湖南省衡陽市八中2021年1月高三新高考第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

衡陽市八中2021年1月高三新高考第五次模擬考試

數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：本試卷滿分150分，時(shí)量為120分鐘

第I卷（選擇題）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的

X+]

1.已知集合4=*€^^-24“<4},B={x\——>0},則集合AC3中子集的個(gè)數(shù)是（）

3-x

A.4B.8C.16D.32

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意，求出集合M與N,進(jìn)而由交集的定義求得MCN,結(jié)合集合的元素?cái)?shù)目與集合的子集數(shù)目分析可

得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，A={xGN|-2^x<4}={0,1,2,3）,

X+]

B={x|-----20}={x|TWx<3},

3-x

則ADB={0,1,2）,

則集合AnB中子集的個(gè)數(shù)是2邑8；

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交集計(jì)算，關(guān)鍵是求出集合M、N,屬于基礎(chǔ)題.

2.復(fù)數(shù)用二（）

A.iB.-iC.2(V2+i)D.1+/

【答案】A

【解析】

(V2+Q(l+V2z).

試題分析:原式=(1-何(1+后-’故選A.

考點(diǎn)：復(fù)數(shù).

3.為做好社區(qū)新冠疫情防控工作，需將四名志愿者分配到甲、乙、丙三個(gè)小區(qū)開展工作，每個(gè)小區(qū)至少分

配一名志愿者，則不同的分配方案共有（）種

A.36B.48C.60D.16

【答案】A

【分析】

根據(jù)題意可知必有二名志愿者去同一小區(qū)開展工作，結(jié)合排列數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】

4x3

根據(jù)題意可知必有二名志愿者去同一小區(qū)開展工作，因此有c：=-y-=6種方式，

所以四名志愿者分配到甲、乙、丙三個(gè)小區(qū)開展工作，每個(gè)小區(qū)至少分配一名志愿者共有

C1A；=6x3x2x1=36種方式.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了組合與排列的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.攢尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式.宋代稱為撮尖，清代稱攢尖.依其平面有圓形攢尖、三角

試卷第2頁，總31頁

攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑.如圖所示，某園林建筑為六角

攢尖，它的主要部分的輪廓可近似看作一個(gè)正六棱錐，若此正六棱錐的側(cè)面等腰三角形的底角為a,則側(cè)

棱與底面外接圓半徑的比為（）

【答案】A

【分析】

根據(jù)正六棱錐的底面為正六邊形計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】

正六棱錐的底面為正六邊形，設(shè)其外接圓半徑為R，則底面正邊形的邊長為R,

因?yàn)檎忮F的側(cè)面等腰三角形的底角為a,

R

所以側(cè)棱長為3二R,

cosa2cosa

R

所以側(cè)棱與底面外接圓半徑的比為2cosa「L

R2cosa

故選：A

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握正六棱錐的結(jié)構(gòu)特征是解題關(guān)鍵.

5.新冠肺炎期間某商場(chǎng)開通三種平臺(tái)銷售商品，收集一月內(nèi)的數(shù)據(jù)如圖1;為了解消費(fèi)者對(duì)各平臺(tái)銷售方

式的滿意程度，該商場(chǎng)用分層抽樣的方法抽取4%的顧客進(jìn)行滿意度調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如圖2.下列說法錯(cuò)

誤的是（）

A.樣本容量為240

B.若樣本中對(duì)平臺(tái)三滿意的人數(shù)為40,則利=40%

C.總體中對(duì)平臺(tái)二滿意的消費(fèi)者人數(shù)約為300

D.樣本中對(duì)平臺(tái)一滿意的人數(shù)為24人

【答案】B

【分析】

對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷得解.求出樣本容量為240判斷選項(xiàng)A的正誤;求出相=40判斷選項(xiàng)B的正誤；

計(jì)算出總體中對(duì)平臺(tái)二滿意的消費(fèi)者人數(shù)約為300判斷選項(xiàng)C的正誤；計(jì)算出樣本中對(duì)平臺(tái)一滿意的人數(shù)

為24人判斷選項(xiàng)D的正誤.

