計算物理 蒙特卡羅方法基礎(chǔ)課件

計算機模擬方法(1)：隨機性模擬方法或統(tǒng)計試驗方法，又稱蒙特卡洛(MonteCarlo)方法。它是通過不斷產(chǎn)生隨機數(shù)序列來模擬過程。自然界中有的過程本身就是隨機的過程，物理現(xiàn)象中如粒子的衰變過程、粒子在介質(zhì)中的輸運過程...等。當然蒙特卡洛方法也可以借助概率模型來解決不直接具有隨機性的確定性問題。(2)分子動力學(xué)方法：確定性模擬方法。它是通過數(shù)值求解一個個的粒子運動方程來模擬整個系統(tǒng)的行為。在統(tǒng)計物理中稱為分子動力學(xué)（MolecularDynamics）方法。(3)離散型模擬方法--元胞自動機等1計算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)WhatisaMonteCarlomethod?2-1蒙特卡羅方法的基礎(chǔ)知識theComtedeBuffonneedleexperiment,AD1777SSSL2計算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)StanislawUlam

(1909-1984)NicholasMetropolis

(1915-1999)蒙特卡洛方法的起源3計算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)TheNameoftheGameMetropoliscoinedthename“MonteCarlo”,fromitsgamblingcasino.Monte-Carlo,Monaco4計算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)從蒙特卡洛模擬的應(yīng)用來看，該類型的應(yīng)用可以分為三種形式：（1）直接蒙特卡洛模擬。它采用隨機數(shù)序列來模擬復(fù)雜隨機過程的效應(yīng)。（2）蒙特卡洛積分。這是利用隨機數(shù)序列計算積分的方法。積分維數(shù)越高，該方法的積分效率就越高。（3）Metropolis蒙特卡洛模擬這種模擬是以所謂“馬爾科夫”（Markov）鏈的形式產(chǎn)生系統(tǒng)的分布序列。該方法可以使我們能夠研究經(jīng)典和量子多粒子系統(tǒng)的問題。5計算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)一基本思想直接蒙特卡洛模擬法：

對求解問題本身就具有概率和統(tǒng)計性的情況。如：中子在介質(zhì)中的傳播，核衰變過程等，

思想是按照實際問題所遵循的概率統(tǒng)計規(guī)律，用計算機進行直接的抽樣試驗，然后計算其統(tǒng)計參數(shù)。該方法也就是通常所說的“計算機實驗”。間接蒙特卡洛方法：

蒙特卡洛方法也可以人為地構(gòu)造出一個合適的概率模型，依照該模型進行大量的統(tǒng)計實驗，使它的某些統(tǒng)計參量正好是待求問題的解。6計算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)

代表了該運動員的成績。換言之，<g>為積分的估計值，或近似值。

現(xiàn)假設(shè)該運動員進行了N次射擊，每次射擊的彈著點依次為r1，r2，…，rN，則N次得分g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算術(shù)平均值例1

射擊問題（打靶游戲）--直接蒙特卡洛方法環(huán)數(shù)78910擊中次數(shù)10103050概率0.10.10.30.5假設(shè)射擊100次，平均成績7計算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)

設(shè)r表示射擊運動員的彈著點到靶心的距離，g(r)表示擊中r處相應(yīng)的得分數(shù)（環(huán)數(shù)），f(r)為該運動員的彈著點的分布密度函數(shù)，它反映運動員的射擊水平。該運動員的射擊成績?yōu)?/p>

用概率語言來說，g(r)是隨機變量，<g>的數(shù)學(xué)期望，即

在該例中，用N次試驗所得成績的算術(shù)平均值作為數(shù)學(xué)期望<g>的估計值（積分近似值）。8計算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)(1)巴夫昂(Buffon)投針實驗實驗方案：在平滑桌面上劃一組相距為s的平行線，向此桌面隨意地投擲長度l的細針，那末從針與平行線相交的概率就可以得到π的數(shù)值。SSSL例2圓周率的數(shù)值計算--間接蒙特卡洛方法9計算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)數(shù)學(xué)統(tǒng)計理論計算：SAB針的投影長度確定的，相交的概率的平均值

