小學(xué)數(shù)學(xué)中部分易混概念辨析

PAGE2PAGE5小學(xué)數(shù)學(xué)中部分易混概念辨析南明區(qū)教師學(xué)習(xí)與資源中心鐘云珠小學(xué)數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要內(nèi)容，其中，有一些意義相近卻不盡相同、互有聯(lián)系又有所區(qū)別的概念，較易混淆。在教學(xué)中,應(yīng)注意辨析它們的異同,把每一個(gè)概念區(qū)別于其他概念的本質(zhì)特征突出出來,以利于學(xué)生清晰地理解、牢固地掌握、準(zhǔn)確地運(yùn)用。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)有：概念、法則、定理、性質(zhì)。一、數(shù)學(xué)概念及其表現(xiàn)形式（一）數(shù)學(xué)概念數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)思維中起著十分重要的作用，它是最基本的思維形式。判斷是由概念構(gòu)成的，推理和證明又是由判斷構(gòu)成的，可以說，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的細(xì)胞。判斷、推理、證明都基于對(duì)概念的理解。數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映。本質(zhì)屬性：世界上的萬事萬物都有許多的性質(zhì)，如形狀、顏色、氣味等。一個(gè)事物除了有許多性質(zhì)外，還與其他事物間存在各種關(guān)系，如，上下、左右、大于、小于、勝負(fù)、平等、互助等等，在形式邏輯中把事物的性質(zhì)和關(guān)系，統(tǒng)稱為事物的屬性。任何事物都有許多的屬性，在事物的諸多屬性中，有些屬性是某個(gè)或某類事物所特有的，決定該事物的本質(zhì)，使某一事物之所以成為它自己，并把這種事物與其他事物區(qū)別開來。這種事物的基本屬性就是事物的本質(zhì)屬性，它是事物本質(zhì)的規(guī)定性。（二）小學(xué)數(shù)學(xué)概念的表現(xiàn)形式在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的概念，根據(jù)小學(xué)生的接受能力，表現(xiàn)形式各不相同，其中描述式和定義式是最主要的兩種表示形式。1．定義式定義式是用確切而簡(jiǎn)要的語言揭示概念的內(nèi)涵或外延的方法。概念的內(nèi)涵是指概念所反映對(duì)象的特性和本質(zhì)屬性，外延是指概念所反映對(duì)象的具體范圍。如：兩組對(duì)邊分別平行叫的四邊形做平行四邊形。（比如：平行四邊形的定義，首先它是“四邊形”，條件是“兩組對(duì)邊分別平行”．“平行四邊形”的內(nèi)涵包含了“四邊形”所有的內(nèi)涵，而“兩組對(duì)邊分別平行”是平行四邊形獨(dú)有的、用以區(qū)別于一般四邊形的本質(zhì)屬性．因此，教學(xué)中，教師只要抓住四邊形的概念和兩組對(duì)邊分別平行，引導(dǎo)學(xué)生思考“一個(gè)四邊形具備了什么特征才是平行四邊形”，就可以自然地使學(xué)生建立起對(duì)新概念“平行四邊形”的本質(zhì)屬性的理解．那么，平行四邊形的內(nèi)涵（也就是它的特性和本質(zhì)屬性）是什么呢？?jī)山M對(duì)邊分別平行且相等，對(duì)角相等，鄰角相等等等。它的外延是什么呢？具有平行四邊形本質(zhì)屬性的所有對(duì)象，如：大小不同的平行四邊形、長(zhǎng)方形、正方形、菱形（后面這幾是特殊的平行四邊形）。另外，概念的內(nèi)涵越多，則外延越??；內(nèi)涵越小，則外延越大。如，我們來給“平行四邊形”的概念增加內(nèi)涵看看，如果增加“有一個(gè)角為直角”的話，就可以得到“長(zhǎng)方形”的概念，那么再增加一個(gè)內(nèi)涵“鄰邊相等”，又可以得到“正方形”的概念．“平行四邊形”概念的教學(xué)，為后續(xù)概念的學(xué)習(xí)，奠定了基礎(chǔ)．如果在“平行四邊形”的概念的內(nèi)涵中減少“兩組對(duì)邊平行”的屬性，就得到了外延擴(kuò)大的“四邊形”的概念了。

