教學(xué)實錄與評析案例-比的意義

（三）經(jīng)歷概念形成過程理解概念本質(zhì)屬性——種子課“比的意義”教學(xué)實錄與評析教學(xué)內(nèi)容：北師大版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》六年級上冊第69～71頁（整合課）。內(nèi)容簡析：“比的意義”是數(shù)量關(guān)系單元主題中的內(nèi)容。學(xué)生在前期已經(jīng)很好地掌握了除法的意義、分?jǐn)?shù)的意義以及分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，生活中的比學(xué)生也并不陌生，但缺乏對比的本質(zhì)內(nèi)涵的理解，即比的度量作用。本節(jié)課將幫助學(xué)生經(jīng)歷比的概念抽象過程，加深對比的意義的理解，能正確讀寫比，會求比值，對比的度量屬性有深入理解。本節(jié)課是后續(xù)學(xué)習(xí)比的應(yīng)用和比例等內(nèi)容以及模型意識培養(yǎng)的重要基礎(chǔ)。教學(xué)目標(biāo)：1.經(jīng)歷從具體情境中抽象出比的過程，體會認(rèn)識比的必要性，理解比的意義，初步感知比能描述量與量之間的不可度量物質(zhì)屬性的可比性。能正確讀寫比，會求比值。2.在探究比的意義的過程中，進(jìn)一步培養(yǎng)分析、綜合、抽象、概括能力，學(xué)會思考數(shù)學(xué)問題的方法。能利用比的知識解釋一些簡單的生活現(xiàn)象，感受比在日常生活中的應(yīng)用價值，培養(yǎng)應(yīng)用意識。3.能夠積極參與認(rèn)識比的過程，能夠自主學(xué)習(xí)自主表達(dá)，并能在自主學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上較好地與他人合作交流，養(yǎng)成獨立思考、合作交流等學(xué)習(xí)習(xí)慣。教學(xué)重難點：理解比的度量屬性。教學(xué)過程：任務(wù)一、激活經(jīng)驗，初識比師：孩子們，今天我們來學(xué)習(xí)生活當(dāng)中的“比”。生活中你見過什么現(xiàn)象可以用比來描述，舉例說說看。生1：足球比賽中記錄比分，比如說1：3。生2：比多少，媽媽有10個蘋果，我有5個，媽媽比我多5個。生3：金龍魚廣告中的1：1:1。……師：大家說的這些和我們今天要學(xué)習(xí)的“比”一樣嗎？數(shù)學(xué)上的比它究竟是什么意思呢？這節(jié)課，我們就來好好研究研究。板書：比的意義[評析]教育學(xué)和心理學(xué)研究表明，當(dāng)學(xué)習(xí)的材料與學(xué)生已有的知識和生活經(jīng)驗相聯(lián)系時，就會激活學(xué)生已有的活動經(jīng)驗，引發(fā)新問題，成為激發(fā)學(xué)生解決新問題，探究新知識的內(nèi)驅(qū)力。因此，利用談話過程中學(xué)生已有的生活經(jīng)驗，喚起學(xué)生的認(rèn)知沖突，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，這樣很好地調(diào)動起學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望。任務(wù)二、學(xué)習(xí)探索，理解比1.出示探究素材，引出問題師：好，那怎么研究呢？需要有素材，昨天跟大家聊天時，老師知道了我們班級有一位體育非常棒的大男孩，他是誰？生：劉海生。師：這么優(yōu)秀的孩子，老師想給他做一些宣傳海報，大的海報，照片就要做的大一些，小的海報，照片就要做的小一點，老師把相應(yīng)大小的照片已經(jīng)制作完成，來看看老師是怎樣做的。（播放微課，過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生們看到變形的照片后笑了。）