1、立體幾何與空間向量專題復(fù)習(xí)（答案版）

立體幾何與空間向量期末專題復(fù)習(xí)（答案版）專題01第八章立體幾何小題題型1幾何體的表面積與體積1．【答案】18【分析】設(shè)母線長為，由弧長公式計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)母線長為，圓錐的底面半徑為，則側(cè)面展開的扇形的弧長為，由題意，即，因?yàn)?，故．故答案為?8.2．【答案】【分析】直接利用側(cè)面積公式計(jì)算得到答案.【詳解】圓臺的側(cè)面積為.故答案為：3．【答案】【分析】利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，該圓錐的體積為.故答案為：.4．【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正三角形的面積公式和棱柱的體積公式，即可求解.【詳解】由題意，直三棱柱的所有棱長都為，可得高為則底面正三角形的面積為，所以該直三棱柱的體積為.故選：B.5．【答案】B【分析】設(shè)圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，母線為，由圓臺的側(cè)面積得，再由圓臺的高為可得體積．【詳解】設(shè)圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，母線為，則圓臺的側(cè)面積，可得，又因?yàn)閳A臺的高為，可知，故有，圓臺的體積．故選：B.6．【答案】/【分析】由球體體積公式直接求解.【詳解】由球的體積公式.故答案為：7．【答案】【分析】計(jì)算半徑為，再計(jì)算表面積得到答案.【詳解】球的半徑，故球的表面積為．故答案為：8．【答案】B【分析】根據(jù)正方體與其外接球之間的關(guān)系，求出外接球的半徑，即可得出球的表面積．【詳解】解：易知，正方體的體對角線是其外接球的直徑，設(shè)外接球的半徑為，則，故．所以．故選：B．9．【答案】【解析】設(shè)上、下底面半徑分別為、，圓臺高為，化簡即得解.【詳解】設(shè)上、下底面半徑分別為、，圓臺高為，根據(jù)軸截面可知，即，所以．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查圓臺的計(jì)算，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平.題型2幾何體的線面關(guān)系的判斷10．【答案】A【分析】利用異面直線的意義結(jié)合線面平行的判定判斷AB；利用面面平行的意義及判定判斷CD作答.【詳解】對于A，令直線為異面直線，在直線a上取點(diǎn)O，過O作直線，則直線確定一個平面，在直線b上取點(diǎn)，過作直線，則直線確定一個平面，在空間取點(diǎn)，使點(diǎn)，過點(diǎn)A作，顯然確定平面，，因此，A正確；對于B，令直線為異面直線，當(dāng)點(diǎn)與直線確定的平面平行于直線時，過點(diǎn)B不能作一個平面與兩條異面直線都平行，B錯誤；對于C，令點(diǎn)為平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，當(dāng)平面經(jīng)過線段的中點(diǎn)時，點(diǎn)到平面的距離相等，此時平面與平面相交，C錯誤；對于D，當(dāng)一條直線與兩個相交平面的交線平行，并且這條直線都不在這兩個平面內(nèi)時，這條直線與這兩個平面平行，而這兩個平面相交，D錯誤.故選：A11．【答案】D【分析】利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系即可得出真命題.【詳解】由題意，A項(xiàng)，其結(jié)論是判定線面平行的問題，因此，該直線是否在平面內(nèi)顯得非常重要.與兩相交平面的交線平行的直線，既可在平面內(nèi)，也可不在平面內(nèi)，故A錯誤.B項(xiàng)，平行同一直線的平面，可以平行，也可以相交，故B錯誤.C項(xiàng)，垂直于同一平面的兩個平面平行或相交，故C錯誤.D項(xiàng)，由直線與平面垂直的性質(zhì)知，垂直于同一平面的兩條直線平行，D正確.故選：D.12．【答案】B【分析】由線面、面面的平行、垂直的判定與性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】l，m，n表示不同的直線，α，β，y表示不同的平面，對于①，若m∥l，且m⊥α，則由線面垂直的判定定理得l⊥α，故①正確；對于②，若α⊥β，β⊥y，則α與y相交或平行，故②錯誤；對于③，如圖，若α∩β＝l，β∩y＝m，α∩y＝n，結(jié)合圖形得l，m，n交于同一點(diǎn)，故③錯誤.故選：B.13．【答案】D【分析】A、B、C，畫圖舉例判斷；D.由面面平行的判定定理判斷.【詳解】A.如圖所示：，存在一條直線，，，但平面與平面相交，故錯誤；B.如圖所示：，存在一條直線，，，但平面與平面相交，故錯誤；C.如圖所示：，存在兩條平行直線，，，，，，但平面與平面相交，故錯誤；D.如圖所示：，在平面內(nèi)過b上一點(diǎn)作，則，又，且，所以，故正確；故選：D14．【答案】C【分析】ABD均可舉出反例，由線面垂直的性質(zhì)可得得到C正確.【詳解】對于A，垂直于同一平面的兩平面相交或平行，如圖1，，，而，相交，故A錯誤；對于B，平行于同一直線的兩平面相交或平行，如圖2，滿足，，但相交，B錯誤；對于C，垂直于同一平面的兩直線平行，故C正確；對于D，平行于同一平面的兩直線相交、平行或異面，如圖3，滿足，，但相交，故D錯誤.故選：C.15．【答案】C【分析】由線、面平行和垂直的判斷與性質(zhì)定理判斷每個選項(xiàng).【詳解】對A，若，則或，故A錯；對B，若，則或相交，故B錯；對C，由面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定定理可知，故C正確；對D，，則或相交，故D錯.