可見，從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的需要出發(fā)，對(duì)“概念體系”進(jìn)行分析，可以了解到概念間的從屬關(guān)系，形成明晰的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并清晰地認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)“平行四邊形”概念的“合理性”．概念的內(nèi)涵就是反映在概念中的對(duì)象的本質(zhì)屬性，它說明概念所反映的事物是什么樣的．“平行四邊形”的含義是：兩組對(duì)邊分別平行，這就是“平行四邊形”的內(nèi)涵．它揭示了“平行四邊形”與“四邊形”的隸屬關(guān)系，以及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，反映了“平行四邊形“的本質(zhì)屬性．其中的關(guān)鍵詞“兩組對(duì)邊分別平行”，既可以作為平行四邊形的判定方法，又可以是平行四邊形的一個(gè)性質(zhì)．）2．描述式用一些生動(dòng)、具體的語言對(duì)概念進(jìn)行描述，叫做描述式。這種方法與定義式不同，描述式概念，一般借助于學(xué)生通過感知所建立的表象，選取有代表性的特例做參照物而建立。如：“我們?cè)跀?shù)物體的時(shí)候，用來表示物體個(gè)數(shù)的1、2、3、4、5……叫自然數(shù)”（這里是例舉數(shù)數(shù)時(shí)的自然數(shù)，并不是沒有例舉到的0不是自然數(shù)，0是自然數(shù)的）；“象1.25、0.726、0.005等都是小數(shù)”等。這樣的概念將隨著兒童知識(shí)的增多和認(rèn)識(shí)的深化而日趨完善。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中一般用于以下兩種情況：【數(shù)系的擴(kuò)展】數(shù)系（把一個(gè)數(shù)集連同相應(yīng)的運(yùn)算及結(jié)構(gòu)叫做數(shù)系）經(jīng)歷了五次擴(kuò)展：（1）擴(kuò)大的自然數(shù)（a-a→0）[原自然數(shù)集是不包含0的，在計(jì)算兩個(gè)相同的自然數(shù)相減的過程中發(fā)現(xiàn)在自然數(shù)集中找不到它們相減的得數(shù)的時(shí)候，所以就把自然數(shù)集擴(kuò)大到了0，就得到了擴(kuò)大的自然數(shù)集]（2）非負(fù)有理數(shù)（a/b→正分?jǐn)?shù)）[在計(jì)算a/b的商不能用整數(shù)表示時(shí)，引入正分?jǐn)?shù)，就得到了擴(kuò)大的非負(fù)有理數(shù)集]（3）有理數(shù)（四則運(yùn)算→負(fù)有理數(shù)）[在進(jìn)行四則運(yùn)算中，要引入負(fù)有理數(shù)，就得到了擴(kuò)大的有理數(shù)集]（4）實(shí)數(shù)（x2-2=0，在有理數(shù)集無解→無理數(shù)）[在解方程x2-2=0的過程中，在有理數(shù)集中無解，就引入無理數(shù)，從而就得到了擴(kuò)大的實(shí)數(shù)集]整數(shù)正整數(shù)負(fù)整數(shù)自然數(shù)0分?jǐn)?shù)(百分?jǐn)?shù))真分?jǐn)?shù)假分?jǐn)?shù)（帶分?jǐn)?shù)）小數(shù)有限小數(shù)純小數(shù)帶小數(shù)無限小數(shù)循環(huán)小數(shù)純循環(huán)小數(shù)整數(shù)正整數(shù)負(fù)整數(shù)自然數(shù)0分?jǐn)?shù)(百分?jǐn)?shù))真分?jǐn)?shù)假分?jǐn)?shù)（帶分?jǐn)?shù)）小數(shù)有限小數(shù)純小數(shù)帶小數(shù)無限小數(shù)循環(huán)小數(shù)純循環(huán)小數(shù)混循環(huán)小數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)數(shù)小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)，包括：分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)：聯(lián)系：都是分?jǐn)?shù)，只不過百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)；區(qū)別：分?jǐn)?shù)既可表示具體的量，如二分之一米、三分之二千克，又可表示兩個(gè)量間的倍比關(guān)系，如男生人數(shù)是全班人數(shù)的五分之三；而百分?jǐn)?shù)只表示兩個(gè)數(shù)量間的倍比關(guān)系，所以百分?jǐn)?shù)又叫百分比、百分率。在百分?jǐn)?shù)后面不能帶計(jì)量單位名稱（即百分?jǐn)?shù)不是名數(shù)），如百分之二十三噸，不能寫成23%噸，也就是不能寫成百分號(hào)的23%噸了。它們的書寫形式不同，百分?jǐn)?shù)的書寫在數(shù)字后加上百分號(hào)。帶分?jǐn)?shù)：是假分?jǐn)?shù)的另一種書寫方式。小學(xué)階段：主要學(xué)習(xí)的是整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)。2、分?jǐn)?shù)與小數(shù)（1）小數(shù)的意義

