模糊集合的基本概念

模糊數(shù)學(xué)主講張開智教授緒論第一章模糊集合的基本概念第二章模糊模式識別第三章確定隸屬函數(shù)方法第四章模糊關(guān)系第五章模糊聚類分析第六章F綜合評判緒論一、什么是Fuzzymathematics？是涉足模糊現(xiàn)象領(lǐng)域的一門數(shù)學(xué)，是運(yùn)用數(shù)學(xué)方法研究和處理帶有模糊現(xiàn)象的一門新興學(xué)科。創(chuàng)始人：美國加利福尼亞大學(xué)，著名控制論專家《Fuzzysets》，informationandcontrol例：①電視機(jī)清晰程度控制、空調(diào)調(diào)節(jié)等②在擁擠的停車場停下一輛車……二、產(chǎn)生背景：①隨著計算機(jī)技術(shù)的開展②抓主要矛盾，精確的成為模糊性；③非精確領(lǐng)域，如人文科學(xué)開展的需要。如：天氣預(yù)報，對人的品行評價；某日上午10點(diǎn)，校門口迎接一位“大胡子、高個子、花頭發(fā)、戴寬邊黑色眼鏡的中年男子〞。三、與概率論的關(guān)系社會科學(xué)中存在兩種量：確定性和不確定性。共同點(diǎn)涉及到國民經(jīng)濟(jì)各領(lǐng)域，農(nóng)業(yè)、林業(yè)、氣象、環(huán)境、地質(zhì)勘探、醫(yī)學(xué)、軍事、經(jīng)濟(jì)管理……特別值得一提：20世紀(jì)90年代末，空調(diào)、冰箱、洗衣機(jī)、洗碗機(jī)等家用電器中廣泛采用糊控制技術(shù)，日本走在了前列。20世紀(jì)90年代初，在杭州產(chǎn)生了第一臺模糊控制洗衣機(jī)。模四、前景參考書模糊數(shù)學(xué)及其應(yīng)用、冶金工業(yè)出版社、北京科技大學(xué)。1993/4模糊數(shù)學(xué)方法及其應(yīng)用、華中科技大學(xué)出版社。2000/5模糊數(shù)學(xué)及其應(yīng)用、武漢大學(xué)出版社。2002/3模糊理論及其應(yīng)用、國防科技大學(xué)出版社。1998/11模糊模式識別及應(yīng)用、西南交大出版社。1999/1模糊數(shù)學(xué)原理與應(yīng)用、華南理工大學(xué)出版社。2003/3模糊數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)分析、山東大學(xué)出版社。1999/9模糊系統(tǒng)、模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及應(yīng)用程序設(shè)計、上?？萍技夹g(shù)文獻(xiàn)出版社。1998/12

第一章模糊集合的根本概念重點(diǎn)：概念具有某種共同特點(diǎn)，彼此又能相互區(qū)別的個體構(gòu)成的整體A，B，C，……；元素a，b，c，……論域：討論問題的范圍，U，V，X，Y，……元素與集合：u

A，uA集合與集合；

，

表示法：列舉法、定義法、特征函數(shù)法。冪集論域中的集合為元素的集合，U的冪集記為P〔U〕1.1普通集合例：U=｛a，b，c｝，那么P〔U〕=｛Φ，｛a｝，｛b｝，｛c｝，｛a，b｝，｛b，c｝，｛a，c｝，｛a，b，c｝｝。A是U的子集AU〔同一層次〕或AP〔U〕〔不同層次〕。二、集合運(yùn)算與性質(zhì)交、并、余、差〔A\B〕：UUUU性質(zhì)：設(shè)A，B，CP〔U〕，那么：冪等律：A∪A=A，A∩A=A交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A結(jié)合律：〔A∪B〕∪C=A∪〔B∪C〕；〔A∩B〕∩C=A∩〔B∩C〕分配律：A∩〔B∪C〕=〔A∩B〕∪〔A∩C〕 A∪〔B∩C〕=〔A∪B〕∩〔A∪C〕吸收律：A∪〔A∩B〕=A，A∩〔A∪B〕=A0-1律：A∪Φ=A，A∩Φ=Φ，A∩U=A，A∪U=U互補(bǔ)律：A∪AC=U，A∩AC=Φ對偶律：〔A∪B〕C=AC∩BC，〔A∩B〕C=AC∪BC復(fù)原律：〔AC〕C=A三、特征函數(shù)設(shè)A