圖1圖2圖3圖4師：你怎么邊看邊笑啊。快說說你的看法。生：C照片太胖了，E照片太瘦了。師：哦，你說的是老師制作照片時，有些照片變形了，和原來的照片不像了。那說說看，哪些像，哪些不像？生：ABD像，CE不像。師：那我們需要琢磨琢磨了，你說照片的像和不像可能會與什么有關(guān)?生1：照片的大小。生2：照片的長和寬。師：還有誰是這樣想的？舉手示意一下。（學(xué)生大部分舉手。）師：你們都是會思考的孩子，為什么這么說呢？你看，這些就是幾張生活中的照片，你們想到了長方形的長和寬（點擊照片消失出現(xiàn)長方形），能從數(shù)學(xué)的角度想問題，了不起。接著再想想看，長和寬會有什么樣的關(guān)系呢？生：倍數(shù)關(guān)系。師：嗯，有想法，長是寬的幾倍可以用什么方法來解決？生：除法。師：對啊，這么看來，長與寬之間應(yīng)該存在著相除的關(guān)系，還可以有什么關(guān)系？生：相乘。師：看來你們都有自己的想法，要驗證到底是相乘的關(guān)系還是相除的關(guān)系決定了照片的像與不像，我們就可以將圖片中的長和寬乘一乘，除一除。來，拿出題單。為便于大家研究，我們統(tǒng)一規(guī)定，所有豎向的這一條邊都是長，橫向的都是寬，研究的辦法有了，數(shù)據(jù)也知道了，動手試試看，老師先給大家5分鐘時間，相信你一定會有發(fā)現(xiàn)。開始。圖5[評析]概念的引入要源于生活，至少應(yīng)當(dāng)與日常生活的經(jīng)驗不悖。此處師生面對照片的像與不像到底和誰有什么樣的關(guān)系進(jìn)行了和諧交流，為掃清探究前的障礙做好鋪墊，但同時也尊重了學(xué)生真實的感性認(rèn)識，在思維碰撞中進(jìn)行獨立研究。以往的知識已經(jīng)無法解決這個問題，我們需要引進(jìn)比來從數(shù)學(xué)的角度闡釋照片像與不像的原因，這也體現(xiàn)了概念建立的必要性。2.獨立探究，合作探究（師桌間巡視發(fā)現(xiàn)有乘的，先展示乘的。）師：好了，同學(xué)們，就到這里，哪個小組來說說你們的想法。生：我們用長X寬，發(fā)現(xiàn)A、C、E的積都是24，但是他們卻都不像，不知道為什么？師：我們在找像的原因，乘法積相等，卻不像，說明什么呢？生：像不像與乘法無關(guān)。師：說得太好了，同學(xué)們，這個小組用乘法研究，沒有發(fā)現(xiàn)像的原因，說明乘法行不通，快，換個思路，哪個小組研究的方法和他們不一樣?？靵碚f說你們組的想法吧。生：我們組用的是長除以寬，發(fā)現(xiàn)A、B、D三個像的圖形，長除以寬，商都是1.5，我們小組結(jié)論是，照片的像與不像和長除以寬有關(guān)。師：你們小組用同一個圖形的長除以寬，得到了相同的結(jié)果，找到了像的原因。真的很了不起。還有誰跟他們的方法一樣，再來說說看。老師做記錄。生回答，師板書12÷8=1.56÷4=1.53÷2=1.5師：剛才他們都是用同一個圖形的長除以寬來研究的，商都一樣，也可以說，長都是寬的1.5倍，用長是寬的倍數(shù)來比較，倍數(shù)相同圖形就像。師：知道嗎？數(shù)學(xué)上，把12÷8還可以寫成12:8，把這樣的新的表示方法叫“比”。6÷4，這個式子怎么寫？生：6:4。板書：12：8=12÷8=1.56：4=6÷4=1.53:2=3÷2=1.5師：這些式子都是比。都是同一個長方形當(dāng)中長與寬的倍數(shù)比。剛才我發(fā)現(xiàn)，有一組也用除法研究的，但和他們不一樣，不一樣在哪？睜大眼睛，仔細(xì)看，豎起耳朵，認(rèn)真聽。請他們匯報一下。生：我們是用A的圖形長除以B的圖形長，商是2。再用A的圖形寬除以B的圖形寬，商也是2。發(fā)現(xiàn)當(dāng)長與長的倍數(shù)和寬與寬的倍數(shù)相等的時候，照片就像。結(jié)論，像的照片與除法有關(guān)。師：聽出不一樣在哪了嗎？生：他們是不同長方形之間長和長相除，寬和寬相除，求出倍數(shù)關(guān)系。