江蘇省2022-2023學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)學(xué)期大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

江蘇省2023屆高三年級(jí)大聯(lián)考

數(shù)學(xué)

本試卷共6頁，22小題，滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.將條形碼橫

貼在答題卡“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂

黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相

應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不

按以上要求作答無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.設(shè)全集。=R,集合/=卜卜1<"3},8={小-1叫貝盧（』C8）=（）

A.{x|l<x<3jB.{x|l<x<3|C.或x?3}D.{x|x<l或xN3}

2.設(shè)復(fù)數(shù)z的共舸復(fù)數(shù)為彳，已知（2+i）z=5,則方=（）

A.7B.5C.3D.75

3.設(shè)則“是“sin?！匆病钡?/p>

662

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.某人在湖面之上5米處測(cè)得空中一氣球的仰角為30。，而湖中氣球倒影的俯角為45。，若不考慮水的折

射，則氣球離水面的高度（單位：米）為（）

A.5（1+72）B.5（1+2^3）C.5（2+73）D.5（2+網(wǎng)

2x2

5.函數(shù)/（、）=、.的圖像可能是（）

e'-eA

6.把函數(shù)/（x）=sin（2x+e）（0<e<7T）圖象上所有點(diǎn)向左平移g個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象.若

(

8（》）的圖象關(guān)于直線》=^|對(duì)稱，則函數(shù)人（%）=285（》+9）兀兀

X€的最小值為（）

P2

A.-2B._朋C.-1D.0

7.已知4=3^3,6=2+(ln3)2,c=31n3,則()

A.a>c>bB.c>a>bC.a>b>cD.b>c>a

/、f-x+a,x>0,

8.設(shè)函數(shù)/(x)=</（再）=）（工2），|再一的最小值為g（。），則g（a）-Y-。的最大值

ln(-x),x<0,

為（）

A.-1B.0C.1D.e—1

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知a>h>\fc>0,貝!J()

?\b-C

cc

A—<-B.ca>CbD.

?ahCH7

1%（。+。）>噫伍+。）

10.己知函數(shù)/（x）=sinx+acosx的最大值為2,且/（0）>0,則（）

A.a=y/3

B./（x）的圖象關(guān)于直線、=午對(duì)稱

C./（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱

、

D,將/(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，得到?2(^[2X+e]的圖象

7

11.已知x>0,y>0,x+2y=2,則()

A.中的最大值為:B.f+/的最小值為:

C.：+千的最小值為a+1D.4十6的最大值為④

12.19世紀(jì)，德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷(P.G.Dirichlet,1805-1859)引入現(xiàn)代函數(shù)，他還給出了一個(gè)定義在實(shí)

1x為有理數(shù)

數(shù)集R上的函數(shù)。(x=‘d’Ew'稱為狄利克雷函數(shù)，則()

"[0,x為無理數(shù)，

A.D^x-y/2^-0

B.Z)(x)=/)(-%)

C.若T為有理數(shù)，700,則。(x+T)=￡>(x)

D.存在三個(gè)點(diǎn)Z(x，Z)(xJ),B(X2,D(X2)),C(X3,D(X3)),使得"IBC為正三角形

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.曲線y=sinx-2cosx在點(diǎn)(兀，2)處的切線方程是

…sin4xsin2xsinxsinx

14若tan4x=V2，則------------+-------------+-----------+-----

cos8xcos4xcos4xcos2xcos2xcosxcosx

15.在銳角中，內(nèi)角C所對(duì)的邊分別為a也c.若c=l,S=|,則。的取值范圍為

；sinAsinC的最大值為

K

16.已知函數(shù)/(x)=ax—lnx-1,g(x)=—,用max{?i,〃}表示，〃，〃中的最大值，設(shè)

X

9(x)=max{/(x),g(x)}.若尹*)22在(0,+8)上恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

四、解答題；本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17,設(shè)函數(shù)/(^)=加5皿(2%+3-2卜2<：052%+2(加eR).

(1)若加=4,求“X)在上的零點(diǎn)；

(2)求函數(shù)/(x)的最大值.