故選：C16．【答案】B【分析】根據(jù)線線、線面、面面位置關(guān)系有關(guān)知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，若，則與可能平行，所以A選項(xiàng)錯誤.B選項(xiàng)，兩個平面垂直于同一個平面，則這兩個平面平行，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，若，則可能含于，所以C選項(xiàng)錯誤.D選項(xiàng)，若，且與所成的角和與所成的角相等，則可能與異面或相交，故選：B17．【答案】A【分析】平移到,再連接，再解三角形即可求出答案.【詳解】平移到,再連接，則或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，設(shè)正方體的棱長為2，易得，，，由余弦定理得故選：A.18．【答案】A【解析】取的中點(diǎn)，則因?yàn)閭?cè)面底面BCD，側(cè)面底面，側(cè)面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以就是直線AC與底面BCD所成的角，因?yàn)?，，，所以，在直角中，，在直角中，，即，所以直線AC與底面BCD所成角的大小為，故選：.19．【答案】【解析】設(shè)，連接，平面，平面，，，四邊形為正方形，，，平面，平面，又平面，，是二面角的平面角，由，得：.故答案為：.20．【答案】C【解析】如圖，過A作，垂足為，連結(jié)，易知為A到直線BD1距離.在中，，在正方體中，易得面，又面，故，則在中，，由，得，故A到直線BD1距離為.故選：C.21．【答案】A【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，再根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面PAB，則有，再利用等體積法即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以，又因?yàn)?，即，因?yàn)椋云矫鍼AB，又平面PAB，所以，因?yàn)?，，所以，的面積，設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h，則三棱錐的體積，即，解得，即點(diǎn)A到平面PBC的距離為.故選：A.22．【答案】C【解析】因?yàn)闉殚L方體，所以面⊥面ABCD，過A作AE⊥BD于E，則AE⊥面，所以直線與平面的距離為AE.在直角三角形ABD中，由等面積法可得：，故選：C專題2第八章立體幾何大題題型1共點(diǎn)、共線、共面1．【詳解】（1）∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)∴GH是的中位線，∴GHB1C1，又在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1BC，∴GHBC，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面．2．證明：因?yàn)?，所?由已知可得，，，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，所以平面ABC.同理，平面ADC，平面ADC.所以為平面ABC與平面ADC的一個公共點(diǎn).又平面平面，所以，所以P，A，C三點(diǎn)共線.3．證明：延長CE交DA的延長線于點(diǎn)O，易得.在與中,∴∴∴O?F?三點(diǎn)共線.∴三條直線DA?CE?交于一點(diǎn)O.題型2平行4．【詳解】（1）

證明：取SA中點(diǎn)M，連接BM，EM.又E分別為SD的中點(diǎn)，所以，且ME＝AD，因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，F(xiàn)分別為BC的中點(diǎn)，所以BF＝AD，，所以，且ME＝BF.所以MEFB為平行四邊形.所以.又因?yàn)镋F平面SAB，平面SAB，所以平面SAB.5．【詳解】（1）∵，平面，平面，∴平面.又∵平面，且平面平面，∴.6．證明：∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EFBC，∵平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF平面BCHG，∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，，，∴A1GEB，，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1EGB，∵平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E平面BCHG，∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1平面BCHG.7.【詳解】（1）證明：連接，因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以,平面,平面,所以平面，因?yàn)榉謩e是棱，的中點(diǎn)，所以,.所以四邊形是平行四邊形，則,.平面,平面,所以平面，因?yàn)槠矫?，且，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平?題型3垂直8．【詳解】（1）在中，，O為AC的中點(diǎn)．則中線，且；同理在中有，則；因?yàn)?，O為AC的中點(diǎn)．所以且；在中有，則，因?yàn)?，平面ABC，所以⊥平面ABC．9．求證為正方形，．又平面平面，且平面平面，面，平面，平面，則，，，，則，得．又，平面，平面；10．【詳解】（1）因?yàn)槠矫娴酌?，，平面底面，平面，所以底?