【詳解】

選項(xiàng)A,樣本容量為6000x4%=240,該選項(xiàng)正確；

40

選項(xiàng)B,根據(jù)題意得平臺(tái)三的滿意率——--=40%,加=40,不是加=40%,該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

2500x4%

選項(xiàng)C,樣本可以估計(jì)總體，但會(huì)有一定的誤差，總體中對(duì)平臺(tái)二滿意人數(shù)約為1500x20%=300,該選

項(xiàng)正確；

選項(xiàng)D,總體中對(duì)平臺(tái)一滿意人數(shù)約為2000x4%x30%=24,該選項(xiàng)正確.

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故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查分層抽樣，考查用樣本估計(jì)總體，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

6.若log“g<2,則。的取值范圍是()

A.(^^,1)(1,+oo)B.(0,2^1)C.D.(0,"^)u(l,+°°)

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的要求，及對(duì)數(shù)的單調(diào)性特征，分段討論a的取值情況，分別解不等式即可求得a的范

圍。

【詳解】

因?yàn)閘og。g<2

1,

所以log“5<log?a-

i/n

當(dāng)0va<l時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，所以二>。2,可得0<&〈絲

22

當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，所以,<。2,可得

2

綜上所述，。的取值范圍為0,U（l,+oo）

所以選D

【點(diǎn)睛】

本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)大小的判斷，注意對(duì)數(shù)的底數(shù)對(duì)單調(diào)性的影響，屬于中檔題。

7.若。為八46。所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，且滿足8c（OB+OC-2Q4）=0,則ASC一定為（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.鈍角三角形

【答案】C

【分析】

由向量的線性運(yùn)算可知08+0。一2。4=AB+AC，所以8c?（AB+AC）=O,作出圖形，結(jié)合向量加

法的平行四邊形法則，可得BCJ_AD，進(jìn)而可得/3=AC，即可得出答案.

【詳解】

由題意，OB^OC-2OA=（OB-OA^+（OC-O/^=AB+AC,

所以BC-（AB+AC）=O,

取BC的中點(diǎn)￡）,連結(jié)AO,并延長AD到E,使得|人。=|。耳，連結(jié)BE，EC,則四邊形ABEC為

平行四邊形，所以A8+AC=AE.

所以BC-AE=O,即BCLA。，

故AB=AC,A6C是等腰三角形.

故選：C.

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A

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形形狀的判斷，考查平面向量的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.已知函數(shù)/(%)=(/+2x)(/+勿+份,且/(%-3)是偶函數(shù)，若函數(shù)g(x)=/(%)+用有且只有4個(gè)

零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為()

A.(-16,9)B.(-9,16)c.(-9,15)D.(-15,9)

【答案】B

【解析】

【分析】

由函數(shù)/(X)的圖象對(duì)稱性，解得。,力的值，化簡函數(shù)的解析式為/(x)=[(x+3)2-5]2-16,令

(X+3)2=?,/>0,把函數(shù)g(%)=/(%)+加有且只有4個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為g(x)=/z⑺+加在區(qū)間。+00)上

有兩個(gè)零點(diǎn)，即可求解.

【詳解】

由題意，函數(shù)/(x)=(f+2x)(x2+以+。)，且/(%-3)是偶函數(shù)，

所以函數(shù)7'(x)的圖象關(guān)于x=—3對(duì)稱，則/(-6)=/(0),/(T)=/(-2),

24x(36—6a+Z?)=0

所以《,解得a=10,8=24,

[8x(16-4a+與=0

此時(shí)函數(shù)/(x)=(x2+2x)(x2+10x+24)=x(x+2)(x+4)(x+6)=(x2+6x)(x2+6x+8)

22

=(x+6x>+8(%2+6月=[(%+3)2_殲+8[(x+3)-9]

=(x+3)4-10(x+3)2+9=[(x+3>-5F-16,

令(x+3)2=rjN0,則/"(x)=〃(r)=(r—5)2—16,tN0,

因?yàn)楹瘮?shù)g(%)=/。)+用有且只有4個(gè)零點(diǎn)，且/(x)的圖象關(guān)于*=—3對(duì)稱,

即函數(shù)g(x)=/(X)+機(jī)的圖象在(-,3+0O)有兩個(gè)零點(diǎn)，

所以g(X)=〃⑺+加在區(qū)間(0,+00)上有兩個(gè)零點(diǎn)，

即y=h(t)與y=一6的圖象在(0,+8)有兩個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)”0時(shí)，〃(0)=9,/?(5)=-16,如圖所示，

則—9<—m<16,解得—16v/篦v9,

即實(shí)數(shù)成的取值范圍是(一16,9),故選A.

