精彩論文模版(一篇關(guān)于微分方程的論文)

本科生畢業(yè)設計(論文)題目：論積分因子的存在條件及其求法教學單位_計算機科學與技術(shù)學院姓名___彭倩___學號___200531105002年級_____2005級_________專業(yè)_數(shù)學與應用數(shù)學指導教師___宋榮榮職稱_____講師________2009年5摘要在常微分方程理論的形成過程中,求解常微分方程曾出現(xiàn)過許多方法,如別離變量法、變量替換法、常數(shù)變易法以及積分因子法等等.其中尤以積分因子法出現(xiàn)的最晚,而作用也最大.積分因子法的實質(zhì)是把常微分方程轉(zhuǎn)化為恰當方程,由于恰當方程的通解很容易得出,這樣我們也就能很容易求得常微分方程的解.因此用積分因子法解常微分方程的關(guān)鍵是找到積分因子.本文首先介紹了二元微分方程的恰當方程的定義,然后在二元非恰當方程的條件下引出積分因子的定義和存在條件.通過探討積分因子的存在條件,本文得到了幾種求常微分方程積分因子的根本求法：觀察法、公式法、分組法和幾種特殊類型方程積分因子的求法.并對各種積分因子求法作了詳細論證.然后根據(jù)二元原函數(shù)存在條件及積分因子的求法來推導三元原函數(shù)存在條件及積分因子的求解方法.關(guān)鍵詞：常微分方程；積分因子；恰當方程；三元原函數(shù).Abstract

Theoryofordinarydifferentialequationsintheformationprocess,thesolutionofordinarydifferentialequationstherehavebeenmanymethods,suchasseparationofvariables,variablesubstitutionmethod,constantvariation,andsointegralfactormethod.Especiallyintegralfactormethodappearsthelatest,Thebiggestrole.integralfactormethodistheessenceofordinarydifferentialequationsintoappropriate,astheappropriategeneralsolutionoftheequationiseasytodraw,sowecaneasilyobtainthesolutionofordinarydifferentialequations.thereforeintegralfactormethodthekeytosolutionofordinarydifferentialequationsistofindtheintegratingfactor.

Inthispaper,thedualdifferentialequationsfirstintroducedthedefinitionoftheappropriateequation,andtheninthedualnon-appropriateconditionsequationintegratingfactorleadstothedefinitionandconditionsfortheexistenceof.Byexploringtheconditionsfortheexistenceoftheintegratingfactor,thispaperhasbeenseekingseveralordinarydifferentialequationsintegralfactorofthebasicmethod:Toobservethelaw,theformulalaw,sub-lawandseveralspecialtypesofintegralequationmethodfactor.andavarietyofintegralfactoradetailedappraisalmethod.andthentheoriginalfunctioninaccordancewiththeconditionsfortheexistenceofbinaryandintegralfactorofthelawisderivedforthreeconditionsfortheexistenceoftheoriginalfunctionandtheintegralfactormethod.