師：對，聽得非常認(rèn)真，他們研究不同長方形的長除以長，寬除以寬，只要倍數(shù)相等，圖形就像。板書：6：3=6÷3=212：8=12÷8=1.54：2=4÷2=26：4=6÷4=1.53:2=3÷2=1.53.概括比的意義，介紹比的各部分名稱師：這是同一個長方形中的長與寬相除求倍數(shù)關(guān)系的比，這是不同的兩個長方形的長與長求倍數(shù)關(guān)系的比，寬與寬求倍數(shù)關(guān)系的比，它是比，它也是比，這么多求倍數(shù)關(guān)系相除的式子都寫成了兩個數(shù)的比，太多了，那你現(xiàn)在能不能用概括性的語言告訴大家，究竟什么是比？生1：除法就是比。生2：一個數(shù)除以另一個數(shù)就是比。生3：比就是表示兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系。師：看，這些都是你們的理解，其實概括的說就是像這些式子兩個數(shù)相除又叫作這兩個數(shù)的比，表示的是兩個數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系。板書：兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比，表示的是兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系。師：同學(xué)們太會概括了，這就是比，這個叫比號。（揭示比各部分的名稱。這個是比值。知道怎么求比值嗎？生：前項÷后項。（師指向6：3，和全班同學(xué)共同匯報前項，后項，比值求法。）[評析]數(shù)學(xué)概念的引入，應(yīng)從實際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情景，提出問題。通過與概念有明顯聯(lián)系、直觀性強(qiáng)的例子，在認(rèn)知發(fā)生沖突的過程中，使學(xué)生在對具體問題的體驗中感知概念，形成感性認(rèn)識，通過對一定數(shù)量感性材料的觀察、分析，去提煉感性材料的本質(zhì)屬性。讓學(xué)生體會概念產(chǎn)生的源頭,親歷概念形成的過程，自主抽象概括形成概念，較好地培養(yǎng)了學(xué)生的推理意識。4.拓展對“比”的意義的理解師：現(xiàn)在對比我們已經(jīng)有了一定的認(rèn)識。來，能用比的知識解釋這些照片為什么像嗎？生1：求出同一個長方形的長與寬的倍比關(guān)系，只要和這個長方形的長與寬的倍比關(guān)系相同，照片就像。生2：求出兩個不同長方形相對應(yīng)的長與長，寬與寬的倍比關(guān)系，只要比值相等，照片也像。師：的確是這樣的，只要相對應(yīng)的長與寬，或者長與長，寬與寬的倍比關(guān)系相同，也可以說比值相等，照片就像。這種方法是不同圖形的長與寬的比，這種方法是不同圖形長與長，寬和寬相比，方法不同，但都能說明照片像的原因，他們之間有什么內(nèi)在聯(lián)系嗎？老師把像的三張照片找出來，看看對你是否有啟發(fā)。（大屏幕展示課件，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察長之間的變化，寬之間的變化。）（圖六）師：來，有想法的孩子快說說你的理解。生：長擴(kuò)大了，寬也擴(kuò)大了。反過來看，就是長和寬同時縮小了。師：其實，正像大家說的，長和寬同時擴(kuò)大或者同時縮小相同的倍數(shù)，比值是不會改變的，我們把長3寬2這張照片當(dāng)作一把尺子，按這個標(biāo)準(zhǔn)，不論怎樣擴(kuò)大怎樣縮小，最后長是三份，寬是兩份，只要長與寬的比是3:2，那照片一定就像。以它為尺子，照片還可以再做出大一點的嗎？生：可以，長是24，寬是16。師：再大一點呢？生：長300，寬200。師：你們剛才說的都是整數(shù)比，如果現(xiàn)在要做小一點的照片呢，會出現(xiàn)什么數(shù)？生：小數(shù)。師：還可以是什么數(shù)？