【點(diǎn)睛】

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本題主要考查了函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，以及函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)，

求得函數(shù)的解析式，合理利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問

題的能力，屬于中檔試題.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.

9.函數(shù)/(x)=sin%+gcosx的()

(27T\

A.圖象對(duì)稱中心為一—+k兀,。(keZ)

I37

57r

B.增區(qū)間為----+2br,—+2%乃(ZEZ)

66

JI

C.圖象對(duì)稱軸方程為x=——+k7T,ksZ

3

D.最大值是2,最小值是-2

【答案】ABD

【分析】

化簡函數(shù)/(X)=2sin(X+()再利用函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案；

【詳解】

(八

/(x)=2sin/+一,

\37

JT7T27r

對(duì)A,當(dāng)1H—=kjr=>x------Fkjv—------卜伏一X)7t,故A正確；

333

對(duì)B?-----F<XH—<—F2左%,解得：215-------<x<—F2左乃故B正確；

232669

')ITT)L

對(duì)C,當(dāng)xd—=—I■左萬時(shí)，x=—卜k/c,kGZ,故C錯(cuò)誤；

326

對(duì)D,/(初儂=2,/(X)min=一2，故D正確；

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解

能力.

10.若過點(diǎn)(-2,1)的圓M與兩坐標(biāo)軸都相切，則直線3x-4y+10=0與圓M的位置關(guān)系可能是()

A.相交B.相切C.相離D.不能確定

【答案】AB

【分析】

圓M與兩坐標(biāo)軸都相切，且點(diǎn)(-2,1)在該圓上，列方程，可求得圓的方程，得到圓心坐標(biāo)分別為：(-1,1)

或(-5,5),然后，利用圓心到直線的距離，分情況討論即可

【詳解】

因?yàn)閳AM與兩坐標(biāo)軸都相切，且點(diǎn)(-2,1)在該圓上，所以可設(shè)圓”的方程為。+“)2+°，/)2="2,所以

(-2+a)2+(l-a)2="2,即”2_6a+5=0,解得a=1或a=5.當(dāng)圓心坐標(biāo)為(-1,1)時(shí)，圓的半徑為1,所以圓心到

.3

直線3x-4y+10=0的距離為《<1；當(dāng)圓心坐標(biāo)為G5,5)時(shí)，圓的半徑為5,所以圓心到直線3?4)，+10=0的

25

距蜀為—5.

故選：AB

+丫？

11.已知x〉y>0,xy=l9則---L的最小值和此時(shí)x、V應(yīng)取的值為().

A.最小值為|B.最小值為2拉

「31V6+V2R—V2

C.x=~,y=-D?x=-------------，y=-------------

22272

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【答案】BD

【分析】

v-2,22

根據(jù)條件，將——二變形為(％一>)+——，利用基本不等式求解最值，并確定取等條件.

x-yx-y

【詳解】

x2+y2x1+y2-2xy+2xy(x-y)2+2/、2

===*_,)+-------,

x-y------------x-y-----------------x-y-------------------x-y

2r~2

vx>^>0,Ax-y>0,(x-3,)+-——2V2,且當(dāng)尤-y=-------時(shí)等號(hào)成立，

x-yx-y

.^6+V2V6—>/2

,?x-，y=，

22

故選：BD

12.已知正方體ABC。-44GA的棱長為2,點(diǎn)。為AQ的中點(diǎn)，若以。為球心，而為半徑的球面與

正方體ABC?！狝gG2的棱有四個(gè)交點(diǎn)E,F,G,H,則下列結(jié)論正確的是()

A.AR〃平面EFGH

B.AC_L平面EPG”

C.4月與平面EFGH所成的角的大小為45°

D.平面￡FGH將正方體分成兩部分的體積的比為1：7

【答案】ACD

【分析】

如圖，計(jì)算可得瓦F,G,H分別為所在棱的中點(diǎn)，利用空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系的判斷方法可判斷A、B

的正確與否，計(jì)算出直線AB與平面所成的角為45。后可得C正確，而幾何體-CG廣為三棱

柱，利用公式可求其體積，從而可判斷D正確與否.

