多自由度系統(tǒng)振動(dòng)(a)

多自由度系統(tǒng)振動(dòng)第四章12024/1/171kcm建模方法1：將車、人等全部作為一個(gè)質(zhì)量考慮，并考慮彈性和阻尼。要求：對(duì)轎車的上下振動(dòng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模。例子：轎車行駛在路面上會(huì)產(chǎn)生上下振動(dòng)。缺點(diǎn)：模型粗糙，沒(méi)有考慮人與車、車與車輪之間的相互影響。優(yōu)點(diǎn)：模型簡(jiǎn)單；分析：人與車、車與車輪、車輪與地面之間的運(yùn)動(dòng)存在耦合。多自由度系統(tǒng)振動(dòng)k2c2m車m人k1c1建模方法2：車、人的質(zhì)量分別考慮，并考慮各自的彈性和阻尼。優(yōu)點(diǎn)：模型較為精確，考慮了人與車之間的耦合；缺點(diǎn)：沒(méi)有考慮車與車輪之間的相互影響。多自由度系統(tǒng)振動(dòng)m人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m車m輪m輪建模方法3：車、人、車輪的質(zhì)量分別考慮，并考慮各自的彈性和阻尼。優(yōu)點(diǎn)：分別考慮了人與車、車與車輪之間的相互耦合，模型較為精確.問(wèn)題：如何描述各個(gè)質(zhì)量之間的相互耦合效應(yīng)？多自由度系統(tǒng)振動(dòng)教學(xué)內(nèi)容多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)頻率方程的零根和重根情形多自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)有阻尼的多自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)作用力方程剛度矩陣和質(zhì)量矩陣位移方程和柔度矩陣質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正定性質(zhì)耦合與坐標(biāo)變換多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程作用力方程幾個(gè)例子例1：雙質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，兩質(zhì)量分別受到激振力。不計(jì)摩擦和其他形式的阻尼。試建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程解：的原點(diǎn)分別取在的靜平衡位置。

建立坐標(biāo)：設(shè)某一瞬時(shí)：上分別有位移加速度受力分析：P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x2m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程建立方程：矩陣形式：坐標(biāo)間的耦合項(xiàng)P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程例2：轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)兩圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的三個(gè)段的扭轉(zhuǎn)剛度試建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。外力矩多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程解：建立坐標(biāo)：角位移設(shè)某一瞬時(shí)：角加速度受力分析：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程建立方程：矩陣形式：坐標(biāo)間的耦合項(xiàng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的角振動(dòng)與直線振動(dòng)在數(shù)學(xué)描述上相同。如同在單自由度系統(tǒng)中所定義的，在多自由度系統(tǒng)中也將質(zhì)量、剛度、位移、加速度及力都理解為廣義的。m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程小結(jié)：可統(tǒng)一表示為：例1：例2：作用力方程位移向量加速度向量質(zhì)量矩陣剛度矩陣鼓勵(lì)力向量多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程/作用力方程假設(shè)系統(tǒng)有n個(gè)自由度，那么各項(xiàng)皆為n維矩陣或列向量n個(gè)自由度系統(tǒng):多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程質(zhì)量矩陣第

j

列剛度矩陣第j

列n維廣義坐標(biāo)列向量剛度矩陣和質(zhì)量矩陣回憶：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程等效剛度：使系統(tǒng)只在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效剛度。等效質(zhì)量：使系統(tǒng)只在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效質(zhì)量。剛度矩陣和質(zhì)量矩陣當(dāng)M、K

確定后，系統(tǒng)動(dòng)力方程可完全確定M、K

該如何確定？作用力方程：先討論K加速度為零假設(shè)外力是以準(zhǔn)靜態(tài)方式施加于系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程準(zhǔn)靜態(tài)外力列向量靜力平衡作用力方程：假設(shè)作用于系統(tǒng)的是這樣一組外力：它們使系統(tǒng)只在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移，而在其他各個(gè)坐標(biāo)上不產(chǎn)生位移.

即：代入：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程所施加的這組外力數(shù)值上正是剛度矩陣K

的第j列.（i=1~n）：在第i

個(gè)坐標(biāo)上施加的力.結(jié)論：剛度矩陣

K

中的元素kij

是使系統(tǒng)僅在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而相應(yīng)于第

i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力.多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程結(jié)論：剛度矩陣

K

中的元素kij

是使系統(tǒng)僅在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而相應(yīng)于第

i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力.多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程第j個(gè)坐標(biāo)產(chǎn)生單位位移剛度矩陣第j列系統(tǒng)剛度矩陣j=1~n確定作用力方程：討論M√假設(shè)系統(tǒng)受到外力作用的瞬時(shí)，只產(chǎn)生加速度而不產(chǎn)生任何位移.多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程假設(shè)作用于系統(tǒng)的是這樣一組外力：它們使系統(tǒng)只在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度，而在其他各個(gè)坐標(biāo)上不產(chǎn)生加速度.

