平面解析幾何（選擇題、填空題）-三年（2021 (一)-2021）高考真題文科數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編（解析版）

專題07平面解析幾何(選擇題、填空題)

1.【2020年高考全國(guó)I卷文數(shù)】已知圓Y+y2-6x=0,過(guò)點(diǎn)(1,2)的直線被該圓所截得的弦的長(zhǎng)度的

最小值為

A.1B.2

C.3D.4

【答案】B

【解析】圓f+y2—6x=0化為。一3)2+9=9,所以圓心C坐標(biāo)為C(3,0),半徑為3,

設(shè)P(l,2),當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線和直線CP垂直時(shí)，圓心到過(guò)點(diǎn)P的直線的距離最大，所求的弦長(zhǎng)最短，此

時(shí)\CP|=7(3-D2+(-2)2=2五

根據(jù)弦長(zhǎng)公式得最小值為2)9-|CPf=2V9^8=2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，以及幾何法求弦長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

2.【2020年高考全國(guó)III卷文數(shù)】在平面內(nèi)，A,8是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn),若AC-BC=1，則點(diǎn)C的軌跡為

A.圓B.橢圓C.拋物線D.直線

【答案】A

【解析】設(shè)AB=2a(a>0),以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則：A(-a,0),3(a,0),設(shè)C(x,y),可得：AC=(x+a,y),BC=(x-a,y),

—>—>

從而：ACBC=(x+a)(x-a)+y2'

結(jié)合題意可得：(x+a)(x-a)+y2=i,

整理可得：%2+/=a2+l,

即點(diǎn)C的軌跡是以A8中點(diǎn)為圓心，加二1為半徑的圓.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，軌跡方程的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能

力和計(jì)算求解能力.

3.【2020年高考全國(guó)HI卷文數(shù)】點(diǎn)(0，-1)到直線y=&(x+l)距離的最大值為

A.1B.近C.忑D.2

【答案】B

【解析】由)=%(x+l)可知直線過(guò)定點(diǎn)尸(T,0),設(shè)A(0,-1)，

當(dāng)直線y=Z(x+l)與AP垂直時(shí)，點(diǎn)A到直線>=敘》+1)距離最大,

即為14Pb點(diǎn).

故選：B.

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)解析幾何初步的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，利用幾何性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

4.【2020年高考全國(guó)H卷文數(shù)】若過(guò)點(diǎn)(2,1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2尸廠3=0的距離為

A.更B.C.也>D.

5555

【答案】B

【解析】由于圓上的點(diǎn)(2』)在第一象限，若圓心不在第一象限，

則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，

設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,a),則圓的半徑為。，

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-a)2=a2.

由題意可得(2—4+(1—a)?=",

可得a?_6a+5=0,解得a=1或a=5,

所以圓心的坐標(biāo)為(1,1)或(5,5),

|2xl-l-3|2/

圓(1,1)到直線2x-y-3=0的距離均為&=

忑=亨

圓（5,5）到直線2x_y_3=0的距離均為4=1><5不一）=過(guò)2

?55

圓心到直線2%-y-3=0的距離均為d=心衛(wèi)

忑5

所以，圓心到直線2x-y-3=0的距離為芋.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查圓心到直線距離的計(jì)算，求出圓的方程是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

5.【2020年高考全國(guó)川卷文數(shù)】設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=2與拋物線C：y=2*（p>0）交于。，E兩點(diǎn),

若ODJ_OE,則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

A.（1,0）B.（1，0）C.(1,0)D.(2,0)

42

【答案】B

【解析】因?yàn)橹本€x=2與拋物線/=2px{p>0）交于瓦。兩點(diǎn)，且0。1OE，

根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可以確定NOQx=ZEOx=",所以。（2,2）,

4

代入拋物線方程4=4”，求得p=l,所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（；（）），

故選：B.

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)圓錐曲線的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線與拋物線的交點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱性，點(diǎn)在

拋物線上的條件，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，屬于簡(jiǎn)單題目.

