江西省九江市2022屆高三第一次高考模擬統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）試卷

江西省九江市2022屆高三第一次高考模擬統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)

(理)試題

一、單選題

1.若復(fù)數(shù)Z滿足z(l—i)=l+3i,則乞=().A.-l+2iB.l+2i

C.-l-2iD.l-2i

已知集合{刈2則

2.4=11("1)<0},B={X\X-3X+2<0},AC8=

().A.{x|l<x<2}B.{x|l<x<2}

C.{x|l<x<2|D.{x[l<x<2}

3.拋物線y=2丁的焦點(diǎn)坐標(biāo)為().A.B.

c-OD-(°,4)

4.函數(shù)/(x)=cos2<yx-2sin%x?>0)的最小正周期為則。的值為

().A.2B.4C.1D.y

5.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等與亮度來描述.古希臘天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家

喜帕恰斯在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個(gè)概念.兩顆星的星等與亮度滿足普森公

E

式：?一班=2.51g才，星等為久的星，其亮度為弓(％=1,2).已知織女星的星等為

匕2

0.04,牛郎星的星等為0.77,則織女星與牛郎星的亮度之比().(參考數(shù)

據(jù)：10°29?1.9498,10°?屋1.9953)

A.0.5248B.0.5105

C.1.9055D.1.9588

6.第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)(北京冬奧會(huì))計(jì)劃于2022年2月4日開幕，共設(shè)7

個(gè)大項(xiàng).現(xiàn)將甲、乙、丙3名志愿者分配到7個(gè)大項(xiàng)中參加志愿活動(dòng)，每名志愿者只

能參加1個(gè)大項(xiàng)的志愿活動(dòng)，則有且只有兩人被分到同一大項(xiàng)的情況有

().A.42種B.63種C.96種D.126

種

7.已知數(shù)列｛%｝滿足4=1,a^=ka?+k,貝廣數(shù)列｛《,｝為等差數(shù)列”是“A=1”的

().A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知雙曲線C:，-^=l(a>0)的左右焦點(diǎn)分別為￡、鳥，一條漸近線方程為

Gx+y=O,若點(diǎn)”在雙曲線C上，且|M￡|=5,則眼段=（）

A.9B.1C.1或9D.1或7

9.A/WC中，三內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知asinB=2sinA,

??,,、.冗-5兀-2n—3兀

ocosB=c+1,則?4=（）.A.-B.—C.—D.—

31234

10.四氯化碳是一種有機(jī)化合物，分子式為CC14,是一種無色透明液體，易揮發(fā)，曾

作為滅火劑使用.四氯化碳分子的結(jié)構(gòu)為正四面體結(jié)構(gòu)，四個(gè)氯原子（C1）位于正四

面體的四個(gè)頂點(diǎn)處，碳原子（C）位于正四面體的中心.則四氯化碳分子的碳氯鍵（C

C1）之間的夾角正弦值為（）.

C

-f3

11.已知函數(shù)/（力="-1嗚》（4>0且”1）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是（）.A.（1,典B.（e晨）

C.（1,旬D.伯旬

二、多選題

12.2021年全國普通高考共有1078萬人報(bào)名，為“史上人數(shù)最多的高考下圖為

2008年-2021年江西省普通高考報(bào)名人數(shù)統(tǒng)計(jì)表.則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是

（）.

單位:萬人

50

45

40

35

30

25Ihi..山川

20

A.自2008年起，江西省普通高考報(bào)名人數(shù)連續(xù)4年下降后連續(xù)9年上升

B.2008年至2021年，江西省普通高考報(bào)名人數(shù)的中位數(shù)約為35.8萬人

C.2012年至2021年，江西省普通高考報(bào)名人數(shù)增長大于75%

D.江西省普通高考報(bào)名人數(shù)較上一年增長幅度最大的是2020年

三、填空題

13.己知向量。=(一1,2),,=(x,4),S.allb.貝咽=.

14.若a,6為正實(shí)數(shù)，直線2x+(〃-4)y+l=0與直線2bx+y—2=0互相垂直，貝?。?/p>

ab的最大值為.

15.函數(shù)/(x)=>AsinxTcosx|的值域?yàn)?

16.已知正方體A8CD-ASG2的梭長為1，E為線段AR上的點(diǎn)，過點(diǎn)E作垂直于

BQ的平面截正方體，其截面圖形為下列命題中正確的是.

