一元二次方程的應用課件

一元二次方程的應用本課內容1.3學習目標：1、能運用一元二次方程解決一些簡單的代數問題2、一元二次方程的根的判別式的應用第一課時1一、建立一元二次方程模型解數與代數問題例1當x取什么值時，一元二次多項式x2-x-2與一元一次多項式2x-1的值相等？例2當y取什么值時，一元二次多項式

(y-5)2+9y2的值等于40？2例1當x取什么值時，一元二次多項式x2-x-2與一元一次多項式2x-1的值相等？x2-x-2=2x-1.解:原方程可以寫成x2-3x-1=0.這里

a=1，b=-3，c=-1，

b2-4ac=(-3)2-4×1×(-1)=9+4=13，

因此

從而當或時，x2-x-2與2x-1的值相等．一、建立一元二次方程模型解數與代數問題3舉例例2當y取什么值時，一元二次多項式

(y-5)2+9y2的值等于40？

(y-5)2+9y2=40解:原方程可以寫成2y2-2y-3=0.這里

a=2，b=-2，c=-3，

b2-4ac=(-2)2-4×2×(-3)=4+24=28，

因此

從而當或時，(y-5)2+9y2的值等于40．4例3

當t取什么值時，關于x的一元二次方程

x2+(x+t)2=t2+2t-1，（1）有兩個不相等的實數根？（2）有兩個相等的實數根？（3）沒有實數根？一、建立一元二次方程模型解數與代數問題二、一元二次方程的根的判別式的應用5解:原方程可以寫成2x2+2tx+

t2-2t+1=0.這里

a=2，b=2t，c=t2-2t+1，

b2-4ac=(2t)2-4×2×(t2-2t+1)=4t2-8(

t2-2t+1)

=4t2-4t2+16t-8=16t-8.（1）當b2-4ac=16t-8>0，即t>

時，原方程有兩個不相等的實數根；（2）當b2-4ac=16t-8=0，即t=

時，原方程有兩個相等的實數根；（3）當b2-4ac=16t-8<0，即t<

時，原方程沒有實數根.6小結：做此類題的方法：1、分辨未知數和參數。2、判斷方程是一元二次方程（a≠0）還是一元一次方程(a=0,b≠0)。3、根據根的情況列式78練習1.當x取什么值時，一元二次多項式x2-x-6與一元一次多項式3x-2的值相等？答：2.當t取什么值，關于x的一元二次方程

有兩個相等的實數根？答：P22

9作業(yè)P27A1T2TB1T10第二課時11說一說

菱形的面積與它的兩條對角線長有什么關系？

菱形的面積等于它的兩條對角線長的乘積的一半．12舉例例4一種鐵柵欄護窗的正面是高為120cm、寬為100cm的矩形，在中間有一個由4根鐵條組成的菱形，如圖1-5所示.菱形的水平方向的對角線比豎直方向的對角線長20cm，并且菱形的面積是護窗正面矩形面積的．（1）求菱形的兩條對角線的長度；（2）求組成菱形的每一根鐵條的長度．圖1-513分析

本題的等量關系是：菱形的面積=

.菱形兩對角線乘積的一半14原方程可以寫成

x2+20x-4800=0，解:（1）設菱形的豎直方向的對角線長為xcm，則它的水

平方向的對角線長為(x+20)cm，根據題意，可

以列出方程這里a=1，b=20，c=-4800，

b2-4ac=202-4×1×(-4800)

=400+4×4800=400×(1+48)=400×49，從而x1=60，x2=-80（不合題意，舍去）．因此即菱形的豎直方向的對角線長為60cm，于是它的水平方向的對角線長為80cm．15解:（2）由于菱形的兩條對角線互相垂直平分，因此菱形的邊長為即組成菱形的每一根鐵條的長度為50cm.16舉例例5如圖1-6，一塊長和寬分別為40cm，28cm的矩形鐵皮，在它的四角截去四個全等的小正方形，折成一個無蓋的長方體盒子，使它的底面積為364cm2.求截去的小正方形的邊長.圖1-617分析

本題的等量關系是：

=

.底面長×寬36418解:（1）設截去的小正方形的邊長為xcm，則無蓋長方體盒子的底面邊長分別為(40-2x)cm，(28-2x)cm，根據題意，可以列出方程(40-2x)(28-2x)=364．從而

x1=27，x2=7

．因此原方程可以寫成x2-34x+189=0.這里a=1，b=-34，c=189，b2-4ac=(-34)2-4×1×189=(2×17)2-4×189=4(172-189)=4×(289-189)=400，19

如果截去的小正方形的邊長為27cm，那么左下角和右下角的兩個小正方形的邊長之和為54cm，這超過了矩形鐵皮的長40cm.因此x1=27不合題意，應當舍去．答：截去的小正方形的邊長為7cm．20

從例4和例5可以看出，在運用一元二次方程解實際問題時，一定要注意檢查求得的方程的解是否符合實際情況．結論例4

一種鐵柵欄護窗的正面是高為120cm、寬為100cm的矩形，在中間有一個由4根鐵條組成的菱形，如圖1-5所示.菱形的水平方向的對角線比豎直方向的對角線長20cm，并且菱形的面積是護窗正面矩形面積的．（1）求菱形的兩條對角線的長度；（2）求組成菱形的每一根鐵條的長度．例5如圖1-6，一塊長和寬分別為40cm，28cm的矩形鐵皮，在它的四角截去四個全等的小正方形，折成一個無蓋的長方體盒子，使它的底面積為364cm2.求截去的小正方形的邊長.21練習1.在例5中，如果要使折成的無蓋長方體的盒子的底面積為540cm2，那么截去的小正方體的邊長是多少？答：邊長為5cm.例5如圖1-6，一塊長和寬分別為40cm，28cm的矩形鐵皮，在它的四角截去四個全等的小正方形，折成一個無蓋的長方體盒子，使它的底面積為364cm2.求截去的小正方形的邊長.222.例5和第1題中無蓋長方體盒子的體積分別是多少？哪個體積大？答：設例5中長方體的體積為V1，第1題中長方體的體積為V2，則有

V1=2548(cm3)，V2=2700(cm3)，

V1<V2.1.