2

6.【2020年高考全國(guó)I卷文數(shù)】設(shè)尸，尸是雙曲線C:/—廠=的兩個(gè)焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)?在C上

12—1

3

且|OP|=2,則△尸尸尸?的面積為

75

A._B.3C._D.2

22

【答案】B

【解析】由已知，不妨設(shè)凡（-2,0）,尸2（2,0）,

則a=l,c=2,因?yàn)閨。尸|=1=1|尸產(chǎn)|,

2,2

所以點(diǎn)尸在以？尸2為直徑的圓上，

即口巴尸2P是以P為宜角頂點(diǎn)的宜角三角形,

故IPF『+IPF|2=|FFI2,

1212

2

即|PF^+IPF21=16,又|P昂一|PBI=2a=2,

22

所以4=|P居|—|\=\PF^+\PF|-2|PF||PF|=16-2|PF,||PF2|,

PF?I212

解得|PF||PF|=6,所以=）|尸尸||尸尸|=3

1

I2尸依22

故選：B

【點(diǎn)晴】本題考查雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積的計(jì)算問(wèn)題，涉及到雙曲線的定義，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能

力，是一道中檔題.

22

7.【2020年高考全國(guó)H卷文數(shù)】設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=a與雙曲線C：［一。=1（°>0,匕>0）的兩條漸近

ab~

線分別交于D,E兩點(diǎn).若△。。后的面積為8,則。的焦距的最小值為

A.4B.8C.16D.32

【答案】Bf2

-J=>>b

y=±x

【解析】C：/〃1（〃。/0）,雙曲線的漸近線方程是

a

x=aC：丫2—2=>>

xy

直線與雙曲線/"13。）的兩條漸近線分別交于0，E兩點(diǎn)

不妨設(shè)D為在第一象限，E在第四象限,

|X二Q

[x=a

聯(lián)立〈b,解得\7

x、y=b

a

故D(a,b),

聯(lián)立卜="b，解和可=。，

y=-xy=-b

[;I

故E(a,-b),

|ED|=2b,

*,*GODE面積為：SAODE=3ax2b=ab=8,

???雙曲線

'1?其焦距為2c=2川+口>2=2^16=8,

當(dāng)且僅當(dāng)。=。=2加取等號(hào)，

C的焦距的最小值：8.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式

求最值方法，在使用均值不等式求最值時(shí)，要檢驗(yàn)等號(hào)是否成立，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬

于中檔題.

y22

8.【2020年高考天津】設(shè)雙曲線C的方程為/_*.=]3〉0]〉0),過(guò)拋物線,2=以的焦點(diǎn)和點(diǎn)(0,份

的直線為/.若。的一條漸近線與/平行，另一條漸近線與/垂直，則雙曲線。的方程為

2222

A入9y1X2122i

A.-------=1B.x~-----=1C.—y=1D.A"—=1

4444

【答案】D

【解析】由題可知，拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，所以直線/的方程為1,即直線的斜率為-b,

b

又雙曲線的漸近線的方程為"士"所以一人=一匕一”也一1,因?yàn)閍>0力>0,解得。=12=1.

aaa

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，雙曲線的幾何性質(zhì)，以及直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于

基礎(chǔ)題.

9.【2020年高考北京】已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4),則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為

A.4B.5

C.6D.7

【答案】A

【解析】設(shè)圓心C(x,y)，則W(x-3y+(y—4)2=1，

簡(jiǎn)得k—3)2+(丫-4)2=1,

所以圓心。的軌跡是以M(3,4)為圓心，1為半徑的圓,

5^

-2-

-3-

所以|OC|+1才0用|=斤商=5,所以|0。|25-1=4,

當(dāng)且僅當(dāng)C在線段OMI二時(shí)取得等號(hào)，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.