小數(shù)：把整數(shù)1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾……可以用小數(shù)表示。

一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……

一個(gè)小數(shù)由整數(shù)部分、小數(shù)部分和小數(shù)點(diǎn)部分組成。數(shù)中的圓點(diǎn)叫做小數(shù)點(diǎn)，小數(shù)點(diǎn)左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點(diǎn)右邊的數(shù)叫做小數(shù)部分。

在小數(shù)里，每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。小數(shù)的整數(shù)部分的最低位是個(gè)位，計(jì)數(shù)單位是1，它沒有最高位；小數(shù)部分的最高位是十分位，它的最高位分?jǐn)?shù)單位“十分之一”和整數(shù)部分的最低單位“一”之間的進(jìn)率也是10，它沒有最低位。（2）小數(shù)的分類

純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。如：0.25、0.368都是純小數(shù)。

帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù)，叫做帶小數(shù)。如：3.25、5.26都是帶小數(shù)。有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。例如：41.7、25.3、0.23都是有限小數(shù)。無限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是無限的小數(shù)，叫做無限小數(shù)。例如：4.33……3.1415926……無限不循環(huán)小數(shù)：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，數(shù)字排列無規(guī)律且位數(shù)無限，這樣的小數(shù)叫做無限不循環(huán)小數(shù)。例如：π（圓周率，它是一個(gè)無理數(shù)）循環(huán)小數(shù)：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，從某一位起向右有一個(gè)數(shù)字或者幾個(gè)數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，這個(gè)數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。例如：3.555……0.0333……12.109109……

循環(huán)節(jié)：一個(gè)循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，從某一個(gè)數(shù)字開始，有一個(gè)數(shù)字或者幾個(gè)數(shù)字，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個(gè)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)（強(qiáng)調(diào)：循環(huán)節(jié)要從小數(shù)部分從左往右看）。例如：3.99……的循環(huán)節(jié)是“9”，0.5454……的循環(huán)節(jié)是“54”。

純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開始的，叫做純循環(huán)小數(shù)。例如：3.111……0.5656……