【詳解】

如圖，連接。4,則=4+1=石,故棱AA，4A，22A。與球面沒有交點(diǎn).

同理，棱A4,8c1,￡2與球面沒有交點(diǎn).

因?yàn)槔釧R與棱BC之間的距離為20＞石，故棱3C與球面沒有交點(diǎn).

因?yàn)檎襟w的棱長為2,而2＜指，

球面與正方體ABCQ-ABCQI的棱有四個(gè)交點(diǎn)E,F,G,H,

所以棱AB,C￡＞,C,C,B】B與球面各有一個(gè)交點(diǎn)，如圖各記為E,F,G,H.

因?yàn)椤鱋AE為直角三角形，故A￡=JOEZ—8Z=J6—5=］，故E為棱AB的中點(diǎn).

同理F,G,"分別為棱CO,GCg8的中點(diǎn).

由正方形A8CZ）、瓦F為所在棱的中點(diǎn)可得E廣〃3C,

同理G”〃bC,WEFIIGH,故瓦￡G,H共面.

由正方體ABC?！?4G口可得ADJ/BC,故A\D\〃EF

試卷第12頁，總31頁

因?yàn)锳。<Z平面EFG”，EFu平面EFGH,故平面EFG”,故A正確.

因?yàn)樵谥苯侨荁A|C中，"=2日BC=2,=90°>

4。與3c不垂直，故4。與GH不垂直，故A,C_L平面EFG”不成立，故B錯(cuò)誤.

由正方體ABCO-ABCQI可得8CL平面而ABu平面A443,

所以8C_LA8,所以

在正方形AAgB中，因?yàn)椤闔分別為AB,8g的中點(diǎn)，故

因?yàn)榧碋H=E,故4B_L平面瓦'G”，

所以ZBEH為直線AB與平面EFGH所成的角，而ZBEH=45°,

故直線A8與平面EFGH所成的角為45。，

因?yàn)锳B//A}Bt,故4片與平面EFGH所成的角的大小為45。.故C正確.

因?yàn)镋,￡G,H分別為所在棱的中點(diǎn)，故兒何體廣為三棱柱，

其體積為，xlxlx2=l,而正方體的體積為8,

2

故平面EFGH將正方體-分成兩部分的體積的比為1：7,故D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間中線面位置的判斷、空間角的計(jì)算和體積的計(jì)算，注意根據(jù)球的半徑確定哪些棱與球面有交

點(diǎn)，本題屬于中檔題.

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在2x（x-Ip展開式中含*3的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）

【答案】-20

【解析】

試題分析：只需求（無一1）’的展開式中含f的系數(shù)即可，由于卻「（一1）',令5f=2則廠=3,所

33

以在2x（x-1）'展開式中含/的系數(shù)是2C5（-1）=-20,故答案應(yīng)填—20.

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.

14.若曲線y=e'在x=0處的切線，也是y=lnx+匕的切線，則。=.

【答案】2.

【分析】

求出y=d的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，可得切線方程，再設(shè)與曲線y=Inx+b相切的切點(diǎn)為（/，%），求

得函數(shù)y=lnx+匕的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，解方程可得

%,用的值，進(jìn)而得到〃的值.

【詳解】

由＞=6*,得y'=e*,

曲線y=e"在》=0處的切線斜率為A=1,

則曲線y=e"在x=O的切線方程為y=x+l,

y=lnx+Z?的導(dǎo)數(shù)為V=1,

X

設(shè)切點(diǎn)為（*0,No），則—二1，

xo

試卷第14頁，總31頁

解得％=1,%=2,

即有2=lnl+Z?,得b=2.