這組外力正是質(zhì)量矩陣M

的第j列結(jié)論：質(zhì)量矩陣

M中的元素是使系統(tǒng)僅在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第i

個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程第j個(gè)坐標(biāo)單位加速度質(zhì)量矩陣第j列系統(tǒng)質(zhì)量矩陣j=1~n確定質(zhì)量矩陣

M

中的元素mij

是使系統(tǒng)僅在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第i

個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力.mij、kij又分別稱為質(zhì)量影響系數(shù)和剛度影響系數(shù)。根據(jù)它們的物理意義可以直接寫出系統(tǒng)質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K，從而建立作用力方程，這種方法稱為影響系數(shù)方法.多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程剛度矩陣

K

中的元素kij

是使系統(tǒng)僅在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而相應(yīng)于第

i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力.例：寫出M

、

K

及運(yùn)動(dòng)微分方程m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：先只考慮靜態(tài)令多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程使m1產(chǎn)生單位位移所需施加的力：

保持m2不動(dòng)所需施加的力：保持m3不動(dòng)所需施加的力：只使m1產(chǎn)生單位位移，m2和m3不動(dòng).在三個(gè)質(zhì)量上施加力能夠使得系統(tǒng)剛度矩陣的第一列例：寫出M

、

K

及運(yùn)動(dòng)微分方程m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：先只考慮靜態(tài)令多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程剛度矩陣：使m1產(chǎn)生單位位移所需施加的力：

保持m2不動(dòng)所需施加的力：保持m3不動(dòng)所需施加的力：只使m1產(chǎn)生單位位移，m2和m3不動(dòng).例：寫出M

、

K

及運(yùn)動(dòng)微分方程m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：先只考慮靜態(tài)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程使m2產(chǎn)生單位位移所需施加的力：

保持m1不動(dòng)所需施加的力：保持m3不動(dòng)所需施加的力：只使m2產(chǎn)生單位位移，m1和m3不動(dòng).在三個(gè)質(zhì)量上施加力能夠使得系統(tǒng)剛度矩陣的第二列令例：寫出M

、

K

及運(yùn)動(dòng)微分方程m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：先只考慮靜態(tài)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程使m2產(chǎn)生單位位移所需施加的力：

保持m1不動(dòng)所需施加的力：保持m3不動(dòng)所需施加的力：只使m2產(chǎn)生單位位移，m1和m3不動(dòng).令剛度矩陣：例：寫出M

、

K

及運(yùn)動(dòng)微分方程m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：先只考慮靜態(tài)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程使m3產(chǎn)生單位位移所需施加的力：

保持m2不動(dòng)所需施加的力：保持m1不動(dòng)所需施加的力：只使m3產(chǎn)生單位位移，m1和m2不動(dòng).在三個(gè)質(zhì)量上施加力能夠使得系統(tǒng)剛度矩陣的第三列令例：寫出M

、

K

及運(yùn)動(dòng)微分方程m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：先只考慮靜態(tài)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程使m3產(chǎn)生單位位移所需施加的力：

保持m2不動(dòng)所需施加的力：保持m1不動(dòng)所需施加的力：只使m3產(chǎn)生單位位移，m1和m2不動(dòng)令剛度矩陣：例：寫出M

、

K

及運(yùn)動(dòng)微分方程m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：先只考慮靜態(tài)

令

令令剛度矩陣：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程只考慮動(dòng)態(tài)令m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程只使m1產(chǎn)生單位加速度，m2和m3加速度為零所需施加的力：所需施加的力：在三個(gè)質(zhì)量上施加力能夠使得系統(tǒng)質(zhì)量矩陣的第一列m1產(chǎn)生單位加速度的瞬時(shí)，m2和m3尚沒(méi)有反響只考慮動(dòng)態(tài)令m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程只使m1產(chǎn)生單位加速度，m2和m3加速度為零.所需施加的力：所需施加的力：m1產(chǎn)生單位加速度的瞬時(shí)，m2和m3尚沒(méi)有反響.質(zhì)量矩陣：同理m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程令同理m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程令令令有：令有：令有：m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)質(zhì)量矩陣：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程運(yùn)動(dòng)微分方程：m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程外力列陣矩陣形式：例：求：以微小轉(zhuǎn)角為坐標(biāo)，寫出微擺動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程.每桿質(zhì)量m桿長(zhǎng)度l水平彈簧剛度k彈簧距離固定端akaO1O2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程雙剛體桿解：令：那么需要在兩桿上施加力矩分別對(duì)兩桿O1、O2

求矩：令：那么需要在兩桿上施加力矩分別對(duì)兩桿O1、O2

求矩：aO1O2aO1O2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程剛度矩陣：aO1O2aO1O2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程令：那么需要在兩桿上施加力矩令：那么需要在兩桿上施加力矩質(zhì)量矩陣：aO1O2kaO1O2k多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：kaO1O2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程小結(jié)：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程剛度矩陣

K

中的元素kij

是使系統(tǒng)僅在第j