P（U），定義映射：：U→｛0，1｝則：XA稱為A的特征函數(shù)，XA（u）稱為u對A的特征值，記為A（u）。UU特別：例：設(shè)U=N全體自然數(shù)，A=｛1，3，5，7｝，B=｛1，2，3，4，5，6，7｝試畫出特征函數(shù)，求A∩B，A∪B，AC……1.2模糊集合及表示法一、糊集合的概念

模糊集：“亦此亦彼”，

[0，1]，為此，定義：普通集合，“非此即彼”，

A

｛0，1｝可見：集合之間運(yùn)算關(guān)系與特征函數(shù)之間關(guān)系運(yùn)算一一對應(yīng)。由此：對(1)A

B

A（u）B(u),A=B

A(u)=B(u)(2)A∪B（A∪B）(u)=A(u)VB(u)(取大)(3)A∩B（A∩B）（u）=A(u)B(u)（取小）(4)AC

AC（u）=1A（u）<=

在論域U上給定映射：

：U[0，1]，

u|

稱

確定了U上的一個模糊子集，記為

稱為的隸屬函數(shù)，為在

處隸屬度，簡記與普通集合一樣，

與形成一一對應(yīng)關(guān)系。

1U論域上的可表示為：

解：這是一個模糊集，表示“圓塊塊〞模糊概念。例１：U=｛a,b,c,d,e｝,令a|

1,b|

0.9,c|

0.4,d|

0.2,e|

0,這是Ｕ到[0，1]的一個映射，記為，問是否確定一個模糊集？d0.2e0b0.9a1c0.4例２：討論所確定的模糊集？解：當(dāng)X>>1時，。表示“遠(yuǎn)大于１的數(shù)”。例３：年齡論域Ｕ＝［０，200］，于是“老年”與“年輕”是兩個模糊集，zadeh給出它的隸屬函數(shù)分別為：

問：年齡分別為55，20,40歲的人是年輕或是年老？解：(55)=0.5,(20)=0,(40)=0，(55)=0.027,(20)=1,

(40)=0.1.

故：55歲為年老，20歲為年輕。二、模糊集合表示方法１、當(dāng)Ｕ為有限集時，U=｛u1,u2,……,un｝(1)zadeh法：=(u1)/u1+(u2)/u2+……+(un)/un(0這項(xiàng)可省略)

(2)序偶表示法：=｛((u1),u1),((u2),u2),……((un),un)｝（0可省略）(3)向量法：=((u1),

(u2),……，(un))(0不能省略)(4)綜合法：=((u1)/u1,

(u2)/u2,……,

(un)/un)(0可省略)例4：設(shè)U=｛1，2，3，4，5，6，7｝，

F(u)，

且有：(1)=0，(2)=0.3,

(3)=0.8,

(4)=1,

(5)=0.8,

(6)=0.7,

(7)=0,

試寫出各種表示法，

的意義？解：zadeh法：=++++++

……的意義：“接近4的數(shù)”

2、當(dāng)U為無限集時：無限可列時：按規(guī)律一一列出：如zadeh式=(u1)/u1+(u2)/u2+……(un)/un+……(2)當(dāng)U為無限不可列時：=它表示既不是積分，又不是求和，只是一種記法。如年輕人：=+1.3模糊集合運(yùn)算及性質(zhì)、運(yùn)算規(guī)律

(u)，故運(yùn)算

(u)的運(yùn)算。1、

，=運(yùn)算規(guī)律：2、交、并、余運(yùn)算：設(shè)，，

F(U),對

u

U,有：

對

u

U,若有(u)=(u),則=F（U），對

u

U,若有

設(shè)，(u)(u),則

(u)=(u)(u),稱=∪(u)=(u)(u),稱=∩(u)=1-(u)，稱=AC用圖表示為：

1U1U1U，

F(U).