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

本題考查了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

15.已知數(shù)列｛4｝滿足4=1,用=2"("eN*),S.為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，則S2022=

【答案】3x2'°"-3

【解析】

【分析】

由％==2",令〃=1,求得的的值，=2",得a,",t=2"T,兩式相比，即得—=2,

an-\

從而求得數(shù)列｛4｝的前2022項(xiàng)和S2022.

【詳解】

a.

V,a?an+,=2",令〃=1,求得利=2,當(dāng)〃上2時(shí)=2"—,：.^-=2數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項(xiàng)成等

an-\

比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列;

,0112(1-2叫

1-2\------i=3x2,0"-3.

則52022

1-21-2

【點(diǎn)睛】

考查由遞推公式求數(shù)列中的性質(zhì)，，解決方法，體現(xiàn)了分類討論的思想方法，屬基礎(chǔ)題.

22

16.已知雙曲線'-六=1(。＞0力＞0)的左右焦點(diǎn)分別為6，尸2,過鳥的直線交雙曲線的右支于P，Q

Q

兩點(diǎn)，且忸。|=百伊可|,則雙曲線的離心率為.

【分析】

先根據(jù)題意得|。用=2儼用，再根據(jù)雙曲線的定義得|。耳|=號(hào)，仍用=￡,再在狡。耳月中，利用

勾股定理即可求得e=叵.

4

【詳解】

解：如圖，

Q

可設(shè)P,Q為雙曲線右支上一點(diǎn),由PQ，PK,IPQ|=用，

在直角三角形尸片Q中，|Q用=而布而『=2歸耳|，

由雙曲線的定義可得：2a=|尸周一|P用=也用一|Q閭，

QQ

由1尸0=石1尸周，即有歸段+1。段=辦12用，

17Q

即為|P用-2。+石歸司-2a=石|P周，

??.(1-2+2)|P凰=4%解得上用=當(dāng)，忱用=|牛|一2a=(

\1313/乙乙

試卷第16頁，總31頁

V26

由勾股定理可得:2c=|耳聞=

可得e=H.

故答案為：叵

4

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn),

一般求離心率有以下兒種情況：①直接求出a",從而求出e；②構(gòu)造&,c的齊次式，求出e；③采用離心率的

定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解.本題中，根據(jù)雙曲線的定義及勾股定理

可以找出凡c之間的關(guān)系，求出離心率e.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

B+c

17.(本小題10分)在條件①cosAcos6+cosC=2sinAcos6,(2)Z?sin------=?sinB,③

--2一

要+csii?"C=中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問題中，并給出問題解答.

224

在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，h,C,a=2舊,b=2c,,求A6C的面積.

【答案】選①，S.c=4；選②，S,?c=—；選③，SABC=—

【分析】

根據(jù)選擇的條件，利用正余弦定理，求出邊長，再利用面積公式即可求出.

【詳解】

解：選擇①

cosAcosB+cosC=2sinAcosZ?,

cosAcosB—cos(A+=2sinAcosB,

即cosAcosB—cosAcos6+sinAsinB=2sinAcosB，

化簡得：2sinAcosB=sinAsinB,

又sinAw0,

/.tanB=2,

即cosB=—，sinB=，

55

/.a-2>/5，b=2c,

由余弦定理得：(2c『=/+(2百了一2xcx2石xg,

解得：c=2,6=4,

A8c的面積為S='acsinB=4；

2

選擇②

8sin^^=asinB,

2

由正弦定理可得sin5sin史￡=sinAsin5,

2

又sin3K0,

二.sin^=sinA,

2

由A+3+C=180°,

.?.sinXA

=cos—

22

口rAceAA

即cos—=2sin—cos—，

222

COS—7^0,

2

試卷第18頁，總31頁

A1

即sin—=-，A=60°，

22

2l

由余弦定理得（2逐）=C2+（2C）2-2XCX2CX5,

2而,4vB

解得：c=-------，h=--------，

33

A6c的面積為5=!/?05m4;

