小學(xué)數(shù)學(xué)難題解法大全-第三部分-常用解題方法(二-一)一般解題方法

小學(xué)數(shù)學(xué)難題解法大全第三局部常用解題方法〔二之一〕一般解題方法〔一〕一般解題方法【圖示法】解答競(jìng)賽題時(shí)，盡管題目?jī)?nèi)容復(fù)雜多變，或者條件十分抽象，但可以用圖形〔線段圖、直觀圖、示意圖〕把題中的條件和問(wèn)題形象、具體地表示出來(lái)，以幫助我們揭示數(shù)量關(guān)系，正確地找到解答方法。這種解題方法就是圖示法。的服裝3套，那么剩下16.1米。這段布料全長(zhǎng)多少米？分析：根據(jù)題意先畫圖觀察〔如圖3.1〕。可知：做1套服裝所用布料占這段布料的：做3套服裝所用布料占這段布料的：剩下的布料16.1米的對(duì)應(yīng)分率是：由此可求出這段布料全長(zhǎng)多少米。答：這段布料全長(zhǎng)24.5米。例2把一個(gè)長(zhǎng)方體的高減少4厘米，就得到一個(gè)底面不變的正方體，它的外表積比原來(lái)減少了112平方厘米。這個(gè)正方體的體積是多少？分析：這是一道比擬抽象的圖形的求積題，需要有一定的空間想象能力。通過(guò)畫圖〔如圖3．2〕，可以幫助理解兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。一是把長(zhǎng)方體的高減少4厘米后，得到一個(gè)底面不變的正方體，這個(gè)正方體的六個(gè)面都是正方形。二是長(zhǎng)方體變成正方體后，它的外表積減少的局部是以4厘米為高的這個(gè)長(zhǎng)方體的側(cè)面積〔而不含陰影局部的面積〕。根據(jù)條件，可知將這個(gè)側(cè)面積展開(kāi)是一個(gè)寬4厘米、面積為112平方厘米的長(zhǎng)方形，由此可求出它的長(zhǎng)，也就是得到的正方形的一個(gè)面的周長(zhǎng)。112÷4＝28〔厘米〕那么正方體的棱長(zhǎng)為：28÷4＝7〔厘米〕由此可求出正方體的體積。解：〔112÷4÷4〕3＝7×7×7＝343〔立方厘米〕答：這個(gè)正方體的體積是343立方厘米。例3在邊長(zhǎng)是6米的正方形花圃四周由里向外鋪上三圈水泥磚，形成一個(gè)大的正方形，這種水泥磚每塊是邊長(zhǎng)30厘米的正方形，共需要這種水泥磚多少塊？〔中南地區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題〕分析：此題是一道空心方陣問(wèn)題。根據(jù)方陣?yán)锿庀噜弮蓪用窟厰?shù)相差2的特點(diǎn)，可求出方陣最里層每邊有方磚是600÷30＋2＝22〔塊〕，因?yàn)槭?層，所以最外層每邊有方磚是22＋2×〔3－1〕＝26塊。由題意畫一個(gè)空心方陣圖〔如圖3．3〕，陰影局部表示方磚數(shù)，把這個(gè)圖的陰影局部劃分成相等的四個(gè)小塊，只需求出一小塊里面有多少塊磚，便可求出一共有多少塊磚。解：〔26－3〕×3×4＝276〔塊〕答：共需方磚276塊。例4一組割草人去兩塊草地割草，他們的工效都相等。大的一塊草地比小的一塊大一倍。上午全組人都在大的一塊草地割草，下午一半人留在大草地上，到黃昏時(shí)把草割完。另一半人就到小草地上去割，到黃昏時(shí)還剩下一塊，這一塊假設(shè)由一個(gè)人去割，正好一天可以割完。問(wèn)全組共有多少名割草人？分析：這是一道俄國(guó)名題，乍看起來(lái)數(shù)量關(guān)系比擬復(fù)雜，假設(shè)根據(jù)題意先畫一個(gè)圖，題意就一目了然了。先畫一個(gè)長(zhǎng)方形表示大的一塊草地，連著這個(gè)長(zhǎng)方形再畫一個(gè)面積是它的一半的小長(zhǎng)方形，表示小的一片草地，如圖3．4所示。答：全組共有8名割草人。例5AB兩站從6：00—19：00，每隔10分鐘有一輛公共汽車同時(shí)相對(duì)開(kāi)出。從A站到B站與從B站到A站運(yùn)行的時(shí)間均為50分鐘。現(xiàn)有一輛汽車上午9點(diǎn)出發(fā)從B站開(kāi)往A站，問(wèn)這輛汽車在運(yùn)行途中遇到多少輛從A站開(kāi)往B站的汽車？〔“運(yùn)行途中〞是指出站后至進(jìn)站前所經(jīng)過(guò)的路段?！撤治雠c解答：考慮問(wèn)題時(shí)應(yīng)想到這輛從B站開(kāi)往A站的車，在出發(fā)前A站已每隔10分鐘向B站發(fā)車，那么這輛車在運(yùn)行途中會(huì)遇到多少輛從A站開(kāi)往B站的車呢？可用圖示法解答。分別從AB兩站畫兩條平行的時(shí)間軸，每?jī)牲c(diǎn)之間的線段表示一個(gè)時(shí)間段〔10分鐘〕。汽車9點(diǎn)從B站開(kāi)出，9點(diǎn)50分到達(dá)A站，在B軸上用“0〞表示發(fā)車時(shí)間，A軸上用5表示到達(dá)時(shí)間，AB兩站相對(duì)開(kāi)出的車輛用斜線表示。這樣一來(lái)，就把所求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成“0—5〞連線與多少條斜線相交的問(wèn)題。如圖3.5所示。由圖可知，這輛汽車在運(yùn)行途中，遇到了9輛從A站開(kāi)往B站的汽車。注：這類問(wèn)題經(jīng)常被稱為“柳卡問(wèn)題〞，這是因?yàn)榉▏?guó)數(shù)學(xué)家柳卡〔也譯作“劉卡〞〕在一次國(guó)際會(huì)議期間最先提出這類問(wèn)題。在匈牙利，它那么被稱為“郵車相遇問(wèn)題〞，因?yàn)樾傺览骷铱柭っ卓松程厮拿镀婊榕洹分?，有一個(gè)類似的郵車相遇算題。解這類問(wèn)題的圖，稱之為“時(shí)間一路程圖〞，或稱之為“運(yùn)行圖〞?！玖斜矸ā拷忸}時(shí)把題中的條件進(jìn)行分類整理，用表格的形式進(jìn)行有序排列，使條件與條件之間，條件與問(wèn)題之間的關(guān)系條理化、明朗化，有利于探求解題的思路，從而到達(dá)解決問(wèn)題的目的。這種方法就是列表法。例1一個(gè)圓的周長(zhǎng)是1.26米，兩只螞蟻從一條直徑的兩端同時(shí)出發(fā)沿圓周相向爬行，這兩只螞蟻每秒分別爬行5.5厘米和3.5厘米。它們每爬行1秒、3秒、5秒……〔連續(xù)奇數(shù)〕，就調(diào)頭爬行。那么，它們相遇時(shí)，已爬行的時(shí)間是______秒。〔1992年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題〕分析：兩只螞蟻是在邊進(jìn)邊退中相向爬行，要求出它們相遇的時(shí)間，就有一定困難。圓的周長(zhǎng)是1.26米〔126厘米〕，半圓的弧長(zhǎng)那么是63厘米，兩只螞蟻共同爬行63厘米所用的時(shí)間就是它們相遇的時(shí)間。兩只螞蟻每秒鐘一共爬行了5.5＋3.5＝9〔厘米〕假定兩只螞蟻第1秒鐘都往上半圓相向爬行，那么它們共同爬行了9厘米。這時(shí)，它們調(diào)頭向下爬行3秒鐘，共爬行了9×3＝27〔厘米〕相對(duì)它們出發(fā)時(shí)的地點(diǎn)下降了27－9＝18〔厘米〕這時(shí)，它們又調(diào)頭問(wèn)上爬行5秒鐘，共行9×5＝45〔厘米〕，相對(duì)出發(fā)時(shí)的地點(diǎn)向上爬行了45－18＝27〔厘米〕依此類推，列出下表：從上表可以看出，在螞蟻連續(xù)向上爬行了13秒鐘的時(shí)候，正好相遇。這時(shí)螞蟻一共爬行了1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝49〔秒〕答：它們相遇時(shí)，已爬行的時(shí)間是49秒。分析：根據(jù)工作效率＝工作量÷時(shí)間，列下表：解：從上表可知師傅與徒弟兩人工作效率的比為：答：師傅與徒弟兩人工作效率的比是5∶3。例3長(zhǎng)方形ABCD周長(zhǎng)為16米，在它的每條邊上各畫一個(gè)以該邊為長(zhǎng)的正方形〔如圖3.6〕。這四個(gè)正方形的面積的和是68平方米，求長(zhǎng)方形ABCD的面積。〔第四屆“華羅庚金杯〞少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽復(fù)賽試題〕分析：要求長(zhǎng)方形ABCD的面積，必須知道長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬各是多少，假設(shè)用算術(shù)方法或列方程解答都比擬難，改用列表法解答那么比擬容易。由“長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)是16米〞，“四個(gè)正方形的面積的和為68平方米〞這兩個(gè)條件，以及長(zhǎng)方形對(duì)邊相等的性質(zhì)，可以推出長(zhǎng)＋寬＝8〔米〕長(zhǎng)2＋寬2＝68÷2＝34〔平方米〕根據(jù)推論列表如下：解：分析上表，符合條件的長(zhǎng)應(yīng)該是5米，寬應(yīng)該是3米，那么長(zhǎng)方形ABCD的面積為5×3＝15〔平方米〕答：長(zhǎng)方形ABCD的面積是15平方米。例4有假設(shè)干只重量相同的箱子共重10噸，且每只箱子的重量不少于1噸。用載重3噸的汽車一次將箱子運(yùn)走，至少需要__輛車子。〔1993年全國(guó)小學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題〕分析：由“每只箱子的重量不少于1噸〞，每輛汽車“載重3噸〞的條件，可知每一箱子的重量的取值范圍是1≤3。由于箱子的只數(shù)只能是自然數(shù)，根據(jù)“假設(shè)干只重量相同的箱子共重10噸〞的條件，可知箱子的只數(shù)是10、9、8、7、6、5、和4這七種情況。要注意的是，假設(shè)每只箱子的重量是1噸，那么共有10只箱子，用3輛汽車每車裝3只箱子，就還剩下1只箱子沒(méi)有運(yùn)走，故至少要4輛汽車才能一次運(yùn)完。根據(jù)條件和問(wèn)題，列表解答如下：從上表可知至少要6輛車才能一次將箱子運(yùn)走。答：至少需要6輛汽車?！炯僭O(shè)法】一些題目含有兩個(gè)或者兩個(gè)以上的未知數(shù)量，其數(shù)量關(guān)系比擬隱蔽，很難找到解題途徑。為了使復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得單一，使隱蔽的關(guān)系變得明朗，我們可以用“假設(shè)〞，改變某些條件，或者將某個(gè)條件設(shè)為。對(duì)因假設(shè)而產(chǎn)生的差異進(jìn)行分析推斷，并加以調(diào)整，從而使問(wèn)題獲得解決。這種解題方法，就是假設(shè)法。“假設(shè)〞是一種重要的數(shù)學(xué)思想。列方程解應(yīng)用題，把未知數(shù)設(shè)為X；有關(guān)倍數(shù)應(yīng)用題，常常假定一個(gè)數(shù)量為“1倍〞或“1〞份；解答分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，把一個(gè)數(shù)量假定為單位“1〞。