假如在N次投針中，有M次和平行線相交。當N充分大時，相交的頻數(shù)M/N就近似為細針與平行線相交的概率。10計算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)經(jīng)過n次投針后得到π值的精度針與平行線相交的概率針與平行線相交的次數(shù)應(yīng)滿足二項式分布其期望值為的方差的標準誤差的標準誤差相交和不相交11計算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)這意味著試驗所得的值的不確定性的范圍如下：對100次投針為，0.2374對10,000次投針為，0.0237對1,000,000次投針為，0.0024可見，增加模擬的次數(shù)可以減小誤差，但不可消除誤差。的標準誤差12計算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)實驗者年份投計次數(shù)π的實驗值沃爾弗(Wolf)185050003.1596斯密思(Smith)185532043.1553?？怂?Fox)189411203.1419拉查里尼(Lazzarini)190134083.1415929前人進行了實驗，其結(jié)果列于下表：13計算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)(2)投點法實驗實驗方案：在平滑桌面上劃正方形，同時劃一內(nèi)切圓，向此正方形隨意地投點，那末投點落在圓內(nèi)的概率就可以得到的π數(shù)值。2L任意投點落在圓內(nèi)的概率14計算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)的標準誤差的標準誤差的標準誤差的標準誤差投針實驗的誤差分析投點實驗的誤差分析對100次投針為，0.1642對10,000次投針為，0.0164對1,000,000次投針為，0.001615計算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)投點法實驗程序流程圖

產(chǎn)生隨機數(shù)YesYes16計算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)programmainusefreconstantuserandomnameimplicitnoneintegernmax,mintegeri,ncountreal*8lenr,lens,lenr2real*8x,y,dxy2open(10,file='Pi.dat')callrandomval()lenr=1.0d0lens=2.0d0*lenrlenr2=lenr*lenrm=0ncount=0write(*,*)"Inputnmax:"read(*,*)nmaxdoi=1,nmax

callrandomnum()x=lenr*(rand-0.5d0)*2.0d0

callrandomnum()y=lenr*(rand-0.5d0)*2.0d0dxy2=x*x+y*yif(dxy2.le.lenr2)thenm=m+1endif

ncount=ncount+1if(mod(ncount,100).eq.0)thenwrite(10,"(I10,F15.6)")ncount,4.0d0*dble(m)/dble(ncount)endifenddoend投點法實驗源程序17計算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)結(jié)果和分析(1)

總計投點1.0×105次(2)該算法收斂，計算值平均值為3.139218計算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)例3定積分計算

這時我們可以隨機地向正方形內(nèi)投點，最后統(tǒng)計落在曲線下的點數(shù)M，當總的擲點數(shù)N充分大時，M/N就近似等于積分值I。Oxy1119計算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)間接蒙特卡羅方法的思想s

當問題可以抽象為某個確定的數(shù)學(xué)問題時，(1)首先建立一個恰當?shù)母怕誓Ｐ停创_定某個隨機事件A或隨機變量X，使得待求的解等于隨機事件出現(xiàn)的概率或隨機變量的數(shù)學(xué)期望值。(2)然后進行模擬實驗，即重復(fù)多次地模擬隨機事件A或隨機變量X。(3)最后對隨機實驗結(jié)果進行統(tǒng)計平均，求出A出現(xiàn)的頻數(shù)或