混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的，叫做混循環(huán)小數(shù)。3.1222……0.03333……注意：寫循環(huán)小數(shù)的時(shí)候，為了簡(jiǎn)便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個(gè)循環(huán)節(jié)，并在這個(gè)循環(huán)節(jié)的首、末位數(shù)字上各點(diǎn)一個(gè)圓點(diǎn)。如果循環(huán)節(jié)只有一個(gè)數(shù)字，就只在它的上面點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)。0.54545……循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)：一個(gè)循環(huán)節(jié)所組成的數(shù)作為分子，分母是循環(huán)節(jié)的位數(shù)有幾個(gè)，分母就由幾個(gè)9組成，比如，循環(huán)節(jié)是一位，分母就是9，兩位，分母就是99，三位，分母就是999；混循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)：用第二個(gè)循環(huán)節(jié)以前的小數(shù)部分的數(shù)減去不循環(huán)的部分組成的數(shù)作為分子；循環(huán)節(jié)有幾位，從高位起就有排幾個(gè)9，小數(shù)部分在第一個(gè)循環(huán)節(jié)前面有幾位，就在最后一個(gè)9的后面添上幾個(gè)0，就組成了分母，比如，0.3269191……，化成分?jǐn)?shù)就是（32691－326）/99000（3）分?jǐn)?shù)的意義

分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。

在分?jǐn)?shù)里，中間的橫線叫做分?jǐn)?shù)線；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)，叫做分母，表示把單位“1”平均分成多少份；分?jǐn)?shù)線上面的數(shù)叫做分子，表示有這樣的多少份。

（4）分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)單位。

（5）分?jǐn)?shù)的分類

真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)小于1。

假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)，叫做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)大于或等于1。

帶分?jǐn)?shù)：假分?jǐn)?shù)可以寫成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)合成的數(shù)，通常叫做帶分?jǐn)?shù)。

（6）小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系3、約分與通分

把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成同它相等但是分子、分母都比較小的分?jǐn)?shù)（的過程），叫做約分。（不過在教學(xué)中，我們應(yīng)強(qiáng)調(diào)能約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的，還是要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。）分子分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，叫做最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù)（的過程），叫做通分。