23

選擇③

由Qsin2'+'+csin2'+。='b及A+B+C=冗,

224

17CoA5,

得：acos~—+ccos—=--b,

224

,1+cosC1+cosA5,

即OIa-----------+c-----------=-b,

224

由正弦定理得：sinA+sin/4cosc+sinC+cosAsinC=—

2

33

/.sinA+sinC=—sinB,即Q+C=一人，

22

b=2c,

Cl—,

由。=2>/5，得：a=h=2后,c=2逐，

_b2+a2-c27

「?cosC=---------------=—

2ah8

.c1V15

sinC=1--=-----，

4Vl8j8

ABC的面積為S=！q〃.「5岳

sinC=--------

24

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”；

求三角形面積的最大值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求

最值，二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.

18.(本小題12分)設(shè)｛%｝是等比數(shù)列，公比大于0,其前八項(xiàng)和為S,,(〃wN*),｛2｝是等差數(shù)列.已知

4=1,%=4+2,="+瓦,+2b6.

(1)求｛4｝和色“｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛S,J的前〃項(xiàng)和為7；(〃eN*),

(i)求T,;

(ii)設(shè)數(shù)列｛2｝的前n項(xiàng)和為R.(〃wN*),若&+T“=b“+4a”,求正整數(shù)〃的值.

n+,

【答案】(1)%=2"-，％=〃；(2)(i)Tn=2-n-2,(ii)4.

【分析】

(1)先根據(jù)q=l，%=%+2解出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，然后將由，%的值代入求解4和公差,得出

數(shù)列｛勿｝的通項(xiàng)公式；

(2)⑴利用等比數(shù)列的求和公式先求出等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和S“，再求解7；；

(ii)利用等差數(shù)列的求和公式求出火“，將尺”、北、4和4等代入(+看="+4勺,解方程即可.

【詳解】

(1)設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為4.由6=1,%=4+2，

可得^一4一2=0因?yàn)閝〉0,可得q=2,故凡=2小，

試卷第20頁，總31頁

設(shè)等差數(shù)列｛2｝的公差為d,由。4=打+用，可得4+34=4,

由的=d+2/可得，34+131=16,從而優(yōu)=1,d=l,故a=",

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為%=2小，數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為

1_2n

(2)⑴由(1)可知4=2"-，則S=----=2"-1，

"1-2

故7；=力(2?_1)=￡2*_〃=2X(1_2")_〃=2"+I_/_2.

4=1*=i1-2

(ii)因?yàn)槊?",所以凡,由&+7；=仇+44,得〃('；1)+2向-〃—2=“+2向

2

整理得：n-3n-4=0>

解得〃=4或〃=—1(舍)，

所以”的值為4.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合運(yùn)用，要熟練運(yùn)用等差數(shù)列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前八項(xiàng)和公式是關(guān)

鍵.

19.(本小題12分)紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對(duì)農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害，每只紅鈴蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)V

和平均溫度%有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

平均溫度X/℃21232527293133

平均產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325

z=\ny1.92.43.03.24.24.75.8

產(chǎn)卵數(shù)

400-

350-.

300-

250-

200-

150-

100-?

50-.?

*

0認(rèn)?],]----1-----1-----1---1-----1-----1_＞、目q

202224262830323436溫度

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，,="+4與了=。0%'(其中e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))哪一個(gè)更適宜作為

平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度工的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)并由判斷結(jié)果及表中數(shù)

據(jù)，求出，關(guān)于X的回歸方程.(計(jì)算結(jié)果精確到0.01)

(2)根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)，該地每年平均溫度達(dá)到28。。以上時(shí)紅鈴蟲會(huì)造成嚴(yán)重傷害，需要人工防治，其他情

況均不需要人工防治，記該地每年平均溫度達(dá)到28。。以上的概率為“.記該地今后5年中，恰好需要3次

人工防治的概率為/(p),求/(〃)的最大值，并求出相應(yīng)的概率“。.

附：回歸方程。=法+吉中，b---------------------=-24；-----------二一，%=y一務(wù)x.