這些都是假設(shè)法的廣泛應(yīng)用。我國(guó)古代的“雞兔同籠〞、“百僧分饃〞等問(wèn)題，都是用假設(shè)法解答的典型應(yīng)用題。例1在一個(gè)停車場(chǎng)上，現(xiàn)有的車輛數(shù)是24輛。其中汽車是4個(gè)輪子，摩托車是3個(gè)輪子，這些車共有86個(gè)輪子。那么，三輪摩托車有__輛?！?992年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題〕分析：假設(shè)這24輛全是汽車，那么有輪子：4×24＝96〔個(gè)〕比實(shí)際的86個(gè)多了：96－86＝10〔個(gè)〕可以推斷汽車不可能為24輛，對(duì)假設(shè)要作調(diào)整。由于每輛汽車比摩托車多1個(gè)輪子，多出的10個(gè)輪子就是多將10輛摩托車假定為汽車造成的。因此，摩托車為10÷1＝10〔輛〕解：〔4×24－86〕÷〔4－3〕＝10÷1＝10〔輛〕………………摩托車輛數(shù)24－10＝14〔輛〕…汽車輛數(shù)答：有三輪摩托車10輛。此題也可以假設(shè)這24輛全是摩托車，那么汽車為〔86－24×3〕÷〔4－1〕＝14〔輛〕，摩托車那么為24－14＝10〔輛〕。例2某車站售出汽車月票假設(shè)干張。每張學(xué)生票6元，每張成人票14元；售出的學(xué)生票比成人票多700張，售出的成人票比學(xué)生票多收6200元。問(wèn)售出的成人票與學(xué)生票各多少?gòu)?？分析：假設(shè)再售出成人票700張，那么學(xué)生票的張數(shù)就與成人票的張數(shù)同樣多，那么成人票又要多收：700×14＝9800〔元〕成人票比學(xué)生票一共多收：6200＋9800＝16000〔元〕而每張成人票比學(xué)生票要多收14－6＝8〔元〕，16000元里面包含了多少個(gè)8元，就是學(xué)生票的張數(shù)：16000÷8＝2000〔張〕解：〔6200＋700×14〕÷〔14－6〕＝16000÷8＝2000〔張〕……學(xué)生票數(shù)2000－700＝1300〔張〕……成人票數(shù)答：售出學(xué)生票2000張，成人票1300張。分析：題中兩個(gè)分率的單位“1〞〔或標(biāo)準(zhǔn)量〕不統(tǒng)一，解此題的關(guān)鍵是假設(shè)哪一個(gè)量為單位“1〞?？梢约僭O(shè)文藝書的本數(shù)為單位“1〞，也可以假設(shè)科技書的本數(shù)為單位“1〞，還可以假設(shè)兩種圖書的總數(shù)為單位“1〞，甚至可以假設(shè)兩種圖書相等的局部為單位“1〞?，F(xiàn)在假設(shè)科技書的本數(shù)為單位“1〞。用分?jǐn)?shù)除法求得文藝書的本數(shù)是科技書的幾分之幾；還可以根據(jù)比例的根本性質(zhì)求得文藝書的本數(shù)是科技書的幾分之幾：這樣就找到了文藝書比科技書多120本的對(duì)應(yīng)分率是：＝240〔本〕……………科技書本數(shù)120＋240＝360〔本〕…文藝書本數(shù)240＋360＝600〔本〕…圖書總數(shù)答：共購(gòu)進(jìn)圖書600本。例4某工廠的27位師傅共帶徒弟40名。每位師傅可以帶一名徒弟、兩名徒弟或三名徒弟。如果帶一名徒弟的師傅的人數(shù)是其他師傅的人數(shù)的兩倍，那么帶兩名徒弟的師傅有______位?！?993年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題初賽民族卷〕分析：由帶一名徒弟的師傅人數(shù)是其他師傅的人數(shù)的兩倍，可知帶兩名徒弟與帶三名徒弟的師傅總?cè)藬?shù)是：27÷〔1＋2〕＝9〔名〕9名師傅共帶徒弟的人數(shù)是：40－1×〔27－9〕＝22〔名〕假設(shè)9名師傅每人都帶3名徒弟，那么有徒弟的人數(shù)是：3×9＝27〔名〕比實(shí)際的22名多了：27－22＝5〔名〕可知9名師傅不可能都帶三名徒弟，多出的5名徒弟就是多將5名師傅都假設(shè)成帶了三名徒弟的緣故，其中必有5名師傅是帶兩名徒弟的。解：〔3×9－22〕÷〔3－2〕＝5〔名〕答：帶兩名徒弟的師傅有5位。例5甲、乙兩地相距480千米。一輛汽車從甲地開(kāi)往乙地，前3小時(shí)行了全程的37.5％，照這樣計(jì)算，還要幾小時(shí)到達(dá)乙地？分析：如果把汽車行完全程所需的時(shí)間假設(shè)為單位“1〞，那么行完全程所需的時(shí)間為：3÷37.5％＝8〔小時(shí)〕那么，還要幾小時(shí)到達(dá)乙地，那么為：8－3＝5〔小時(shí)〕像這樣巧用假設(shè)，使問(wèn)題解答得十分簡(jiǎn)捷。解：3÷37.5％－3＝5〔小時(shí)〕答：還要5小時(shí)到達(dá)乙地。例6甲、乙兩個(gè)小朋友各有糖假設(shè)干粒。如果乙給甲16粒，甲的糖就是乙的2倍；如果甲給乙9粒，乙的糖就是甲的3倍。求甲、乙兩人原有糖各是多少粒？分析：這道題的數(shù)量關(guān)系十分隱蔽，很難發(fā)現(xiàn)數(shù)量間的聯(lián)系。解題的關(guān)鍵是通過(guò)假設(shè)找到甲、乙兩人糖數(shù)間的倍數(shù)關(guān)系。為了弄清誰(shuí)是誰(shuí)的幾倍，必須先設(shè)甲〔或乙〕原有的糖數(shù)為“1倍〞?，F(xiàn)在以甲原有的糖數(shù)為“1〞倍。假設(shè)乙不給甲16粒，仍要使乙的糖數(shù)假設(shè)甲不給乙9粒，仍要使乙的糖數(shù)是甲的3倍，那么乙的糖數(shù)應(yīng)增加9×〔1＋3〕粒。通過(guò)分析，可知乙的糖數(shù)先后變化之差為：由此可以求出甲原有糖的粒數(shù)?！?4＋16〕÷2＋16＝36〔粒〕………………乙答：甲原有糖24粒，乙原有糖36粒。分析：這道題要求的數(shù)量有兩種，兩廠上交稅金所取分率的單位“1〞又各不相同，很難找到“量〞與“率〞的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果使用“假設(shè)〞便能順利地解決這個(gè)問(wèn)題。比實(shí)際上交的稅金少了：42－32＝10〔萬(wàn)元〕＝63〔萬(wàn)元〕…………甲廠上交稅金112－63＝49〔萬(wàn)元〕……………乙廠上交稅金答：甲廠上交稅金63萬(wàn)元，乙廠上交稅金49萬(wàn)元。例8一個(gè)人從縣城騎車去鄉(xiāng)辦廠。他從縣城騎車出發(fā)，用30分鐘行完了一半路程。這時(shí)，他加快了速度，每分鐘比原來(lái)多行50米，又騎了20分鐘后，他從路旁的里程標(biāo)志牌上知道，必須再騎2千米才能趕到鄉(xiāng)辦廠。求縣城到鄉(xiāng)辦廠之間的路程?！病缎W(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》第五屆小學(xué)生數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題〕分析：此題“用30分鐘行完了一半路程〞，但未給出每分鐘行多少米，后來(lái)“每分鐘比原來(lái)多行50米〞，究竟后來(lái)一分鐘的速度是多少，也不可知。所以按條件無(wú)法直接求得縣城到鄉(xiāng)辦廠之間的路程。我們可以用假設(shè)法使問(wèn)題得到解決。把全路程看作“1〞，假設(shè)后20分鐘仍按原速行進(jìn)，即每分鐘不多走50米，那么此人行了30＋20＝50〔分鐘〕后，還離鄉(xiāng)辦廠的路程為：50×20＋2000＝3000〔米〕按照這個(gè)假設(shè)推出行完全程所需的時(shí)間為：30×2＝60〔分鐘〕根據(jù)速度一定，行走的時(shí)間與路程成正比例，可知50分鐘所行路程為全所以全程為：＝18000〔米〕答：縣城到鄉(xiāng)辦廠之間的路程是18000米?！巨D(zhuǎn)化法】有些問(wèn)題直接運(yùn)用所給的條件，很難找到解決問(wèn)題的線索。這就需要溝通知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，改變思考方式，恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化題中的數(shù)量關(guān)系，把隱含的情節(jié)和條件轉(zhuǎn)化為明顯，把難求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉而容易解決的問(wèn)題。這種思考問(wèn)題的方法，就是轉(zhuǎn)化法。分析：題中三個(gè)分率的單位“1〞都不相同，一般要通過(guò)轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一單位“1〞。最簡(jiǎn)單的方法是把全路程看作單位“1〞，把第二和第三小時(shí)所行的路程都轉(zhuǎn)化為全程的幾分之幾。第二小時(shí)行的路程是全程的：第三小時(shí)行的路程是全程的：30千米的對(duì)應(yīng)分率是：由此可以求得A、B兩城相距的路程為：＝240〔千米〕答：A、B兩城相距240千米。分析：這道題只從分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的關(guān)系去尋求解題的方法，就十分困難。桃樹(shù)棵樹(shù)與李樹(shù)棵樹(shù)的比，這道題就變成了容易解答的按比例分配的問(wèn)題。根據(jù)條件用下面的等式來(lái)表示桃樹(shù)和李樹(shù)的數(shù)量關(guān)系。根據(jù)比例的根本性質(zhì)：兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積。可以得到：答：桃樹(shù)有120棵，李樹(shù)有64棵。女生少______人?！?993年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽決賽民族試題〕分析：這是一道較復(fù)雜的和倍問(wèn)題，我們可以通過(guò)轉(zhuǎn)化把數(shù)量關(guān)系變得簡(jiǎn)單。男生比女生少多少人？〞＝225〔人〕………男生人數(shù)465－225＝240〔人〕……………女生人數(shù)240－225＝15〔人〕…男生比女生少的人數(shù)答：男生比女生少15人。例4甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工零件20只，丙加加工零件______，乙加工零件______，丙加工零件______?！?993年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試題〕分析：根據(jù)條件把乙加工零件的數(shù)量看作單位“1〞。