18.已知函數(shù)/(x)=-x?eR).

(1)證明有且僅有兩條經(jīng)過原點(diǎn)的直線與曲線y=/(x)相切；

(2)記(1)中兩條切線為4，4,設(shè)4，，2與曲線v=/(x)異于原點(diǎn)。的公共點(diǎn)分別為48.若4=1,

求cos44。8的值.

19.在“BC中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,c,cos5=—，點(diǎn)。在邊上，BD=2AD.

3

(1)若ZACD=NBCD,求siM；

(2)若CD=BD=6,求b.

20.在△尸48中，PA=PB,前C,。分別在P8,PA邊上.

71

⑴若NAPB=—,CD=1,求APCD面積的最大值；

3

萬、4

(2)設(shè)四邊形488的外接圓半徑為火，若/APBw]，">且的最大值為,，求R

的值.

21.已知a〉0,函數(shù)/(x)=(a-x)lnx.

(1)證明/(x)存在唯一極大值點(diǎn)；

(2)若存在。，使得/(x)Wa+b對(duì)任意xe(0,+8)成立，求b的取值范圍.

22.已知函數(shù)/(x)=ax-31nr.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)X],巧是函數(shù)/(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x,+x2>2e.

2023屆高三年級(jí)大聯(lián)考

數(shù)學(xué)

本試卷共6頁，22小題，滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.將條形碼橫

貼在答題卡“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂

黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相

應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不

按以上要求作答無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.設(shè)全集。=R,集合“={41<、<3},3={小_叫，則葉八ff）=（）

A.{x|l<x<3jB.{x|l<x<3|C.或x?3}D.{x|x<l或xN3}

【答案】D

【解析】

【分析】先求出NcB,再求其補(bǔ)集.

【詳解】vA={x|-l<x<3|,5=|x|x-l>01=|x|x>l|,

/c8=<x<31,

二.a（/八8）=卜,<1或》》3}.

故選：D.

2.設(shè)復(fù)數(shù)z的共規(guī)復(fù)數(shù)為彳，已知（2+i）z=5,則k=（）

A.7B.5C.3D.V5

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z,再根據(jù)共飄復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可得解.

【詳解】解：由（2+i）z=5,

55（2-i）\.

得z=---=：—'/、=2-1,

2+i（2+i）（2-i）

則z=2+i，

所以而=（2—i）（2+i）=5.

故選：B.

3.設(shè)6eR,則“D是"sin6<^”的

662

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【詳解】分析：由題意首先求解三角不等式，然后結(jié)合題意確定/<三”與“5山。<型”的充分性和

662

必要性即可.

詳解：求解絕對(duì)值不等式6-鄉(xiāng)〈工可得0〈0〈色,

663

若sin8<&^~，則2%]—。V2%]GZ）,

當(dāng)左二0時(shí)，一4把7rW6W7工i，

33

冗4/a

據(jù)此可得：“。-二是"sine<W2”的充分而不必要條件.故選：A

662

4.某人在湖面之上5米處測(cè)得空中一氣球的仰角為30。，而湖中氣球倒影的俯角為45°,若不考慮水的折

射，則氣球離水面的高度（單位：米）為（）

A.5（l+^2）B.5（1+273）C,5（2+73）D,5（2+甸

【答案】C

【解析】

【分析】結(jié)合題意作出示意圖，利用直角三角形中正切函數(shù)的定義得到關(guān)于氣球離水面的高度的方程，解

之即可.

【詳解】結(jié)合題意作出示意圖，易知點(diǎn)。與點(diǎn)。關(guān)于湖面8M對(duì)稱，則CM=Z）M,AB=5,

故CE=CM-EM=CM-AB=CM—5,DE=DM+AB=CM+5,

CECEr-DE

在RtaZCE中，tan30°=----,即ZE=---------=y/3CE,在中，tan45°=----

AEtan30°AE

DE

AE=--------DE,

tan45°

故出CE=DE，即百(CM—5)=CA/+5,故c”

所以氣球離水面的高度為5(2+JJ).