相同點(diǎn)：約分,通分都是依據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)將其化成等值分?jǐn)?shù)。不同點(diǎn)：約分是用相同的數(shù)（0除外）同時(shí)整除分?jǐn)?shù)的分子和分母；通分是把分?jǐn)?shù)的分子分母同時(shí)乘相同的數(shù)（0除外）；約分是就個(gè)體而言，通分對(duì)群體而言。4、數(shù)位、位數(shù)與計(jì)數(shù)單位思考：一個(gè)數(shù)的最高位是千萬位，這個(gè)數(shù)是（八）位數(shù)。億位上的5表示（五個(gè)億）。與千萬位相鄰的數(shù)位是（億位、百萬位）。以上問題涉及哪些概念？數(shù)位：計(jì)數(shù)單位按照一定的順序排列起來，它們所占的位置叫做數(shù)位。（與十進(jìn)制的計(jì)數(shù)單位相對(duì)應(yīng)的數(shù)位是個(gè)位、十位……）位數(shù)：是指一個(gè)自然數(shù)中含有數(shù)位的個(gè)數(shù)（位數(shù)是對(duì)整數(shù)來講的）。像458這個(gè)數(shù)由三個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字占了一個(gè)數(shù)位，我們就把它叫做三位數(shù)。（大家想一想最小的一位是幾呢？最小的一位數(shù)是1。0不是一位數(shù)。組數(shù)的規(guī)則是左起不能為0.）[沒有爭(zhēng)議后面這些就不用講：位數(shù)是指一個(gè)整數(shù)所占有數(shù)位的個(gè)數(shù)。把占有一個(gè)數(shù)位的數(shù)叫一位數(shù)，占有兩個(gè)數(shù)位的數(shù)叫兩位數(shù)等等，例如，48076是五位數(shù)，因?yàn)樗加形鍌€(gè)數(shù)位，這里的“0”占有數(shù)位，表示百位上一個(gè)單位也沒有。那么0能不能稱一位數(shù)呢？不能。因?yàn)橛洈?shù)法里有個(gè)規(guī)定：一個(gè)數(shù)的最高位不能是0.用一個(gè)不是0的數(shù)字寫出的數(shù)叫做一位數(shù)。為什么要這樣規(guī)定呢？因?yàn)槿魶]有這樣的規(guī)定，0就是一位數(shù)，由此可以得出最小的兩位數(shù)是00，最小的三位數(shù)是000，這樣的結(jié)論顯然是不對(duì)的。不僅這樣，若沒有這樣的規(guī)定，對(duì)個(gè)數(shù)也就無法確定它是幾位數(shù)了。例如，15是兩位數(shù)，“015”就變成了三位數(shù)，“0015”）就變成了四位數(shù)。這樣，同一個(gè)數(shù)我們可以隨意稱它為幾位數(shù)，“位數(shù)”這一概念的存在也就沒有必要了。因此，一個(gè)數(shù)的最高位不能是“0”。]“數(shù)位”與“位數(shù)”不能混淆。198023456（一億九千八百萬零二萬三千四百五十六）由9個(gè)數(shù)字組成，那它就是一個(gè)九位數(shù)，4在百位。一（個(gè)）、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億……都是計(jì)數(shù)單位。整數(shù)和小數(shù)數(shù)位順序表整數(shù)部分小數(shù)點(diǎn)小數(shù)部分…級(jí)級(jí)級(jí)數(shù)位…位位位位位位位位位位十位個(gè)位十分位位位位…計(jì)數(shù)單位…十(個(gè)(個(gè))十分之一…判斷：①如果甲數(shù)是乙數(shù)的5倍，那么乙數(shù)一定是甲數(shù)的因數(shù)。（錯(cuò)，不一定）②一個(gè)自然數(shù)，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。（錯(cuò)，還有1和0）③所有的奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)，所有的偶數(shù)都是合數(shù)。（錯(cuò)，比如2）④一個(gè)數(shù)的倍數(shù)一定大于它的因數(shù)。（錯(cuò)，它本身，它既是最大的因數(shù)，也是最小的倍數(shù)）⑤兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的倍數(shù)。（對(duì)的）⑥有公因數(shù)1的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。（錯(cuò)，前面必須是要有“只”字）⑦兩個(gè)合數(shù)一定不是互質(zhì)數(shù)。（錯(cuò)，比如8和9）⑧一個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)都是質(zhì)數(shù)。（對(duì)的）5、整除與除盡觀察并分類：①12÷7=1……5②6÷5=1.2③1.5÷0.3=5④24÷2=12（②③④是除盡，③④是整除，）整數(shù)a除以整數(shù)b(b≠0），除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a。整除與除盡都是沒有余數(shù)的除法,但它們的含義是不同的。整除是整數(shù)范圍的除法,整除的兩個(gè)數(shù)和所得商必須都是整數(shù),而除盡并不局限于整數(shù)范圍內(nèi),被除數(shù)、除數(shù)和商既可以是整數(shù),也可以是有限小數(shù)。由此可見,“整除”是“除盡”的一種特殊情況,能整除的一定能除盡,能除盡的卻不一定能整除。6、因數(shù)與倍數(shù)如果數(shù)a能被數(shù)b（b≠0）整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)（或a的因數(shù)）。倍數(shù)和因數(shù)是相互依存的。因?yàn)?5能被7整除，所以35是7的倍數(shù)，7是35的因數(shù)。

一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。例如：10的因數(shù)有1、2、5、10，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是10。一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。3的倍數(shù)有：3、6、9、12……其中最小的倍數(shù)是3，沒有最大的倍數(shù)。7、奇數(shù)和偶數(shù)自然數(shù)按能否被2整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)。能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)。

不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。

0也是偶數(shù)。作為老師我們要有所了解。(偶數(shù)的表現(xiàn)形式是：2n；奇數(shù)的表現(xiàn)形式是：2n+1,所以0是偶數(shù)。)8、質(zhì)數(shù)與合數(shù)一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)約數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)）100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25個(gè)。

一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)，例如4、6、8、9、12都是合數(shù)。1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，自然數(shù)除了1外，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。如果把自然數(shù)按其約數(shù)的個(gè)數(shù)的不同分類，可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。

