可得到答案.【題目詳解】如圖所示，取中點，連，，正四面體是四個全等正三角形圍成的空間封閉圖形，所有棱長都相等，所以，，且，所以平面，又由平面，所以，所以棱與所成角為.【題目點撥】本題主要考查了異面直線所成角的求解，以及直線與平面垂直的判定及應用，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)2(2)見證明【解題分析】

（1）設(shè)點的坐標為，得出，利用兩點間的距離公式以及將關(guān)系式代入可求出的值；（2）對直線的斜率是否存在分類討論。①直線的斜率不存在時，由點、的對稱性證明結(jié)論；②直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，通過計算直線和的斜率之和為零來證明結(jié)論成立?！绢}目詳解】（1）證明：設(shè)，因為點是圓上任意一點，所以，所以，（2）①當直線的傾斜角為時，因為點、關(guān)于軸對稱，所以.②當直線的傾斜角不等于時，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為.設(shè)、，則，.，，.【題目點撥】本題考查直線與圓的位置關(guān)系問題，考查兩點間的距離公式、韋達定理在直線與圓的綜合問題的處理，本題的關(guān)鍵在于將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為斜率之間的關(guān)系來處理，另外，利用韋達定理求解直線與圓的綜合問題時，其基本步驟如下：（1）設(shè)直線的方程以及直線與圓的兩交點坐標、；（2）將直線方程與圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理；（3）將問題對象利用代數(shù)式或等式表示，并進行化簡；（4）將韋達定理代入（3）中的代數(shù)式或等式進行化簡計算。18、（1）見解析；（2）見解析；（3）不是【解題分析】

（1），利用兩角和的正弦和二倍角公式，進行證明；（2）對分奇偶，即和兩種情況，結(jié)合兩角和的余弦公式，積化和差公式，利用數(shù)學歸納法進行證明；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，將表示出來，然后判斷其每一項都為無理數(shù)，從而得到答案.【題目詳解】（1）所以原式得證.（2）為奇數(shù)時，時，，其中，成立時，，其中，成立時，，其中，成立，則當時，所以得到因為均為整數(shù)，所以也均為整數(shù)，故原式成立；為偶數(shù)時，時，，其中，時，，其中，成立，時，，其中，成立，則當時，所以得到其中，因為均為整數(shù)，所以也均為整數(shù)，故原式成立；綜上可得：對任何正整數(shù)，存在多項式函數(shù)，使得對所有實數(shù)均成立，其中，均為整數(shù)，當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，；（3）由（2）可得其中均為有理數(shù)，因為為無理數(shù)，所以均為無理數(shù)，故為無理數(shù)，所以不是有理數(shù).【題目點撥】本題考查利三角函數(shù)的二倍角的余弦公式，積化和差公式，數(shù)學歸納法證明，屬于難題.19、（1）；（2）答案不唯一，見解析【解題分析】

（1）題意說明是方程的解，代入可得，把代入可求得原不等式的解集，從而得值；（2）因式分解后討論和6的大小可得不等式的解集.【題目詳解】（1）依題意，得：，解得，所以，不等式為，解得，或，所以，所以，；（2）不等式為：，即，當時，解集為當時，解集為當時，解集為【題目點撥】本題考查解一元二次不等式，考查一元二次不等式的解集與一元二次方程根的關(guān)系，在解含參數(shù)的一元二次不等式時要注意分類討論.20、（Ⅰ），（Ⅱ）千億元.【解題分析】試題分析：（Ⅰ）列表分別計算出，的值，然后代入求得，再代入求出值，從而就可得到回歸方程，（Ⅱ）將代入回歸方程可預測該地區(qū)2015年的人民幣儲蓄存款．試題解析：（1）列表計算如下i

1

1

5

1

5

2

2

6

4

12

3

3

7

9

21

4

4

8

16

32

5

5

1