江蘇省蘇州市2021-2022學(xué)年中考數(shù)學(xué)測(cè)試模擬試題（一模）含答案

江蘇省蘇州市2021-2022學(xué)年中考數(shù)學(xué)測(cè)試模擬試題（一模）

一、選一選（每小題3分，共30分）

1.-5的倒數(shù)是

11

A.-B.5C.--D.-5

55

【答案】C

【解析】

【分析】若兩個(gè)數(shù)的乘積是1,我們就稱這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù).

【詳解】解：-5的倒數(shù)是一；.

故選C.

2.數(shù)據(jù)99500用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.995x105B.9.95x105C.9.95x104D.9.5X104

【答案】C

【解析】

【詳解】分析:

按照科學(xué)記數(shù)法的定義：“把一個(gè)數(shù)表示為ax10"的形式，其中1封司<10,n為整數(shù)的記數(shù)

方法叫做科學(xué)記數(shù)法”進(jìn)行解答即可.

詳解：

99500=9.55x10，

故選C.

點(diǎn)睛：本題考查的是用科學(xué)記數(shù)法表示值大于1的數(shù)的方法，解題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：①。必須滿

足：1引4<10；②〃比原來的數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1（也可以通過小數(shù)點(diǎn)移位來確定〃）.

3.下列運(yùn)算正確的是（)

12

A.-a*a3=a3B.-(a2)2=a4C.x----x=-D.(-73~2)

33"

（6+2）=-1

【答案】D

【解析】

【詳解】分析：

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分別根據(jù)“同底數(shù)幕的乘法法則”、“幕的乘方的運(yùn)算法則”、“合并同類項(xiàng)的法則”及“二

次根式的乘法法則”進(jìn)行判斷即可.

詳解：

A選項(xiàng)中，因?yàn)開如/=—所以人中運(yùn)算錯(cuò)誤：

B選項(xiàng)中，因?yàn)橐唬?>=—/,所以B中運(yùn)算錯(cuò)誤；

12

C選項(xiàng)中，因?yàn)閄——x=—x,所以C中運(yùn)算錯(cuò)誤；

33

D選項(xiàng)中，因?yàn)椋↗J-2）（百+2）=（0）2-2?=-1,所以D中運(yùn)算正確.

故選D.

點(diǎn)睛：本題考查的是“同底數(shù)幕的乘法”、“幕的乘方”、“合并同類項(xiàng)”和“二次根式的乘

法”及“平方差公式的應(yīng)用”，解題的關(guān)鍵是熟記相關(guān)的運(yùn)算法則并能正確用于計(jì)算.

4.數(shù)學(xué)測(cè)試后，某班50名學(xué)生的成績(jī)被分為5組，第1?4組的頻數(shù)分別為12、10、15、8,

則第5組的頻率是（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

【答案】A

【解析】

【詳解】解：???總?cè)藬?shù)為50,第1?4組的頻數(shù)分別為12、10、15、8,

.?.第5組的頻數(shù)為：50-12-10-15-8=5,

.,.第5組的頻率=5+50=0.1.

故選A.

5.如圖，現(xiàn)將一塊含有30°角的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若N1=2N2,那

么N1的度數(shù)為（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】D

【解析】

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【分析】先根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”的性質(zhì)得到N3=N2,再根據(jù)平角的定義列方程即

可得解.

【詳解】解：

AZ3=Z2,

VZ1=2Z2,

.'.Z1=2Z3,

/.3Z3+60o=180o,

AZ3=40°,

=2x400=80。，

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.點(diǎn)A(-2,y/B(-3,y2)都在反比例函數(shù)產(chǎn)乙(k>0)的圖象上，則yi、y2的大小關(guān)

x

系為()

A.yi>y2B.yi<y2C.y\=yiD.無法確定

【答案】B

【解析】

【詳解】分析：

由反比例函數(shù)歹=A中，k>0可知，該函數(shù)的圖象分布在、三象限，且在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x

x

的增大而減小，點(diǎn)A(-2,9)、B(-3,y2)的橫坐標(biāo)分別為-2、-3即可判斷出y1、y2的大

小關(guān)系.