由“丙加工零件個(gè)等量關(guān)系表示為通過(guò)對(duì)上面兩式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可知甲加工零件數(shù)相當(dāng)于乙加工零件數(shù)的得乙加工零件的只數(shù)。解：把乙加工的零件數(shù)看作是單位“1〞＝40〔只〕……………乙加工零件數(shù)40＋20＝60〔只〕…甲加工零件數(shù)答：甲、乙、丙三人加工的零件數(shù)分別為40只、60只、32只。例5鞋店從批發(fā)部以25元的單價(jià)購(gòu)進(jìn)皮鞋假設(shè)干雙。按40元一雙的零售價(jià)賣出，賣出一半又15雙時(shí)，已將本錢收回。問(wèn)購(gòu)進(jìn)皮鞋多少雙？分析：假設(shè)按40元一雙的零售價(jià)賣出一半所收回的錢，那么比本錢差40×15＝600〔元〕而按40元一雙的零售價(jià)賣出一半收回的錢，就等于以20元一雙的售價(jià)賣出全部皮鞋所收回的錢，按本錢計(jì)算每雙皮鞋要虧損25－20＝5〔元〕所以，題目可以轉(zhuǎn)化為“鞋店從批發(fā)部以25元的單價(jià)購(gòu)進(jìn)皮鞋假設(shè)干雙，假設(shè)按20元一雙的零售價(jià)賣出，那么要虧損600元。問(wèn)購(gòu)進(jìn)皮鞋多少雙？〞這樣，我們就能從虧損總額和每雙的虧損額的對(duì)應(yīng)關(guān)系中，求得購(gòu)進(jìn)皮鞋的總數(shù)。解：40×15÷〔25－20〕＝120〔雙〕答：購(gòu)進(jìn)皮鞋120雙?！脖本┦械诰艑眯W(xué)生“迎春杯〞數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題〕分析：根據(jù)分?jǐn)?shù)除法與分?jǐn)?shù)乘法的關(guān)系和積的變化規(guī)律，將題中某些條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，此題就能簡(jiǎn)算。＝100〔1993年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試題〕分析：觀察所給數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，根據(jù)帶分?jǐn)?shù)加法的計(jì)算法那么，把每個(gè)帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)局部和分?jǐn)?shù)局部拆開(kāi)，將此題重新組合成為以下算式：再觀察分母的特點(diǎn)，每個(gè)分?jǐn)?shù)的分母都可以分解為兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)相乘。計(jì)算時(shí)我們先把每個(gè)分?jǐn)?shù)的分母寫成兩個(gè)自然數(shù)相乘的形式，再把每個(gè)分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減的形式。這樣在計(jì)算過(guò)程中，加、減可以抵消，使計(jì)算變得十分簡(jiǎn)便，這就是拆項(xiàng)相消法。例8一個(gè)四邊形的兩條邊的長(zhǎng)度和三個(gè)角，如圖3．7左所示，那么這個(gè)四邊形的面積是______。〔1994年小學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題〕分析：運(yùn)用條件不能直接求得這個(gè)四邊形的面積。如果將四邊形的兩條邊延長(zhǎng)〔圖3．7右〕，便得到兩個(gè)三角形，即△ABC和△ADE。由∠B為直角，∠C＝45°可知△ABC為等腰直角三角形；由∠E是直角，∠A＝∠C，可知△ADE也是等腰直角三角形。要求的四邊形的面積就轉(zhuǎn)化為求△ABC與△ADE面積之差。解：7×7÷2－3×3÷2＝24.5－4.5＝20答：這個(gè)四邊形的面積是20。【對(duì)應(yīng)法】一些應(yīng)用題的數(shù)量之間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系。如平均數(shù)問(wèn)題中，總數(shù)對(duì)應(yīng)著總份數(shù)；正、反比例中，兩種相關(guān)聯(lián)的量與兩組數(shù)值相對(duì)應(yīng)；分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，一個(gè)量對(duì)應(yīng)著一個(gè)分率，即量、率對(duì)應(yīng)。許多應(yīng)用題，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，條件變化紛繁，但是找準(zhǔn)數(shù)量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系后，就能實(shí)現(xiàn)由未知向轉(zhuǎn)化。這種運(yùn)用對(duì)應(yīng)關(guān)系解題的方法，就是對(duì)應(yīng)法。例1學(xué)校乒乓球隊(duì)12人合影留念。普通彩照洗2張的價(jià)格是16元，加洗一張0.8元。如果一人得一張照片，平均每人出多少錢？分析：12個(gè)人一人要得一張照片，共需12張。12張表示總份數(shù)，與之相對(duì)應(yīng)的是12張照片的總價(jià)。題中“普通彩照洗2張的價(jià)格是16元〞，這16元中已經(jīng)包含了2張照片的錢數(shù)，只需再加上加洗10張的錢，便是12張照片的總價(jià)，用付出錢的總數(shù)除以相對(duì)應(yīng)的照片的張數(shù)，就得到平均每人應(yīng)付的錢數(shù)。解：[16＋0.8×〔12－2〕]÷12＝24÷12＝2〔元〕答：平均每人應(yīng)付2元。例2水果店把一批桃子放在甲、乙兩個(gè)筐里。其中甲筐的重量占總數(shù)的55％，如果從甲筐取出6千克放入乙筐，這時(shí)兩個(gè)筐里的桃子各占總數(shù)的50％。這批桃子共重多少千克？分析：甲筐桃子的重量由原來(lái)占總數(shù)的55％變成50％，是因?yàn)槿〕隽?千克放入乙筐，兩個(gè)百分率相差5％，正好與6千克相對(duì)應(yīng)，運(yùn)用這個(gè)量、率的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即可求得這批桃子的重量。解：6÷〔55％－50％〕＝6÷5％＝120〔千克〕答：桃子共重120千克?！沧ⅲ阂部梢杂脠D解法〕例3解放軍修一段防洪堤，原方案5月份〔31天〕修1240米，前6天分析：這題按一般解法，步驟較多，運(yùn)用對(duì)應(yīng)關(guān)系解就簡(jiǎn)單得多。如果我們把實(shí)際完成全工程的時(shí)間看作單位“1〞，題中“6天就完成了全工程間，求提前幾天完成全工程，就只需兩步計(jì)算。＝31—24＝7〔天〕答：可以提前7天完成。分析：解答此題的關(guān)鍵是要找出實(shí)際數(shù)量的對(duì)應(yīng)分率。把圖書的總數(shù)看見(jiàn)線段圖〔圖3．8〕：答：這批圖書共有200本。例5有一塊菜地和一塊麥地。菜地的一半和麥地的三分之一放在一起是13公畝。麥地的一半和菜地的三分之一放在一起是12公畝。那么，菜地是幾公畝？〔1986年“華羅庚金杯〞少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初賽試題〕分析：此題有多種解法，用對(duì)應(yīng)法解，關(guān)鍵是找出13公畝、12公畝的對(duì)應(yīng)分率，下面把條件排列出來(lái)分析30÷2＝15〔公畝〕答：菜地是18公畝。例6買來(lái)蘋果假設(shè)干個(gè)，4人平均分余2個(gè)，5人平均分余3個(gè)，6人平均分余4個(gè)。一共有多少個(gè)蘋果？分析：用對(duì)應(yīng)法解此題，以蘋果的總數(shù)為被除數(shù)，列下表分析除數(shù)與余數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。從上表中看出除數(shù)與余數(shù)的差是常數(shù)2，那么被除數(shù)加上2的和能分別被4、5、6整除，所以，要求的被除數(shù)是4、5、6最小公倍數(shù)與2的差。解：求4、5、6的最小公倍數(shù)2×2×5×3＝6060—2＝58〔個(gè)〕答：有蘋果58個(gè)。例7張大伯帶假設(shè)干元錢去買菜。如果買2.5千克鮮魚，還剩0.8元，如果買4千克鮮魚，那么差8.8元。問(wèn)鮮魚每千克多少元？張大伯帶了多少錢？分析：排列條件：根據(jù)上面兩次買魚的數(shù)量之差與總價(jià)之差的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以求得鮮魚的單價(jià)，然后再求張大伯帶了多少錢。解：〔0.8＋8.8〕÷〔4—2．.〕＝9.6÷1.5＝6.4〔元〕6.4×2.5＋0.88＝16.8〔元〕答：每千克鮮魚6.4元，張大伯帶了16.8元?！敬鷵Q法】在解題時(shí)，常常遇到有的題目中有兩上或兩個(gè)以上的未知數(shù)量，這些數(shù)量之間具有相等的關(guān)系，我們可以用一個(gè)未知數(shù)量代替其它的未知數(shù)量，使未知條件轉(zhuǎn)化為條件，從而找到解題的方法。這就是代換法。例1甲、乙二人合做一批零件。甲做了8小時(shí)，乙做了6小時(shí)，一共做了360個(gè)零件。甲2小時(shí)的工作量等于乙3小時(shí)的工作量。兩人每小時(shí)各做多少個(gè)零件？分析：因?yàn)椤凹?小時(shí)的工作量等于乙3小時(shí)的工作量。〞為了使未知量變得單一，可以把甲的工作量換成乙的工作量，也可以把乙的工作量換成甲的工作量。根據(jù)題意可知甲8小時(shí)的工作量，乙要3×〔8÷2〕＝12〔小時(shí)〕完成；乙6小時(shí)的工作量，甲要2×〔6÷3〕＝4〔小時(shí)〕完成。即甲8小時(shí)的工作量＝乙12小時(shí)的工作量乙6小時(shí)的工作量＝甲4小時(shí)的工作量如果以乙代換甲，那么如果以甲代換乙，那么以乙代換甲為例，題意那么簡(jiǎn)化為“某人18小時(shí)共做360個(gè)零件，平均每小時(shí)做多少個(gè)零件？〞解：360÷[6＋3×〔8÷2〕]＝360÷18＝20〔個(gè)〕……乙每小時(shí)做零件個(gè)數(shù)20×3÷2＝30〔個(gè)〕……甲每小時(shí)做零件個(gè)數(shù)答：甲、乙兩人每小時(shí)做零件的個(gè)數(shù)分別為20個(gè)、30個(gè)。例2一列客車與一列貨車同時(shí)從A、B兩站相向開(kāi)出，6小時(shí)相遇。相遇后客車4小時(shí)到達(dá)B站。貨車還要幾小時(shí)到達(dá)A站？