10.【2020年高考北京】設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為0,焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/.P是拋物線上異于。的一點(diǎn)，過(guò)P作

PQ1/于Q,則線段FQ的垂直平分線

A.經(jīng)過(guò)點(diǎn)OB.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P

C.平行于直線OPD.垂直于直線OP

【答案】B

【解析】如圖所示:

因?yàn)榫€段尸Q的垂直平分線上的點(diǎn)到產(chǎn)，。的距離相等，又點(diǎn)P在拋物線上，根據(jù)定義可知，|也卜|PF|，

所以線段尸。的垂宜平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11.【2020年高考浙江】已知點(diǎn)。(0,0),4(-2,0),8(2,0).設(shè)點(diǎn)P滿足|PA|-|PB|=2,即為函數(shù)y=3，4-止

圖象上的點(diǎn),則|。戶|=

V22B.4冊(cè)

A.C?幣D.振

5

【答案】D

【解析】因?yàn)?PAi一|尸5]=2<4,所以點(diǎn)尸在以4B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2,焦距為4的雙曲線的右支

c=2,a=l2222y2

上，由可得，b-c-a=4-1=3,即雙曲線的右支方程為X—=1（尤>0）,而點(diǎn)尸還在

函數(shù)y=3,4—/的圖象上,所以,

v2,解得，

-JO〉。）y"

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義的應(yīng)用，以及二次曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.【2020年新高考全國(guó)I卷】已知曲線U/wx?=1.

A.若m>n>0,則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

B.若m=n>0,則C是圓，其半徑為防

C.若加"<0,則C是雙曲線，其漸近線方程為y=±

D.若m=0,n>0,則C是兩條直線

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A,若〃z>〃>0,則nvc+ny2=1可化為

mn

因?yàn)闄C(jī)〉〃〉0,所以J_<I，

mn

即曲線c表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故A正確：

對(duì)于B,若機(jī)=〃〉0,則twc+ny2=1可化為x2+y2,

n

此時(shí)曲線C表示圓心在原點(diǎn)，半徑為直的圓，故B不正確：

n

92

y?y_

對(duì)丁?C,若加〃<0,則〃1/+〃y2=1可化為［—11,

mn

此時(shí)曲線C表示雙曲線，

由nvc1+ny1=0可得y=±I-m_x,故C正確；

xn

對(duì)于D,若加=0,〃〉0,則+1可化為/=?,

n

y_+?，此時(shí)曲線C表示平行于1軸的兩條直線，故D正確；

y——

n

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查曲線方程的特征，熟知常見(jiàn)曲線方程之間的區(qū)別是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)

算的核心素養(yǎng).

13.(2019年高考浙江卷】漸近線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是

A.aB.1

2

C./D.2

【答案】C

【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為x±y=0.所以。=匕，則。=>/^萬(wàn)=/“，所以雙曲線的離

心率e=：=亦.故選c.

a

【名師點(diǎn)睛】本題根據(jù)雙曲線的漸近線方程可求得a=b，進(jìn)一步可得離心率，屬于容易題，注重了雙

曲線基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查.理解概念，準(zhǔn)確計(jì)算，是解答此類問(wèn)題的基本要求.部分考生易出現(xiàn)理

解性錯(cuò)誤.

1*22

14.【2019年高考全國(guó)【卷文數(shù)】雙曲線C：_—21=l(a>0/>0)的一條漸近線的傾斜角為130。，則C

〃IT

的離心率為

A.2sin40°B.2cos40°

sin50°cos50°

【答案】D

【解析】由已知可得'=tan130°,;.*=tan50°,

sin2500+cos250°*

cos250°cos250°cos50°

故選D.

x2y-oc

【名師點(diǎn)睛】對(duì)于雙曲線：_-_=l（^>0,Z?>0）,有c=_=

對(duì)于橢圓方+5=1（?！?〉0），有e=_=Ji_（￡）,防止記混.