生：分?jǐn)?shù)。師：孩子們，你們太了不起了，你們發(fā)現(xiàn)了比的前項和后項，取值范圍了,來說說看，前項和后項都可以是哪些數(shù)。生：可以是整數(shù)，小數(shù)，也可以是分?jǐn)?shù)。師：不管是整數(shù)比也好，小數(shù)比也好，分?jǐn)?shù)比也罷，只要長3份，寬2份，長與寬的比等于3:2，他們都像。那回頭來看看，比賽記分和我們今天學(xué)習(xí)的比一樣嗎？生：不一樣，記分還可以得0分，比的后項不能是0。師：為什么記分可以出現(xiàn)0分，比的后項就不可以是0呢？生：比是表示兩個數(shù)相除的關(guān)系，除數(shù)不能是0，所以比的后項就不能是0。師：的確是這樣，比分只是一種記錄方式，不是我們今天相除關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系的比。5.舉例體會，深入理解比的含義師：蒸米飯的時候，米與水的比為1:2正合適。一碗米、兩碗水就像一把尺子，可以衡量蒸出來的米飯軟硬適中，而且恰好夠家里兩個人吃，如果爺爺奶奶也來做客，如何蒸出味道一樣還夠吃的米飯?生：二碗米、四碗水就夠吃了。師：再來更多的人呢，你怎樣保證蒸出來的米飯軟硬適中呢？生：只要蒸飯的時候，保證米和水是1:2，蒸出來的米飯就是軟硬適中的。師：對，做事心中有尺，我就按1:2這把尺子來衡量米和水的倍比關(guān)系，不管來再多人，我蒸出來的米飯也不會變味道。饅頭也很好吃的。據(jù)說面和水按3:1的比和出來,蒸饅頭味道很好，兩個人吃需要三杯面，一杯水；如果人數(shù)增多要蒸出味道相同的更多的饅頭，如何和面？生：可以六杯面，二杯水；也可以九杯面，三杯水。師：你們可真厲害，蒸饅頭的時候你心中有尺子嗎？生：有，按3:1來確定面和水的多少，就可以蒸出饅頭來了。師：你們不但理解了什么是比，還能根據(jù)比的意義解決生活中的問題，真的很了不起。[評析]任何數(shù)學(xué)概念必定有與之相關(guān)的鄰近概念,比與除法雖有密切關(guān)聯(lián)卻又有各自獨立的特質(zhì)，因此在教學(xué)中要以學(xué)生已掌握了的知識為基礎(chǔ),從學(xué)生的鄰近概念出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生探求新舊概念之間的區(qū)別和聯(lián)系，這樣有助于學(xué)生掌握概念之間的相互聯(lián)系,提高學(xué)生對數(shù)學(xué)知識整體性與嚴(yán)密性的把握。5.反思小結(jié)，提煉方法。師：看，孩子們，你們今天不僅認(rèn)識了比，還知道了比的前項、后項取值范圍，不僅可以是整數(shù)，小數(shù)還可以是分?jǐn)?shù)，看你們對比的意義理解得多么深刻啊，我太佩服你們了。那回頭來看，我們是怎樣研究比的意義的呢？我們首先從海報照片這個生活問題出發(fā)，想為什么這些照片像與不像呢？就把這個生活問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題，在研究這個數(shù)學(xué)問題當(dāng)中，我們又想到了像與不像與什么有關(guān)系？生：和長與寬有關(guān)系。師：接下來我們又研究了他們有什么樣的關(guān)系？通過計算發(fā)現(xiàn)了當(dāng)長和寬的比值相等的時候，圖形就像。從而發(fā)現(xiàn)了比。孩子們，你們太了不起了，實際上我們這樣研究數(shù)學(xué)問題的過程，正是數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)問題的過程。誰能簡單的概括性的說說我們的研究過程。生：從照片像與不像開始研究，用除法發(fā)現(xiàn)了比。師：正像你說的那樣，我們從生活出發(fā)，將生活問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，思考和誰有關(guān)，有什么關(guān)系，發(fā)現(xiàn)新知識。