詳解：

k

,在反比例函數(shù)>?=—中，k>0,

x

.?.該函數(shù)的圖象分布在、三象限，且在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，

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?在點(diǎn)A(-2,y)B(-3,y2)中，0>-2>-3,

.*.yi<y2.

點(diǎn)睛：本題是一道考查反比例函數(shù)的性質(zhì)的題目，熟記反比例函數(shù)圖象所分布的象限和在每個(gè)

象限內(nèi)的增減性與k的取值的正、負(fù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

7.上體育課時(shí)，小明5次投擲實(shí)心球的成績(jī)?nèi)缦卤硭荆瑒t這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別，是

()

12345

成績(jī)(m)8.28.08.27.57.8

A.8.2,8.2B.8.0,8.2C.8.2,7.8D.8.2,8.0

【答案】D

【解析】

【詳解】解：按從小到大的順序排列小明5次投球的成績(jī)：7.5,7.8,8.0,8.2,8.2.

其中8.2出現(xiàn)2次，出現(xiàn)次數(shù)至多，8.0排在第三，

,這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別是：8.2,8.0.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查眾數(shù)；中位數(shù).

8.如圖，為了測(cè)量某建筑物MN的高度，在平地上A處測(cè)得建筑物頂端M的仰角為30。，向N

點(diǎn)方向前進(jìn)16m到達(dá)B處，在B處測(cè)得建筑物頂端M的仰角為45。，則建筑物MN的高度等

B.8(百-l)m

C.16(G+1)mD.16(V3-l)m

【答案】A

【解析】

【詳解】設(shè)MN=xm,

在RtABMN中,：NMBN=45。,

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；.BN=MN=x,

_MN

在RtZXAMN中,tanNMAN=----

AN

.*.tan30°=-----=3?3,

16+x

解得：X=8(y/3+1))

則建筑物MN的高度等于8(百+l)m；

故選A.

點(diǎn)睛：本題是解直角三角形的應(yīng)用，考查了仰角和俯角的問題，要明確哪個(gè)角是仰角，哪個(gè)角

是俯角，知道仰角是向上看的視線與水平線的夾角，俯角是向下看的視線與水平線的夾角，并

與三角函數(shù)相求邊的長(zhǎng).

9.如圖，9ABe中,ZABC=90°,AB=BC,三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線h,L,b上,

且h，12之間的距離為2,12,b之間的距離為3,則AC的長(zhǎng)是()

【答案】B

【解析】

【詳解】分析：

如下圖，過點(diǎn)A作AD_L/3于點(diǎn)D,過點(diǎn)C作CE_L/3于點(diǎn)E,則由題意可得AD=3,CE=5,再

證AABD且ZXBCE即可得至BD=CE=5,從而在RtZ\ADB中由勾股定理可得AB=,這樣

△ABC中，ZABC=90°,AB=BC即可得至UAC=2VI7.

詳解：

如下圖，過點(diǎn)A作AD_L&于點(diǎn)D,過點(diǎn)C作CE_L/3于點(diǎn)E,

ZADB=ZABC=ZCEB=90°,

/.ZBAD+ZABD=90°,ZABD+ZCBE=90°,

/.ZBAD=ZCBE,

又：AB=BC,

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.,.△ABD^ABCE,

BD=CE,

:由題意可得：CE=5,AD=2,

；.BD=5,

...在RtAABD中由勾股定理可得AB=A，

「△ABC中，ZABC=90°,AB=BC,

AC=^(V34)2+(^)2=2V17.

故選B.