'17"

①M(fèi)在平面ABC。上投影的面積取值范圍是；

_2o_

②M的面積最大值為地；

③M的周長為定值.

AB

四、解答題

17.已知數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為加且滿足2a“=S“-2〃+l,數(shù)列⑸｝的前〃項(xiàng)和為

T?.

(1)求證：數(shù)列｛q-2｝為等比數(shù)列；

⑵試比較7.與25“+1的大小.

18.已知四棱錐P-ABCD的底面A8CZ)為矩形，AB=&,AD=2。E為BC中

點(diǎn)，AEVPB.

(1)求證：4后_1_平面尸8￡)；

(2)若8。_L平面RAE,PA=2yf3,求AC與平面PCD所成角的正弦值.

丫22

19.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C:J+「=l(a>6>0)的右焦點(diǎn)為尸(1,0),過點(diǎn)

ab

產(chǎn)的直線交橢圓C于A,8兩點(diǎn)，|明的最小值為近.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若與A,8不共線的點(diǎn)P滿足存=2麗+(2-#而，求△PAB面積的取值范圍.

20.非物質(zhì)文化遺產(chǎn)是一個(gè)國家和民族歷史文化成就的重要標(biāo)志，是優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的

重要組成部分.瑞昌剪紙于2008年列入第二批國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.由于瑞昌

地處南北交匯處，經(jīng)過千年的南北文化相互浸潤與滲透，瑞昌剪紙融入了南方的陰柔

之麗、精巧秀美和北方的陽剛之美、古樸豪放.為了弘揚(yáng)中國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，某校

將舉辦一次剪紙比賽，共進(jìn)行5輪比賽，每輪比賽結(jié)果互不影響.比賽規(guī)則如下：每

一輪比賽中，參賽者在30分鐘內(nèi)完成規(guī)定作品和創(chuàng)意作品各2幅，若有不少于3幅作

品入選，將獲得“巧手獎(jiǎng)”.5輪比賽中，至少獲得4次“巧手獎(jiǎng)”的同學(xué)將進(jìn)入決賽.某

同學(xué)經(jīng)歷多次模擬訓(xùn)練，指導(dǎo)老師從訓(xùn)練作品中隨機(jī)抽取規(guī)定作品和創(chuàng)意作品各5

幅，其中有4幅規(guī)定作品和3幅創(chuàng)意作品符合入選標(biāo)準(zhǔn).

(1)從這10幅訓(xùn)練作品中，隨機(jī)抽取規(guī)定作品和創(chuàng)意作品各2幅，試預(yù)測該同學(xué)在一輪

比賽中獲“巧手獎(jiǎng)''的概率；

(2)以上述兩類作品各自入選的頻率作為該同學(xué)參賽時(shí)每幅作品入選的概率.經(jīng)指導(dǎo)老

師對該同學(xué)進(jìn)行賽前強(qiáng)化訓(xùn)練，規(guī)定作品和創(chuàng)意作品入選的概率共提高了卡，以獲得

“巧手獎(jiǎng)”的次數(shù)期望為參考，試預(yù)測該同學(xué)能否進(jìn)入決賽？

21.己知函數(shù)/(x)=e*+/m：W€R).

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若b>a>0,且/0)>"(a),求證：a+b>2.

22.在平面直角坐標(biāo)系MA中，曲線的普通方程為y2=2x,曲線G的參數(shù)方程為

172

X=2+TCOS9>

L(。為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸，建立極坐

1V2.

V=—+——Sin69

(22

標(biāo)系.

⑴求曲線a,。2的極坐標(biāo)方程；

⑵已知直線/的極坐標(biāo)方程為。=c(0<a<5],直線/與曲線G，G分別交于異于極

點(diǎn)的A,8兩點(diǎn)，且|。4卜|。同=4,求|4卻.

23.已知函數(shù)/(司=,+1|-3-呻">0),g(x)=gx-l.

(1)當(dāng)機(jī)=2時(shí)，解關(guān)于x的不等式〃x)±0；

(2)若函數(shù),f(x)與g(x)的圖象可以圍成一個(gè)四邊形，求，”的取值范圍.

參考答案:

1.c

【解析】

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求得復(fù)數(shù)Z,再求其共軌復(fù)數(shù)即可.