分析：“相遇后客車4小時(shí)到達(dá)B站〞這個(gè)條件隱含著一個(gè)等量關(guān)系。如圖:由上圖可知客車4小時(shí)走的路程＝貨車6小時(shí)走的路程換，便能求得貨車還要幾小時(shí)到達(dá)A站。解：6×〔6÷4〕＝9〔小時(shí)〕答:貨車還需要9小時(shí)到達(dá)A站。例3甲、乙、丙三人共為抗洪救災(zāi)捐款1000元。乙捐的錢比甲的2倍多30元，丙捐的錢比甲、乙之和少20元。三人各捐多少元？分析：排列條件①甲＋乙＋丙＝1000②乙＝2甲＋30③丙＝甲＋乙－20此題包含了三個(gè)未知量，上面的三個(gè)式子中每一個(gè)式子都含有兩個(gè)以上的未知量，如果設(shè)法把某一個(gè)式子中不同的未知量都用同一個(gè)量代替，問(wèn)題就容易解決了。根據(jù)②式、③式進(jìn)行等量代換，式①那么變?yōu)椋?甲＝1000—60＋20甲＝160以甲＝160代入②式、③式，即可求得乙、丙兩個(gè)未知量。解：把甲捐款數(shù)看作1份〔1000—60＋20〕÷〔1＋2＋1＋2〕＝960÷6＝16O〔元〕………甲捐款數(shù)160×2＋30＝350〔元〕…………乙捐款數(shù)160＋350—20＝490〔元〕………丙捐款數(shù)答：甲、乙、丙三人捐款的錢數(shù)分別為160元、350元、490元。例4〔如圖3．10〕ABCD是一個(gè)長(zhǎng)方形。三角形ADE比三角形CEF的面積小10平方米。問(wèn)CF的長(zhǎng)是多少厘米？〔北京市第三屆小學(xué)生“迎春杯〞數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題〕分析：要求CF的長(zhǎng)，一般須知道三角形CEF的面積和它的高CE的長(zhǎng)，而這兩個(gè)條件都是未知的，按這個(gè)思路無(wú)從下手。但根據(jù)圖形的組合關(guān)系和條件，可以用等量代換的方法求解。為了便于看清楚圖形的組合關(guān)系，把這個(gè)圖形分成甲〔三角形ADE〕、乙〔梯形ABCE〕、丙〔三角形CEF〕三個(gè)局部。三角形ABF的高〔即長(zhǎng)方形的長(zhǎng)〕是10厘米，如果能求得三角形ABF的面積，便可求得BF的長(zhǎng)。因此，求得三角形ABF的面積是解題的關(guān)鍵。長(zhǎng)方形ABCD的面積為6×10＝60〔平方厘米〕所以甲＋乙＝60丙＝甲＋10用甲＋10代換丙，得乙＋丙＝乙＋甲＋10所以乙＋丙＝60＋10＝70因此，得三角形ABF的面積為70平方厘米。從而推算出CF的長(zhǎng)。解：CF＝〔10×6＋10〕×2÷10—6＝14—6＝8〔厘米〕答：CF的長(zhǎng)是8厘米。例5甲、乙兩班的人數(shù)相等，各有一些同學(xué)參加課外天文小組。甲班參數(shù)的幾分之幾？〔“華羅庚金杯〞少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽復(fù)賽試題〕分析：由于甲、乙兩班人數(shù)相等，如果把甲班人數(shù)看作1份，那么乙班沒(méi)有參加的人數(shù)就相當(dāng)于3份。如果把乙班人數(shù)看作1份，那么甲班沒(méi)有參加的人數(shù)就是4份。為了表達(dá)的簡(jiǎn)便，用字母表示下面各數(shù)量：A表示甲班參加天文小組的人數(shù)；根據(jù)題意，圖示如下〔如圖3．11〕：此題是要求甲班沒(méi)有參加的人數(shù)〔用“甲未〞表示〕與乙班未參加人數(shù)〔用“乙未〞表示〕的關(guān)系。因此，要設(shè)法運(yùn)用代換方法，把其它的量轉(zhuǎn)化為“甲未〞和“乙未〞表示。觀察上圖可知A＝A′，B＝B′，A＋B′＝B＋A′所以3B′＝2A′解：從上面這個(gè)等量關(guān)系式可知：例61991×—1992×分析：根據(jù)數(shù)的組成，可以將一個(gè)數(shù)分解為因數(shù)相乘的形式×100010001×100010001通過(guò)等量代換，進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算原式＝1991×1992×100010001—1992×1991×100010001＝0【消去法】在一些應(yīng)用題中，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上并列的未知數(shù)。我們可以根據(jù)所給數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，先消去一個(gè)或幾個(gè)未知數(shù)，使數(shù)量關(guān)系化繁為簡(jiǎn)。在求得一個(gè)未知數(shù)后，再求其它的未知數(shù)。這種解題方法就是消去法。例1買3個(gè)菜碗8個(gè)飯碗共付19.2元，買同樣的3個(gè)菜碗5個(gè)飯碗共付14.7元。一個(gè)菜碗與一個(gè)飯碗的單價(jià)各是多少元？分析：排列條件兩次買菜碗的個(gè)數(shù)相等，付出的錢數(shù)是同樣多。①－②得到兩次買碗付款的差額是4.5元，這4.5元正好是3個(gè)飯碗的價(jià)錢，由此求得1個(gè)飯碗的單價(jià)是4.5÷3＝1.5〔元〕解：〔19.2—14.7〕÷〔8—5〕＝4.5÷3＝1.5〔元〕…………飯碗的單價(jià)〔19.2—1.5×8〕÷3＝7.2÷3＝2.4〔元〕…………菜碗的單價(jià)答：一個(gè)飯碗1.5元，一個(gè)菜碗2.4元。例2頭牛4匹馬每天吃草93千克，5頭牛6匹馬每天吃草147千克。一頭牛與一匹馬每天各吃草多少千克？分析：排列條件題中牛和馬兩次的數(shù)量各不相同，不能像例1那樣直接消去一個(gè)未知數(shù)。要設(shè)法使它們之間有兩個(gè)相同的數(shù)量。根據(jù)加數(shù)擴(kuò)大幾倍，和也擴(kuò)大相同倍數(shù)的道理，將原數(shù)量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，設(shè)法消去一個(gè)未知數(shù)。消去馬的匹數(shù)后，得到一頭牛每天吃草15千克。解：〔147×2—93×3〕÷〔5×2—3×3〕＝15÷1＝15〔千克〕………一頭牛每天吃草量〔93—15×3〕÷4＝48÷4＝12〔千克〕答：一頭牛與一匹馬每天吃草量分別是15千克和12千克。例3為抗洪救災(zāi)捐款，甲、乙兩人共捐192元，乙、丙兩人共捐176元，甲、丙兩人共捐184元。三人各捐款多少元？分析：排列條件此題有三個(gè)未知數(shù)，先設(shè)法消去兩個(gè)未知數(shù)。通過(guò)先消去乙、丙兩個(gè)未知數(shù)，可知甲捐款為200÷2＝100〔元〕。解：〔192＋184—176〕÷2＝200÷2＝100〔元〕………………甲192—100＝92〔元〕………乙184—100＝80〔元〕…………丙答：甲、乙、丙三人捐款分別是100元、92元、84元。①與②中男工與男工，女工與女工的分率都不同，要設(shè)法變換條件，使兩式中表示男工人數(shù)的分率或表示女工人數(shù)的分率相同，才便于消去一個(gè)例5某文具店中的鉛筆、彩色筆、圓珠筆用三種方式搭配裝在文具盒內(nèi)出售，文具盒內(nèi)裝有4支鉛筆售4元；在同一種文具盒內(nèi)裝4支彩色筆和2支圓珠筆售8元；仍在這種文具盒內(nèi)裝4支彩色筆和2支圓珠筆，再加2支鉛筆售9元，如果在這個(gè)文具盒內(nèi)裝3支鉛筆、2支彩色筆和1支圓珠筆，那么售價(jià)應(yīng)該是______?！?993年上海市第六屆小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽復(fù)賽試題〕。分析：題目中有四個(gè)未知數(shù)，為了表述的簡(jiǎn)便，我們用a、b、c、d四個(gè)字母分別表示文具盒、鉛筆、彩色筆、圓珠筆的單價(jià)，題中的條件就可以用以下三個(gè)關(guān)系式來(lái)表示：a＋4b＝4〔元〕a＋4c＋2d＝8〔元〕a＋4c＋2d＋2b＝9〔元〕分析：排列條件用③－②9元比8元多1元，是因?yàn)槎噘u出2支鉛筆，那么鉛筆的單價(jià)為1÷2＝0.5〔元〕從①中減去4支鉛筆的錢，得文具盒的單價(jià)為4—0.5×4＝2〔元〕從②中減去文具盒的錢，得4支彩色筆和2支圓珠筆的錢，假設(shè)再除以2，那么正好是題中要求的2支彩色筆和1支圓珠筆的錢?！?—2〕÷2＝3〔元〕通過(guò)消元，求得文具盒和鉛筆的單價(jià)，以及2支彩色筆和1支圓珠筆的錢。那么，求文具盒內(nèi)裝3支鉛筆、2支彩筆和1支圓珠筆的售價(jià)就迎刃而解了。解：〔9—8〕÷2＝0.5〔元〕……鉛筆單價(jià)4—0.5×4＝2〔元〕……文具盒單價(jià)〔8—2〕÷2＋0.5×3＋2＝3＋1，5＋2＝6.5〔元〕答：售價(jià)應(yīng)該是6.5元。【復(fù)原法】我們常常遇到這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，其解法是從問(wèn)題本身或某個(gè)算式的結(jié)果出發(fā)，一步一步倒著推理，使其逐步靠攏條件，直至問(wèn)題的解決。這種解答問(wèn)題的方法就是復(fù)原法〔也稱逆推法〕。它是數(shù)學(xué)上一種重要的思考方法，也是解容許用題常用的方法。這種方法形象地講就是：怎樣來(lái)的就怎樣回去。例1某數(shù)減去2，乘以6，再加上5得29，求這數(shù)。分析：最后一步運(yùn)算是“加上5得29〞，由逆運(yùn)算減法可求得這一步運(yùn)算前的結(jié)果是29—5＝24。24又是第二步運(yùn)算“乘以6〞得到的，由逆運(yùn)算除法可求得被乘數(shù)，因此未乘以6之前的數(shù)是24÷6＝4。4又是第一步運(yùn)算“減去2〞的結(jié)果，所以原數(shù)是4＋2＝6。即所求的數(shù)是6解：〔29—5〕÷6＋2＝6答：這數(shù)是6。例2甲、乙、丙三個(gè)港口各停小船假設(shè)干只。第一次從甲港分別開(kāi)出和乙港、丙港同樣多的船只到乙港和丙港。第二次又從乙港分別開(kāi)出和甲港、丙港同樣多的船只到甲港和丙港。第三次又從丙港開(kāi)出和甲港、乙港同樣多的船只分別到甲港和乙港。經(jīng)如上的移動(dòng)后，三港停泊的船只都是16只，問(wèn)：甲、乙、丙三港最初各有小船幾只？解：從第三次移動(dòng)開(kāi)始向前倒推。第三次移動(dòng)后，甲、乙、丙三港各停泊船只16只第三次移動(dòng)前，三港各有船只數(shù)目甲港16÷2＝8〔只〕乙港16÷2＝8〔只〕丙港16＋8＋8＝32〔只〕故第二次移動(dòng)后，甲、乙、丙三港停船數(shù)依次為8只、8只、32只。第二次移動(dòng)前，三港各有船只數(shù)目甲港8÷2＝4〔只〕丙港32÷2＝16〔只〕乙港8＋4＋16＝28〔只〕所以，每一次移動(dòng)后，甲、乙、丙三港有船數(shù)目依次為4只、28只、16只。第一次移動(dòng)前，三港各有船只數(shù)目乙港28÷2＝14〔只〕丙港16÷2＝8〔只〕甲港4＋14＋8＝26〔只〕所以開(kāi)始時(shí)，甲、乙、丙三港各有船只分別為26只、14只、8只。