Keywords:ordinarydifferentialequations;integralfactor;properequation;Ternaryprimitivefunction.目錄第一章緒論 41.1課題背景及目的 41.2國內(nèi)外研究狀況和相關(guān)領(lǐng)域中已有的成果 41.3研究方法、論文構(gòu)成及研究內(nèi)容 5研究方法 51.3.2論文研究內(nèi)容 5第二章二元微分方程積分因子的定義及其存在條件 62.1積分因子的定義 62.2積分因子存在條件 72.3積分因子的幾種解法 8觀察法 8公式法 82.3.3分組法 112.3.4幾種特殊類型方程積分因子的求法 12第三章三元微分方程積分因子的存在條件及解法 123.1三元原函數(shù)存在條件 123.2三元微分方程積分因子存在的條件 143.3三元微分方程積分因子的解法 15結(jié)論 19參考文獻 20致謝 20第一章緒論1.1課題背景及目的微分方程差不多是和微積分同時產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學家耐普爾創(chuàng)立對數(shù)的時候，就討論過微分方程的近似解.牛頓在建立微積分的同時，對簡單的微分方程用級數(shù)來求解.后來瑞士數(shù)學家雅各布·貝努利、歐拉、法國數(shù)學家克雷洛、達朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論.常微分方程的形成與開展是和力學、天文學、物理學，以及其他科學技術(shù)的開展密切相關(guān)的.數(shù)學的其他分支的新開展，如復變函數(shù)、李群、組合拓撲學等，都對常微分方程的開展產(chǎn)生了深刻的影響，當前計算機的開展更是為常微分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工具.微分方程可以精確地表述事物變化所遵循的根本規(guī)律.隨著微分方程的理論的逐步完善，只要列出相應的微分方程并找到解方程的方法,微分方程也就成了最有生命力的數(shù)學分支.事實上，大局部的常微分方程求不出十分精確的解，而只能得到近似解.當然，這個近似解的精確程度是比擬高的.現(xiàn)在，常微分方程在很多學科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應用，自動控制、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學反響過程穩(wěn)定性的研究等.這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問題.應該說，應用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就.解常微分方程大致有別離變量法、變量替換法、常數(shù)變易法以及積分因子法等等，其中，積分因子法尤為重要，本論文主要討論積分因子存在條件及其解法，通過積分因子使常微分方程化為全微分方程形式來求解.1.2國內(nèi)外研究狀況和相關(guān)領(lǐng)域中已有的成果積分因子的概念是由瑞士大數(shù)學家歐拉提出來的，而且他還確定了可采用積分因子的微分方程類型，證明了但凡可用別離變量求解的微分方程都可以用積分因子求解，但反之不然.隨著微分方程理論的不斷深入研究，積分因子的應用越來越廣.經(jīng)過許多人的研究證明：不僅僅是可用別離變量求解的微分方程可以用積分因子法求解，甚至只要微分方程的解存在，都可以采用積分因子法求解.只是有些方程求積分因子比求方程的解本身更為復雜.目前國內(nèi)的伍軍、劉許成、閻淑芳等人對積分因子的求法作了詳細的研究，并取得了許多重大的成果.盡管目前還沒有找到求積分因子的普通解法，但已在相當大的范圍內(nèi)，給出了一些微分方程的存在某些特殊類型積分因子的求法。1.3研究方法、論文構(gòu)成及研究內(nèi)容研究方法討論一類常微分方程(1.1)的積分因子問題.對于方程(1.1)，假設滿足,那么稱其為恰當方程〔或全微分方程〕.當、及它們的偏導數(shù)在某區(qū)域D上連續(xù)，且(,)D時，那么方程(1.1)的通積分為:(1.2)對于方程(1.1)，假設滿足,那么得不出由(1.2)式所表示的通積分，那么可考慮找出積分因子且0使得方程(1.3)為恰當方程.顯然方程(1.1)和(1.3)同解，而要解方程(1.3)，關(guān)鍵是求積分因子，使之化為恰當方程求解.本文根據(jù)參考文獻中的已有定理和研究成果，歸納總結(jié)積分因子的解法，比擬系統(tǒng)地闡述了較為根本的幾種求法和幾種特殊類型方程積分因子的求法，并在此根底上對公式法做了進一步的推廣.本文特別對三元微分方程(1.4)的積分因子的存在條件及其解法在二元微分方程積分因子的根底上做了推論。1.3.2論文研究內(nèi)容本論文共分為四個局部.給出了二元微分方程積分因子的定義以及積分因子存在的充要條件[1-2].