（2），，為中點(diǎn)，，則四邊形平行四邊形，，所以四邊形為矩形，，.底面，平面，.又平面，且，平面，平面，.和分別是和的中點(diǎn)，，.又，，平面，平面，平面，平面平面.11．【詳解】（1）證明：，∵設(shè)，∴，，,∴，∴，∴，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴．專題03空間直角坐標(biāo)系與空間向量題型1空間向量的線性運(yùn)算1．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算計(jì)算得解.【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)，所以.選：A2．【答案】A【分析】根據(jù)向量共面，建立方程組，解得答案.【詳解】由，，共面，可設(shè)，則，由，解得，代入第三個方程可得：，解得.故選：A.3．【答案】B【分析】根據(jù)平行關(guān)系可知，由向量坐標(biāo)運(yùn)算可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，，解得：.故選：B.題型2空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算及應(yīng)用4．【答案】A【分析】由向量的運(yùn)算可得，，由向量數(shù)量積的定義即可得到答案.【詳解】由題得夾角，夾角，夾角均為，，，，故選：A.5．【答案】C【分析】，然后平方可算出答案.【詳解】在平行六面體中，，，，，，∵∴，∴.故選：C.6．【答案】24【分析】利用向量的數(shù)量積直接求解.【詳解】因?yàn)?，，所?所以.故答案為：24題型3利用空間向量證明平行問題7．【答案】C【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，根據(jù)條件求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到結(jié)果.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，由題意可得，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則所以平面的一個法向量為因?yàn)槠矫?，則設(shè)，則，所以解得，所以，即故選:C.8．【答案】-3【分析】由，可得，由向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算解出，可得結(jié)果.【詳解】依題意，若，則，有，解得，，∴.故答案為：-39．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)中位線的性質(zhì)證明線線平行即可證明線面平行；（2）根據(jù)結(jié)合錐體體積公式求解即可.【詳解】（1）是與的交點(diǎn)，是的中點(diǎn)，又是棱的中點(diǎn)，，又平面平面，平面.（2）.題型4利用空間向量證明垂直問題10．【答案】C【分析】根據(jù)平面垂直的法向量表示求解.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，故選：C11．【答案】(1)0(2)證明見解析【分析】（1）由空間向量數(shù)量積的運(yùn)算法則求解，（2）由數(shù)量積為0證明兩向量垂直，再由直線與平面垂直的判定定理證明，【詳解】（1）設(shè)平行六面體的棱長為1.令，，，則，.則有，故.故，.（2），.故，.故，即.又由（1）知，，平面，所以平面.12．【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】（1）根據(jù)線面垂直的定義得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，然后根據(jù)線面垂直的判定定理和定義證明即可；（2）將點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，然后求體積即可.【詳解】（1）在三棱柱中，平面，則平面，由平面，則，因?yàn)?，則，又為的中點(diǎn)，則，又，平面，則平面，由平面，因此，.（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則等于點(diǎn)到平面的距離，.13．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)等邊三角形與平行四邊形的性質(zhì)，利用線面垂直的性質(zhì)定理以及判定定理，結(jié)合面面垂直判定定理，可得答案；（2）根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理，結(jié)合三角形的面積公式求得三棱錐底面積，利用三棱錐體積公式，可得答案.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，且為等邊三角形，所以，因?yàn)?，，所以四邊形ABCD為平行四邊形，又為等邊三角形，可得，四邊形ABCD為菱形，所以，因?yàn)槠矫鍭BCD，且平面，所以，因?yàn)槠矫?，且，所以平面PAC，因?yàn)槊鍼BD，所以平面平面PBD.（2）已知平面ABCD，，在等邊中，，因?yàn)槠矫鍼AD，且平面，所以，因?yàn)?，為邊長為2的等邊三角形，所以，在，則，，所以，所以四棱錐的體積.專題04空間角與距離的計(jì)算題型1異面直線所成的角1．【答案】A【分析】根據(jù)題目條件可知，即為平面與平面構(gòu)成二面角的平面角，將異面直線與所成角的余弦值轉(zhuǎn)化成直線方向向量夾角余弦值的絕對值即可.【詳解】根據(jù)題意可知，即為平面與平面構(gòu)成二面角的平面角，所以，設(shè)正方形邊長為1，異面直線與所成的角為，，，,所以即所以；即，所以，異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.2．