【詳解】

l+3i(l+3i)(l+i)-2+4i

因?yàn)閦=TT-(l-i)(l+i)-2=-l+2i故z——1—2i.

故選：C.

2.D

【解析】

【分析】

先化簡集合A,B,再利用集合的交集運(yùn)算求解.

【詳解】

解：A={x[l<x<2},8={x|14x42},

Ac8={x[1cx<2},

故選：D.

3.C

【解析】

【分析】

將已知拋物線方程整理成標(biāo)準(zhǔn)形式，從而可求出焦點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】

由y=2/可得/=；）,,焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，設(shè)坐標(biāo)為（0,5

則2。=:，解得p=:，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,：].

24V8J

故選：C.

4.A

【解析】

【分析】

答案第1頁，共21頁

根據(jù)二倍角的余弦公式可得〃x)=,cos2?x-；,結(jié)合求最小正周期的公式丁=而計(jì)算即

可.

【詳解】

/\1+cos2coxc\3。1

解:/(x)=----------(Z1-cos2cox)=—cos2cox--

由。＞0得函數(shù)的最小正周期為T=e=],

2a)2

69=2,

故選：A.

5.D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意直接利用題中的公式計(jì)算即可.

【詳解】

織女星的星等為叫=0.04,亮度為牛郎星的星等為牡=().77,亮度為當(dāng)，

則有0.77-0.04=2.51g互，即互二心型式心―。。')，

、E2E2

即g=10°期41.9498,1.9953).

E2

故選：D.

6.D

【解析】

【分析】

此題屬于分組分配問題，現(xiàn)將3人分成兩組，然后再分配可得.

【詳解】

先將3人分成兩組，共C；種，再在7個(gè)大項(xiàng)種選擇2個(gè)項(xiàng)目安排這兩組，共種，所以

有且只有兩人被分到同一大項(xiàng)的情況共有=126種.

故選：D.

7.B

【解析】

【分析】

答案第2頁，共21頁

先根據(jù)等差數(shù)列定義證明充分性成立，再舉反例說明必要性不成立.

【詳解】

當(dāng)％=1時(shí)，+則｛q｝為等差數(shù)列，必要必成立；若｛q｝為等差數(shù)列，由4=1,

a2=2k,%=2/+Z,

有2/+4+1=4/，解得&=1或當(dāng)％=；時(shí)，a"+i=ga“+：，此時(shí)q=1,充分性不成

立.

故選:B.

8.A

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件求出。的值，再利用雙曲線的定義可求得|奶|.

【詳解】

解：雙曲線C的漸近線方程為），=士"x,則空=道，所以。=2,b=20,c=4,

aa

由雙曲線定義可知||用娟-眼引=2a=4,則段=1或9,

又因?yàn)榫W(wǎng)"-a=2,故|咋|=9,

故選：A.

9.C

【解析】

【分析】

解法一：根據(jù)asin8=2sinA得到匕=2,再根據(jù)acosB=c+l,利用余弦定理得到

a2-c2-b2=2c,利用余弦定理求解；解法二：根據(jù)asin8=2sinA得到b=2,再由

6ZCOSB=C+1,得到。cosB=c+g。，利用正弦定理求解.

【詳解】

解法一：由正弦定理及asinB=2sinA得，ab=2a,h=2.

又???acosB=c+l,由余弦定理得：a*.+c--Jc+1,B|Ja2-2-Z,2=2c,

2acc

b2+c2-a22c1

由余弦定理得cosA=

2bc2

答案第3頁，共21頁

又???Ac(O,兀)，

A=—.

3

故選：C.

解法二：由正弦定理及asin3=2sinA得，ab=2a,b=2.

又〈ocosB=c+l,acosB=c+—h,

2

由正弦定理得sinAcos8=sinC+'sin3,

2

/.sinAcos8=sin(A+3)+gsinB=sinAcosB+cosAsin8+gsin3,

/.cosAsinB+—sinB=0,

2

,**B,/.sinB>01*,?cosA=——,

又兀），

A=—.

3

故選：C.

10.D

【解析】

【分析】

將四面體放入正方體中進(jìn)行計(jì)算，結(jié)合正方體和正四面體的幾何特點(diǎn)，借助余弦定理即可

容易求得結(jié)果.