9、質(zhì)數(shù)與互質(zhì)數(shù)公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。成互質(zhì)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)，有下列幾種情況一定互質(zhì)：①1和任何自然數(shù)互質(zhì)。②相鄰的兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì)。③兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)。=4\*GB3④當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，這個(gè)合數(shù)和這個(gè)質(zhì)數(shù)互質(zhì)。質(zhì)數(shù)是針對(duì)一個(gè)數(shù)而言,如5是質(zhì)數(shù),互質(zhì)數(shù)是針對(duì)兩個(gè)數(shù)來說的,如3和4是互質(zhì)數(shù),8和9是互質(zhì)數(shù),成為互質(zhì)數(shù)的兩個(gè)數(shù)不一定都是質(zhì)數(shù)。如果幾個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)都互質(zhì)，就說這幾個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。10、質(zhì)因數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)每個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個(gè)質(zhì)數(shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù)，叫做這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如15=3×5，3和5叫做15的質(zhì)因數(shù)。

把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。例如把28分解質(zhì)因數(shù)28=2×2×7，（不能寫成2×2×7=28，這是算式）11、最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)。其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，例如12的因數(shù)有1、2、3、4、6、12；18的因數(shù)有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和18的公因數(shù)，6是它們的最大公因數(shù)。如果較小數(shù)是較大數(shù)的因數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。

如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公因數(shù)就是1。

幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，如2的倍數(shù)有2、4、6、8、10、12、14、16、18……；3的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍數(shù)，6是它們的最小公倍數(shù)。

如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。

幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，而幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的。12、能被2、3、5、9、25、4、125、8整除的數(shù)的特征個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)，都能被2整除，例如：202、480、304都能被2整除。個(gè)位上是0或5的數(shù)，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。

一個(gè)數(shù)的各位上的數(shù)的和能被3整除，這個(gè)數(shù)就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。一個(gè)數(shù)各位數(shù)上的和能被9整除，這個(gè)數(shù)就能被9整除。能被3整除的數(shù)不一定能被9整除，但是能被9整除的數(shù)一定能被3整除。一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個(gè)數(shù)就能被4（或25）整除。例如：18464、1404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，這個(gè)數(shù)就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。

