姜啟源等編《數(shù)學(xué)模型》第四版課件第1章

姜啟源等編《數(shù)學(xué)模型》第四版課件第1章目錄引言數(shù)學(xué)模型的基本類型數(shù)學(xué)建模的基本步驟數(shù)學(xué)建模的案例分析習(xí)題與思考題01引言是對現(xiàn)實世界事物或現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)表達形式，通過數(shù)學(xué)符號、公式、算法等數(shù)學(xué)語言來描述事物的內(nèi)在規(guī)律和外在特征。幫助人們更好地理解事物的本質(zhì)和規(guī)律，預(yù)測事物的發(fā)展趨勢，解決實際問題。數(shù)學(xué)模型的定義數(shù)學(xué)模型的作用數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型的重要性數(shù)學(xué)模型是連接現(xiàn)實世界和數(shù)學(xué)世界的橋梁，能夠?qū)?fù)雜的現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，便于分析和解決。數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用范圍廣泛，可以應(yīng)用于自然科學(xué)、社會科學(xué)、工程技術(shù)等多個領(lǐng)域，是現(xiàn)代科學(xué)研究和發(fā)展的重要工具。03工程技術(shù)機械、電子、計算機等學(xué)科中的數(shù)學(xué)模型可以幫助人們更好地設(shè)計和優(yōu)化工程技術(shù)。01自然科學(xué)物理、化學(xué)、生物等學(xué)科中的數(shù)學(xué)模型可以幫助人們更好地理解自然現(xiàn)象和規(guī)律。02社會科學(xué)經(jīng)濟學(xué)、社會學(xué)、心理學(xué)等學(xué)科中的數(shù)學(xué)模型可以幫助人們更好地分析社會現(xiàn)象和規(guī)律。數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用領(lǐng)域02數(shù)學(xué)模型的基本類型代數(shù)模型是利用代數(shù)方程或代數(shù)方程組描述系統(tǒng)行為的數(shù)學(xué)模型。代數(shù)模型定義通過代數(shù)方程來表示變量之間的關(guān)系，進而描述系統(tǒng)的狀態(tài)和行為。代數(shù)方程代數(shù)模型廣泛應(yīng)用于工程、物理、經(jīng)濟等領(lǐng)域，如電路分析、化學(xué)反應(yīng)等。應(yīng)用領(lǐng)域代數(shù)模型微分方程模型定義微分方程模型是利用微分方程描述系統(tǒng)行為的數(shù)學(xué)模型。微分方程通過微分方程來表示變量對時間的變化率，進而描述系統(tǒng)的動態(tài)行為。應(yīng)用領(lǐng)域微分方程模型廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、社會科學(xué)等領(lǐng)域，如物理、生物、經(jīng)濟等。微分方程模型概率統(tǒng)計模型是利用概率和統(tǒng)計方法描述系統(tǒng)行為的數(shù)學(xué)模型。概率統(tǒng)計模型定義通過概率分布來表示隨機事件的可能性和相互關(guān)系，進而描述系統(tǒng)的隨機行為。概率分布概率統(tǒng)計模型廣泛應(yīng)用于社會科學(xué)、金融等領(lǐng)域，如市場分析、風(fēng)險評估等。應(yīng)用領(lǐng)域概率統(tǒng)計模型離散模型定義離散模型是利用離散的數(shù)值表示系統(tǒng)行為的數(shù)學(xué)模型。離散變量通過離散變量來表示系統(tǒng)的狀態(tài)，進而描述系統(tǒng)的離散行為。應(yīng)用領(lǐng)域離散模型廣泛應(yīng)用于計算機科學(xué)、工程等領(lǐng)域，如計算機算法、網(wǎng)絡(luò)流量分析等。離散模型03數(shù)學(xué)建模的基本步驟明確問題的實際背景，確定研究范圍，弄清已知和未知。明確問題收集與問題相關(guān)的數(shù)據(jù)、信息，了解問題的實際背景和相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展現(xiàn)狀。收集資料分析問題中各因素之間的因果關(guān)系，確定主要因素和次要因素。分析因果關(guān)系根據(jù)問題分析的結(jié)果，構(gòu)建初步的數(shù)學(xué)模型。構(gòu)建初步模型問題分析根據(jù)問題分析的結(jié)果，確定模型中的變量和參數(shù)。確定變量和參數(shù)根據(jù)問題的實際情況，建立數(shù)學(xué)表達式來描述變量之間的關(guān)系。建立數(shù)學(xué)表達式在不影響模型精度的情況下，簡化模型以提高可解性和可理解性。簡化模型通過對比實際數(shù)據(jù)和模擬結(jié)果，驗證模型的正確性和精度。驗證模型建立模型選擇合適的求解方法根據(jù)模型的數(shù)學(xué)類型和復(fù)雜性，選擇合適的數(shù)值求解方法。編程實現(xiàn)將模型和求解方法編程實現(xiàn)，利用計算機進行計算。誤差分析分析計算結(jié)果的誤差，判斷模型的精度和可靠性。模型優(yōu)化根據(jù)誤差分析和實際需求，對模型進行優(yōu)化以提高精度和實用性。求解模型04數(shù)學(xué)建模的案例分析總結(jié)詞描述人口增長規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。詳細描述人口增長模型通常采用微分方程來描述人口隨時間的變化規(guī)律，通過求解方程可以預(yù)測未來人口數(shù)量。該模型通?？紤]出生率、死亡率以及遷移率等因素對人口變化的影響。人口增長模型描述傳染病傳播過程的數(shù)學(xué)模型。總結(jié)詞傳染病傳播模型通常采用微分方程或偏微分方程來描述疾病的傳播過程，通過求解方程可以預(yù)測疾病的傳播趨勢和影響范圍。該模型通?？紤]易感人群、感染人群和康復(fù)人群之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系以及疾病傳播的潛伏期和傳染率等因素。詳細描述傳染病傳播模型總結(jié)詞描述經(jīng)濟現(xiàn)象變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。詳細描述經(jīng)濟預(yù)測模型通常采用時間序列分析、回歸分析和計量經(jīng)濟學(xué)等方法來預(yù)測經(jīng)濟指標(biāo)的變化趨勢，如國內(nèi)生產(chǎn)總值、消費物價指數(shù)等。該模型通?？紤]各種經(jīng)濟因素之間的相互影響和制約關(guān)系，以及政策調(diào)整和市場變化等因素對經(jīng)濟趨勢的影響。經(jīng)濟預(yù)測模型05習(xí)題與思考題習(xí)題0102031.1設(shè)有一批規(guī)格相同的齒輪，其模數(shù)為2.5，齒數(shù)為40。若其中一個齒輪的齒厚由于磨損而減小了0.5mm，求磨損后齒輪的齒厚相對于標(biāo)準(zhǔn)齒厚的誤差百分比。1.2有一根長為10m的鋼絲，現(xiàn)要將其彎成正方形框架，問這個正方形框架的邊長是多少？1.3有一臺機器，其生產(chǎn)出的產(chǎn)品尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)，已知該機器生產(chǎn)的產(chǎn)品的尺寸的均值為10mm，標(biāo)準(zhǔn)差為0.05mm。如果從該機器生產(chǎn)出的產(chǎn)品中隨機抽取一個，求其尺寸大于10.1mm的概率。011.1在一個封閉的容器中，有若干個直徑為1cm的小球，如何利用這些小球測量該容器的容積？021.2有一臺機器，其生產(chǎn)出的產(chǎn)品尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)，已知該機器生產(chǎn)的產(chǎn)品的尺寸的均值為9mm，標(biāo)