故選：C.

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，求得函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再結(jié)合/(x)>0,即可

求解.

【詳解】由題意，函數(shù)/(x)=-F的定義域?yàn)?-8,0)U(0,+8),

eY-e*

/A2

且/(_X)=、=-/(x)，所以函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除B.

ex-eY

又當(dāng)x>0時(shí)，y=ex-e-x>0,所以/(x)=、2=、>0,故排除CD.

ev-e'

故選：A

6.把函數(shù)/(x)=sin(2x+w)(0<9<7i)圖象上所有點(diǎn)向左平移三個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象.若

g(x)的圖象關(guān)于直線x=V對(duì)稱，則函數(shù)/z(x)=2cos(x+e)xe-弓■，曰］］的最小值為()

12I

A.-2B.-y/3C.-1D.0

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)平移變換及正弦函數(shù)的對(duì)稱性求出。，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合整體思想即可得解.

【詳解】解：函數(shù)/(x)=sin(2x+e)(o<(p<it)圖象上所有點(diǎn)向左平移］個(gè)單位，

/(271

得到函數(shù)g(x)=sin［2x+3-+

因?yàn)間(x)的圖象關(guān)于直線x］對(duì)稱，

2

所以工+生+夕=工+加,左￡2

632

2兀

又0<9<兀，所以夕二一^-,

則〃(%)—2cos(xH——J,

i,「兀兀1”,2兀兀7元］(2兀11Ji

因?yàn)閄W——，所以X+ke—5-T"，i^ccosx+—e—1,——，

L22j3.66JI3J|_2_

所以MX)."9.

故選：A.

7.已知。=32，6=2+(ln3『c=31n3，則()

A.a>c>bB.c>a>bC.a>h>cD.b>c>a

【答案】A

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=X2+2-3X=(X-1)(X-2)，由1<ln3<2易得b<c；構(gòu)造函數(shù)g(x)=3、-3x,

由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性求得g(x)的單調(diào)性，從而證得a>c；由此可得a>c>6.

【詳解】令/(x)=f+2—3x=(x—l)(x-2),

所以xe(1,2)時(shí)，/(x)<0,

因?yàn)镮ne<ln3<Ine?，即l<ln3<2.

所以/(ln3)=(ln3y+2-31n3<0,故(ln3>+2<31n3,即b<c.

令g(x)=r-3x,則g'(x)=In3?3,-3,顯然g'(x)=In3?3、一3在(0,+co)單調(diào)遞增,

令g'(x)〉O,得x>log3、p故g(x)在(log?W，+°°)上單調(diào)遞增,

33

因?yàn)閘<ln3<3,故1<<3,則0<k)g3——<1,

In33In3

故g(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增，則g(ln3)>g(l)=0,

即3國(guó)3一31113>0，即31n3>31n3，故。>。，

綜上：a>c>b.

故選：A.

-x+a,x>0,

8.設(shè)函數(shù)/(x)=</(再)=/(%2)，歸-引的最小值為g(a),則g(a)-Y一。的最大值

ln(-x),x<0,

為()

A.-1B.0C.1D.e-1

【答案】C

【解析】

,、e",aV0/\2

【分析】對(duì)a分類討論求出g(a)=〈，再分類討論求出-。的最大值.

a+l,a>0

設(shè)/(玉)=/(工2)=/,。44)，不妨設(shè)玉<X2，

所以ln(-X］)=f,-X2+a=f,，X|=-e',x2=-t+a,

所以卜_吃|=吃―/=e'-t+a^h(t),(t<a),

所以//'?)=e'-l,

當(dāng)aW0時(shí)，/?)=e'—1V0,函數(shù)〃(/)在(—8,a］上單調(diào)遞減，

所以的)mm=g(a)=恤)=e".

當(dāng)a〉0時(shí)，函數(shù)僦。在(-8,0］上單調(diào)遞減，在［0,a］單調(diào)遞增,

所以人(Omin=g(a)=人(0)=a+1.