【詳解】

如圖所示，正方體的棱長為。，正四面體4-38的棱長為缶，

答案第4頁，共21頁

又該正方體的體對角線長度為石a,故04=08=走”，

2

根據(jù)題意可知，所求夾角為ZAO3,

3232,2

在A。鉆中，由余弦定理可得：COS408二=4"+4；"—4,

23

204x082x-a

4

故sin/A03=逑，即四氯化碳分子的碳氯鍵(CC1)之間的夾角正弦值為逑.

33

故選：D.

11.A

【解析】

【分析】

解法一：令/(x)=0,得優(yōu)=log"X,進(jìn)而得到標(biāo)+y=a*+x.令g(x)=a*+x,由其單

調(diào)性得到％=兒即疝=*，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為lna=%Infr,利用導(dǎo)數(shù)法判斷；解法二：令

x

/(x)=0,得/=log"X,進(jìn)而得到"+)，=優(yōu)+x.令g(x)=a'+x,由其單調(diào)性得到

x=y,即〃=x,然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解判斷.

【詳解】

解法一：通過選項(xiàng)判斷可知a>1,

令/(x)=0,得"=log.x,

由【丁，得I'："'

y-log/［優(yōu)=x

，所以a'+y=a'+x.

令g(x)=a*+x,貝!Jg(x)=g(y),且g(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增,

所以x=y,即優(yōu)=”,

Inx

所以xInQ=Inx,即Ina=---,

x

令g(x)=W，/(》)二審，

??.g(x)在(O,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，則g(x)皿=g(e)=j

又x>l時(shí)，g(x)=『>0,且g(l)=0,畫出g(x)大致圖像，

答案第5頁，共21頁

可知。＜In。＜一，則1＜。ve+.

e

故選：A.

解法二：通過選項(xiàng)判斷可知。＞1,

令/(x)=。，得優(yōu)=log.x，

y=優(yōu)fy=a”

由二，得匕，所以d+y=〃+x.

y=log(,x[a-=x

令g(x)=a*+x,則g(x)=g(y),且g(x)在(O,+8)上單調(diào)遞增,

所以％=幾即a*=x,

當(dāng)直線＞=x與y="圖像相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為(為,%),

Irici-1j

由丫'=優(yōu)111。，貝IJ有，，故Xolna=l,則與=■；—=log,e.

cr=x?Ina(

又a*=x0,即a&=log“e,則log“e=e,

?1

??a=e°?

要使得直線丫=》與丫=優(yōu)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，

則1＜a＜e+,

故選：A.

12.BD

【解析】

【分析】

根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)對每一個(gè)選項(xiàng)分別判斷即可.

【詳解】

對A,2008年-2012年連續(xù)4年下降，2012年-2021年連續(xù)9年上升，A正確;

答案第6頁，共21頁

對B,2008年至2021年，江西省普通高考報(bào)名人數(shù)的中位數(shù)為2014年和2015年的平均

數(shù)，約為34萬人，B不正確；

對C,2021年江西省普通高考報(bào)名人數(shù)約為49萬，2012年約為27萬，增長大于80%,C

正確；

對D,由中的數(shù)據(jù)可知較上一年增長幅度最大的是2014年，D錯(cuò)誤.

故選：BD.

13.2-J5

【解析】

【分析】

根據(jù)平面向量平行的坐標(biāo)表達(dá)公式求得x,再根據(jù)坐標(biāo)求W即可.

【詳解】

因?yàn)橄蛄縜=(T,2),b=(x,4),且

故可得2x=T,則x=-2,即萬=(—2,4)

故|@=J(-2，+42=24.

故答案為：26

14.1##0.5

【解析】

【分析】

根據(jù)兩直線垂直的4、6關(guān)系，再用基本不等式可解.

【詳解】

由兩直線垂直得46+加一4=0,即2=4+2Z?N2^K,ab<^,

當(dāng)且僅當(dāng)”=1,方=:時(shí)，等號成立，故他的最大值為;.

2N

故答案為：3

15.[-2,目

【解析】

【分析】

答案第7頁，共21頁

分xe2E、,2航+和xw28+]2也+三兩種情況去絕對值，然后對函數(shù)化簡，利

用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可

【詳解】

兀兀

解：當(dāng)尤￡2kit--,2kit^-,左EZ時(shí)，

/(x)=V3sinx-cosx=2sin(x-￡),

?-12兀7T,7T

而2E-----<x——<2kit+—,

363

/.-l<sin^-^<^,此時(shí)〃x)e[-2,6].