[評析]數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅局限于教會學(xué)生知識，如何讓學(xué)生學(xué)會思考，用什么樣的方法去想數(shù)學(xué)這件事，是一節(jié)數(shù)學(xué)課的上位目標(biāo)。任務(wù)三、理解比的必要性師：現(xiàn)在我們知道了什么是比，那比還能幫助我們解決生活中的哪些問題呢？來，男女生來場競賽，競賽題目“哪一杯水更甜”。比賽規(guī)則：男生一組，女生一組，男生答題，女生閉上眼睛，女生答題，男生閉上眼睛，老師計時，用時最短的隊獲勝。課件出示題目：哪一杯水更甜呢？（圖七）師：女生，請閉上眼睛，男生請根據(jù)數(shù)據(jù)，快速做出選擇。選好了就大聲說出來。老師給大家計時。判斷正確，用時21秒。男生請閉上眼睛，女生仔細(xì)看，課件出示：（圖八）師：男生請閉上眼睛，女生請根據(jù)數(shù)據(jù)開始判斷。女生答題。師：正確，用時7秒。女生獲勝，男孩子們，面對這樣的結(jié)果有什么想說的嗎？生1：女生是巧合吧。生2：老師給的條件可能不一樣。師：會思考，說說看，我可能給女生什么樣的條件。生2：給了比？師：是這樣嗎？（圖九）師：現(xiàn)在知道原因了嗎？說說你的想法。生：老師偏向女生，給她們比。師：給女生的條件是比，怎么就是偏向了呢？生：她們后項都一樣，看前項，多的就甜，一下就看出來了。師：說的多好啊，看，給男生的數(shù)據(jù)需要用除法計算后才能做出判斷，而比，一目了然。[評析]比的必要性在教師精心設(shè)計的小競賽中得到了充分的體現(xiàn)，沒有過多的講解，卻在學(xué)生思辨的過程很好地揭示了比在生活中存在的價值。任務(wù)四、鞏固聯(lián)系，拓展應(yīng)用1.同類量比的練習(xí)（圖十）師：再來看，這里你能找到比嗎？生1：桌子和椅子是1：4。生2：客廳與臥室的面積是23：15。生3：小瓶水和大瓶水是3：5。師：這是桌子與椅子的數(shù)量比，這是客廳與臥室的面積比，容積也可以比。課前學(xué)習(xí)的照片長寬的比是長度比，蜂蜜和水是質(zhì)量比，它們都有一個共同的特點，單位相同，數(shù)學(xué)上把它們叫做同類量的比。師：再來看配制混凝土的問題。按沙石水1:2:3的比配制混凝土，如果沙1噸，石2噸，需要水多少噸？生：需要3噸水。師：如果配置更多的混凝土，請你搭配相應(yīng)的沙子、石子和水。生1：沙2噸、石3噸、水6噸。生2：沙6噸、石12噸、水18噸。生3：沙10噸、石20噸、水30噸。師：你們怎么配制得這么快呀？生：沙、石、水的比1:2:3作為尺子，沙是1份，石是2份，水是3份，先定好沙的噸數(shù)，石的噸數(shù)是沙的2倍，水的噸數(shù)是沙的3倍。師：你們太了不起啦，通過剛才的學(xué)習(xí)，我們不僅認(rèn)識了兩個同類量的比，還認(rèn)識了三個同類量的比，而且根據(jù)比還能解決實際問題，那不同類量可以比嗎？2.不同類量的比這里有比嗎？路程時間馬拉松選手40千米2小時騎車人45千米3小時生：40：45。師：單位相同，是同類量的比。生：40：2。師：哎，單位不一樣了，路程：時間會等于什么呢？生：速度。師：太棒了，路程和時間的比就是不同類量的比，比的結(jié)果是產(chǎn)生了一個新的量，速度。那像這樣不同類量的比，生活中你還能找到哪些呢？生：……師：我們先不著急，下節(jié)課繼續(xù)研究。[評析]通過大量的生活情境讓學(xué)生感受同類量的比，適時引入混凝土配置的問題，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)比作為度量尺度的本質(zhì)，讓學(xué)生的思維“長起來”，進(jìn)而深化對比的意義的理解。在學(xué)生即將形成思維定勢的時候，突然轉(zhuǎn)換學(xué)生的思考方向，既加深了對同類量相比的理解，同時也拋出了不同類量相比產(chǎn)生新的量的有趣現(xiàn)象，再次調(diào)動起學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，卻在此時戛然而止，為學(xué)生留下更廣闊的思考和探索的空間。