/、fea,a<0

所以g(a)={

''a+\,a>0

當(dāng)a?0時(shí)，g(a)-a2-a=ea-a2-a=m(a),

所以租'(a)=e"-2a-l=n(a),

所以〃'(a)=e"-2<0,所以n(a)在(-oo,0］單調(diào)遞減n(a)>n(0)=0,

所以M(a)20,所以〃?(a)在(-oo,0］單調(diào)遞增，所以加(a)1nli,、="?(°)=1?

所以g(a)-/一。的最大值為1.

當(dāng)a>0時(shí)，g{a}-a--a=a+\-a--a=-a~+\,在(0,+oo)單調(diào)遞減，沒有最大值,

g(a)-a2-a=-a2+1<1

所以g(。)-/-a的最大值為1.

故選：c

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵有兩個(gè)，其一是分類討論求出g(a)=|e'其二是分類討論

4+1,0>0

求出g(a)-。2-a的最大值.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9已知a>b>1,c>0,貝！I()

cc.(bx~c

ablaj{aj

log,,(a+c)>log“(b+c)

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性逐一分析判斷即可.

【詳解】解：因?yàn)椤?gt;6>1,所以［<《，

ab

又c>0,所以￡<￡,故A正確；

ab

當(dāng)0<c<l時(shí)，當(dāng)。>1時(shí)，故B錯(cuò)誤；

b

由a〉b〉l,得0<一—c,

a

所以:［2、=故C正確；

由C>0,得Q+C>b+C>l,

則log〃(a+c)>logfc(b+c)〉log(,(b+c),所以10gzl(a+c)>loga(b+c),故D正確.

故選：ACD.

10.己知函數(shù)/(x)=sinx+acosx的最大值為2,且/(0)>0,則()

A.a=y/3

B./(x)的圖象關(guān)于直線、=午對(duì)稱

C./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(日,。］中心對(duì)稱

D,將/(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，得到y(tǒng)=2cos2x+3的圖象

【答案】AC

【解析】

【分析】利用輔助角公式結(jié)合已知求出。，即可判斷A,再根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性代入檢驗(yàn)即可判斷BC,

根據(jù)周期變換的原則即可判斷D.

【詳解】解：/'(0)=。>0,

f(x)=sinx+?cosx=Jl+a'sin(x+夕)(其中tan9=a),

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=sinx+acosx的最大值為2,

所以M7/=2,解得a=G(a=—舍去)，故A正確；

則/(x)=2sin［,

因?yàn)?信］=2sin兀=0，所以，(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)傳,0)中心對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)?(g)=2sin27i=0,所以/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故C正確；

將/(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

得到函數(shù)N=2sin(2x+=sin2x+也cos2x,

而y=2cos(2x+/)=&cos2x-sin2x,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.已知x>0,y>0,x+2y=2,則()

A.孫的最大值為:B.f+「的最小值為《

c.十+；的最小值為0+iD.4+J］的最大值為J5

【答案】BC

【解析】

【分析】利用基本不等式及其變形可分析AC選項(xiàng)，由二次函數(shù)求最值可判斷B,可用三角換元來分析D

選項(xiàng)

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由基本不等式得2=x+2yN2j行，整理得孫=；，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即x=l,

y=1■時(shí)，孫的最大值為所以A錯(cuò)誤.

對(duì)于B選項(xiàng)，x2+y2=（2-2y）2+y2=5y2-Sy+4,x=2—2y>0得0<y<1,

444rc4

5y2一8^+4=5（歹一]）2+1,.?.當(dāng)y=w時(shí)，f+y2的最小值為《，所以B正確.

對(duì)于C選項(xiàng)，4L2+2/+2J+二+12巨+1=忘+1,當(dāng)且僅當(dāng)上=9，

xyx2yx2yx2y\x2yx2y

x=J5y時(shí)5+；的最小值為J5+1，所以C正確.

對(duì)于D選項(xiàng)，令加=,〃=6,由0<丁<1，2y=2-x>0,0cx<2可知0（優(yōu)<JI,0<“<1,

兀

2

得x=m?，y=nf由題意得疝+2/=2，設(shè)m=J^sin。，n=cos6,0<^<—,

/y

y[x+yfy=m+n=V2sin0+cos0=43sin（。+（p）,tan（p=>Gsin（6+夕）K石，所以D錯(cuò)誤.