給出了求二元微分方程積分因子的一些根本方法：觀察法、公式法[3-7]和分組法[8]以及幾種特殊類型方程積分因子的求法[9-10].對公式法作了進一步的推廣，通過對幾種常見積分因子類型歸納演繹,得到幾個新的結(jié)論并作了詳細證明。根據(jù)二元微分方程積分因子的存在條件及其解法推導三元微分方程積分因子的存在條件及其解法?？偨Y(jié)了各種微分方程積分因子的求法各自的適用范圍。第二章二元微分方程積分因子的定義及其存在條件2.1積分因子的定義在緒論1.3中我們已討論當方程(1.1)是恰當方程時，即有成立.由(1.2)可直接解得方程(1.1)的通解.當方程(1.1)不是恰當方程時,即不成立.但如存在不恒等于零的連續(xù)可微函數(shù)使方程(1.3)成為恰當方程,那么就稱為方程(1.1)的積分因子.此時(1.3)的通解也就是方程(1.1)的通解，其中為任意常數(shù).定理2.1如果是微分方程(1.1)的積分因子,即存在可微函數(shù)=使得,那么也是方程(1.1)的積分因子的充要條件是=,這里是關(guān)于的可微函數(shù).證明充分性由于=()==這里是的一個原函數(shù),這就意味著()=0是恰當方程,其通解就是=C(C為任意常數(shù)).必要性因為是方程(1.1)的積分因子,所以存在可微函數(shù)使方程兩邊乘以,得()==所以=,其中為關(guān)于的可微函數(shù)。由此可見方程(1.1)的積分因子并不唯一.2.2積分因子存在條件由恰當方程的定義，微分方程(1.3)為恰當方程的充要條件是(2.1)即另記=,=M,=N,上式整理為(2.2)所以為方程(1.1)的積分因子的充要條件是為方程(2.2)的解.而方程(2.2)是一個含有兩個自變量的偏微分方程,一般地求它要比求常微分方程更困難.但是,在假設干特殊情形下,求(2.2)的一個特解還是較為容易的,所以(2.2)也就提供了尋求特殊形式的積分因子的一個途徑。2.3積分因子的幾種解法2.3.1觀察法觀察法是出現(xiàn)最早的求積分因子的方法，在我們所使用的教材上已作了詳細的介紹，在此不再贅述。而形如的微分方程,如果，的原函數(shù)互為相反數(shù).此時為其積分因子,那么原方程可湊成恰當方程.公式法定理2.2方程(1.1)存在形如的積分因子的充要條件是(2.3)其中為僅與有關(guān)的函數(shù).且其積分因子(2.4)方程(1.1)存在形如的積分因子的充要條件是(2.5)其中為僅與有關(guān)的函數(shù).且其積分因子(2.6)由于此定理在教材中已作詳細證明，本論文不再累述.定理2.3方程(1.1)存在形如的積分因子的充要條件是(2.7)其中是僅與有關(guān)的函數(shù).且其積分因子(2.8)定理2.4方程(1.1)存在形如的積分因子的充要條件是(2.9)其中是僅與有關(guān)的函數(shù)，為任意常數(shù).且其積分因子=(2.10)注當取時，方程(1.1)存在形如的積分因子的充要條件是(2.11)其中為僅與相關(guān)的函數(shù).定理2.5方程(1.1)存在形如〔、是關(guān)于、的連續(xù)可微函數(shù)〕的積分因子的充要條件是(2.12)其中為僅與相關(guān)的函數(shù)，、分別為關(guān)于、的導數(shù).且其積分因子= (2.13)定理2.6方程(1.1)存在形如的積分因子的充要條件是(2.14)其中是僅與有關(guān)的函數(shù).且其積分因子(2.15)定理2.7方程(1.1)存在形如的積分因子的充要條件是(2.16)其中是僅與有關(guān)的函數(shù)，為任意常數(shù).且其積分因子=(2.17)注2.7當取時,方程(1.1)存在形如的積分因子的充要條件是(2.18)其中為僅與相關(guān)的函數(shù).定理2.8方程(1.1)存在形如〔、分別是關(guān)于的連續(xù)可微函數(shù)〕的積分因子的充要條件是(2.19)其中為僅與相關(guān)的函數(shù)，、EMBEDEquation.DSMT4分別為關(guān)于EMBEDEquation.DSMT4、EMBEDEquation.DSMT4的導數(shù).且其積分因子EMBEDEquation.DSMT4=EMBEDEquation.3(2.20)對以上定理作進一步歸納總結(jié)可得到以下定理.定理2.9方程(1.1)存在形如EMBEDEquation.3(是存在關(guān)于的連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù))的積分因子的充要條件是(2.21)其中是僅與有關(guān)的函數(shù).