上述倒推過(guò)程可以列成下表：答：最初甲港有船26只，乙港有船14只，丙港有船8只。例35個(gè)空瓶可以換1瓶汽水，某班同學(xué)喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下來(lái)的空瓶換來(lái)的，那么他們至少要買汽水______瓶?！?4年小學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克決賽題〕分析：此題用復(fù)原法考慮，思路如下：從最合理的兌換應(yīng)是最后剩5個(gè)空瓶換回1瓶汽水，所以計(jì)算喝汽水的瓶數(shù)就有1〔瓶〕①這瓶汽水由5個(gè)空瓶換來(lái)，那么無(wú)疑喝汽水瓶數(shù)又有1×5＝5〔瓶〕②這5瓶汽水又由5×5個(gè)空瓶換來(lái)，故喝汽水的瓶數(shù)又有5×5＝25〔瓶〕③這25瓶汽水又由25×5個(gè)空瓶換來(lái)，故喝汽水的瓶數(shù)又有25×5＝125〔瓶〕④至此，將以上①、②、③、④項(xiàng)數(shù)累加，結(jié)果為：1＋1×5＋5×5＋25×5＝156〔瓶〕汽水，其中25×5＝125瓶是買的，這125瓶經(jīng)幾次兌換后可剩一個(gè)空瓶。題目所給條件是同學(xué)喝了161瓶汽水，但156瓶比161瓶少了5瓶，要滿足要求，必須再買4瓶喝了，連同原剩的1個(gè)空瓶再換回1瓶即5瓶，所以他們至少要買125＋4＝129〔瓶〕分析：此題先運(yùn)用最后剩下的數(shù)量與第三次取出的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行逆推，便能順利地獲得解答?！?〕將第二次取出大米后的剩余量看作“1〞，那么第二次取出后余下大米的數(shù)量為：〔2〕將第一次取出后的剩余量看作“1〞，那么第一次取出后余下大米的數(shù)量為：〔3〕把倉(cāng)庫(kù)原有大米的數(shù)量看作“1〞，那么倉(cāng)庫(kù)原有大米的數(shù)量為：＝120〔噸〕答：這個(gè)倉(cāng)庫(kù)原有大米120噸。例5雷鋒小學(xué)六年級(jí)成立了三個(gè)課外興趣小組。書法組的人數(shù)占參加總?cè)藬?shù)的30％，參加航模組和舞蹈組人數(shù)的比是3∶2，參加舞蹈組的有28人。求參加興趣小組的共有多少人？分析：從“參加舞蹈組的有28人〞進(jìn)行逆推。因?yàn)椤皡⒓雍侥＝M和舞蹈組人數(shù)的比是3∶2〞，28人相當(dāng)于2份，可求出1份的人數(shù)是28÷2＝14〔人〕，航模組人數(shù)占3份，那么可求出航模組人數(shù)為：28÷2×3＝42〔人〕由此可以求出兩組人數(shù)之和為：28＋42＝70〔人〕由“書法組人數(shù)占總?cè)藬?shù)的30％〞可知舞蹈組和航模組人數(shù)之和占總?cè)藬?shù)的1—30％＝70％。70÷70％就得出參加興趣小組的總?cè)藬?shù)。解：〔28＋28÷2×3〕÷〔1—30％〕＝70÷70％＝100〔人〕答：參加興趣小組的共有100人。【找“定〞法】某些題目中的數(shù)量關(guān)系先后變化繁多，很難辨清其內(nèi)在聯(lián)系。但是，萬(wàn)變不離其宗，我們要以不變應(yīng)萬(wàn)變，在多種數(shù)量的變化中，找出起關(guān)鍵作用的不變量，利用不變量搭橋過(guò)渡以求出未知量。這種解題方法就是變中找定法。題中的不變量是兩個(gè)車間人數(shù)的總量，解題的關(guān)鍵是抓住總量不變，把表示局部量之間關(guān)系的分率，轉(zhuǎn)化為局部量占總量的幾分之幾。把兩個(gè)車間的總?cè)藬?shù)看作單位“1〞。答：乙車間原有108人。例2甲、乙、丙三人共得獎(jiǎng)金假設(shè)干元。甲得的獎(jiǎng)金是乙、丙兩人所得獎(jiǎng)元。問(wèn)甲、乙二人各得獎(jiǎng)金多少元？分析：此題的定量是三人獎(jiǎng)金的總數(shù)，從求出甲、乙兩人所得的獎(jiǎng)金各占總數(shù)的幾分之幾入手，先求出獎(jiǎng)金總數(shù)，進(jìn)而求出甲、乙二人各得獎(jiǎng)金多少元？答：甲得獎(jiǎng)金3200元，乙得獎(jiǎng)金2400元。例3有兩條紙帶，一條長(zhǎng)21厘米，一條長(zhǎng)13厘米，把兩條紙帶都剪下下的一段有多長(zhǎng)？〔“華羅庚金杯〞少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽復(fù)賽試題〕分析：“把兩條紙帶都剪下同樣長(zhǎng)的一段〞這說(shuō)明長(zhǎng)、短兩條紙帶剩下局部的差與兩條紙帶原來(lái)的差相等，即它們的差是不變量，這就是說(shuō)長(zhǎng)紙帶仍比短紙帶長(zhǎng)21－13＝8〔厘米〕的一段有多長(zhǎng)。21－20.8＝0.2〔厘米〕答：剪下的一段長(zhǎng)0.2厘米例4老師與學(xué)生今年年齡之和是58歲，七年后老師的年齡是學(xué)生的2倍。老師與學(xué)生今年各是多少歲？〔廣東省“育苗杯〞小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)通訊賽復(fù)賽試題〕分析：老師與學(xué)生的年齡同時(shí)增加，且每年共增加2歲，這是一個(gè)定量。七年后老師與學(xué)生年齡之和那么為58＋2×7＝72〔歲〕，用和倍問(wèn)題的解法求出七年后學(xué)生的年齡，然后再求出老師與學(xué)生今年各是多少歲。解：〔58＋2×7〕÷〔2＋1〕＝72÷3＝24〔歲〕…七年后學(xué)生的年齡24－7＝17〔歲〕……………學(xué)生今年的年齡58－17＝41〔歲〕，…………老師今年的年齡答：老師與學(xué)生今年分別為41歲、17歲。分析：由于下午又運(yùn)來(lái)一批面粉，使得面粉的數(shù)量發(fā)生了變化，大米和后不同，如果從統(tǒng)一單位“1〞入手，那么給解題帶來(lái)很大的困難。假設(shè)仔細(xì)分析題目的條件，就能發(fā)現(xiàn)盡管一些條件在變化，但其中一個(gè)隱含的局部量沒(méi)有變，那就是大米的數(shù)量是個(gè)定量，以這個(gè)定量為突破口，問(wèn)題就容易解決了。根據(jù)題意，可知大米的袋數(shù)為：由此推得現(xiàn)在大米和面粉總數(shù)為：比原來(lái)增加了100－84＝16〔袋〕，即為下午運(yùn)來(lái)的面粉數(shù)。答：下午運(yùn)來(lái)面粉16袋。例6在6千克含鹽15％的鹽水中加水，使鹽水中含鹽9％，需要加水多少千克？分析：此題的定量是鹽的數(shù)量。根據(jù)題意，鹽的數(shù)量為6×15％＝0.9〔千克〕運(yùn)用0.9千克與9％相對(duì)應(yīng)的關(guān)系，求出加水后的鹽水為0.9÷9％＝10〔千克〕因?yàn)辂}的數(shù)量先后未變，而鹽水由6千克增加到10千克，所以增加的數(shù)量就是需要加水的數(shù)量。解：6×15％÷9％－6＝10－6＝4〔千克〕答：需要加水4千克?！靖戒洠航y(tǒng)籌法】統(tǒng)籌法是有關(guān)求最大值與最小值的實(shí)際應(yīng)用。我們?cè)谥贫稠?xiàng)工作方案或去完成某件工作時(shí)，必須考慮怎樣提高效率，加快工作進(jìn)程的問(wèn)題。統(tǒng)籌法就是研究怎樣選擇最合理、最節(jié)省的最優(yōu)方案去完成任務(wù)的方法。例1五所學(xué)校A、B、C、D、E之間有公路相通，圖上標(biāo)出每段公路的千米數(shù)，想借一個(gè)學(xué)校召開(kāi)一次學(xué)生代表會(huì)議，應(yīng)出席會(huì)議的A校有代表6人，B校有代表4人，C校有代表8人，D校有代表7人，E校有代表10人，為使參加會(huì)議的代表所走路程的總和為最小，你認(rèn)為會(huì)議應(yīng)借在______校召開(kāi)最合理?！?993年上海市第六屆小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽復(fù)賽試題〕分析：估計(jì)假設(shè)會(huì)議在A校或E校召開(kāi)，參加會(huì)議的代表所走路程的總和會(huì)很大，于是不選擇A校和E作為會(huì)議地點(diǎn)。其他各?？蛇M(jìn)行計(jì)算比擬。解：將A校和E校排除。如果選擇B校，代表所走路程總和為2×6＋2×7＋3×8＋10×〔3＋2〕＝100〔千米〕選擇C校，代表所走的路程總和是〔2＋3〕×6＋3×4＋〔2＋3〕×7＋2×10＝97〔千米〕選擇D校，代表所走路程總和是〔2＋2〕×6＋2×4＋〔2＋3〕×8＋4×10＝112〔千米〕進(jìn)行比擬，選擇會(huì)議召開(kāi)地點(diǎn)答：會(huì)議在C校召開(kāi)最合理。例2有兩個(gè)面粉廠供給三個(gè)居民區(qū)的面粉，甲廠月產(chǎn)60噸，乙廠月產(chǎn)100噸，第一居民區(qū)每月需要面粉45噸，第二居民區(qū)每月需要面粉75噸，第三居民區(qū)每月需要面粉40噸，甲廠與三區(qū)供給站的距離分別是10千米、5千米、6千米，乙廠與三區(qū)供給站的距離分別是4千米、8千米、5千米。問(wèn)應(yīng)如何分配面粉，才能使總運(yùn)費(fèi)最少？分析：要使總的運(yùn)費(fèi)最省，就要使總的“噸、千米〞盡可能小，我們可以用代數(shù)法求最小值。解：設(shè)甲廠運(yùn)往第一、二、三居民區(qū)的面粉分別為x噸、y噸、z噸，那么乙廠運(yùn)往三個(gè)居民區(qū)面粉分別為〔45－x〕噸、〔75－y〕噸、〔40－z〕噸。列出總噸、千米的表達(dá)式10x＋5y＋6z＋4〔45－x〕＋8〔75－y〕＋5〔40－z〕＝6x－3y＋z＋980因?yàn)閤＋y＋z＝60，所以z＝60－x－y，將它代入總噸、千米的表達(dá)式得6x－3y＋z＋980＝6x－3y＋60－x－y＋980＝5x－4y＋1040為了使總噸千米的值盡可能小，就要使這個(gè)表達(dá)式的值盡可能小，從上式看，也就是要x的值盡量小，y的值盡量大。于是取x＝0y＝60，從而z＝0答：甲廠供給第二居民區(qū)60噸，其余由乙廠供給，即乙廠供給第一居民區(qū)45噸，供給第二居民區(qū)15噸，供給第三居民區(qū)40噸。這樣分配，總運(yùn)費(fèi)最少。例3某人從住地外出有兩種方案，一種是騎自行車去，另一種是乘公共汽車去。顯然公共汽車的速度比自行車的速度快，但乘公共汽車有一個(gè)等候時(shí)間〔候車時(shí)間可看作是固定不變的〕、在任何情況下，他總是采用花時(shí)間最少的最正確方案。下表表示他到達(dá)A、B、C三地采用最正確方案所需要的時(shí)間。為了到達(dá)離住地8千米的地方，他需要花多少分鐘？并簡(jiǎn)述理由。