故選：BC

12.19世紀(jì)，德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷（P.G.Dirichlet,1805-1859）引入現(xiàn)代函數(shù)，他還給出了一個(gè)定義在實(shí)

flx為有理數(shù)

數(shù)集R上的函數(shù)D（x=’“工e*'稱為狄利克雷函數(shù)，則（）

|0,x為無理數(shù)，

A.D^x-y/2^=0

B.Z）（x）=/）（-%）

C.若T為有理數(shù),THO,則。（X+T）=O（X）

D.存在三個(gè)點(diǎn)4（X1,O（xJ）,8卜2，。（》2））,。（七,。（毛）），使得為正三角形

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)狄利克雷函數(shù)的定義結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)，分別討論x為有理數(shù)和無理數(shù)，依次判斷各個(gè)選項(xiàng),

即可得解.

【詳解】對(duì)于A,尤是無理數(shù)，若x為有理數(shù)，x—&是無理數(shù)，則。1-/5）=0；若x為無理數(shù)，x_J5

有可能為有理數(shù)，如x=0,此時(shí)。［一血）=0（0）=1,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,當(dāng)x為有理數(shù)，-X為有理數(shù)，則。（x）=O（-x）=l；當(dāng)x為無理數(shù)，T為無理數(shù)，則

Z）（x）=Z）（-x）=0,故B正確；

對(duì)于C,7為有理數(shù)，若X為有理數(shù)，則X+T是有理數(shù)，貝|JZ）（X+T）=Q（X）=1；若x為無理數(shù)，x+T

是無理數(shù)，則。（x+7）=D（x）=0,故C正確；

對(duì)于D,存在三個(gè)點(diǎn)且x為有理數(shù)，貝Bx—*,0,Cx+4,0是邊長(zhǎng)為2叵的等邊三

角形，故D正確；

故選：BCD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.曲線y=sinx-2cosx在點(diǎn)（兀，2）處的切線方程是.

【答案】x+y-2-Tt^O

【解析】

【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程的斜率，進(jìn)而求出切線方程.

【詳解】/'（x）=cosx+2sinx,所以［'（7c）=cos7r+2sin兀=-1,故丁=sinx-2cosx在點(diǎn)（兀，2）

處的切線方程為歹一2=—（工一兀），即x+y-2-7i=0.

故答案為：x+y-2-n=Q

…sin4xsin2xsinxsinx

14.若tan4x=V2>則-------------+--------------+-------------+------

cos8xcos4xcos4xcos2xcos2xcosxcosx

【答案】-20

【解析】

einx

【分析】利用切化弦、二倍角公式可推導(dǎo)得到tan2x-tanx=-----------,由此可化簡(jiǎn)所求式子為tan8x,

cos2xcosx

利用二倍角正切公式可求得結(jié)果.

【詳解】

csin2xsinxsin2xcosx-sinxcos2x

?/tan2x-tanx=--------------=--------------------------

cos2xcosxcos2xcosx

2sinxcos2x-sinx（2cos2x-l）

sinx

cos2xcosxcos2xcosx

sin4xsin2x

tan8x-tan4x,tan4x-tan2x,

cos8xcos4xcos4xcos2x

2tan4\o/o,

?'?原式=tan8x-tan4x+tan4x-tan2x+tan2x—tanx+tanx-tan8x=-------——=-----=-2^2.

1-tan-4x1-2

故答案為：-2五.

jr

15.在銳角“BC中，內(nèi)角4S。所對(duì)的邊分別為。也。.若。=1,B檢,則。的取值范圍為

；sin/sinC的最大值為.