點(diǎn)睛：本題是一道綜合考查三角形全等和勾股定理的應(yīng)用的題目，作出如圖所示的輔助線，構(gòu)

造出一對(duì)全等三角形4ABD和4BCE是正確解答本題的關(guān)鍵.

2

10.如圖5,在反比例函數(shù)y二一一的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)A,連接/。并延長(zhǎng)交圖象的另一支于點(diǎn)

x

B,在象限內(nèi)有一點(diǎn)C,滿足/C=8C,當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C始終在函數(shù)y=&的圖象上運(yùn)

x

動(dòng)，若tan/C/5=2,則左的值為()

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【解析】

【分析】連接。C,過點(diǎn)Z作軸與點(diǎn)E,過點(diǎn)8作8尸軸與點(diǎn)凡通過角的計(jì)算找出

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NAOE=/COF,ZAEO=90Q,NCR9=90。，可得出△ZOESZ\COF,再根據(jù)相似三角形的

3H/口“，力EEOAOh_x_,/c/c4°c

性質(zhì)得出—=—=—,再由tanZ.CAB=----=2可得出C/?。尸=8,由此即可得出結(jié)論.

CFFOCOCO

【詳解】連接OC,過點(diǎn)/作力E_Ly軸與點(diǎn)E,過點(diǎn)4作8尸_Lx軸與點(diǎn)E如下圖所示:

由直線AB與反比例函數(shù)歹=--的對(duì)稱性可知點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱,

x

:.AO=BO

又???4C=4C

:.COLAB

?/ZAOE+ZEOC=90°,Z.EOC+NCOF=90°

NAOE=NCOF

又,「ZAEO=90°,ZCFO=90°

.,.AAOE~&COF

.AE_EOAO

''~CF~~FO~~CO

OC

???tan/.CAB=2

AO

CF=2AE,OF=2OE

又一.?/E.OE=|-2|=2,CFOF=\k\

A=±8

;點(diǎn)C在象限，

.,.k—S,

故答案為D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)和相似三角形的性質(zhì)，利用數(shù)形的思想將函數(shù)圖像與幾何圖形

相是求解本題的關(guān)鍵.

二、填空題（每小題3分，共24分）

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11.分解因式：a2-4a+4=

【答案】(a-2)2.

【解析】

【分析】根據(jù)完全平方公式的特點(diǎn)：兩項(xiàng)平方項(xiàng)的符號(hào)相同，另一項(xiàng)是兩底數(shù)積的2倍，本題

可用完全平方公式分解因式.

【詳解】解：a2-4a+4=(a-2)2.

故答案為:(a-2)2.

12.一組數(shù)據(jù)1,2,a，4,5的平均數(shù)是3,則這組數(shù)據(jù)的方差為.

【答案】2

【解析】

【詳解】由平均數(shù)的公式得：(51+2+X+4+5)+5=3,

解得x=3；

工方差=[(1-3)2+(2-3)2+(4-3)2+(3-3)2+(5-3)2]-5=2；

故答案是:2.

13.若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比外角和大360°,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為.

【答案】6

【解析】

【詳解】設(shè)多邊形的邊數(shù)是〃，

根據(jù)題意得，(〃—2)480°—360°=360°,

解得n=6.

故答案為：6.

14.有一個(gè)正六面體，六個(gè)面上分別寫有1?6這6個(gè)整數(shù)，投擲這個(gè)正六面體，向上一面的數(shù)

字是2的倍數(shù)或3的倍數(shù)的概率是—.

【答案】j

【解析】

【詳解】：投擲這個(gè)正六面體，向上的一面有6種情況，向上一面的數(shù)字是2的倍數(shù)或3的倍

數(shù)的有2、3、4、6共4種情況，

???其概率是告咯.