,…兀_,3兀,

當(dāng)X￡2^71+—,2X：7C+—,ZwZ時(shí)，

/(x)=>/3sinx+cosx=2sinfx+^,

.八,2兀,兀，八,5兀

而2ZxHWxH—?2AxH,

363

-l<sinfx+仁卜亭此時(shí)“x)e[—2,向.

的值域?yàn)閇-2,若].

故答案為：[-2,否]

16.②③

【解析】

【分析】

根據(jù)用O_L平面A8G，平面4CR,分點(diǎn)E與A或2重合和點(diǎn)E與A(A)不重合,

兩種情況討論求解判斷.

【詳解】

如圖所示：

答案第8頁，共21頁

q。，平面A^G，BQ，平面A。。，

①當(dāng)點(diǎn)E與A或。i重合時(shí)，M為正VA］BC］或正△AC0,

周長為3夜，面積為亭，在平面ABCD上投影面積為g；

②當(dāng)點(diǎn)E與A(q)不重合時(shí)，設(shè)RE=t(O<f<l),則E4,=1T，

:.EJ=&，EF=6(1T),

：.EF+EJ=母(1)+&=立,

同理可得：FG+GH=歷，HI+IJ=42,

故M的周長為定值3啦.

M的面積為s"x(忘+"卜半(l_)+gx［忘+忘(1-小當(dāng)

=今-2/+2/+1),

當(dāng)￡=:時(shí)，5取得最大值也.

24

M在平面ABCO上投影的面積S?=1-g(lT)2一”+/+；(曇

13

由①②知用在平面ABC。上投影的面積取值范圍是,

M的面積最大值為唯，M的周長為定值3拒.

4

故答案為：②③

17.(1)證明見解析

⑵122s“+1

【解析】

【分析】

答案第9頁，共21頁

IS.,w=1,、

(1)利用a，，=|s_s〃>2來證得數(shù)列｛4，-2｝為等比數(shù)列?

(2)先求得”“，然后求得S“七,利用差比較法求得Z22szi+1.

(1)

當(dāng)”=1時(shí)，2a,=a,-1,4=-1,

當(dāng)〃22時(shí)，2a“=S“-2〃+l①，

2%=S,i-2〃+3②，

①一②得4=2??.,-2,即%-2=-2).

又?.?4-2=-3,「2｝是首項(xiàng)為-3,公比為2的等比數(shù)列.

(2)

由(1)知%-2=-3-an=2-3-2'-',

'：2a?=S?-2n+],：.S“=2〃+3-3-2”,

二<=[5+7+L+(2rt+3)]-3-(2'+22+L+2")

4(2〃+8)一3.坐當(dāng)

=n2+4n+6-6-2"-

2

：.T?-2Sn=n,

XVrtgN*.：.n2>\,.*.7；,>2S?+1.

18.(1)證明見解析

【解析】

【分析】

RFAR

(1)設(shè)AE與3。的交點(diǎn)為M,根據(jù)￡為8c中點(diǎn)，得到不=不，進(jìn)而得到

ABAD

然后由利用線面垂直的判定定理證明；

(2)連接尸M，易證平面ABC。，然后以MB,ME,MP所在直線為x,必z軸,

答案第10頁，共21頁

r\AC-n\

建立直角坐標(biāo)系，先求得平面的一個(gè)法向量〃=然后由。求解.

PCD(x,y,z),sin照.同

⑴

解：設(shè)AE與BD的交點(diǎn)為

?.?E為BC中點(diǎn)，BE=6

又?A8=y/6,AD=2y/3，

.BEAB.

,??ZBAE=ZADB=ZMBE.

ABAD

在ZL4￡B和ABEM中，

XVZAEB=ZBEM,

AABME=ZABE=90°,即AE_L8E>.

又AELPB,BD,PB。平面PB￡),

，A￡_L平面尸班).