①?93

【答案】-##0.75

4

【解析】

【分析】利用正弦定理可得a=三巴且，結(jié)合三角恒等變換知識(shí)及C的范圍可化簡(jiǎn)得到a=-+——1-

smC22tanC

由C的范圍可求得tanC的范圍，進(jìn)而得到。的范圍；利用兩角和差正弦公式、二倍角和輔助角公式可化簡(jiǎn)

得到sin^sinC=-sin|2C-71-1+-1*-,根據(jù)正弦型函數(shù)最值的求法可求得結(jié)果.

2I64

【詳解】由正弦定理得:

sin（8+C）［cosC+；sinC

_csinA_sin（兀_（3+C））16cosC；

a——一?

sinCsinCsinCsinC22sinC

八,2?！?1

o<z=—-C<—

IT32?！肛?/p>

Q5=-,為銳角三角形，,—<c<—

八八兀62

0<C<—

2

.-.cosC^O,；.^-+—?——

a、22tanC

,/tanCe,+8,?.0<〈也,:.-<a<2,即“的取值范圍為一,21

（）

722

sinAsinC=sin（B+C）sinCcosC+—sinCsinC-sinCeosC+—sin2C

2722

l-coS2C=^sin2C_Lcos2C+L1in（2C-^1

sin2C+

T44444

7T_7T兀兀57t7T

:-<C<~,-<2C一一<—

6266626

.?.當(dāng)sin(2C-看)=1時(shí)，sinNsinC取得最大值［.

故答案為：f—,2j；

16.已知函數(shù)［(x)=ax-lnx-1,g(x)=—,用max{〃?，〃}表示用，〃中的最大值，設(shè)

Y

9(x)=max{/(x),g(x)}.若/(x)2二在(0,+8)上恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

4

【答案】［§,+功

【解析】

3

【分析】分別討論當(dāng)0<X<3,x23時(shí)，g(x)=二Y與^=一X的關(guān)系，可將問題轉(zhuǎn)化為/(%)之一X在(0,3)上

2733

恒成立，運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得最大值，可得所求范圍.

【詳解】當(dāng)xe(0,3)時(shí)，g(x)=^<：,當(dāng)xe［3,+oo)時(shí)，g(X)=捺之0，所以以刈N］在［3,+oo)必

成立,

xXInY+1I

問題轉(zhuǎn)化為八X)之土在(0,3)恒成立，由QX—Inx—12上恒成立，可得-------+-

33x3

在xe(0,3)恒成立，設(shè),(X)=電5.+1Xe(0,3),

x3

一,x~(Inx+1)x1

-Inx,

h'(x)=^------.------

當(dāng)0<x<l時(shí)，h\x)>0,當(dāng)l<x<3時(shí)，/》)<0,

所以〃(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，

44

..〃(X)max="(1)—§，??4—

4

故。的取值范圍是［§,+8).

4

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立的問題，考查學(xué)生的邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道

有一定難度的壓軸填空題.

四、解答題；本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17,設(shè)函數(shù)于(x)=msin-2J2cos2x+2(加wR).

(1)若加=4,求/(x)在0卷上的零點(diǎn)；

(2)求函數(shù)/(x)的最大值.

【答案】(1)0

⑵當(dāng)加＜2時(shí)，/(x)皿=一加；當(dāng)加22時(shí)，/(x)max=w-4

【解析】

【分析】(1)利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)，再解關(guān)于|cosx|的一元二次方程即可；

(2)利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論，從而可得出答案.

【小問1詳解】

解：若加=4,/(x)=4cos2x-4|cosx|=8cos2x-4|cosx|-4,

I=_g舍去),

令/(x)=8cos2x-4|cosx卜4=0,解得|cosx|=1(|cosx

又因XCo,|,所以x=o,

所以/(x)在0,|上的零點(diǎn)為0；

【小問2詳解】

解：f(x)=mcos2x-4|cosx|=2mcos2x-4|cosx\-m

令/=|cosx|"e[0,l],則/(。=2機(jī)/e[0,1],

當(dāng)〃？=0時(shí)，/(/)=-4/,^[0,1],則/a)max=/(0)=0,

當(dāng)加00時(shí)，函數(shù)/(，)的對(duì)稱軸為f='，

m

若，〃＜0,則/()在[0』上遞減，所以/(兒”=/(0)=-加，

若即2加2'20寸，f(t)'max=/(\1/)=機(jī)一4,

若,＞:，即0＜機(jī)＜2時(shí)，/(f)max=/(0)=一〃7，

m2

綜上所述，當(dāng)加＜2時(shí)、/(x)max=-m；當(dāng)機(jī)22時(shí),/(^)max=m-4.

