111函數(shù)項級數(shù)的一致收斂ppt

1°使學生掌握函數(shù)項級數(shù)、冪級數(shù)這一重要概念的內(nèi)涵與外延；2°使學生學會用定義證明函數(shù)項級數(shù)一致收斂性。3°通過學習使學生掌握判別函數(shù)項級數(shù)一致收斂、冪級數(shù)收斂性的根本方法。第十一章函數(shù)項級數(shù)、冪級數(shù)教學目標：

§11.1函數(shù)項級數(shù)的一致收斂一、函數(shù)項級數(shù)的概念三、一致收斂級數(shù)的性質(zhì)二、一致收斂的定義四、一致收斂級數(shù)的判別方法一、函數(shù)項級數(shù)的概念設是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，我們稱是函數(shù)項級數(shù)，并稱是這一級數(shù)的次局部和。如果對中的一點，數(shù)項級數(shù)收斂，我們就說函數(shù)項級數(shù)在點收斂，否那么就說它在點發(fā)散。如果對中任何一點，級數(shù)收斂，就說函數(shù)項級數(shù)在上收斂〔即在每一點都收斂〕。這時，對每一點級數(shù)有和，記此和為，即可見，是上的函數(shù)。例如級數(shù)在內(nèi)收斂，其和為。這就說明，函數(shù)項級數(shù)在某點的收斂問題實質(zhì)上是數(shù)項函數(shù)的收斂問題。因此，我們就可以應用已學過的數(shù)項級數(shù)的有關(guān)知識來考察函數(shù)項級數(shù)的收斂問題。二、一致收斂的定義引例例1它的每一項都在上連續(xù)，其次局部和為。很明顯有級數(shù)的和在不連續(xù)，因此，它不是上的連續(xù)函數(shù)。這個例子還告訴我們，上述級數(shù)的每一項都在上可導，但它的和函數(shù)在不可導。結(jié)論問題例2考察函數(shù)序列，其中。對任何故但這說明：在本例中，雖然但這就提出了一個問題：設級數(shù)在上收斂于又設級數(shù)的每一項在上連續(xù)。對于求導和求積，也有類似的問題，要答復這些問題，必須引進非常重要的概念：一致收斂定義1設有函數(shù)列〔或函數(shù)項級數(shù)的局部和序列〕。假設對任給的，存在只依賴于的正整數(shù),使時，不等式〔對函數(shù)項級數(shù)，此式也可寫為〕對上一切都成立，那么稱在上一致收斂于幾何解釋:

(如圖)當n>N時,曲線總位于曲線之間.如前面例1.證明級數(shù)在[0,1]上不一致收斂.證:取正數(shù)對無論多么大的正數(shù)N,因此級數(shù)在[0,1]上不一致收斂.說明:對任意正數(shù)r<1,級數(shù)在[0,r]上一致收斂.事實上,因為在[0,r]上任給

>0,欲使只要因此取只要即級數(shù)在[0,r]上一致收斂.例3解余項的絕對值定義2設如果就稱在上一致收斂于。一致收斂的定義還可以用下面的方式來表達：例4在一致收斂。例5討論在的一致收斂性。例6以例1的函數(shù)列,為例,因為故亦即,因此在上不一致收斂.還可看到在也不是一致收斂的，到它在任意一個區(qū)間(是小于1的任一正數(shù))卻是一致收斂的,這是因為同理可知在任一區(qū)間(為小于1的任一正數(shù))一致收斂,但在非一致收斂.這說明了一致收斂與所討論的區(qū)間有關(guān),當在某一區(qū)間一致收斂時,它當然在含這區(qū)間內(nèi)的任一區(qū)間一致收斂,但在含這個區(qū)間的較大的區(qū)間上卻不一定一致收斂.另一方面,這兩個例子也說明了雖然在內(nèi)的任一閉區(qū)間上一致收斂,但在區(qū)間卻不一定一致收斂.當在內(nèi)任一閉區(qū)間上一致收斂時,稱在區(qū)間內(nèi)閉一致收斂.因此在一致收斂一定內(nèi)閉一致收斂,但反之不然.但從在內(nèi)閉收斂,卻可得到它在區(qū)間也收斂,這是因為對上每一點,恒可取內(nèi)的一個閉區(qū)間包含這個點,于是在這閉區(qū)間上的收斂性就得到它在這個點收斂.這正是由于一致收斂是整體性質(zhì)而收斂是局部性質(zhì)的緣故.例7在非一致收斂..