【答案】【分析】根據(jù)異面直線夾角求余弦值的坐標(biāo)公式，可得答案.【詳解】設(shè)異面直線和所成角為，則.故答案為：.3．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則求解；（2）用表示，計(jì)算，由向量法求異面直線所成的角．【詳解】（1），，，，即，解得；（2）由（1）知設(shè)異面直線與所成角為，則.題型2直線與平面所成的角4．【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角的正弦值，從而求出余弦值.【詳解】因?yàn)槿庵侵比庵?，所以以B為原點(diǎn)、AB所在直線為x軸、BC所在直線為y軸、所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．因?yàn)?，所以，故．設(shè)為平面的一個法向量，則，令，得．設(shè)直線與平面，所成的角為，則，則．故選：D．5．【答案】A【分析】根據(jù)線面角的向量法求解即可.【詳解】因?yàn)槠矫娴囊粋€法向量為，直線的一個方向向量為，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：A.6．【答案】(1)，(2)【分析】（1）先利用正四面體幾何性質(zhì)用表示，進(jìn)而求得；（2）先求得直線與直線所成角的余弦值，進(jìn)而得到直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）連接并延長交于，則為中點(diǎn)，則，，則（2）根據(jù)題意，平面，因此，直線與平面所成角的正弦值即為直線與直線所成角的余弦值的絕對值.，且故.則直線與平面所成角的正弦值為.題型3面面夾角7．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合空間向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算律可求得，即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)平面ABD與平面CBD的夾角為，由題意可得：，∵，則，即，解得，由，可得，故平面ABD與平面CBD的夾角為.故選：C.8．【答案】C【分析】根據(jù)坐標(biāo)可求出，根據(jù)夾角的范圍以及平面的夾角與平面法向量之間的關(guān)系即可求出答案.【詳解】解：由已知可得，，，所以.設(shè)為平面與平面的夾角，則，又，所以.故選：C.9．【答案】(1)2(2)【分析】（1）由圖及題意可得是二面角的平面角，后可得棱AC的長；（2）建立以C為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法可得答案.【詳解】（1）因平面ABC，平面ABC，則.又，，平面，平面，則平面.又平面，則，故是二面角的平面角，則.又，則.（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.可得，，，.設(shè)平面的法向量為，則，取，得.設(shè)平面的法向量為，則，取，得由，得平面與平面的夾角為60°，故平面與平面的夾角的正切值為.題型4點(diǎn)到直線的距離10．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，結(jié)合計(jì)算即可求解.【詳解】空間內(nèi)三點(diǎn)，，，所以，，，，由，所以，所以點(diǎn)A到直線的距離.故選：A.11．【答案】B【分析】根據(jù)直線的方向向量為，取直線的一個單位方向向量為，計(jì)算代入空間中點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】依題意，因?yàn)橹本€的方向向量為，所以取直線的一個單位方向向量為，由，可得，所以，，所以.故選：B.12．【答案】(1)2(2).【分析】（1）利用面面垂直得出線面垂直，建立坐標(biāo)系，利用空間向量求解點(diǎn)到直線的距離；（2）分別求解平面與平面的法向量，利用法向量求解兩平面的夾角.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，并過點(diǎn)作的平行線，交于，則.因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋瑒t，直線的一個單位方向向量為，點(diǎn)到直線的距離.（2），設(shè)平面的法向量為，則令，設(shè)平面的法向量為，則令，設(shè)平面與平面的夾角為，則.所以平面與平面夾角的余弦值為.題型5點(diǎn)面距13．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，，所以點(diǎn)到平面的距離.故選：B14．【答案】/【分析】求出面的法向量，利用向量法得出到平面的距離.【詳解】因?yàn)椋?，，設(shè)平面的法向量為，由，可得，取，則，即到平面的距離為.故答案為：15．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法證明直線垂直；（2）用空間向量法求點(diǎn)面距，根據(jù)條件列方程求出參數(shù)值．【詳解】（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AA1，AB所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，,所以=，=，所以·=2×2+0+2×=0，所以⊥，故BC⊥C1E；（2）因?yàn)?，=，所以=+=+λ=，設(shè)平面BB1M的法向量為，則，令x=1+λ，則，因?yàn)?，所以C1到平