63

【點(diǎn)睛】此題考查概率的求法：如果一個(gè)有n種可能，而且這些的可能性相同，其中A出現(xiàn)m

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種結(jié)果，那么A的概率P(A)=餐

15.如圖，Z\ABC中，DE〃FG〃BC,AD：DF：FB=2：3：4,若EG=4,則AC=,

【解析】

【詳解】設(shè)2MA>0),

根據(jù)平行線分線段成比例定理可得：

DFEG_DF_3k_]_

AB一AC~AD+DF+FB_2k+3k+4k-3，

￡G=4,

AC=12.

故答案為：12.

16.如果關(guān)于X的一元二次方程公X2—(2%+i)x+i=o有兩個(gè)沒有相等的實(shí)數(shù)根，那么上的取

值范圍是.

【答案】k>一」且"0

4

【解析】

【詳解】由題意知，"0,方程有兩個(gè)沒有相等的實(shí)數(shù)根，

所以△>€),A=b2-4ac=(2k+l)2-4k2=4k+l>0.

又：方程是一元二次方程，

.,.k>-l/4且kxO.

17.如圖，圓柱形容器高為18cm,底面周長(zhǎng)為24cm,在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)B處有乙滴蜂

蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外幣A處到

達(dá)內(nèi)壁B處的最短距離為.

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【答案】20cm.

【解析】

【分析】將杯子側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A，，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知AfB的長(zhǎng)

度即為所求.

【詳解】解:如答圖，將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A，，連接A，B,則A，B即為最短

距離.

根據(jù)勾股定理，得A，B=JAR?+BD?=4122+16?=20(cm).

故答案為：20cm.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開…最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)

行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力.

18.如圖，已知正方形/3C。的邊長(zhǎng)為3,E、尸分別是8c邊上的點(diǎn)，且NEDF=45°,

得到AZ)CN.若AE=1,則E尸的長(zhǎng)為

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【解析】

【分析】由旋轉(zhuǎn)可得。ENEDM為直角，可得出NEZ才'+=90。，由

NEDF=45。,得到為45°,可得出NEDF=NMDF，再由。尸=。/，利用S4S可

得出三角形DE尸與三角形MDb全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出所="/；則可得

到NE=CN=1,正方形的邊長(zhǎng)為3,用力8-/E求出E8的長(zhǎng)，再由3C+CN求出8M的

長(zhǎng)，設(shè)EF=MF=x,可得出^尸二氏獷-尸初二夕河-后廣=**-*,在直角三角形5ER中，利

用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為EE的長(zhǎng).

【詳解】解：；MJAE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到A。。/,

ZFCM=Z.FCD+NDCM=18(F,

;.F、C、M三點(diǎn)共線，

DE=DM，NEDM=90°,

:.NEDF+NFDM=9G,

???NEDF=45°,

Z.FDM=AEDF=45°,

在kDEF和AOM「中，

DE=DM

"NEDF=NFDM,

DF=DF

\DEF=KDMF{SAS),

:.EF=MF,

設(shè)EF=MF=x,

■：AE=CM=\,且5C=3,

：.BM=BC+CM=3+\=4,

:.BF=BM—MF=BM—EF=4—x,

?：EB=AB-AE=?>-\=2,

在RtAEBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，

即22+(4-x)2=x2,

解得：x=!，

2

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故答案為：一.

2

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理.此

題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形思想與方程思想的應(yīng)用.

三、解答題：(共76分)

19.計(jì)算:

(1)2-2+Js--sin30°；

2

【答案】(1)272；(2)x+1

【解析】

【詳解】分析：

(1)根據(jù)本題特點(diǎn)，代入30°角的正弦函數(shù)值，再負(fù)指數(shù)幕的意義和二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)

算即可；

(2)這是一道分式的混合計(jì)算題，按照分式的相關(guān)運(yùn)算法則計(jì)算即可.