⑵

連接PM，

：B￡>_L平面E4￡,PMU平面2正，

BDLPM,

又：A￡_L平面aB￡),PMt)平面尸B￡),

/.AEA.PM,

又：AEC\BD=M,

，PA7_L平面45C￡>,

以MB,ME,M尸所在直線為x,y,z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

答案第11頁，共21頁

易知AW=2,ME=1,BM=近,PM=yJPA^-AM2=2>/2>

則尸（0,0,20）,A（0,-2,0）,8（60,0）,C（-72,2,0）,味2也0,0）,

設(shè)與=（x,y,z）為平面PCZ）的一個(gè)法向量，

麗=卜20,0,-2@,反=（立2,0）,

際而=0［-272X-272Z=0

由《一，得<廣.

fi-DC—0\flx+2y=0

令y=l,得萬=（一忘,1,忘），

又前=（一衣4,0）,

.sin”FT_6.而

國忖75.3725）

故AC與平面PGD所成角的正弦值為典.

5

2

19.（1）￡.+/=1；

2

⑵［。用.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)通徑的性質(zhì)即可求解；

⑵取麗=；麗=1■麗+麗，則點(diǎn)M在直線AB上，且點(diǎn)M為線段OP的中

點(diǎn).得Sv=Sw設(shè)4B方程，與橢圓方程聯(lián)立，表示出S.。,并求其范圍即可.

⑴

由右焦點(diǎn)尸（1,0）知，c=l,

2b?

當(dāng)A3垂直于x軸時(shí),|明最小,其最小值為3_=yf2.

又,：a2=b2+c2,解得a=>/2>b=\,

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為］+/=1.

⑵

答案第12頁，共21頁

解法一：取°A/=go戶+而，

則點(diǎn)M在直線A3上，且點(diǎn)M為線段0P的中點(diǎn).

當(dāng)A8不垂直于x軸時(shí)，設(shè)其斜率為火,則直線A8的方程為^=左仁-1)化工0).

則點(diǎn)0到直線AB的距離d=-fl=

■JX+k1

y=k（x-l）

聯(lián)立方程E2一，消去y整理得（1+2公卜2一必\+2%2-2=0,

工+y=

4k2k--2,A=8（A:2+l）>0,

貝！JX[+々=1+222'%々一]+242

\AB\=Jl+22W-X2\=Jl+/J（石+V）2—4芯工2=——2~~,

1+2k

令.=1+2/，貝#=q（f>l）,

此時(shí)S&OAR

綜上可得，△PA8面積的取值范圍為0,

答案第13頁，共21頁

解法二：當(dāng)A8垂直于x軸時(shí)，A,B的坐標(biāo)分別為

由而=2礪+（2-2）礪，得點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2,@-忘人

則點(diǎn)P到直線AB的距離為1,

又|AB|=應(yīng)，二△PAB的面積為:x0\l=#,

當(dāng)AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)其斜率為k,

則直線AB的方程為y=%（x-雙八0）,

設(shè)尸，A,8的坐標(biāo)分別為（％,%）,（%,另），（孫力），

則x-1），%="（&-1），

由麗=2麗+（2—/1）礪，得毛=2玉+（2_/）/，

%=幾M+（2—義）%=24（4—1）+（2—一i）=a[義％|+（2—4）x>—2],

即為=&（%-2）.

故點(diǎn)尸在直線y=%（x-2）上，且此直線平行于直線AB.

聯(lián)立方程X22消去y整理得（1+242-4421+2公一2=0,

—+V=1

2

則為+々=工，3="

1-1+2/1-1+2公

|AB|=J1+攵2_引=J1+攵2J（X1+V）2一以/=Si——;~~，

1十乙K

答案第14頁，共21頁

12?1+2口應(yīng)閑子1+公

S8PAB=^B\-d

21+2/TiTF1+2公

令，=1+2公，則％2=個(gè)一。＞1),

綜上可得，△PAB面積的取值范圍為

解法三:

則點(diǎn)M在直線AB上，且點(diǎn)M為線段0P的中點(diǎn).

?q―q

??"APAE_*QAB?