定理

函數(shù)列在上一致收斂的充要條件為,對任給的,可得正整數(shù),使時,不等式對任意的正整數(shù)和上任意的都成立三、一致收斂級數(shù)的性質(zhì)

定理1假設在上,函數(shù)列的每一項都連續(xù),且一致收斂于,那么其極限函數(shù)也在上連續(xù).

于是當時這樣便證明了定理.證明由于在上一致收斂與,故對可得(是一個僅與有關(guān)確實定的項數(shù),它與上的無關(guān)),使對上任一點,顯然也有再由在點連續(xù)性,可得,使時說明:(1)定理1說明,對一致收斂的級數(shù),極限運算與無限求和運算可交換,(2)假設函數(shù)項級數(shù)不一致收斂時,定理結(jié)論不一定成立.例如,級數(shù)在區(qū)間[0,1]上處處收斂,而其和函數(shù)在x=1處不連續(xù).定理2

設在上一致收斂于,每一都在上連續(xù),那么亦即極限號與積分號可以互換.又函數(shù)列也在上一致收斂于證明由定理對任給的,可得,使時現(xiàn)由于及連續(xù),故它們在上的積分存在,并且當時又假設將積分上限換為,那么當時上式仍舊成立.這樣便證明了定理2.說明:假設級數(shù)不一致收斂時,定理結(jié)論不一定成立.例如,級數(shù)它的局部和因此級數(shù)在[0,1]上收斂于S(x)=0,所以但是①對級數(shù)①定理結(jié)論不成立的原因:級數(shù)①的余項可見級數(shù)①在[0,1]上不一致收斂,此即定理2結(jié)論對級數(shù)①不成立的原因.①定理3假設在上函數(shù)列的每一項都有連續(xù)導數(shù),收斂于,一致收斂于,那么亦即也就是極限號與求導數(shù)號可以交換.又此時在上也是一致收斂的.證明由于一致收斂于,故連續(xù),由定理2由于左邊的導數(shù)存在,故存在且,又從及定理2即得的一致收斂性.定理4假設在上級數(shù)的每項都連續(xù),且一致收斂于也在上連續(xù).定理5設在上一致收斂于,并且每一都在上連續(xù),那么亦即和號可以與積號交換.又在上,函數(shù)項級數(shù)也一致收斂于定理6假設在上,的每一項都具有連續(xù)導數(shù),且一致收斂于,又收斂于,那么,亦即且一致收斂于.四、一致收斂級數(shù)的判別方法定理7假設對充分大的，恒有實數(shù)，使得對上任意的都成立，并且數(shù)項級數(shù)收斂，那么在上一致收斂。證明由的收斂性，對任給的，可得使時對上一切的我們有由一致收斂的柯西充要條件即得定理的結(jié)論。例.證明級數(shù)在(－∞,+∞)上一致收斂.證:而級數(shù)收斂,由維爾斯特拉斯判別法知所給級數(shù)在(－∞,+∞)上一致收斂.說明:維爾斯特拉斯判別法不僅能判別級數(shù)的一致收斂性,而且能判別其絕對收斂性.當不易觀察到不等式可利用導數(shù)求例如,級數(shù)用求導法可得收斂,因此原級數(shù)在[0,+∞)上一致收斂.例.

證明函數(shù)對任意x有連續(xù)導數(shù).解:顯然所給級數(shù)對任意x都收斂,且每項都有連續(xù)導數(shù),而逐項求導后的級數(shù)故級數(shù)②在(

,

)上一致收斂,故由定理3可知②再由定理1可知定理8〔阿貝爾判別法〕假設在上一致收斂，又對中每一固定的，數(shù)列單調(diào)。而對任意的和中每個有那么在上一致收斂。由的一致收斂性，對任意給定的，得，使時恒有固定由上式的單調(diào)性，利用阿貝爾引理得到再從一致收斂的柯西充要條件即得。定理9〔狄利克雷判別法〕設的局部和在上一致有界，又對內(nèi)每一，數(shù)列單調(diào)，并且函數(shù)列在上一致收斂于零，那么在上一致收斂。證明設，那么對上任意和任意的正整數(shù)恒有因此，利用阿貝爾引理再由一致收斂于零即得。例8假設絕對收斂，那么和在內(nèi)都是絕對收斂和一致收斂的級數(shù)。例9假設收斂，那么在上一致收斂。例10假設單調(diào)地趨于零，那么