18.已知函數(shù)/(工)=；%3一工2+辦(Q￡R).

（1）證明有且僅有兩條經(jīng)過原點(diǎn)的直線與曲線y=/'（X）相切；

（2）記（1）中兩條切線為小4,設(shè)4，4與曲線y=/G）異于原點(diǎn)。的公共點(diǎn)分別為46.若。=1,

求cos44。8的值.

【答案】（1）證明見解析

【解析】

【分析】（1）設(shè)出切點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出有兩個(gè)不同的切點(diǎn)即可證明；

（2）先求出兩條切線的方程，聯(lián)立曲線方程，求出交點(diǎn)，結(jié)合向量夾角公式可求答案.

【小問1詳解】

證明：f\x）=x2-2x+a,設(shè)過原點(diǎn)的直線與曲線V=/（x）相切于點(diǎn)&/（。），則

t2-2t+a==-t2-t+a,整理得2『一/=0,即/=（）或/=3；

t-0332

所以有且僅有兩條經(jīng)過原點(diǎn)的直線與曲線y=/（%）相切.

【小問2詳解】

33

當(dāng)a=l時(shí)，/,（x）=x2-2x+l,由（1）知切點(diǎn)為（0,0）,

2'8

兩條切線方程分別沏,即》=%,'=*工；

聯(lián)立方程132,得x=3和x=0(舍)，可得4(3,3)；

V'-X—X+X

I3

33------3345

,OA-OB=3x-+3x-=—,

258288

網(wǎng)=30詞

OAOB

所以cosN/OB

OA\\OB\

19.在中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,cosB=衛(wèi)'，點(diǎn)。在邊/臺(tái)上，BD=2AD.

3

（1）若ZACD=NBCD,求siM；

（2）若CD=BD=6,求b.

【答案】（1）sin/=述

3

（2）6=5

【解析】

【分析】（1）在A/C。中和在△4友）中，分別利用正弦定理求出C。，再結(jié)合已知即可得解；

（2）在△BCD中，利用余弦定理求出6C,在中，再次利用余弦定理即可得解.

【小問1詳解】

解：在A/CD中，

ADCDAD-sinA

由----------,得CD=

sinZACDsinA~sinZACD'

在△480中,

BDCDBD-sinB

rri_____________,___得CD=

sin/BCDsin3-sinNBCD'

AD-sinABDriinB

則----------

sinZ.ACDsin/BCD

因?yàn)?ACD=NBCD,所以sin/ZCZ)=sinN8CQ,

又BD=2AD,

所以sin"=2sin5,

因?yàn)閏os5=^-,BG(0,7i)>所以sin5=，

所以sin/;述

3

【小問2詳解】

解：在△88中，cosB=^,CD=BD=6,

3

CD2=BD2+BC2-2BD-BCcosB，

即36=36+8C2-2x6x8Cx且，解得BC=45(8C=0舍去),

3

在中，AB=9,

則=/82+8C2-2/B-8CCOS8=81+112-2X9X4V7X也25,

3

所以ZC=5,

即6=5.

20.在AP/LS中，PA=PB,點(diǎn)C,。分別在尸8,PN邊上.

71

(1)若NAPB=—,CD=1,求APCZ)面積的最大值；

3

乃、4

(2)設(shè)四邊形Z8c。的外接圓半徑為R，若N4PB&-,7t\,且Z8-8C-C0-O4的最大值為一，求R

3)9

的值.

【答案】(1)昱

4

4

(2)一

9

【解析】

【分析】(1)利用余弦定理及基本不等式求得PC-PZ)的最大值為1,再利用面積公式即可求解；

(2)由四邊形Z8C。存在外接圓，知四邊形力8CD為等腰梯形，連接/C,設(shè)NC胡=8,NCAB=x,

利用正弦定理，表示N6,8C,C0,進(jìn)而利用基本不等式求解.