詳解：

(1)原式=—F2"\/2—x————h2y———2A/2；

42244

(2)原式=——xi——△——-=x+l.

x-1X

點(diǎn)睛：(1)第1小題的解題要點(diǎn)是熟記：Sin3(r=；和理解負(fù)指數(shù)塞的意義：(其中

2ap

x—1

〃工0,P為正整數(shù))；(2)第2小題的解題要點(diǎn)是：把1化為——表達(dá)，這樣分式的加法法則

x-1

和除法法則即可正確解答本題了.

20.(1)解方程：x2-6x+4=0；

3x+1<2(x+2)

(2)解沒有等式組Jx5x、.

I33

【答案】⑴3+75；(2)-l<x<3

【解析】

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【分析】(1)找出a,b,c的值，計(jì)算出根的判別式的值大于0,代入求根公式即可求出解；

(2)分別求出沒有等式組中兩沒有等式的解集，找出解集的公共部分即可確定出沒有等式組的

解集.

【詳解】(1)A=36-16=20

"吟匝3土巡

'3x+l<2(x+2)①

⑵「喏+2②

由①得：x<3

由②得：x>-1

A-lWx<3

【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程和一元沒有等式組，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

21.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)F在邊BC上，且AF=AD,過點(diǎn)D作DE_LAF,垂足為點(diǎn)E.

(1)求證：DE=AB；

(2)以D為圓心，DE為半徑作圓弧交AD于點(diǎn)G,若BF=FC=1,試求晟的長(zhǎng).

【答案】（1）詳見解析；（2）昱兀.

6

【解析】

【詳解】：四邊形ABCD是矩形，

/.ZB=ZC=90°,AB=CD,BC=AD,AD/7BC,

AZEAD=ZAFB,

VDE1AF,

AZAED=90°,

ZAED=ZB=900

在4ADE和AFAB中｛/EAD=Z.AFB

AF=AD

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/.△ADE^AFAB(AAS),

AAE=BF=1

VBF=FC=1

???BOAD=2

故在RtZXADE中，ZADE=30°,DE=G

...￡7的長(zhǎng)二亞正立二叵.

EG1806

22.在一個(gè)沒有透明的布袋中裝有三個(gè)小球，小球上分別標(biāo)有數(shù)字-2、1、2,它們除了數(shù)字沒

有同外，其它都完全相同.

(1)隨機(jī)地從布袋中摸出一個(gè)小球，則摸出的球?yàn)闃?biāo)有數(shù)字1的小球的概率為.

(2)小紅先從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下數(shù)字作為k的值，再把此球放回袋中攪勻，由小

亮從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下數(shù)字作為b的值，請(qǐng)用樹狀圖或表格列出k、b的所有可能

的值，并求出直線y=kx+b沒有第四象限的概率.

14

【答案】(1)(2)直線產(chǎn)kx+b沒有第四象限的概率為

【解析】

【詳解】試題分析：(1)一共有3個(gè)球，摸到每個(gè)球的機(jī)會(huì)都一樣，摸到標(biāo)有數(shù)字1的小球只

有一種可能，因此P(摸出的球?yàn)闃?biāo)有數(shù)字1的小球)=-;

3

(2畫出表格，從表格可知一共有9種可能，其中有.4種滿足條件，從而求得概率.

試題解析：(1)—；

3

(2)列表如下：

-212

-2-2,-2-2,1-2,2

11,-21,11,2

22,-22,12,2

4

P(直線、=履+6沒有第四象限)=-

23.如圖，已知△ABC中，AB=AC,把a(bǔ)ABC繞A點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到AADE,連接BD,CE

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交于點(diǎn)F.

（1）求證：MEC^MDB;

（2）若AB=2,N8ZC=45°,當(dāng)四邊形ADFC是菱形時(shí)，求BF的長(zhǎng).

【答案】（1）證明過程見解析；（2）BF=20-2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)^ABC會(huì)4ADE得出AE=AD,ZBAC=ZDAE,從而得出NCAE=NDAB,

根據(jù)SAS判定定理得出三角形全等；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出NDBA=NBAC=45。，根據(jù)AB=AD得出AABD是直角邊長(zhǎng)為2的等

腰直角三角形，從而得出BD=2j],根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AD=DF=FC=AC=AB=2,根據(jù)

BF=BD-DF求出答案.