13.分?jǐn)?shù)、除法與比的聯(lián)系與區(qū)別？（看到3分之2這個(gè)分?jǐn)?shù)，你可能會(huì)聯(lián)想到了什么？商、分?jǐn)?shù)、比、除法、數(shù)軸上的點(diǎn)或線）分?jǐn)?shù)、除法與比名稱比分?jǐn)?shù)除法形式a：ba÷b聯(lián)系前項(xiàng)分子被除數(shù)比號(hào)分?jǐn)?shù)線除號(hào)后項(xiàng)分母除數(shù)比值分?jǐn)?shù)值商比的基本性質(zhì)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)商不變性質(zhì)區(qū)別兩個(gè)數(shù)的關(guān)系一個(gè)數(shù)一種運(yùn)算（另外要強(qiáng)調(diào)的是：比和除法是不能表示1個(gè)數(shù)的）14、化簡(jiǎn)比與求比值的區(qū)別化簡(jiǎn)比的結(jié)果必須是一個(gè)比，（只是化簡(jiǎn)后的比的前項(xiàng)和后項(xiàng)是互質(zhì)的整數(shù)），可用（真、假）分?jǐn)?shù)或比的形式來表示，求比值的結(jié)果是一個(gè)數(shù)：小數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)（真、帶）。方法上也有所不同：化簡(jiǎn)比可根據(jù)比的基本性質(zhì)，也可用求比值的方法（前項(xiàng)除以后項(xiàng)），但結(jié)果必須是比的形式。15、比和比例以及正比例和反比例（1）比和比例的意義與性質(zhì)比比例意義兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比。表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。各部分名稱0.9：0.6=1.5前項(xiàng)后項(xiàng)比值5：6=20：24內(nèi)項(xiàng)外項(xiàng)基本性質(zhì)比的前項(xiàng)和后項(xiàng)都乘上或除以相同的數(shù)（0除外），比值不變。在比例里，兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積等于兩個(gè)外項(xiàng)的積。16.正比例和反比例的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)?正比例反比例相同點(diǎn)1、都有兩種相關(guān)的量。2、一種量隨著另一種量變化。不同點(diǎn)1、變化方向相同，一種量擴(kuò)大或縮小，另一種量也擴(kuò)大或縮小。2、相對(duì)應(yīng)的每個(gè)數(shù)的比值（商）是一定的。(是一個(gè)不等于0的常量)1、變化方向相反，一種量擴(kuò)大（縮?。?，另一種量反而縮小（擴(kuò)大）。2、相對(duì)應(yīng)的每?jī)蓚€(gè)數(shù)的積是一定的。(是一個(gè)不等于0的常量)（在第一次培訓(xùn)中，有老師提出這樣的問題：商一定時(shí)，除數(shù)與被除數(shù)是否一定成正比例？被除數(shù)等于0時(shí)，商也為0，實(shí)際上在小學(xué)階段，所有成正比例的量它都沒有說K≠0的前提，但實(shí)際上正比例函數(shù)在初中階段，它是有一個(gè)前提的K≠0，而且在初中的教材中的呈現(xiàn)形式是Y=KX，因此，X可以為0，Y也為0，所以正比例函數(shù)，當(dāng)K＞0時(shí)，它是在一、三項(xiàng)線過原點(diǎn)，當(dāng)K＜0時(shí)，它是在二、四項(xiàng)線過原點(diǎn)，但是如果是以除法的形式呈現(xiàn)，那么除數(shù)是不能為0的，也就是X不能為0，所以在小學(xué)階段，它有前提是兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量隨另一種量變化，它有這樣的前提，那么，大前提它沒有特別的說K≠0，所以商一定，被除數(shù)和除數(shù)是成正比例的。我們老師心理要掌握清楚，在小學(xué)階段，分階段掌握正比例乘正比例的量的時(shí)候，在小學(xué)階段K值是不能為0的。）【基本性質(zhì)】分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變；小數(shù)的基本性質(zhì)：小數(shù)的末尾（強(qiáng)調(diào)末尾）添上“0”或者去掉“0”，小數(shù)的大小不變；商不變的性質(zhì)：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變；比的基本性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），比值不變；比例的基本性質(zhì)：在比例里，兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積。17.方程、方程的解與解方程方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。注意：方程是等式，又含有未知數(shù)，兩者缺一不可?！疚粗獢?shù)：是在解方程中有待確定的值】方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。解方程：求方程的解的過程叫做解方程。（X＝1是方程嗎?是的，X＝1有未知數(shù)，也是等式。但是在方程中X應(yīng)該是待確定的值，而X＝1，它即是方程的解，又是方程，所以不建議出現(xiàn)X＝1這種形式的方程。）（二）空間與圖形思考：小學(xué)階段學(xué)習(xí)了哪些線、面、體？它們有什么區(qū)別和聯(lián)系？18.線段、射線、直線、垂線、平行線空間中一點(diǎn)沿著一定方向和它的相反方向運(yùn)動(dòng)，所成的圖形是直線?？臻g中一點(diǎn)沿著一定方向運(yùn)動(dòng)，所成的圖形是射線。平行線

：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。（平行線的定義有那個(gè)內(nèi)涵是不可缺少的？在同一平面內(nèi)，因?yàn)楫惷娴膬蓷l直線可能不相交，但它們也不平行）兩條平行線之間的垂線長(zhǎng)度都相等。垂線：兩條直線相交成直角時(shí)，這兩條直線叫做互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線,相交的點(diǎn)叫做垂足。（要記住標(biāo)出垂直符號(hào)。）從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫的垂線的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到直線的距離。