例1：設(shè)U=｛u1,u2,u3,u4,u5｝,

=+++=+++求∪，∩，AC解：.∪=++++，

∩=++,AC=+++二、運(yùn)算性質(zhì)與普通集合運(yùn)算性質(zhì)對照，除“互補(bǔ)律〞不成立外，其余均成立。1.4模糊集合的截集一、

-截集模糊集可以描述模糊現(xiàn)象，但在實(shí)際問題中又需將模糊變?yōu)榍逦?，以便決策。用圖表示：U即：∪cU,

cΦ..

證明：（第一式）（∪c）(u)=

(u)∨c(u)=(u)∨(1-

(u))

1

(除非(u)=0,1)說明與c有一定交迭，界限不分明。有例：選某門課程研究生8名，U=｛u1，u2，u3，……，u8｝，考試成績依次為95，96，80，91，81，71，89，87。假設(shè)規(guī)定90分以上為優(yōu)秀，那么｛u1，u2，u4｝為優(yōu)等生集合。而“優(yōu)等生〞是一模糊概念，用隸屬度表示為：優(yōu)等生=+++++++。則“優(yōu)等生”人數(shù)=(u)0.9的人數(shù)；0.9=｛u1，u2，u4｝

普通集合則：A

稱為

的

截集，

-閾值或置信水平。說明：〔1〕A是一普通集合；〔2〕將上述實(shí)際問題抽象為一般數(shù)學(xué)公式：

設(shè)

F(U)，對于

[0，1]記：()A

｛u|(u)

｝

A={u|(u)

｝，

A稱為的

強(qiáng)截集

（3）隸屬函數(shù)與A

特征函數(shù)轉(zhuǎn)換關(guān)系

如圖所示：U1二、

截集性質(zhì)1、(∪)

=

A

∪B

；

(∩)

=

A

∩

B

；

2、設(shè)

，

[0，1]，

且

，則A

A

,A0=U；:3、一般來講，(c)

(A

)c,

但(c)

=

(A1-

)c,

三、核及支集1、核ker設(shè)

F(U)，

A1稱為的核。

記為：ker即：

2、支集supp

supp=｛u|(u)>0｝

=A0—

suppA1稱為的邊界，

若A1非空，稱為正規(guī)模糊集。

當(dāng)

=1

0時，A

從kerA1

suppU邊界(灰色地帶)1.5分解定理與表現(xiàn)定理

一、分解定理數(shù)與截集之積若

F(U)，

則給定

i，便可得到A

i（有無窮多個）反之，若

0

[0，1]，則

0A

0，同樣有無窮多個。

3、數(shù)與的乘積數(shù)與普通集之積：由此，得到分解定理：設(shè)

F(U)，

則有：=A

或(u)=(A

)(u)=證明：

(A

)(u)=A

(u))=max[(

A

(u)),(

A

(u))

=max[(

1),(

0)]

=

=(u)用圖形表示：U1用無限多個梯形來精確描述(u)曲線。2、推論：

(2)設(shè)

F(U)，

[0，1]，則

u

U,

(u)=sup｛

|u

A

｝例1：設(shè)U=｛u1，u2，u3，u4，u5｝=0.5/u1+0.6/u2+1/u3+0.7/u4+0.3/u5

試驗(yàn)證分解定理1解：驗(yàn)證分解定理1：

F(U)，

(1)設(shè)則有

=A（分解定理Ⅱ）

｛

|u

A

｝

即：已知A

，

則(u)=sup

=sup｛

|u

A｝

1=1/u3，

0.7=1/u3+1/u4，

0.6=1/u2+1/u3+1/u4

0.5=1/u1+1/u2+1/u3+1/u4，

0.3=1/u1+1/u2+1/u3+1/u4+1/u511=1/u3，0.7=0.7/u3+0.7/u40.30.3=0.3/u1+0.3/u2+0.3/u3+0.3/u4+0.3/u5

0.7……故：(A

)=0.30.30.50.50.60.60.70.711=……=例2：設(shè)U=｛a，b，c，d，e｝求。解：由推論2知：(a)=sup

｛0

0.2,0.2

0.5,0.5

0.6,0.6

0.7｝=0.7類似有：(b)=0.5，

(c)=1,

(d)=0.2,

(e)=