【詳解】解析：（1）VAABC^AADES.AB=AC

；.AE=AD,AB=AC

ZBAC+NBAE=ZDAE+ZBAE

ZCAE=ZDAB

.,.△AEC^AADB

（3）：四邊形ADFC是菱形且NBAC=45。

.?.ZDBA=ZBAC=45°

由（1）得AB=AD

AZDBA=ZBDA=45°

...△ABD是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形

.*.BD=2夜

又?.?四邊形ADFC是菱形

AD=DF=FC=AC=AB=2

，BF=BD-DF=28-2

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考點(diǎn)：（1）三角形全等的性質(zhì)與判定；（2）菱形的性質(zhì)

24.某公司組織員工到附近的景點(diǎn)旅游，根據(jù)旅行社提供的收費(fèi)，繪制了如圖所示的圖象，圖

中折線ABCD表示人均收費(fèi)y（元）與參加旅游的人數(shù)x（人）之間的函數(shù)關(guān)系.

（1）當(dāng)參加旅游的人數(shù)沒有超過10人時(shí)，人均收費(fèi)為元；

（2）如果該公司支付給旅行社3600元，那么參加這次旅游的人數(shù)是多少.

【解析】

【分析】（1）觀察圖象即可解決問題；

（2）首先判斷收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)在BC段，求出直線BC的解析式，列出方程即可解決問題.

【詳解】解：（1）觀察圖象可知：當(dāng)參加旅游的人數(shù)沒有超過10人時(shí)，人均收費(fèi)為240元,

故答案為：240.

（2）：3600+240=15,3600-150=24,

收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)在BC段，

。0%+6=240

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,則有，

25%+/?=150

k=-6

解得

6=300

."?y=-6x+300,

由題意（-6x+300）x=3600,

解得x=20或30（舍棄），

答：參加這次旅游的人數(shù)是20人.

25.如圖，某人在山坡坡腳A處測(cè)得電視塔尖點(diǎn)C的仰角為60。，沿山坡向上走到P處再測(cè)得

點(diǎn)C的仰角為45。，已知OA=100米，山坡坡度=1：2,且0、A、B在同一條直線上.求電

視塔OC的高度以及此人所在位置P的鉛直高度PB.（測(cè)傾器高度忽略沒有計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)

形式）

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山坡

【答案】OC=100行米；PB=1°嶼一1°°米.

3

【解析】

【分析】在圖中共有三個(gè)直角三角形，即RtZXAOC、RtAPCF.RtAPAB,利用60°的三角函

數(shù)值以及坡度，求出0C,再分別表示出CF和PF,然后根據(jù)兩者之間的關(guān)系，列方程求解即

可.

【詳解】解：過點(diǎn)P作PFLOC,垂足為F.

在RtAOAC中，由NOAC=60。，OA=100,WOC=0A?tanZ0AC=10073(米)，

由坡度=1：2,設(shè)PB=x,則AB=2x.

.?.PF=OB=100+2x,CF=100V3-x.

在RtAPCF中，NCPF=45°,

；.PF=CF,即100+2x=100百-x,

.?“刈百一叫即PB=10°百一1°0米.

33

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵要求學(xué)生借助仰角關(guān)系構(gòu)造直角三角

形，并圖形利用三角函數(shù)解直角三角形.

26.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有RtZkABC,ZA=90°,AB=AC,A(-2,0),B(0,1).

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)將^ABC沿x軸的正方向平移，在象限內(nèi)B、C兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B\C正好落在某反比例函

數(shù)圖象上.請(qǐng)求出這個(gè)反比例函數(shù)和此時(shí)的直線BC的解析式.