且該積分因子(2.22)定理2.10如果方程(1.1)中的，滿足條件(2.23)其中均為連續(xù)函數(shù)，那么方程(1.1)存在積分因子(2.24)定理2.11如果方程(1.1)中的，滿足條件(2.25)那么方程(1.1)存在積分因子(2.26)2.3.3分組法一個較復雜的微分方程,通?？坑^察法和公式法很難直接求出它的積分因子,運用分組找積分因子的方法,通常稱為分組法,而求解微分方程的方法稱為分組積分因子法。下面給出關(guān)于分組法的幾個定理及證明.定理2.12假設為方程(1.1)的一個積分因子,且．那么也是(1.1)的積分因子．其中是的任一連續(xù)可微函數(shù).定理2.13如果方程(2.27)的第一、二組分別有積分因子、，即，(2.28)假設能選擇連續(xù)可微函數(shù)，，使得，那么為方程(2.30)的一個積分因子.幾種特殊類型方程積分因子的求法定理2.14當時,齊次方程〔其中,是關(guān)于x,y的m次齊次連續(xù)可微函數(shù)〕的積分因子為(2.29)定理2.15當時，微分方程(2.30)的積分因子為(2.31)定理2.16當時，微分方程(2.32)的積分因子為(2.33)其中第三章三元微分方程積分因子的存在條件及解法3.1三元原函數(shù)存在條件定理3.1對于三元微分方程〔1.4〕為恰當方程的存在性條件為：〔3.1〕證明在三元微分方程〔1.4〕中M=(3.2)〔3.3〕〔3.4〕而〔3.1〕式可展開為〔3.5〕把〔3.2〕〔3.3〕〔3.4〕式代入〔3.5〕得即所以〔3.1〕式得證。例3.1.1求方程解：這里，，且所以該方程為恰當方程?，F(xiàn)在求,使它同時滿足以下三個方程：〔3.6〕〔3.7〕〔3.8〕由〔3.6〕對積分得〔3.9〕為了確定，將〔3.9〕分別對求導并使其分別滿足〔3.7〕，〔3.8〕。即得：〔3.10〕〔3.11〕積分得：，所以方程的通解為其中為任意常數(shù)。3.2三元微分方程積分因子存在的條件由恰當方程的定義，微分方程〔1.4〕為恰當方程的充要條件是〔3.12〕其中是與有關(guān)的積分因子。即〔3.13〕所以是方程〔1.4〕的積分因子的充要條件是是方程〔3.13〕的解，而方程〔3.13〕是一個含有三個自變量的偏微分方程，一般的求它比求常微分方程更困難。但是在假設干特殊情況下，求〔3.13〕的一個特解還是較為容易的。所以〔3.13〕也就提供了尋求特殊形式的積分因子的一個途徑。例證明方程的積分因子是。證明：由以上的說明可知假設為方程的積分因子那么方程兩邊同乘后為恰當方程。即方程為恰當方程?，F(xiàn)在來驗證方程為恰當方程：在方程中故方程為恰當方程即方程的積分因子是。證畢3.3三元微分方程積分因子的解法由于方法甚多，本論文只介紹公式法的一局部。定理方程〔1.4〕存在形如的積分因子的充要條件是〔3.14〕其中是僅與有關(guān)的函數(shù)，且其積分因子為〔3.15〕證明必要性：設積分因子是僅與有關(guān)的函數(shù)，那么所以即即〔3.16〕從而必要性得證，即得〔3.14〕式充分性：假設方程〔3.14〕成立，且是方程〔1.4〕的解，顯然也是方程〔3.13〕的解，即是方程〔1.4〕的積分因子。將式〔3.14〕代入方程〔3.16〕得〔3.17〕由此可解得定理3.3.2方程〔1.4〕存在形如的積分因子的充要條件是〔3.18〕其中是僅與有關(guān)的函數(shù)，且其積分因子為〔3.19〕定理方程〔1.4〕存在形如的積分因子的充要條件是〔3.20〕其中是僅與有關(guān)的函數(shù)，且其積分因子為〔3.21〕定理3.3和定理3.4的證明同定理3.2，在此不做贅述。例3.3.1求方程的積分因子及通解。解：這里且所以方程不是恰當方程。又因為只與有關(guān)，故方程有只與有關(guān)的積分因子以乘方程兩邊，得到因而方程的通解為定理3.3.4方程〔1.4〕存在形如的積分因子的充要條件是〔3.22〕其中是與有關(guān)的函數(shù)，且積分因子為〔3.23〕證明必要性：設積分因子，那么所以即即〔3.24〕從而必要性得證，即得〔3.22〕式。充分性：假設方程〔3.22〕成立，且是方程〔1.4〕的解，顯然也是方程〔3.13〕的解，即是方程〔1.4〕的積分因子。將〔3.22〕代入〔3.24〕得到由此可解得同定理3.5可得方程1.4存在形如等一系列積分因子，在此不再表達。例3.3.2求方程解：這里且所以方程不是恰當方程。又因為只與有關(guān)，故方程存在只與有關(guān)的積分因子以乘方程兩邊得：因而通解為其中為任意常數(shù)。結(jié)論〔1〕根據(jù)以上對各種二元微分方程積分因子求法的分析，針對不同微分方程因根據(jù)其特點采用適當?shù)慕夥ǎ篴.觀察法適合比擬簡單的微分方程積分因子的求解,有的可直接看出,有的需要先將原方程重新組合,再運用觀察法得出.b.公式法運用范圍相對較廣，只要滿足方程，