15.【2019年高考全國(guó)I卷文數(shù)】已知橢圓C的焦點(diǎn)為耳（-1,0）,乙（1,0）,過(guò)F2的直線與C交于A,B兩

點(diǎn).若|AF2\=2\F2B\,\AB|=|BF[\,則c的方程為

32

54

【答案】B

【解析】法一：如圖,由已知可設(shè)\F2B\=n,則\AF21=2n，網(wǎng)卜\AB\=3〃，

由橢圓的定義有2a=麻計(jì)%\=4n,：.\AF]=2a~\AF2\=2n.

.,A-n24-9H2—1

在△AF[B中，由余弦定理推論得cos/F|A8=-----------------=--

2-2〃-3n3

在△人尸尸中，由余弦定理得4/+4〃2一2?2〃?2〃?[=4,解得〃=f.

.1.2a=4〃=a=/，，匕,=/一c'=3-1-2所求橢圓方程為--1.故選B.

32

法二：由已知可設(shè)F2B=n,則AF2I=2〃，BF|=\AB=3n,

由橢圓的定義有2a=BF[+BF2|=4",二AF1\=2a-AF21=2n.

-A人CLLq入f4/?2+4-2-2/?-2-cosZAFF=4n2

在AAF尸和△Bf'F中，由余弦定理得《2i,

121222

[n+4-2-/?-2-cosZBF2^^9/i

又ZAF2F1,Z5F2F,互補(bǔ)，.二cosZAF2F}+cosZBF2F}=0,兩式消去cosZAF2F},cosZBF2F},得

3"+6=11/,解得“=立?2a=4〃=2陰，...a=，回，..e2=片一02=3—1=2,.?.所求橢圓

2

方程為」+小1，故選B.

32

【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化舊的能力，很好地

落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

22

16.【2019年高考全國(guó)II卷文數(shù)】若拋物線產(chǎn)=2X(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓土+上=1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=

3PP

A.2B.3

C.4D.8

【答案】D

22

pxyp2

【解析】因?yàn)閽佄锞€尸=2Px(p>0)的焦點(diǎn)(_,0)是橢圓一+一=1的一個(gè)焦點(diǎn)，所以3〃—p=(_),

23Pp2

解得〃=8,故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)，滲透邏輯推理、運(yùn)算能力素養(yǎng).解答時(shí)，利用拋

物線與橢圓有共同的焦點(diǎn)即可列出關(guān)于P的方程，從而解出P,或者利用檢驗(yàn)排除的方法，如p=2時(shí)，

拋物線焦點(diǎn)為(1,0),橢圓焦點(diǎn)為(±2,0),排除A,同樣可排除B,C,從而得到選D.

工2—二,

17.【2019年高考全國(guó)II卷文數(shù)】設(shè)尸為雙曲線C---~1（。>0,b>0）的右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn),

arb

以。尸為直徑的圓與圓好+》2=〃交于P,。兩點(diǎn).若|PQ=|OQ,則。的離心率為

A.1J2,B.

C.2D.有

【答案】A

【解析】設(shè)PQ與無(wú)軸交于點(diǎn)A,由對(duì)稱性可知PQ_L無(wú)軸,

又?.?/。卜|。F|=°,|=￡,,PA為以O(shè)F為直徑的圓的半徑,

2

：.\OA\=C,P,c,c)

23

2222292

c,c~2,即三=，

又P點(diǎn)在圓x+y=a,.—+—=ae——r—乙?

442ar

優(yōu)先考慮幾何法，避

免代數(shù)法從頭至尾運(yùn)算繁瑣，準(zhǔn)確率大大降低，雙曲線離心率問(wèn)題是圓錐曲線中的重點(diǎn)問(wèn)題，需強(qiáng)化

練習(xí)，才能在解決此類問(wèn)題時(shí)事半功倍，信手拈來(lái).解答本題時(shí)，準(zhǔn)確畫(huà)圖，由圖形對(duì)稱性得出P點(diǎn)坐

標(biāo)，代入圓的方程得到c與a的關(guān)系，可求雙曲線的離心率.