(3)若把上一問中的反比例函數(shù)記為y”點(diǎn)BTC所在的直線記為y2,請(qǐng)直接寫出在象限內(nèi)

當(dāng)yi<y2時(shí)x的取值范圍.

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1

y2=----x+3；(3)3<x<6.

【解析】

【詳解】分析：

(1)過點(diǎn)C作CN±x軸于點(diǎn)N,由已知條件證RtACAN^RtAAOB即可得到AN=BO=1,

CN=A0=2,N0=NA+A0=3點(diǎn)C在第二象限即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)設(shè)4ABC向右平移了c個(gè)單位，則⑴可得點(diǎn)B，的坐標(biāo)分別為(-3+c,2)、(c,1),

再設(shè)反比例函數(shù)的解析式為yi=4，將點(diǎn)C，，B，的坐標(biāo)代入所設(shè)解析式即可求得c的值，由此

X

即可得到點(diǎn)C\B，的坐標(biāo)，這樣用待定系數(shù)法即可求得兩個(gè)函數(shù)的解析式了；

(3)(2)中所得點(diǎn)ClB，的坐標(biāo)和圖象即可得到本題所求答案.

詳解：

(1)作CN_Lx軸于點(diǎn)N,

???ZCAN=ZCAB=ZAOB=90°,

AZCAN+ZCAN=90o,ZCAN+ZOAB=90°,

AZCAN=ZOAB,

VA(-2,0)B(0,1),

AOB=1,AO=2,

在RtACAN和RtAAOB,

ZACN=ZOAB

VJAANC=ZAOB,

AC=AB

/.RtACAN^RtAAOB(AAS),

AAN=BO=1,CN=AO=2,NO=NA+AO=3,

又??,點(diǎn)C在第二象限，

：.C(-3,2)；

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(2)設(shè)AABC沿x軸的正方向平移c個(gè)單位，則C，(-3+c,2),則B(c,1),

設(shè)這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為：=-,

yiX

又點(diǎn)C和B，在該比例函數(shù)圖象上，把點(diǎn)C和B，的坐標(biāo)分別代入yi=A,得-6+2c=c,

X

解得c=6,即反比例函數(shù)解析式為yi=9,

X

此時(shí)C(3,2),Bf(6,1),設(shè)直線BC的解析式y(tǒng)2=mx+n,

3加+〃=2

6m+/?=1

.1

m=——

/.\3,

n=3

直線CB的解析式為y2=-；x+3；

(3)由圖象可知反比例函數(shù)yi和此時(shí)的直線的交點(diǎn)為C(3,2),B'(6,1),

二.若yi〈y2時(shí)，則3Vx<6.

點(diǎn)睛：本題是一道綜合考查“全等三角形”、“函數(shù)”、”反比例函數(shù)”和“平移的性質(zhì)”的

綜合題，解題的關(guān)鍵是：(1)通過作如圖所示的輔助線，構(gòu)造出全等三角形R3CAN和R3A0B；

(2)利用平移的性質(zhì)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)表達(dá)出點(diǎn)C和B，的坐標(biāo)，由點(diǎn)C和B，都在反比例函數(shù)的

圖象上列出方程，解方程可得點(diǎn)C，和的坐標(biāo)，從而使問題得到解決.

27.如圖，已知AB是。0的直徑，且AB=4,點(diǎn)C在半徑0A上(點(diǎn)C與點(diǎn)0、點(diǎn)A沒有重

合)，過點(diǎn)C作AB的垂線交(30于點(diǎn)D.連接OD,過點(diǎn)B作OD的平行線交0()于點(diǎn)E,交

CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(I)若點(diǎn)E是筋的中點(diǎn)，求/F的度數(shù);

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(2)求證：BE=20C；

(3)設(shè)AC=x，則當(dāng)x為何值時(shí)BE?EF的值？值是多少？

3

【答案】(1)ZF=30°；(2)見解析；(3)當(dāng)x=-時(shí)，值=9.