在例5中，如果要使折成的無蓋長方體的盒子的底面積為540cm2，那么截去的小正方體的邊長是多少？例5

如圖1-6，一塊長和寬分別為40cm，28cm的矩形鐵皮，在它的四角截去四個全等的小正方形，折成一個無蓋的長方體盒子，使它的底面積為364cm2.求截去的小正方形的邊長.23作業(yè)P27A3TP304T5T6T24第三節(jié)一元二次方程的應用25

小亮家想利用房屋側面的一面墻，再砌三面墻，圍成一個矩形花園，如圖1-7所示.現在已備足可以砌10m長的墻的材料.探究圖1-71、如果砌成的矩形花園為12.5平方米，求矩形花園的邊長？2、如果砌成的矩形花園為12平方米，求矩形花園的邊長？3、如果砌成的矩形花園為12.55

平方米，求矩形花園的邊長？26解：設與已有墻面垂直的每一面墻的長度為xm，則與已有墻面平行的一面墻的長度為(10-2x)m.根據題意，列出議程x(10-2x)=12.55.2x2-10x+12.55=0.

1、砌成的矩形花園為12.5平方米，求矩形花園的邊長？解：設與已有墻面垂直的每一面墻的長度為xm，則與已有墻面平行的一面墻的長度為(10-2x)m.根據題意，列出議程x(10-2x)=12.5.

3、砌成的矩形花園為12.55平方米，求矩形花園的邊長？27舉例例6某校圖書館的藏書在兩年內從5萬冊增加到7.2萬冊，平均每年增長的百分率是多少？根據題意，得5(x+1)2=7.2.解:設平均每年增長的百分率是x.整理，得x2+2x-0.44=0.解得，x1=0.2，x2=-2.2（不合題意，舍去）．答：該校圖書館的藏書平均每年增長的百分率為20%.28

一水泥生產廠家今年1月份生產水泥50萬噸，為了給北京修建奧運會場館提供足夠水泥，從2月份開始增大生產量，到3月底，第一季度共生產了水泥165.5萬噸。求2月、三月份的平均增長率？29利息問題與增長率問題相似：小張將1000元人民幣按一年定期存入銀行，到期后又將本金和利息再按一年定期存入銀行，兩年后本金和利息共獲1036.324元，求這種存款的年利率是多少（應扣除20%的利息稅）？全解29本息和=本金+本金×利率×期數30練習1.經過調查研究，某工廠生產一種產品的總利潤L(元)與產量x(件)的關系式為

L=-x2+2000x-1000，0<x<1900.（1）產量是多少件時，可以使總利潤達到99萬元？答：1000件.（2）總利潤可不可能達到99.1萬元？答：不可能.因為此時方程無實數根.31

2.某城市現有人口100萬，2年后為102.01萬，求這個城市的人口的平均年增長率．答：1%.32小結與復習

建立一元二次方程的模型，求出一元二次方程的解，這是數學的基本功之一.

一元二次方程在數學科學、自然科學、社會科學和生產生活中，都有重要應用．

一元二次方程可以寫成右端為0，而左端是只含一個未知數的二次多項式，它的一般形式是

ax2+bc+c=0(a，b，c是已知數，a≠0)．33

解一元二次方程的基本思路是：降低次數，轉化為兩個一元一次方程.降低次數的基本方法是因式分解法或直接開平方法.

為了能這么做，往往要先配方，即要把含未知數的項放在一個完全平方式里.而這些步驟只需要按一般形式的一元二次方程ax2+bc+c=0(a≠0)

來做，求出解x的公式，稱為一元二次方程的求根公式．34

運用求根公式就可以解每一個具體的一元二次方程，取得一通百通的效果，于是解一元二次方程的算法如下：35一元二次方程寫成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)解兩個一元一次方程無實數解

是否可以直接用因式分解法或直接開平方法計算b2-4acb2-4ac≥0用求根公式：36

運用一元二次方程解實際問題的關鍵是：找出問題中的等量關系，以便列出方程.要注意檢查求出的方程的解是否符合實際情況．37補充類型

數字問題：1、有一個兩位數，十位數字比個位數字小2，且這個兩位數等于其數字之積的3倍，求這個兩位數。2、有一個正數，其整數部分是小數部分的5倍，若把小數點向右移動一位，其結果比原整數部分的平方大20，求這個數。38中考試題例1

某百貨商店服裝柜在銷售中發(fā)現：“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了迎接“六一”國際兒童節(jié)，商場決定采取適當的降價措施，擴大銷量，增加盈利，減少庫存.經市場調查發(fā)現：如果每件童裝每降價4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應降價多少元？解設每件童裝應降價x元，根據題意，得(40-x)(20+2x)=1200.整理，得x2-30x+200=0.解得x1=10，x2=20.因要盡快減少庫存，故x應取20故每件童裝應降價20元.營銷問題例：課本P30B4T39

某西瓜經營戶以2元/千克的價格購進一批良種西瓜，以3元/千克的價格出售，每天可售出200千克，為了促銷，該經營戶決定降價銷售。經調查發(fā)現，這種良種西瓜每降價0.1元/千克，每天可多售出40千