18.【2019年高考全國(guó)m卷文數(shù)】已知F是雙曲線C：二“二二=1的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，。為坐標(biāo)原

45

點(diǎn)，若|。4=|0月，則的面積為

5

2

9

【答案】B

【解析】設(shè)點(diǎn)「（公,%），則上―工=1①.

45

又0耳=。尸=v^=3,.y2+肅=9②.

255

由①②得y2=_,即y=L

32

雌B.

【名師點(diǎn)睛】本題易錯(cuò)在忽視圓錐曲線方程和兩點(diǎn)間的距離公式的聯(lián)系導(dǎo)致求解不暢.設(shè)P（x°，%），由

\OP=OF,再結(jié)合雙曲線方程可解出先|,利用三角形面積公式可求出結(jié)果.

19.【2019年高考北京卷文數(shù)】已知雙曲線“，一步=1（〃>0）的離心率是有，則a=

A.

【答案】D

【解析】???雙曲線的離心率e=f=如，c=J/

...7771,解得a=_,

2

故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的離心率的定義，雙曲線中a,h,c的關(guān)系，方程的數(shù)學(xué)思想等知

識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

20.【2019年高考天津卷文數(shù)】已知拋物線J=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為/.若/與雙曲線

72

二-）'，=1（。＞0/〉0）的兩條漸近線分別交于點(diǎn)4和點(diǎn)8,且|A3|=4|OF|（0為原點(diǎn)），則雙曲

a'b-

線的離心率為

【答案】D

【解析】拋物線y=4x的準(zhǔn)線/的方程為x=-\,

雙曲線的漸近線方程為y=+^x,

ba

則有4-1,￡B（T，一_）,

4,b=2a,

aa

Va2+b2

故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線和雙曲線的性質(zhì)以及離心率的求解，解題關(guān)鍵是求出A8的長(zhǎng)度.解答時(shí),

只需把|A4=41。尸|用a,4c表示出來(lái)，即可根據(jù)雙曲線離心率的定義求得離心率.

22

21.【2018年高考全國(guó)!卷文數(shù)】已知橢圓C：廠+"=的一個(gè)焦點(diǎn)為（2,0）,則C的離心率為

【答案】C

【解析】由題可得c=2,因?yàn)閺?4,所以片=廿+,2=8,即。=2&，

所以橢圓C的離心率e=_2_=變，故選C.

2①2

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程及離心率，考查考生的運(yùn)算求解能力，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是

數(shù)學(xué)運(yùn)算.在求解的過(guò)程中，一定要注意離心率的公式，再者就是要學(xué)會(huì)從題的條件中判斷與之相關(guān)的

量,結(jié)合橢圓中仇c的關(guān)系求得結(jié)果.

22.【2018年高考全國(guó)II卷文數(shù)】已知E，居是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，若且

NPEK=60°,則C的離心率為

A-1-^B.2-志

2

【答案】D

【解析】在△尸P尸中，Z.FPF=90°,NPFF=60°,

I2122I

設(shè)歸局=/n,

則2c=|招尸2卜2m,|PK卜磊m,

又由橢圓定義可知2a=\PF]+\PF2\=（赤+1）〃?，

c2c2m[

則e=_=__==/一1，故選D.

a2a

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義和簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、運(yùn)算求解能力，

考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.結(jié)合有關(guān)平面幾何的知識(shí)以及橢圓的定義、性質(zhì)加以靈活分析,

關(guān)鍵是尋找橢圓中a,c滿足的關(guān)系式.

橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：一是判斷平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為橢圓，二是利用定義求焦

點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)、面積、橢圓的弦長(zhǎng)及最值和離心率問(wèn)題等；“焦點(diǎn)三角形”是橢圓問(wèn)題中的常考知識(shí)點(diǎn)，在

解決這類問(wèn)題時(shí)經(jīng)常會(huì)用到正弦定理，余弦定理以及橢圓的定義.