X的平均值作為問題的近似解。

該方法是按照實際問題所遵循的概率統(tǒng)計規(guī)律，用計算機進行直接的抽樣試驗，然后計算其統(tǒng)計參數(shù)。直接蒙特卡羅方法的思想20計算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)“Buffon投針法”計算圓周率。作業(yè)21計算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)二隨機變量和隨機變量的分布隨機變量：是一個不止是一個值的變量（通常是連續(xù)的），并且人們可能無法事先預(yù)言某一個特定的值。但是：其分布是可以了解的，假設(shè)我們研究某一連續(xù)性的變量，由隨機變量的分布我可以得到它取某值的概率：稱為u的概率分布密度函數(shù)，它表示隨機變量u’在u到u+du之間值的概率。稱為g(u)的分布函數(shù)。G(u)在區(qū)間取值的單調(diào)遞增函數(shù)22計算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)三隨機變量的獨立性

假如我們考慮兩個隨機變量u’和v’的分布，則必須引進這兩個變量的聯(lián)合分布密度函數(shù)h(u,v)，此時帶來的數(shù)學(xué)問題就更為復(fù)雜。

若h(u,v)=p(u)·q(v)，則兩個隨機變量u’和v’彼此獨立。對如下三個變量(x,y)彼此獨立；(x,z)彼此獨立；(y,z)彼此獨立；(x,y,z)相互關(guān)聯(lián)。23計算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)四期望值、方差和協(xié)方差一個函數(shù)f(u’)的數(shù)學(xué)期望值定義為該函數(shù)的平均值稱為u的分布函數(shù)。通常u是在[a,b]區(qū)間均勻分布的隨機變量，有f的數(shù)學(xué)期望值：類似地，自由變量u的期望值為u的平均值，有24計算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)一個函數(shù)或變量的方差:標準誤差或均方根誤差：方差的平方根。

由于標準誤差與其真值有相同的量綱，因而它比方差更具有物理意義。假如x和y是隨機變量，c是一個常數(shù)，則：(1)數(shù)學(xué)期望是線性算符(2)方差是非線性算符x,y間的協(xié)方差25計算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)協(xié)方差>0，正關(guān)聯(lián)協(xié)方差<0，負關(guān)聯(lián)注意：(1)

協(xié)方差=0x,y

為獨立變量(2)

x,y

為獨立變量協(xié)方差=026計算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)五大數(shù)法則和中心極限定理概率論中的大數(shù)法則和中心極限定理是蒙特卡洛方法的基礎(chǔ)。1

大數(shù)法則反映了大量隨機數(shù)之和的性質(zhì)。

如果函數(shù)在[a,b]區(qū)間，以均勻的概率分布密度隨機地取n個數(shù)ui，對每個計算出函數(shù)值h[ui]。大數(shù)法則告訴我們這些函數(shù)值之和除以n所得的值將收斂于函數(shù)h在區(qū)間[a,b]的期望值，即

大數(shù)法則保證了在抽取足夠多的隨機樣本后，計算得到的積分的蒙特卡洛估計值將收斂于該積分的正確結(jié)果。27計算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)2

中心極限定理中心極限定理告訴我們：在有足夠大，但又有限的抽樣數(shù)n的情況下，蒙特卡洛估計值是如何分布的。該定理指出：無論隨機變量的分布如何，它的若干個獨立隨機變量抽樣值之和總是滿足正則分布(即高斯分布)。例如：有一個隨機變量η，它滿足分布密度函數(shù)f(x)。如果我們將n個滿足分布密度函數(shù)f(x)的獨立隨機數(shù)相加：

則Rn滿足高斯分布。高斯分布可以由給定的期望值μ和方差σ完全確定下來。28計算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)當n充分大時，對任意的λ，由列維定理知：這說明，該積分的期望值與蒙特卡羅估計值之差在范圍內(nèi)的概率為1-α。29計算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)積分的期望值與蒙特卡羅估計值之差在范圍內(nèi)的概率為1-α。顯著水平：α

，置信水平：1-α

。減小蒙特卡羅估計值標準誤差的辦法：(1)

適當選取最優(yōu)的隨機變量，使其方差變小；(2)

提高實驗次數(shù)