%)-3”展

/=li=\

參考數(shù)據(jù)

777

2柘

yZ

/=|/=11=1

52151771371781.33.6

【答案】(1)￥=￡。33-53

試卷第22頁，總31頁

(2)當(dāng)p=|時(shí),

【分析】

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷丁=。/〃更適宜作為y關(guān)于x的回歸方程類型；對(duì)丁=。6'〃兩邊取自然對(duì)數(shù)，求出回

歸方程，再化為y關(guān)于X的回歸方程；

（2）由/（P）對(duì)其求對(duì)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)的最值以及對(duì)應(yīng)的〃值.

【詳解】

解：（1）由散點(diǎn)圖可以判斷，y=ce""適宜作為卵數(shù)y關(guān)于溫度》的回歸方程類型.

對(duì)y=ce"兩邊取自然對(duì)數(shù)，得lny=lnc+6Zr,

由數(shù)據(jù)得-7%z=36.6,2卜一%)=Zx；-7)=112,

i=\i=I'f=l

7xz366

所以d=T^=TFr"033，lnc=z-dx=-5.31，

U2

i=\

所以z關(guān)于l的線性回歸方程為z=0.33x-5.31，

'關(guān)于X的回歸方程為y=*337.31

（2）由〃p）=C；,p3（］_〃）2得/（#=仁./（1_〃）（3_5〃）,

3

因?yàn)閛vpvi,令.,（，）>0得3P—5>0,WWO<p<-；

所以“〃）在上單調(diào)遞減，在R，1］上單調(diào)遞增，

\5/\5）

所以,（，）有唯一的極大值為/-，也是最大值；

\57

33216

所以當(dāng)P=W時(shí)，”P)max=/

5625

【點(diǎn)睛】

本題考查了線性回歸方程的求法與應(yīng)用問題，也考查了概率的計(jì)算與應(yīng)用問題，屬于中檔題.

20.（本小題12分）如圖，在四棱錐E--"。中，底面ABCC為正方形，一平面C0E,已知4E=DE=2,

廠為線段班的中點(diǎn).

（1）求證：BE平面XCF;

（2）求二面角C-BF-E的平面角的余弦值.

【答案】證明：（1）見解析；（2）二面角C—BF—E的平面角的余弦值為一等.

【解析】試題分析：（1）注意做輔助線，連結(jié)BD和AC交于0,連結(jié)。尸，根據(jù)。為助中點(diǎn)，F(xiàn)為DE

中點(diǎn)，得到OFBE,即證得屆，平面KCF；（2）應(yīng)用已知條件，研究得到CD14D,CD一平面ZUE,

CDIDE,創(chuàng)造建立空間直角坐標(biāo)系的條件，通過以。為原點(diǎn)，以。E為久軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，應(yīng)用“向

量法”解題；解答本題的關(guān)鍵是確定“垂直關(guān)系”，這也是難點(diǎn)所在，平時(shí)學(xué)習(xí)中，應(yīng)特別注意轉(zhuǎn)化意識(shí)的培

養(yǎng)，能從“非規(guī)范幾何體”，探索得到建立空間直角坐標(biāo)系的條件.

試題解析：證明：（1）連結(jié)和4C交于O,連結(jié)。尸，

???4BCD為正方形，為她中點(diǎn)，:F為DE中點(diǎn),

.-.OF!!BE,

試卷第24頁，總31頁

VBE仁平面ACF,OFu平面4CF

平面dC5.

(2)HE一平面CDE，CDu平面CDE，HE_CD,

???ABC。為正方形，CD1AD,

vAEOAD=A,4D,4Eu平面ZUE,

CD一平面DAE，

VDEu平面DAE,CD1DE

???以。為原點(diǎn)，以。石為x軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，

則E(2,0,0),E(2,0,0),E(2,0,0),E(2,0,0)

?.?dE，平面CDE,DEu平面CDE,.?.AEIDE

???AE±DE,AD=2V2

「力BCD為正方形，4D=2迎，石=(Xi，%,Zi)

由4BCD為正方形可得：DB=~DA+DC=(2,2>/2,2),AD=2>/2

設(shè)平面的法向量為元=(X],y1,Zi)