22

23.【2018年高考全國(guó)II卷文數(shù)】雙曲線二-==I（Q〉0/〉O）的離心率為了,則其漸近線方程為

ah~

A.y=-^xB.y=

C.y=±事xD.y=±^E-X

22

【答案】A

b

【解析】因?yàn)閑=￡=有，所以從=土瞑2'所以二因?yàn)闈u近線方程為

2一先

a

b

y=±—尤，所以漸近線方程為y=士岳，故選A.

a

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查考生的運(yùn)算求解能力，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

是數(shù)學(xué)運(yùn)算.

Y22

（1）焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為——匕=l（a>0,b>0）,焦點(diǎn)坐標(biāo)為（土C,0）,實(shí)軸長(zhǎng)為2”，

a2b1

虛軸長(zhǎng)為2b,漸近線方程為y=」x；

a

（2）焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為W=1（。>Q,b>0）,焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,土c）,實(shí)軸長(zhǎng)為2”,

a2b1

虛軸長(zhǎng)為2b,漸近線方程為y=±"x.

b

24.【2018年高考全國(guó)HI卷文數(shù)】直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A,3兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓

（X-2）2+/=2±,則4AB尸面積的取值范圍是

A.[2,6]B.[4,8]

C.「2，3川D.「2\,

[VJ4/」

【答案】A

【解析?直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A,B兩點(diǎn)，.??4（-2,0）,8（0,-2）,則Ap=|2

???點(diǎn)P在圓（x—2）2+V=2上，.?.圓心為（2,0）,則圓心到直線的距離d尸匕學(xué)工=2虛.

故點(diǎn)P到直線x+y+2=0的距離d的范圍為「a,32J,則S

2於4」

故答案為A.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題.先

求出48兩點(diǎn)坐標(biāo)得到Ap可計(jì)算圓心到直線的距離，得到點(diǎn)P到直線距離的范圍，由面積公式計(jì)

算即可.

二工r"，①

25.【2018年高考全國(guó)川卷文數(shù)】已知雙曲線C：二一二=l（a〉0/>0）的離心率為"2,則點(diǎn)到。

arb

的漸近線的距離為

A.^2B.2

C.辿D.2-J2

2

【答案】D

【解析】?.?e=f=卜+&2=啦,.'.2=1,所以雙曲線C的漸近線方程為x±y=O,所以點(diǎn)(4,0)

a\aa

高=2段,故選

到漸近線的距離d=D.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式，考查考生的運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)

化能力、邏輯思維能力，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象.

工y=>>J2

熟記結(jié)論：若雙曲線2-V1(。0)是等軸雙曲線，則“=從離心率e=,漸近線方程為

a~b

產(chǎn)出，且兩條漸近線互相垂直.

2

26.【2018年高考浙江卷】雙曲線上->2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是

3

A.(-桓,0),(亂0)

B.(-2,0),(2,0)

C.(0,一&)，(0,仞

D.(0,-2),(0,2)

【答案】B

2

【解析】設(shè)±—y2=i的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(土，因?yàn)閏=/+〃2=3+1=4，c=2,

3

所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±2,0)，故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線基本量之間的關(guān)系，考查考生的運(yùn)算求解能力，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

是數(shù)學(xué)運(yùn)算.解答本題時(shí)，先根據(jù)所給的雙曲線方程確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，然后根據(jù)基本量之間的關(guān)系進(jìn)

行運(yùn)算.