設(shè)直線AB的方程為x=）+1,則點(diǎn)。到直線AB的距離d=

x=ty+\

聯(lián)立方程蘭2_，消去x整理得（*+2卜2+29-1=0,

.5+，=

力i

則MA=8（r2+l）＞0,

T（2

IAB|=4i+e\yi-y2\=4i+tylyl+y2）-4yly2=?￡（：；"

.1,.12五仁+1）10V產(chǎn)+i

■-S^OAB=-\AB\.d=-x—t2+2x

a+i7+2

即△PAB面積的取值范圍為

33

20.（1）—；

50

(2)該同學(xué)沒有希望進(jìn)入決賽.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意，分類討論所有可能的情況，再求其概率之和即可;

答案第15頁，共21頁

(2)由題可得口+幺，先計(jì)算強(qiáng)化訓(xùn)練后該同學(xué)某一輪可獲得“巧手獎(jiǎng)''的概率的最大值,

再根據(jù)5輪比賽中獲得“巧手獎(jiǎng)”的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布，估算E(X),結(jié)合題意即可判斷.

(1)

由題可知，所有可能的情況有：

①規(guī)定作品入選1幅，創(chuàng)意作品入選2幅的概率片=冬答=］，

②規(guī)定作品入選2幅，創(chuàng)意作品入選1幅的概率8=。=,，：。=4,

C5C525

③規(guī)定作品入選2幅，創(chuàng)意作品入選2幅的概率4=為§=W,

C5-C53U

故所求的概率「=弓3+弓9+59=3%3.

25255050

(2)

設(shè)強(qiáng)化訓(xùn)練后，規(guī)定作品入選的概率為A，創(chuàng)意作品入選的概率為外，

貝ijPi+P,=W=。，

1255102

由已知可得，強(qiáng)化訓(xùn)練后該同學(xué)某一輪可獲得“巧手獎(jiǎng)''的概率為：

P=c加(i-p)Gp；+c；p：-c>2(i-P2)+c淵G或

=2p/2(P1+P2)-3(P/2)2

=3P|P2-3(PW2)2

343343379

?；Pi+02=5，且八之不必之三，也即孑一。2之不孑一,之三，即

4937

故可得：?-P'-lo,六心歷，

答案第16頁，共21頁

???該同學(xué)在5輪比賽中獲得“巧手獎(jiǎng)”的次數(shù)X?3(5,P),

315

???E(X)=5P<5X^-=4<4,故該同學(xué)沒有希望進(jìn)入決賽.

44

【點(diǎn)睛】

本題考察概率的求解以及二項(xiàng)分布、解決問題的關(guān)鍵是求得某一輪獲得“巧手獎(jiǎng)”的概率的

范圍，再估算5輪比賽中獲得“巧手獎(jiǎng)”的次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望，涉及函數(shù)值域問題，范圍問

題，屬綜合困難題.

21.(1)答案見解析

(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)求導(dǎo)=,分〃zNO和〃?<0,討論求解；

(2)由叭b)>"(a),得到，<予，令g(x)=j,利用導(dǎo)數(shù)法得到x>0時(shí)，

或證明.

(1)

解：f'(x)=ex+m,

當(dāng)時(shí)，r(x)>0,/(x)在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)機(jī)<0時(shí)，由/'(x)>0,得由/'(x)<0,得

f(力在(-8/n(-〃。)上單調(diào)遞減，在(皿-加),內(nèi))上單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)相20時(shí)，〃x)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)機(jī)<0時(shí)，/(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

(2)

證明：由qf(b)>/(a),a(e*+mb)>b[ea+ma),

即aeh>be">>

答案第17頁，共21頁

令g(x)=W，則g(b)<g(a).

二g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(I,”)上單調(diào)遞減.

當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>0,或l<avb,

①若IWavZ?,顯然。+Z?>2

②若OvavlvZ?,要證。+匕>2,只需證人>2—。>1,

即證g(1)vg(2-若能證g(〃)<g(2-〃)，則原命題得證，

令G(x)=g(x)-g(2-x),XG(O,1),

G'(x)=詈+琶=(1-力S'-產(chǎn)),

0<x<1,/.l-x>0,ex-ex~2>0,G(x)>0,

/.G(x)在(0,1)單調(diào)遞增，G(x)<G(l)=O,

.??g(a)<g(2-a),原命題得證.

綜上所述，a+b>2.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：當(dāng)0<a<l<b時(shí)，關(guān)鍵是將證4+〃>2,轉(zhuǎn)化為證g(a)<g(2-a),然后令

G(x)=g(x)—g(2—x),XG(O,1),利用導(dǎo)數(shù)而得解