【小問1詳解】

71

由已知ZDPC=NAPB=-,

3

在APCZ)中，利用余弦定理知1=CZ)2=pc2+p02一2pc.p￡)cosNPDC，

TT

結(jié)合基本不等式有1>2PC-PD-2PCPDcos-=PCPD,

3

當(dāng)且僅當(dāng)尸。=尸。=1時(shí)，等號(hào)成立，即PC-P。的最大值為1,

S=~PC-PDsm-=-PCPD<—

力PC8D2344

所以APC。面積的最大值為且

4

【小問2詳解】

四邊形488存在外接圓，.?.ND48+NOCB=?

又PA=PB,ZDAB=ZCBA,NCBA+NDCB=兀,

AB//CD,所以四邊形Z8CD為等腰梯形，

連接ZC,設(shè)NC3Z=e,NCAB=X,

4BBC

在△84。中，由正弦定理得，—---------=2R,

sm(7r-x-0)sinx

...BC=2Rsinx,AB=2Rsin()一x—。)=2Rsin(6+x)

同理，在中，由正弦定理得，CZ)=2Rsin(6—x),

所以Z8?8C?CD?ZX4=16R2sin2xsin(6-x)sin(6+x)

=16R?sin2x(sin2^cos2x-cos2Osin?x)

=16R2sin2x[sin260-sin2x)-cos2^sin2x]

=16R2sin2x(sin26-sin2x)

vZAPB&:.Q<X<0<~,.-.o<sin2x<sin26>

-12

、c/.、csin2x+(sin23-sin2x),,

16R2sin-x^sin2^-sin-16R2-----------------------------=4R~sin40,

當(dāng)且僅當(dāng)sin2x=sin2。一sin?x，即sin2x=—sin20

???可0,三,.?.sin2^<|,當(dāng)且僅當(dāng)6=三時(shí)，，等號(hào)成立，

即4R2X[3]=-,即R=±

⑷99

p.

A匕------------------B

21.已知a>0,函數(shù)/(x)=(a—x)lnx.

(1)證明/(x)存在唯一極大值點(diǎn)；

(2)若存在。，使得/(x)Wa+b對(duì)任意xe(O,m)成立，求b的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)b>-Q

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)/'(')=一限+(-1/>0,再對(duì)/'(力求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，然后結(jié)合零點(diǎn)存在性定

理進(jìn)而可知/'(x)=0有唯一零點(diǎn)，結(jié)合極值點(diǎn)定義可證得結(jié)論；

(2)題目轉(zhuǎn)化為[/(同一。]皿口，構(gòu)造〃。)=》1112—司強(qiáng)》>0,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，

求其最值，即可得解.

【小問1詳解】

函數(shù)/(X)=(a-x)lnx,求導(dǎo)/f(x)=-lnx+(a-x)—=-lnx+--l,x>0,

令g(x)=-1以+@-1,彳>0，則g，(x)=」-g=_史；

XXXX

又Q〉o,.?.g'(x)<0,在X￡(O,y)上單調(diào)遞減，

=a

當(dāng)工=。時(shí)，/'(、)=9>0，當(dāng)工=?"時(shí)，/Z(e</)=[~■-1]-1<0，

eeie)

故存在Xoe(eLe〃)，使得/'(x°)=0

當(dāng)xe(O,x0),"(x)>0,故函數(shù)/(x)在(O,x0)上單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(x(),+oo),/(x)<0,故函數(shù)/(X)在(%,+oo)上單調(diào)遞減，

所以/(x)存在唯一極大值點(diǎn)；

【小問2詳解】

由題知，存在a>0,使得/(x)Wa+b對(duì)任意xe(0,+oo)成立，

即存在a>0,使得62[/(》)一〃]你對(duì)任意》6(0,48)成立，

由(1)知，/(X)max=/(%)，且一1舊0+9_1=0,即4=X。(1+InT。)，