〔第二屆小學(xué)《祖沖之杯》數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題〕分析與解：必須求出自行車、汽車速度及候車時(shí)間，才能選擇從住地到8千米的地方采取的最正確方案。從題目給出的條件進(jìn)行分析：從住地到B地比從住地到A地多1千米路程，多用了15.5－12＝3.5〔分鐘〕，從住地到乙地比到B地也多1千米路程，卻多用了18－15.5＝2.5〔分鐘〕，可知到A、B、C三地采用了兩種不同方案。需時(shí)間還少，這是不可能的?？蓴喽ǖ紹地是乘公共汽車去的。是不可能的。所以到C地是乘公共汽車去的。由于去B、C兩地都乘公共汽車，公共汽車的速度是每分鐘〔4－3〕÷下面考慮到達(dá)離住地8千米的地方，選擇何種方案。騎自行車去所需時(shí)間是乘公共汽車去所需時(shí)間是答：到達(dá)離住地8千米的地方應(yīng)采用乘公共汽車去的方案，其所需時(shí)間是28分鐘?！敬鷶?shù)方法】對(duì)于較復(fù)雜的應(yīng)用題，可以用代數(shù)法解答。用代數(shù)法解題，把未知數(shù)當(dāng)作數(shù)，根據(jù)題目中數(shù)量間的相等關(guān)系列出方程，通過(guò)解方程，求得問(wèn)題的答案。題目越復(fù)雜，便更能顯示方程解法的優(yōu)越性。列方程解題的關(guān)鍵是分析數(shù)量間的等量關(guān)系，根據(jù)實(shí)際情況直接或間接設(shè)未知數(shù)，列出方程，由于等量關(guān)系的不同，可以列出不同的方程。例1一個(gè)四位數(shù)，左邊第一位數(shù)字是7，如果把這個(gè)數(shù)字調(diào)到最后一位，那么這個(gè)數(shù)就要減少864，求這個(gè)四位數(shù)。7000＋x－〔10x＋7〕＝8647000＋x－10x－7＝8649x＝7000－7－8649x＝6129x＝681檢驗(yàn)：把x＝681代入原方程左邊＝7000＋681－〔681×10＋7〕＝864，右邊＝864左邊＝右邊所以x＝681是原方程的解答：這個(gè)四位數(shù)是7681。例2現(xiàn)有四個(gè)數(shù)，任取其中三個(gè)數(shù)相加，得其和分別為22、24、27和20。求這四個(gè)數(shù)各是多少？〔希臘數(shù)學(xué)家丟番圖趣題〕分析：題目要求這四個(gè)數(shù)字各是多少，如果設(shè)其中某一個(gè)數(shù)為x，那么其他三個(gè)數(shù)很難用x的式子表示。丟番圖作法很巧妙，間接設(shè)未知數(shù)，設(shè)四個(gè)數(shù)的和為x，那么這四個(gè)數(shù)分別為：x－22，x－24，x－27，x－20解：設(shè)四個(gè)數(shù)的和為x。依題意列方程得〔x－22〕＋〔x－24〕＋〔x－27〕＋〔x－20〕＝x4x－93＝x3x＝93x＝31x－22＝31－22＝9x－24＝31－24＝7x－27＝31－27＝4x－20＝31－20＝11答：這四個(gè)數(shù)分別是9、7、4、11。例3畫展9點(diǎn)開(kāi)門，但早有人排隊(duì)等候入場(chǎng)，從第一個(gè)觀眾來(lái)到時(shí)起，每分鐘來(lái)的人數(shù)一樣多。如果開(kāi)3個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)9分不再有人排隊(duì)，如果開(kāi)5個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)5分不再有人排隊(duì)。那么，第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間是8點(diǎn)______分。分析：假設(shè)第一個(gè)觀眾到達(dá)時(shí)比9點(diǎn)開(kāi)門提前x分鐘，把每分鐘來(lái)的人數(shù)看作“1〞。假設(shè)按第一種方法入場(chǎng)，那么9點(diǎn)以前等待的人數(shù)與9點(diǎn)后9分鐘內(nèi)陸續(xù)到來(lái)的人數(shù)總共有1×〔x＋9〕人，這些人在9分鐘以內(nèi)入場(chǎng)，以后陸續(xù)來(lái)由于兩種方法入場(chǎng)的每個(gè)入場(chǎng)口每分鐘入場(chǎng)的人數(shù)相等，可列方程得27x－25x＝225－1352x＝90x＝459點(diǎn)－45分＝8點(diǎn)15分答：第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間是8點(diǎn)15分。例4一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的比是7∶3，如果長(zhǎng)減少8厘米，寬增加6厘米，那么面積增加96平方厘米，求原來(lái)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬各是多少？作“1份〞，其等量關(guān)系是變化后的長(zhǎng)方形面積－原長(zhǎng)方形面積＝96平方厘米6x＝96＋48x＝24…寬答：原長(zhǎng)方形的寬為24厘米，長(zhǎng)為56厘米?！颈壤椒ā勘群捅壤菑臄?shù)量間的倍數(shù)關(guān)系和相依變化的角度來(lái)分析研究數(shù)量關(guān)系的。如果用比例方法去分析應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系，尋求解題途徑，往往能十分巧妙地解答一些難題。常見(jiàn)的比例應(yīng)用題有按比例分配，正比例、反比例、復(fù)比例、混合比例、連鎖比例等。例1甲、乙、丙三人進(jìn)行200米賽跑，當(dāng)甲到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，乙離終點(diǎn)還有20米，丙離終點(diǎn)還有25米，如果甲、乙、丙賽跑的速度都不變，那么，當(dāng)乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，丙離終點(diǎn)還有______米。〔1993年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題初賽A卷6題〕分析：乙的路程＝乙的速度×乙跑的時(shí)間丙的路程＝丙的速度×丙跑的時(shí)間因?yàn)?，乙和丙賽跑的速度不變，所用的時(shí)間相同，那么可知，在相同的時(shí)間內(nèi)，乙、丙賽跑的速度不變，乙的路程與丙的路程成正比例。題目的本質(zhì)是：乙、丙賽跑速度不變，在相同的時(shí)間里，乙跑了〔200－20〕米，丙跑了〔200－25〕米，問(wèn)乙跑了200米時(shí)，丙跑了多少米？解：設(shè)乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，丙跑了x米。列出對(duì)應(yīng)值表列出比例式例2某人早上7時(shí)20分從甲地到乙地去開(kāi)會(huì)。假設(shè)每分鐘走50米，那么要相距多少米？分析：速度、時(shí)間、路程的關(guān)系如下：解：設(shè)某人出發(fā)時(shí)離開(kāi)會(huì)的時(shí)間是x分鐘60x－50x＝250＋150x＝407時(shí)20分＋40分＝8時(shí)………………開(kāi)會(huì)的時(shí)刻50×40＋50×3＝2150〔米〕…………兩地相距路程答：8時(shí)開(kāi)始開(kāi)會(huì)，甲乙兩地相距2150米。例3一掛鐘一晝夜快18分鐘，假設(shè)在正午對(duì)準(zhǔn)，到第二天走到凌晨4點(diǎn)12分時(shí)，求這時(shí)正確的時(shí)刻。分析：正確的時(shí)鐘走24小時(shí)，而快的時(shí)鐘那么走了24小時(shí)18分。從正午對(duì)準(zhǔn)到第二天凌晨4點(diǎn)12分，快的時(shí)鐘走了16小時(shí)12分。在相同的時(shí)間里，快的時(shí)鐘走過(guò)的時(shí)間與正確的時(shí)鐘走過(guò)的時(shí)間成正比例。解：設(shè)正確的時(shí)鐘走了x小時(shí)24小時(shí)18分∶16時(shí)12分＝24∶x16時(shí)－12時(shí)＝4時(shí)答：正確的時(shí)刻是凌晨4時(shí)。例4某人步行速度與他騎自行車速度之比是2∶5。在同一時(shí)間里他騎自行車走的路程與某汽車走的路程的比為3∶7。這輛汽車12小時(shí)走的路程，又恰好等于一列火車5小時(shí)走的路程?，F(xiàn)在這列火車每小時(shí)走84千米，問(wèn)那位步行人每小時(shí)走多少千米？分析：根據(jù)題目要求，可將所有的比化為在相同時(shí)間條件下的路程之比。這是一個(gè)連鎖比例的問(wèn)題。解：在相同時(shí)間條件下人步行路程與騎自行車所行路程比為2∶5騎自行車的路程與汽車所行路程比為3∶7汽車所行路程與火車所行路程比為5∶12火車1小時(shí)走84千米，設(shè)人步行1小時(shí)行x千米，依據(jù)連鎖關(guān)系，將條件和問(wèn)題作如下排列：在這種連鎖排列中，左邊各數(shù)的乘積，等于右邊各數(shù)的乘積。即2×3×5×84＝5×7×12×x答：那位人步行每小時(shí)走6千米。例55臺(tái)抽水機(jī)3小時(shí)能抽水600立方米。6臺(tái)這樣的抽水機(jī)4小時(shí)能抽水多少立方米？分析：這是一道復(fù)比例應(yīng)用題，復(fù)比例就是由兩種以上的量組成的比例。工效×臺(tái)數(shù)×?xí)r間＝抽水量在工效一定的條件下，三個(gè)量：臺(tái)數(shù)、抽水時(shí)間、抽水量，每一個(gè)量都隨著其他量的變化而變化。當(dāng)抽水機(jī)臺(tái)數(shù)一定時(shí)，抽水量與抽水時(shí)間成正比例關(guān)系。當(dāng)抽水時(shí)間一定時(shí)，抽水量與抽水機(jī)臺(tái)數(shù)成正比例關(guān)系。當(dāng)抽水機(jī)臺(tái)數(shù)與抽水時(shí)間都變化時(shí)，抽水量就與這兩個(gè)量成復(fù)比例關(guān)系。一個(gè)量如果在其他量不變的條件下，分別和另外兩個(gè)量成比例〔正比例或反比例〕關(guān)系。那么它就和這兩個(gè)量成復(fù)比例關(guān)系，它的任意兩個(gè)數(shù)值之比就等于另外兩個(gè)量對(duì)應(yīng)數(shù)值之比〔正比或反比〕的復(fù)比。解答復(fù)比例應(yīng)用題，與解答單比例應(yīng)用題一樣，先設(shè)題目中的未知數(shù)為x，再將題目中的條件和問(wèn)題，列成表格，并根據(jù)正反比例關(guān)系，畫好同向或反向箭頭。解題的關(guān)鍵是判斷準(zhǔn)各種數(shù)量與含x的量成何種比例關(guān)系。成正比例關(guān)系的兩個(gè)量畫同向箭頭。成反比例的兩個(gè)量畫反向箭頭。