BE=(0,-2V2,-2)，[AD=272

由白噂UTT烈二k。,令y1,則ZL夜

（九1?FE—0I與一U

???元=(0,1,一。

設(shè)平面BEF的法向量為可=（X1,y1,z1'）,

BC=(-2,0,-2),CF=(1,-2V2,0)

,fnj-BC=0(-2X-2Z=0

N22令y1=1,則Z]=—\[2,z=-2V2

(nJ-CF=0=J-2\[2y2=02

.?.芯=(2夜,1,-20

設(shè)二面角C-BF-E的平面角的大小為仇則

cos。=cos（7r-<西雨>）=一cos<耳底>=一=一7^=一警

.??二面角C一BF-E的平面角的余弦值為一粵

考點(diǎn)：直線與平面、平面與平面垂直，二面角的定義及計(jì)算，空間向量的應(yīng)用.

八X2V2,.,石

21.（本小題12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓c：/+%?=1（。>人>0）的離心率e,

且橢圓C上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離的最大值為2+0,過點(diǎn)M（3,0）的直線交橢圓C于點(diǎn)A、B

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足。4+O3=/OP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)|A@</時(shí)，求實(shí)數(shù)1的取值

范圍.

【答案】（1）9+y2=1；（2）或仆

【解析】

試題分析：（I）利用橢圓性質(zhì)求最值，求得相應(yīng)值；（H）先由點(diǎn)P在橢圓上建立實(shí)數(shù)t與直線4B的斜率k之

間的關(guān)系，再由「正卜"求得k的范圍，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)t的取值范圍.

試卷第26頁，總31頁

試題解析：（I）?:e=±=B（1分）

a2

橢圓C上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離的最大值為a+c=2+y/3（2分）

解得”=2,c=g（3分），橢圓方程是二+-=1（4分）

4'

（II）設(shè)義與j/P（xj）一四方程為j=Hx-3）,

\=k（x-3）,

由，X22

---+=1.

14.

整理得（1+4二）x：-24Mx+36M-4=0.（5分）

由A=24kzk4-l6（9合一1）（1+4左：）＞0,得kYL

24k2交一（6分）

西+乂=-----

*1+4K1+鏟

?1-QT+08=（再+巧J1+打）=t（x,J）

E1/、2&

則X=一（再+心）=------—,

t1*X1+4t）

11一6”

廣產(chǎn)+川:收+七…+^^.（7分）

由點(diǎn)p在橢圓上’得?山（:，尸

化簡得36M=r（1+4二）①（8分）

又由艮B|=Jl+K|x1-x21〈道\

即(1+K)l(玉+玉)~將再+七，七士代入得

24%4（36合一4）

Q+爐）<3,（9分）

（1+4F71+4好

化簡，W（8Jt:-lX16Jt2+13）X

則8好一1>0.M>1,（10分）

8

85

由①，得『=坐1=9——

1+4左，1+4左一

聯(lián)立②，解得3<，;<4,，_2?_6或斥<2.(12分)

考點(diǎn)：1.橢圓的方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系；3.弦長公式.

22.(本小題12分)已知函數(shù)/(x)=e*—Q/-b%(Q>0,bE/?).

(1)若Q=1,b=0,試證明：當(dāng)％>0時(shí)，/(%)>0；

(2)若對(duì)任意Q>0,/(%)均有兩個(gè)極值點(diǎn)%1，%2(X1<X2)*

①試求b應(yīng)滿足的條件；

②當(dāng)a=：時(shí)，證明：/(%I)+/(%2)>2.

【答案】(1)見解析(2)①.b>1,②.見解析

【解析】

【分析】

(1)求出導(dǎo)數(shù)/'(X),求出其最小值，由最小值大于0,從而證明出結(jié)論.

(2)①首先/'(乃=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，再用導(dǎo)數(shù)研究f'(x)=g(x)的性質(zhì)，求導(dǎo)g'Q),利用g'(x)的正負(fù)

確定9。)的單調(diào)性及最小值點(diǎn)，在b>l時(shí)，計(jì)算出g(0)<0,9(-*)>0,g(a+Va?+b)>0,由零點(diǎn)存在

試卷第28頁，總31頁

定理可得((x)