多元函數(shù)微積分課件

第6章多元函數(shù)微積分

第1節(jié)多元函數(shù)的概念

第2節(jié)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分

第3節(jié)多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

第4節(jié)多元函數(shù)微分法的應(yīng)用

第5節(jié)二重積分的概念

第6節(jié)二重積分的計(jì)算

第7節(jié)二重積分的應(yīng)用

1精選ppt課件§6.1多元函數(shù)的概念

二元函數(shù)的定義

二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)的極限

二元函數(shù)的連續(xù)性

小結(jié)

思考與練習(xí)2精選ppt課件

定義1

的函數(shù)值，函數(shù)值的總體稱為函數(shù)的值域。類似地，可定義三元函數(shù)及其他多元函數(shù)。二元函數(shù)的定義3精選ppt課件例１4精選ppt課件例2

一個(gè)有火爐的房間內(nèi),在同一時(shí)刻的溫度分布唯一的溫度類似的例子還可舉出很多,今后我們主要研究二元函數(shù)。5精選ppt課件一般地講，二元函數(shù)的幾何意義表示空間直角坐標(biāo)系中的一個(gè)曲面。二元函數(shù)的幾何意義6精選ppt課件（2）

二元函數(shù)z=f(x,y)的圖形——通常是一張曲面（函數(shù)曲面）.7精選ppt課件二元函數(shù)的極限8精選ppt課件小結(jié)：（１）（２）9精選ppt課件例３

求證證明10精選ppt課件由于平面上由一點(diǎn)到另一點(diǎn)有無數(shù)條路線，因此二元函數(shù)11精選ppt課件性質(zhì)１（最大值和最小值定理）二元函數(shù)的連續(xù)性12精選ppt課件性質(zhì)３（零點(diǎn)定理）性質(zhì)４（有界性定理）性質(zhì)２（介值定理）13精選ppt課件例４設(shè)解因此14精選ppt課件小結(jié)：一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．所謂定義區(qū)域，是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．由多元初等函數(shù)的連續(xù)性，如果要求它在點(diǎn)思考題:一元函數(shù)連續(xù)和二元函數(shù)連續(xù)的區(qū)別與聯(lián)系。15精選ppt課件§6.2多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分

偏導(dǎo)數(shù)的概念

偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系

小結(jié)

思考與練習(xí)

高階偏導(dǎo)數(shù)

全微分的概念和應(yīng)用（未做）16精選ppt課件偏導(dǎo)數(shù)的概念17精選ppt課件同理,如果極限導(dǎo)數(shù),記作18精選ppt課件偏導(dǎo)函數(shù),簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù),記作19精選ppt課件解根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義可知,求多元函數(shù)關(guān)于某個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù),并不需要新的方法,只需將其他自變量看作常數(shù),僅對(duì)一個(gè)自變量求導(dǎo),因此,一元函數(shù)的求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式,對(duì)求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍然適用.例120精選ppt課件例2解所以21精選ppt課件例3解22精選ppt課件意義.偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義23精選ppt課件如下圖所示24精選ppt課件例如偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系25精選ppt課件注:偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的區(qū)別(1)偏導(dǎo)數(shù)存在，不一定連續(xù)；(2)連續(xù)，不一定存在偏導(dǎo)數(shù)；26精選ppt課件高階偏導(dǎo)數(shù)可定義為相應(yīng)低一階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).例如設(shè)一般來說,這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)還是可定義二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)如下高階偏導(dǎo)數(shù)27精選ppt課件28精選ppt課件例4解29精選ppt課件二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)30精選ppt課件例5解31精選ppt課件上述例子中二階混合偏導(dǎo)數(shù)都是相等的,但對(duì)許多二元函數(shù)來說,它們的二階混合偏導(dǎo)數(shù)并不相等,也就是說兩者相等是要有條件的.為此,給出下面的定理:定理6.1相等.例632精選ppt課件解因?yàn)樗孕〗Y(jié)：

在二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的情況下，混合偏導(dǎo)數(shù)的最終值和求導(dǎo)次序無關(guān)。33精選ppt課件§6.3多元函數(shù)復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求法

小結(jié)

思考與練習(xí)34精選ppt課件定理6.5多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則35精選ppt課件證明36精選ppt課件37精選ppt課件所以有完全類似地可以證明第二個(gè)等式。下面再介紹一特殊情形。38精選ppt課件另外，對(duì)于自變量或中間變量多于兩個(gè)的情形，也有類似則39精選ppt課件

（1）搞清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系；（2）對(duì)某個(gè)自變量求偏導(dǎo)數(shù)，應(yīng)注意要經(jīng)過一切有關(guān)的中間變量而歸結(jié)到該自變量。例1解注意：40精選ppt課件例2解41精選ppt課件隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求法42精選ppt課件同理可證定理6.6（隱函數(shù)存在定理）43精選ppt課件并有注意例3解44精選ppt課件例4解45精選ppt課件應(yīng)用上面公式，得46精選ppt課件§6.4多元函數(shù)微分法的應(yīng)用

在幾何上的應(yīng)用

二元函數(shù)極值的求法

小結(jié)

思考與練習(xí)47精選ppt課件

1.空間曲線的切線與法平面在幾何上的應(yīng)用48精選ppt課件即49精選ppt課件例1解50精選ppt課件于是，切線方程為法平面方程為2.曲面的切平面方程與法線方程為51精選ppt課件52精選ppt課件例2解或法線方程為53精選ppt課件1、二元函數(shù)的極值二元函數(shù)的極值問題，一般可以利用偏導(dǎo)數(shù)來解決。定理6.7(極值存在必要條件)使二元函數(shù)極值的求法54精選ppt課件定理6.8（極值存在充分條件）令55精選ppt課件第一步第二步第三步56精選ppt課件

例3解（1）求駐點(diǎn)解方程組（2）判斷駐點(diǎn)是否極值點(diǎn)，若是，說明取得極值情況又由于57精選ppt課件2.條件極值與拉格朗日乘數(shù)法在前面所討論的極值中，除對(duì)自變量給出定義域外，并無其它條件限制，我們把這一類極值稱為無條件極值，而把對(duì)自變量還需附加其他條件的極值問題稱為條件極值。條件條件極值問題有如下兩種解法。方法1例4解58精選ppt課件由一元函數(shù)極值存在的必要條件，得所以方法2（拉格朗日數(shù)乘法）59精選ppt課件這方法還可以推廣到自變量多于兩個(gè)而條件多于一個(gè)的情形。至于如何確定所求得的點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，是極大值點(diǎn)還