任務(wù)四：課堂總結(jié)，反思提升師：同學(xué)們，通過今天的學(xué)習(xí)，你學(xué)會了什么？是怎么學(xué)會的？生1：今天不僅認(rèn)識了比，還知道了比的前項、后項取值范圍，不僅可以是整數(shù)，小數(shù)還可以是分?jǐn)?shù)。生2：我們首先從海報照片這個生活問題出發(fā)，將照片像與不像生活問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題，在研究這個數(shù)學(xué)問題當(dāng)中，我們又想到了像與不像與長和寬有關(guān)系。通過計算發(fā)現(xiàn)了當(dāng)長和寬的比值相等的時候，圖形就像。從而發(fā)現(xiàn)了比。師：正像你們說的那樣，我們從生活出發(fā)，將生活問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，思考和誰有關(guān)，有什么關(guān)系，發(fā)現(xiàn)新知識。不僅學(xué)會了知識，還收獲了學(xué)習(xí)方法和經(jīng)驗，理解了比作為度量的一種手段去影響這個豐富有趣的世界，讓我們學(xué)會“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維理解世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”吧。[說明]：數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)不僅僅局限于教會學(xué)生知識，如何讓學(xué)生學(xué)會思考，用什么樣的方法去思考，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力的關(guān)鍵。同時，在總結(jié)反思中，進(jìn)一步加強(qiáng)知識之間橫向、縱向的聯(lián)系，能夠使知識融會貫通、形成體系，為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。[總評]“比的意義”是數(shù)量關(guān)系單元主題中的內(nèi)容。比的概念的理解是學(xué)習(xí)比的應(yīng)用和比例的重要基礎(chǔ)。在現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教科書，都把兩個數(shù)的比定義為兩個數(shù)相除，這樣的定義不僅削弱了比的現(xiàn)實功能，而且無法讓學(xué)生感悟兩個數(shù)量倍數(shù)關(guān)系的表達(dá)與度量才是比的數(shù)學(xué)本質(zhì)。本節(jié)課著力引導(dǎo)學(xué)生理解比的意義，滲透抽象數(shù)學(xué)思想。1.經(jīng)歷概念形成過程，理解比的意義這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是在學(xué)生已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)上重新建構(gòu)比的概念，而不是局限于教科書上提供的定義。為此，需要重新審視問題的核心在哪里，比與除法運算的關(guān)系到底是什么？是如何表現(xiàn)的？又如何呈現(xiàn)倍比關(guān)系？從而建構(gòu)出度量來揭示比的本質(zhì)。采用自主探索、合作交流、歸納概況的方法讓學(xué)生理解比的意義。上課伊始把教材呈現(xiàn)的變形照片實物化、動作化，不是僅僅呈現(xiàn)幾張靜態(tài)圖片，而是從授課班級同學(xué)間熟悉的孩子照片入手，并把照片形成的過程利用視頻的形式回放，迅速拉近了學(xué)生與圖片的