圓錐曲線的定點(diǎn)、定值和最值問題

圓錐曲線的定點(diǎn)、定值、范圍和最值問題本節(jié)目標(biāo)：會(huì)處理動(dòng)曲線（含直線）過(guò)定點(diǎn)的問題；會(huì)證明與曲線上動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的定值問題；會(huì)按條件建立目標(biāo)函數(shù)，研究變量的最值問題及變量的取值范圍問題，注意運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”“幾何法”求某些量的最值.一、主要知識(shí)及主要方法：在幾何問題中，有些幾何量與參數(shù)無(wú)關(guān)，這就構(gòu)成了定值問題，解決這類問題一種思路是進(jìn)行一般計(jì)算推理求出其結(jié)果；另一種是通過(guò)考查極端位置，探索出“定值”是多少，然后再進(jìn)行一般性證明或計(jì)算，即將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角形式，證明該式是恒定的。如果試題以客觀題形式出現(xiàn)，特殊方法往往比較奏效。對(duì)滿足一定條件曲線上兩點(diǎn)連結(jié)所得直線過(guò)定點(diǎn)或滿足一定條件的曲線過(guò)定點(diǎn)問題，設(shè)該直線（曲線）上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)在直線（或曲線）上，建立點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程（組），求出相應(yīng)的直線（或曲線），然后再利用直線（或曲線）過(guò)定點(diǎn)的知識(shí)加以解決。解析幾何的最值和范圍問題，一般先根據(jù)條件列出所求目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、不等式法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法以及三角函數(shù)最值法等求出它的最大值和最小值.二、精選例題分析SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【舉例1】（廣東改編）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩不同動(dòng)點(diǎn)、滿足．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（Ⅰ）求得重心的軌跡方程；（Ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【舉例2】已知橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)及定點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，且，，成等差數(shù)列.求證：線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是，求的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo).【舉例3】（全國(guó)Ⅱ改編）已知拋物線的焦點(diǎn)為，、是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且（）．過(guò)、兩點(diǎn)分別作拋物線的切線（切線斜率分別為0.5xA，0.5xB），設(shè)其交點(diǎn)為。（Ⅰ）證明為定值；（Ⅱ）設(shè)的面積為，寫出的表達(dá)式，并求的最小值．問題4．直線：和雙曲線的左支交于、兩點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)和線段的中點(diǎn)，求在軸上的截距的取值范圍.（四）課后作業(yè)：已知橢圓（）的右焦點(diǎn)為，過(guò)作直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若有，求橢圓離心率的取值范圍.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0過(guò)拋物線的頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的弦、，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0求證：交拋物線的對(duì)稱軸上一定點(diǎn).SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0它們與點(diǎn)的距離成等差數(shù)列.求的值；證明：線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)，并求此點(diǎn)坐標(biāo).（六）走向高考：（重慶）已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為的左、右頂點(diǎn)，而的左、右頂點(diǎn)分別是的左、右焦點(diǎn).（Ⅰ）求雙曲線的方程；（Ⅱ）若直線：與橢圓及雙曲線都恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且與的兩個(gè)交點(diǎn)和滿足（其中為原點(diǎn)），求的取值范圍.（江西）是雙曲線的右支上一點(diǎn)，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為（重慶）如圖，中心在原點(diǎn)的橢圓的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線的方程為：.求橢圓的方程；在橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn)，使證明：為定值，并求此定值.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(全國(guó)Ⅰ）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，斜率為且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，與共線。（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值.(全國(guó)Ⅱ)、、、四點(diǎn)都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點(diǎn)．已知與共線，與共線，且．求四邊形的面積的最小值和最大值．(浙江)已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)、在雙曲線的右支上，點(diǎn)到直線的距離為，

若直線的斜率為，且,求實(shí)數(shù)的取值范圍；

當(dāng)時(shí)，的內(nèi)心恰好是點(diǎn)，求此雙曲線的方程.（重慶文）如圖，傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于、兩點(diǎn).求拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)及準(zhǔn)線的方程；若為銳角，作線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明:為定值，并求此定值.（山東）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線：與橢圓相交于，兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)