判斷準(zhǔn)了，箭頭才能畫準(zhǔn)。題中幾個(gè)量的關(guān)系如下：解：設(shè)6臺(tái)抽水機(jī)4小時(shí)抽水x立方米，按上表的箭頭方向，得復(fù)比例式于是，由復(fù)比例根本性質(zhì)〔復(fù)比例的根本性質(zhì)是內(nèi)項(xiàng)的乘積等于外項(xiàng)的乘積〕5×3×x＝6×4×600答：6臺(tái)抽水機(jī)4小時(shí)可抽水960立方米。例6耕一塊地，4臺(tái)拖拉機(jī)每天工作9小時(shí)，10天可以耕完。如果每天耕地10小時(shí)，要在6天內(nèi)完成，需要幾臺(tái)拖拉機(jī)。分析：完成的天數(shù)，每天工作的時(shí)數(shù)，臺(tái)數(shù)的關(guān)系如下：在耕地面積一定的條件下，如果每天工作的時(shí)數(shù)不變，那么臺(tái)數(shù)與天數(shù)成反比例；如果天數(shù)不變，那么臺(tái)數(shù)與每天工作的時(shí)數(shù)也成反比例解：設(shè)需要拖拉機(jī)x臺(tái)，得復(fù)比例式答：需要拖拉機(jī)6臺(tái)。例7一等酒每千克10.8元，二等酒每千克7元，要混合成平均價(jià)是每千克9.1元的酒，求兩種酒應(yīng)按怎樣的比混合？分析：假設(shè)按平均價(jià)每千克9.1元，那么一等酒每千克損失1.7元，二等酒每千克得利2.1元。把一等酒21千克作新價(jià)賣，共損失1.7×21＝35.7〔元〕把二等酒17千克作新價(jià)賣，共得到2.1×17＝35.7〔元〕所以將一等酒21千克和二等酒17千克混合，照新價(jià)出賣，恰好無(wú)損益。由此可知兩種物品混合數(shù)量的比，等于每種物品與平均價(jià)的差的反比。我們把這種混合物中各種物品數(shù)量之比叫做混合比。解：列表計(jì)算如下：2.1∶1.7＝21∶17答：一等酒與二等酒的千克數(shù)應(yīng)按21∶17混合?！靖戒洠哼壿嬐评怼扛?jìng)賽試題中，經(jīng)常有要求判斷比賽名次，區(qū)分事情真假……的問(wèn)題。它們極少數(shù)量關(guān)系，更多的是對(duì)事情作些描述。解答這類判斷題，可在理解、掌握題意的根底上，對(duì)題目中的條件進(jìn)行有根有據(jù)的分析、比擬、綜合，發(fā)現(xiàn)題中暗示的話語(yǔ)，找出其中內(nèi)在的聯(lián)系，運(yùn)用邏輯推理的方法，一步一步有條不紊地推導(dǎo)出正確的結(jié)論。這便是運(yùn)用邏輯推理解題的方法。例1趁老師不在的時(shí)候，有一名同學(xué)把拾到的手表放在老師的辦公桌上。大家都知道，這是冬冬、丹丹和菲菲三個(gè)人中的一個(gè)人做的好事。老師找他們?nèi)藖?lái)問(wèn)：“這是誰(shuí)做的好事呢？〞冬冬說(shuō)：“是丹丹干的。〞丹丹說(shuō)：“不是我干的。〞菲菲也說(shuō)：“不是我干的。〞如果他們?nèi)酥?，有兩人說(shuō)的是假話，只有一個(gè)人說(shuō)的是真話，你能判斷出好事是誰(shuí)干的嗎？分析與解答：根據(jù)題意，答案只有三種可能。如果好事是冬冬干的，那么冬冬說(shuō)的是假話，丹丹和菲菲說(shuō)的都是真話。這樣，便與兩人說(shuō)假話，一人說(shuō)真話的前提條件相矛盾?？芍檬虏皇嵌傻?。假設(shè)好事是丹丹干的，那么冬冬和菲菲說(shuō)的也都是真話。這樣，也與兩人說(shuō)假話，一人說(shuō)真話的前提條件相矛盾?？芍@事不是丹丹干的。假設(shè)是菲菲干的，那么冬冬和菲菲說(shuō)的是假話，丹丹說(shuō)的是真話。這與前提條件完全符合。所以可知，這塊手表是菲菲拾到后，放在老師辦公桌上的。解決這道題目的關(guān)鍵，是根據(jù)條件中“有兩人說(shuō)的是假話，只有一人說(shuō)的是真話〞，對(duì)每一個(gè)人逐個(gè)檢驗(yàn)。具體的解題方法是：先作出假設(shè)，然后根據(jù)條件作出正確的推理。假設(shè)推出的結(jié)論與條件矛盾，那么說(shuō)明此假設(shè)不合理，因此可得到與假設(shè)相反的結(jié)果。如果從假設(shè)出發(fā)，推出的結(jié)論與條件沒(méi)有矛盾，那么說(shuō)明此假設(shè)是合理的。這樣的方法，也是我們解決一些問(wèn)題時(shí)常常用到的方法，可以將它稱之為“假設(shè)推理〞方法。例2有三個(gè)顏色分別是紅、黃、藍(lán)的盒子，每只盒子外面各有一句話〔如下列圖所示〕，這三句話中只有一句是真的。你能判斷出寶石放在哪個(gè)盒子里嗎？分析與解答：在仔細(xì)審讀題目中，可敏銳地發(fā)現(xiàn)，這三句話中的第一、三句，是相互矛盾的。由于相互矛盾的兩句話，必有一真和一假，而題目又告訴我們，三句話中只有一句話是真的。因此可知，第二句話“寶石不在此〞，必定是假話。于是，可以直接判斷出寶石在紅色盒子里面。解答這道題目的關(guān)鍵，是從審題中敏銳地發(fā)現(xiàn)相互矛盾的關(guān)鍵詞句。然后，根據(jù)關(guān)鍵詞句直接分析、推理，便可直接地得出結(jié)論。這樣的解法，可以稱之為邏輯推理中的“直接推理〞方法。例3有甲、乙、丙三個(gè)運(yùn)發(fā)動(dòng)，穿的運(yùn)動(dòng)衫上的號(hào)碼分別是1、2、3號(hào)。在下面的三種說(shuō)法中，只有一種是正確的。第一種說(shuō)法：甲穿的是1號(hào)。第二種說(shuō)法：乙穿的不是1號(hào)。第三種說(shuō)法：丙穿的不是3號(hào)。問(wèn)：甲乙丙三個(gè)運(yùn)發(fā)動(dòng)各穿的是幾號(hào)運(yùn)動(dòng)衫？分析與解答：根據(jù)三種說(shuō)法只有一種正確，那么，可能的情況便只有以下三種：〔1〕一種對(duì)，二種錯(cuò)，三種錯(cuò)；〔2〕一種錯(cuò)，二種對(duì)，三種錯(cuò)；〔3〕一種錯(cuò)，二種錯(cuò)，三種對(duì)。下面，就這三種可能的情況，逐個(gè)地進(jìn)行分析推理。當(dāng)為第〔1〕種情況〔一對(duì)、二錯(cuò)、三錯(cuò)〕時(shí)，便有甲為1號(hào)是正確的，“乙不是1號(hào)〞是不對(duì)的，即乙也是1號(hào)。這會(huì)出現(xiàn)甲、乙都穿1號(hào)的情況，它與條件是矛盾的，故這種可能的情況應(yīng)予排除。當(dāng)為第〔2〕種情況〔一錯(cuò)、二對(duì)、三錯(cuò)〕時(shí)，便有甲不是1號(hào)，應(yīng)是2號(hào)或3號(hào)；乙也不是1號(hào)，應(yīng)是2號(hào)或3號(hào)；“丙不是3號(hào)〞是錯(cuò)的，丙應(yīng)是3號(hào)。這時(shí)便出現(xiàn)了甲、乙、丙三人都不穿1號(hào)運(yùn)動(dòng)衫的情況，這又與條件相矛盾。所以，這種可能的情況，也應(yīng)予以排除。當(dāng)為第〔3〕種情況〔一錯(cuò)、二錯(cuò)、三對(duì)〕時(shí)，便有甲不是1號(hào)，應(yīng)是2號(hào)或3號(hào)；“乙不是1號(hào)〞不對(duì)，乙是1號(hào)；“丙不是3號(hào)〞正確，應(yīng)是1號(hào)或2號(hào)，由乙為1號(hào)可知，丙為2號(hào)；于是，甲穿的便是3號(hào)。從而得到甲3號(hào)、乙1號(hào)、丙2號(hào)，且完全符合題目中的條件。所以，這就是問(wèn)題的解答。這樣的題目，看來(lái)比擬復(fù)雜，但可能出現(xiàn)的情況是有限的的。解題時(shí)，可以用“窮舉〞方法，舉出所有可能的情況，然后逐個(gè)地進(jìn)行邏輯推理，把與條件相矛盾的情況排除掉，而與條件相符合的情況，便是問(wèn)題的答案。這樣的邏輯推理解題方法，可以稱之為“窮舉推理〞方法。例4學(xué)校舉行數(shù)學(xué)比賽，甲、乙、丙、丁、戊五位老師，對(duì)一貫刻苦學(xué)習(xí)的A、B、C、D、E五位同學(xué)，事先就作了如下的估計(jì)：老師甲：B第三名，C第五名。老師乙：E第四名，D第五名。老師丙：A第一名，E第四名。老師?。篊第一名，B第二名。老師戊：A第三名，D第四名。比賽結(jié)束后，這五名學(xué)生果然是前五名，且每一個(gè)名次，都有老師猜中了。試求各人的名次。分析與解答：先可將甲、乙、丙、丁、戊五位老師的估計(jì)，列成如下的表格：因?yàn)槊總€(gè)名次都有老師猜中，猜想第二名的只有學(xué)生B，所以第二名必定是學(xué)生B。由此推出，B不是第三名，A是第三名；進(jìn)而推出，A不是第一名，C是第一名；再進(jìn)一步推出，C不是第五名，D是第五名；最后推出，D不是第四名，E是第四名。所以可知，A、B、C、D、E五位同學(xué)的名次，依次為三、二、一、五、四名。例5在一次國(guó)際交往活動(dòng)中，甲、乙、丙、丁四位朋友進(jìn)行交談，使用了中、英、法、日四種語(yǔ)言，并知道有如下的情況：〔1〕甲、乙、丙都會(huì)講兩種語(yǔ)言，而丁只會(huì)講一種語(yǔ)言；〔2〕有一種語(yǔ)言，四人中有三人會(huì)講；〔3〕甲會(huì)講日語(yǔ)，丁不會(huì)講日語(yǔ)，乙不會(huì)講英語(yǔ)；〔4〕甲與丙、丙與丁不能直接交談，乙與丙可以直接交談；〔5〕沒(méi)有人既會(huì)講日語(yǔ)，又會(huì)講法語(yǔ)。問(wèn)：甲乙丙丁四人各會(huì)講什么語(yǔ)言？分析與解答：題目像例4一樣，也可以采用列表方式作推理、分析。此題只有第〔3〕個(gè)條件為直接條件，第〔5〕個(gè)條件較為明白，其余各條都未直接告訴各人與各語(yǔ)種的對(duì)應(yīng)關(guān)系，需要認(rèn)真分析、對(duì)照，才可逐步填出下表。填表步驟和方法可以是：〔1〕對(duì)照第〔3〕條，可在“甲日〞格內(nèi)記√，在“丁日〞格內(nèi)記×，“乙英〞格內(nèi)也記×?！?〕由甲與丙不能直接交談，可知丙不會(huì)講日語(yǔ)，又由無(wú)人同時(shí)會(huì)講日、法語(yǔ)，可知甲不會(huì)講法語(yǔ)。故應(yīng)在“丙日〞、“甲法〞兩格里面都記×?！?〕由甲與丙、丙與丁不能直接交談，以及乙不會(huì)英語(yǔ)，甲不會(huì)法語(yǔ)，可知“三人會(huì)講〞的同一種語(yǔ)言，不可能是英、法、日語(yǔ)，而只可能是中文。又由于丁只會(huì)講一種語(yǔ)言，且丙與丁不能直接交談，可知甲、乙、丁都會(huì)講中文，而丙不講中文。于是，可在中文相應(yīng)的格內(nèi)，分別記上√和×?！?〕由甲乙丙三人都會(huì)講兩種語(yǔ)言，而丁只會(huì)講一種語(yǔ)言，從而可在丁的英、法格內(nèi)記×，在“丙英〞、“丙法〞內(nèi)記上√。由乙丙可直接交談，便又可在“乙法〞格內(nèi)記√。〔5〕最后，在“甲英〞、“乙日〞格內(nèi)記×。到此為止，表已全部填好。