y22

27.【2018年高考天津卷文數(shù)】已知雙曲線——匕=l（a>0,力〉0）的離心率為2,過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸

a2b2

的直線與雙曲線交于A,8兩點(diǎn).設(shè)A,3到雙曲線同一條漸近線的距離分別為4和4，且4+4=6,

則雙曲線的方程為

2222

A.r_2L=1B,土_2L=i

3993

2222

C.'_匕=1D.2_21=1

412124

【答案】A

【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸（c,0）（c>0）,則/=XB=C,

由《―己=1可得y=±Z，

a2b2a

不妨設(shè)A(C,L)，B(C,—,

aa

雙曲線的一條漸近線方程為bx-ay=0,

\bc-b~\be-b2Ibe+b21be+kr

據(jù)叱可得a=—d2=

Ja2+b2Cyja2+b2c

2bc

2

則d+d==2b=69則/?=3,b=9>

12c

l+*_=2,據(jù)此可得〃=3,則雙曲線的方程為E—E=

雙曲線的離心率e

er1.39

故選A.

【名師點(diǎn)睛】求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法.具體過(guò)程是先定形，再定量，即先確定

雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a,b,c,e及漸近線之間的關(guān)系，求出”，。的值.如果己知雙曲

線的漸近線方程，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為巴一三九（加0），

ah2

再由條件求出入的值即可.解答本題時(shí)，由題意首先求得A,8的坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)到直線距離公式求得

b的值，之后求解“的值即可確定雙曲線方程.

28.【2020年高考全國(guó)III卷文數(shù)】設(shè)雙曲線C:3-￡=l（?0力>0）的一條漸近線為產(chǎn)則C的離心

arb

率為_(kāi)________

【答案】出

【解析】由雙曲線方程￡-￡=1可得其焦點(diǎn)在犬軸卜,

a2b2

因?yàn)槠湟粭l漸近線為y=岳,

所以匕=&,e="f="+2=B

aa\a-

故答案為：忑）

【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)雙曲線性質(zhì)，利用漸近線方程與離心率關(guān)系是解題的關(guān)鍵，要注意判斷焦點(diǎn)

所在位置，屬于基礎(chǔ)題.

29.【2020年高考天津】已知直線X—揚(yáng)+8=0和圓幺+〉2=/（r>0）相交于A,8兩點(diǎn).若|AB|=6,

則r的值為.

【答案】5

Q

［解析】因?yàn)閳A心（0,0）到直線x-Qy+8=0的距離d=-==4,

V1+3

22

由IAB|=24_"2可得6=27r-4>解得r=5.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題，涉及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.

30.【2020年高考北京】己知雙曲線C:蘭-二=1,則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；C的焦點(diǎn)到其漸

63

近線的距離是.

【答案】（3,0）：占

【解析】在雙曲線C中，a=屈,b=相,則。=疝萬(wàn)=3,則雙曲線C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0），

雙曲線C的漸近線方程為^=±3了，即x±J^y=0,

2

3

所以，雙曲線C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為一=

Vl2+2

故答案為：（3,。）；、后.

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及焦點(diǎn)到漸近線的距離，考查計(jì)算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

31.12020年高考浙江圮知直線丫=取+咐>0）與圓爐+>2=1和圓。_4）2+丫2=［均相切，則人

【答案】史；―鄧

33

\b\\4k+b\_}

【解析】由題意，到直線的距離等了半徑，即加+J

VF77一

所以|"=|4%+如所以上=0（舍）或者〃=—2%,

4步

解得々=二事，方,=3_.

33

故答案為：——,~

33

【點(diǎn)晴】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

/"=>

32.【2020年高考江蘇】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線；K?0）的一條漸近線方程為V=:4

cr52

則該雙曲線的離心率是▲

3

【答案】一

2

27海

【解析】雙曲線故此5由于雙曲線的一條漸近線方程為產(chǎn)會(huì)，即

h$c3

=v=>a2、所以。=而萬(wàn)=，而=3'所以雙曲線的離心率為

a2a2

3

故答案為：一

2

【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，考查雙曲線離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題.

33.【2020年新高考全國(guó)I卷】斜率為小的直線過(guò)拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)，且與C交于A,B兩點(diǎn)，則

卜------

【答案】—

3

【解析】???拋物線的方程為V=4x,..?拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為F