2

【解析】

【詳解】分析：

(1)如圖，連接0E,由OD〃OE可得NDOE=/OEB,由點(diǎn)E是筋的中點(diǎn)可得NDOE=/BOE,

由OB=OE可得NOBE=NOEB,由此可得NOBE=NOEB=/BOE=60。，CFJ_AB即可得到

ZF=30°：

(2)過點(diǎn)0作OM_LBE于點(diǎn)M,由此可得BE=2BM,再證△OBM絲ZXDOC可得BM=OC,

這樣即可得到結(jié)論BE=2OC；

(3)由OD〃BF可得△CODs^CBF,由此可得生=竺，由AB=4,AC=x(2)中結(jié)論可

BCBF

8—2x

得OD=OB=BE=2,BC=4-x,OC=2-x,BE=2OC=4-2x,由此即可解得BF=--------,從而可得

2-x

q丫2;￡

EF=BF^BE=,這樣即可把BE?EF用含x的代數(shù)式表達(dá)出來，化簡(jiǎn)配方即可求得所求

2-x

答案了.

詳解：

(1)如圖1,連接OE.

丁BD-BE，

AZBOE=ZEOD,

???OD〃BF,

AZDOE=ZBEO,

VOB=OE,

AZOBE=ZOEB,

，ZOBE=ZOEB=ZBOE=60°,

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VCF±AB,

?,.ZFCB=90°,

.*.ZF=30°；

(2)如圖1,過O作OM_LBE于M,

VOB=OE,

???BE=2BM,

VOD/7BF,

AZCOD=ZB,

ZOCD=ZOMB

在aOBM與△DOC中,ZCOD=ZB

OD=OM

.,.△OBM^ADOC,

???BM=OC,

，BE=2OC；

(3)?.?OD〃BF,

/.△COD^ACBF,

.PCOP

??前一蕨’

VAC=x,AB=4,

???OA=OB=OD=2,

AOC=2-x,BE=2OC=4-2x,

?2—x_2

4-x~~BF

8—2x

2-x

/.EF=BF-BE="2X+6X

2-x

r2.Zrq

BE?EF=---------------2?(2—x)=-4x2+12x=-4(x--)2+9.

2-x2

3

???當(dāng)x=±時(shí)，值=9.

2

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點(diǎn)睛：(1)解第1小題的要點(diǎn)是連接0E,由OD〃BF,點(diǎn)E為是防的中點(diǎn)及OB=OE證得

ZOBE=ZOEB=ZBOE=60°：(2)解第2小題的要點(diǎn)是作OM_LBE于點(diǎn)M,構(gòu)造出全等三角形

△OBM^IIADOC得至【JBM=OC,這樣垂徑定理BE=2BM即可得到結(jié)論BE=2OC；(3)解第3

小題的要點(diǎn)是OC、BC、BE都用含x的式子表達(dá)出來，這樣利用△CODsaCBF即可把BF用

含x的式子表達(dá)出來，由此即可把BE,EF用含x的式子表達(dá)出來，再整理配方即可得到所求結(jié)

果了.

28.如圖①已知拋物線y=ax2-3ax-4a(a<0)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，與

y的正半軸交于點(diǎn)C,連結(jié)BC,二次函數(shù)的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E.

(1)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)E坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為；

(2)若以E為圓心的圓與y軸和直線BC都相切，試求出拋物線的解析式；

(3)在(2)的條件下，如圖②Q(m,0)是x的正半軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作y軸的平行線，與直線BC

交于點(diǎn)M,與拋物線交于點(diǎn)N,連結(jié)CN,將aCMN沿CN翻折，M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為在圖②

中探究：是否存在點(diǎn)Q,使得M，恰好落在y軸上？若存在，請(qǐng)求出Q的坐標(biāo)；若沒有存在，請(qǐng)

說明理由.

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