統(tǒng)觀全表，便知：甲會(huì)講中文和日語(yǔ)；乙會(huì)講中文和法語(yǔ)；丙會(huì)講英語(yǔ)和法語(yǔ)；丁只會(huì)講中文。顯然，例4、例5是具有復(fù)雜對(duì)應(yīng)關(guān)系的推理判斷題。解這種題目，我們可以用列表〔或畫對(duì)應(yīng)線條等〕方法，來(lái)幫助我們理清頭緒，從而較快地找到題目的答案。這樣的邏輯推理解法，可以稱之為“用圖表幫助推導(dǎo)〞的方法?！境閷显淼膽?yīng)用】把3只蘋果放進(jìn)2個(gè)抽屜里面去，只有下面兩種放法，一是一個(gè)抽屜里放2個(gè)，另一個(gè)抽屜放1個(gè)，二是3個(gè)蘋果放在一個(gè)抽屜里。不管怎樣放，都可以得出結(jié)淪：必有一個(gè)抽屜里放有2個(gè)或2個(gè)以上的蘋果。如果把4只蘋果放到3個(gè)抽屜里去，那么必有一個(gè)抽屜要放2只或2只以上的蘋果。由上面的實(shí)例，概括出第一類抽屜原理：有m件物體，放進(jìn)n個(gè)抽屜里去，如果物體比抽屜多〔即m＞n)，那么，必有一個(gè)抽屜要放進(jìn)兩件或兩件以上的物體。假設(shè)保持抽屜數(shù)不變，而增加蘋果總數(shù)，那么放入抽屜中的蘋果“最少數(shù)〞會(huì)發(fā)生什么變化呢？請(qǐng)看下面兩例：1．19個(gè)蘋果放進(jìn)6個(gè)抽屜，不管怎么放置，至少有一個(gè)抽屜放有4個(gè)或4個(gè)以上的蘋果。2．37個(gè)蘋果放進(jìn)6個(gè)抽屜，不管怎么放置，至少有一個(gè)抽屜放有7個(gè)或7個(gè)以上的蘋果。從以上兩例可以發(fā)現(xiàn)，抽屜數(shù)都是6個(gè)，而抽屜內(nèi)的蘋果數(shù)隨著蘋果總數(shù)的增加而增加。變化的規(guī)律是怎樣的，以上面第1例來(lái)說(shuō)明。19個(gè)蘋果要放進(jìn)6個(gè)抽屜，可以先將19個(gè)蘋果盡量平均分配到6個(gè)抽屜中，即：19÷6＝3〔個(gè)〕……………l個(gè)還剩1個(gè)蘋果，不管將它放進(jìn)哪個(gè)抽屜，那么至少有一個(gè)抽屜要放4個(gè)或4個(gè)以上的蘋果。在這道題中,4是最小數(shù)?，F(xiàn)在我們可以得出求最小數(shù)的規(guī)律是：蘋果總數(shù)＝抽屜數(shù)×商數(shù)＋余數(shù)如果余數(shù)不得0，那么最小數(shù)為：最小數(shù)＝商數(shù)＋l如果余數(shù)為0，那么最小數(shù)等于商數(shù)由以上分析，概括出第二類抽屜原理：有多于M×N件物體，要放進(jìn)幾個(gè)抽屜中去，那么，不管怎樣放置，必有一個(gè)抽屜最少放進(jìn)M＋l個(gè)物體。當(dāng)物體總數(shù)恰好是M×N件時(shí)，把它放進(jìn)N個(gè)抽屜，那么不管怎樣放置，必有一個(gè)抽屜內(nèi)最少放進(jìn)M個(gè)物體。運(yùn)用抽屜原理，可以進(jìn)行推理和判斷，解決許多奇妙而有趣的問(wèn)題。解題的關(guān)鍵是制造“抽屜〞，并確定放進(jìn)抽屜的“物體〞。解題的一般步驟是：1．制造抽屜，并指出放入抽屜的物體。通俗地說(shuō)就是把誰(shuí)當(dāng)作抽屜，把誰(shuí)當(dāng)作物體。2．通過(guò)計(jì)算，找到把物體放入抽屜的方法。再推理判斷，作出結(jié)論。例1任意3個(gè)小朋友中，必有兩個(gè)小朋友的性別相同，為什么？分析與證明：人的性別只有男性和女性兩種，把兩種性別當(dāng)作兩個(gè)“抽屜〞，把3個(gè)小朋友當(dāng)作三個(gè)“蘋果〞，“蘋果〞數(shù)3比抽屜數(shù)2大，根據(jù)抽屜原理，必有一個(gè)“抽屜〞里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的“蘋果〞，這就能證明任意3個(gè)小朋友中，必有兩人性別相同。例2任意13個(gè)同學(xué)中，至少有2人出生的月份相同。請(qǐng)說(shuō)明理由。分析與證明：一年有12個(gè)月，把12個(gè)月當(dāng)12個(gè)“抽屜〞，把13個(gè)同學(xué)的出生月份當(dāng)作13個(gè)“蘋果〞。因?yàn)橥瑢W(xué)人數(shù)多于月份數(shù)。根據(jù)抽屜原理，至少有一個(gè)抽屜內(nèi)有兩個(gè)或兩個(gè)以上的“蘋果〞，這就證明至少有兩個(gè)同學(xué)出生的月份相同。例3幼兒園買來(lái)四種玩具，每位小朋友可以任選其中兩件〔不同種玩具〕，假設(shè)有7位小朋友來(lái)挑選，至少有兩位小朋友所選的玩具完全相同，這是為什么？分析與證明：設(shè)四種玩具為A、B、C、D，按挑選規(guī)那么，每?jī)煞N不同種玩具配成一組，有下面六種不同的配法：{A、B}，{A、C}，{A、D}，{B、C}，{B、D}，{C、D}．把六種不同配法當(dāng)作6個(gè)“抽屜〞，7位小朋友當(dāng)作7個(gè)“蘋果〞，小朋友的人數(shù)超過(guò)玩具配法的種數(shù)。根據(jù)抽屜原理，至少有一個(gè)“抽屜〞里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的“蘋果〞，所以至少有兩個(gè)小朋友挑選的玩具完全相同。例4某小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克班有學(xué)生38人，他們來(lái)自7所小學(xué)，證明必有一所小學(xué)在這個(gè)班的人數(shù)要超過(guò)5人。分析與證明：將7所小學(xué)當(dāng)作7個(gè)“抽屜〞，將38名學(xué)生當(dāng)作38個(gè)“蘋果〞，因?yàn)椋?8＝7×5＋33≠0根據(jù)抽屜原理，最小數(shù)＝商數(shù)＋1，商是5，最小數(shù)＝5＋l＝6，所以必有一所小學(xué)在這個(gè)班的人數(shù)要超過(guò)5人。例5取來(lái)6張白紙，在它的一面分別涂上黃、綠兩種顏色。證明：不管怎樣涂法，至少有三張紙涂的顏色相同。分析與證明：把6張白紙當(dāng)作6個(gè)“蘋果〞，把黃、綠兩種顏色當(dāng)作兩個(gè)“抽屜〞，那么6＝2×3＋0根據(jù)抽屜原理，6÷2＝3，余數(shù)為0，那么最小數(shù)＝商數(shù)所以至少有3張紙涂的顏色相同。例5小學(xué)生夏令營(yíng)組織1994名同學(xué)游覽故宮、天壇、北海三個(gè)地方，規(guī)定每個(gè)同學(xué)至少去一個(gè)地方，問(wèn)至少有多少同學(xué)游覽了完全相同的地方？分析與解：同學(xué)們游覽故宮，天壇和北海，有的只游了一個(gè)地方，有的游了兩個(gè)地方，還有的游了三個(gè)地方，首先把游覽的情況排列如下〔即先制造抽屜〕：，，，，，，。從以上的排列可以看出首先要制造7個(gè)“抽屜〞，把1994名同學(xué)當(dāng)作“蘋果〞，那么1994＝7×284＋6因?yàn)?≠0，根據(jù)第二類抽屜原理，至少有284＋1＝285〔名〕同學(xué)游覽了完全相同的地方。例6證明在任何6個(gè)人中，總有3個(gè)人相互認(rèn)識(shí)或者互不認(rèn)識(shí)。〔匈牙利數(shù)學(xué)競(jìng)賽題〕分析與證明：把6個(gè)人看作六個(gè)點(diǎn)〔其中沒(méi)有三點(diǎn)共線〕，如果兩個(gè)人互相認(rèn)識(shí)，就在兩點(diǎn)間用紅線連接；如果兩個(gè)人互不認(rèn)識(shí)，就在兩點(diǎn)間用藍(lán)線連接?！灿锰摼€表示藍(lán)色，用實(shí)線表示紅色?！骋?yàn)橛?個(gè)點(diǎn)，從每一個(gè)點(diǎn)都要引出5條線段，這5條線段的顏色只有紅色或藍(lán)色兩種〔如圖3．14〕，把這兩種顏色當(dāng)作兩個(gè)“抽屜〞，5條線段當(dāng)作5個(gè)“蘋果〞，由抽屜原理可知，至少有三條線段同色。不妨設(shè)這三條線段為紅色，即圖中的A1；A2，A1；A3，A1A4。考慮三角形A2A3A4的三邊著色只有下面兩種可能；①A2A3，A3A4，A4A2三條線段至少有一條是紅色的，那么三邊同紅色的三角形已存在，即表示有3個(gè)人互相認(rèn)識(shí)。②假設(shè)A2A3，A3A4，A4A2三條線段都不是紅色，那么，三角形A2A3A4三條邊都是藍(lán)色，表示有三個(gè)人互不認(rèn)識(shí)。不管是①、②中哪種情況，都能證明題目的結(jié)論成立。例7學(xué)校買來(lái)歷史、文藝、科普三種圖書假設(shè)干本，每個(gè)學(xué)生任意借兩本，那么至少________個(gè)學(xué)生中一定有兩人所借圖書的種類完全相同?！病缎W(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》第五屆小學(xué)生數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題〕分析與解：按題意先制造下面6個(gè)“抽屜〞：，，，，，。把借書的同學(xué)看作“蘋果〞，根據(jù)抽屜原理可知至少1×6＋l＝7〔個(gè)〕學(xué)生中一定有2人所借圖書的種類相同。例8一個(gè)袋里放了三種不同顏色的球20個(gè)，其中白球8個(gè),紅球7個(gè)，綠球5個(gè)，如果閉上眼睛取出盡量多的球，使袋里至少還有4個(gè)同色球，以及至少有3個(gè)另一種顏色的球，那么最多只能取出_______個(gè)球?！?993年上海市第六屆小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽復(fù)賽試題〕分析與解：為保證袋里至少還有4個(gè)同色球，以及至少還有3個(gè)另一種顏色的同色球，我們先求袋里至少應(yīng)留下多少個(gè)球才能滿足要求。從最不利的情況出發(fā)，假設(shè)袋里有數(shù)目最多的8個(gè)白色球，將余下的兩種顏色當(dāng)作兩個(gè)抽屜，要使有一個(gè)抽屜至少有3個(gè)球，那么必須要有球2×2＋l＝5〔個(gè)〕因此袋里最少要留下球8＋5＝13〔個(gè)〕所以，要保證袋里至少還有4個(gè)同色球以及至少有3個(gè)另一種顏色的球最多只能取出20－13＝7〔個(gè)〕答：最多只能取出7個(gè)球?！救莩庠淼膽?yīng)用】通常用集合的有關(guān)根本概念來(lái)表述容斥原理。把一群具有某種相同性質(zhì)的對(duì)象放在一起，就說(shuō)它們組成了一個(gè)“集合〞。由所有屬于集合A或者屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A、B的并集〔就是A與B的和〕〔圖3．15〕記作“A∪B〞。A、B兩個(gè)集合的公共元素，也就是那些既屬于A，又屬于B的元素，它們組成的集合，叫做A、B的交集，記作“A∩B〞〔圖3．16〕容斥原理一設(shè)具有性質(zhì)A的物體有