（一條直線垂直于一個(gè)面，那么它就垂直于這個(gè)面上的所有直線，這個(gè)例要說明的是：有的概念是不能反過來說的。）畫角的時(shí)，別記了畫角的符號(hào)，不畫角的符號(hào)也是有角的，但是所指就不明確了19、角及其分類畫角的時(shí)，別記了畫角的符號(hào)，不畫角的符號(hào)也是有角的，但是所指就不明確了具有公共端點(diǎn)的兩條射線所組成的圖形叫做角。銳角：大于0°并小于90°的角叫做銳角。

直角：等于90°的角叫做直角。

鈍角：大于90°而小于180°的角叫做鈍角。

平角：角的兩邊成一條直線，這時(shí)所組成的角叫做平角。平角180°。

周角：角的一邊旋轉(zhuǎn)一周，與另一邊重合。周角是360°。（銳角、直角、鈍角都是劣角；大于平角并小于周角的角叫優(yōu)角）（好請(qǐng)大家看看這個(gè)角有幾個(gè)角？如果我們根據(jù)角的動(dòng)態(tài)描述來看：一條射線圍繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形，就是角。那么我們來用這個(gè)角的一邊，也就是其中的一條射線來轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)看，轉(zhuǎn)后會(huì)引出老師們的爭(zhēng)議，在小學(xué)階段沒這么復(fù)雜，提問：在學(xué)小階段研究的哪個(gè)角呢？老師們會(huì)回答，這里是要提醒老師們別忘了畫角的符號(hào)，很多老師在教學(xué)的過程中，都沒注意畫這個(gè)符號(hào)，不畫這個(gè)符號(hào)的話它就有無數(shù)個(gè)角，所以在教學(xué)中，一定要要求學(xué)生畫角的符號(hào)）20.周長(zhǎng)與面積判斷：邊長(zhǎng)為4厘米的正方形，周長(zhǎng)與面積相等。（不對(duì)，意義不同，單位不同，計(jì)算方法不同，求周長(zhǎng)時(shí)：第一個(gè)4是邊長(zhǎng)，第二個(gè)4是邊數(shù)；求面積時(shí)的4是邊長(zhǎng)。）舉例說明周長(zhǎng)與面積的區(qū)別與聯(lián)系。（注意：我們?cè)谇蟛灰?guī)則圖形的面積的時(shí)候，在進(jìn)行圖形轉(zhuǎn)換的過程中，一定要抓住面積不能變進(jìn)行轉(zhuǎn)換。）21、平面圖形及其關(guān)系小學(xué)階段學(xué)習(xí)了哪些平面圖形？它們有什么區(qū)別與聯(lián)系？請(qǐng)用韋恩圖分別表示出三角形和四邊形的關(guān)系。20、平面圖形及其關(guān)系四邊形四邊形平行四邊形長(zhǎng)方形正方形梯形等腰梯形直角梯形三角形按角分類銳角三角形直角三角形鈍角三角形任意三角形等腰三角形等邊三角形圓平面圖形22.圓和圓面（大家想一想在教學(xué)圓的時(shí)候，是怎樣出示圓的圖形給學(xué)生的？大多數(shù)老師拿一個(gè)圓形的紙片，告訴學(xué)生這就是圓，但是實(shí)際上給學(xué)生出視的是一個(gè)圓面。）而圓是在平面內(nèi)，到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓（即通常所說的圓周）；圓周所包含的平面部分叫做圓面。（圓上是指那個(gè)部分？也就圓周上的點(diǎn)。圓面上通常又叫做圓內(nèi)，外面部分叫做圓外。在教學(xué)中應(yīng)注意圓上、圓內(nèi)、圓外之間的區(qū)別）22、周長(zhǎng)與面積、以及表面積、側(cè)面積與地積（地積指的是土地面積）（注意：我們?cè)谇蟛灰?guī)則圖形的面積時(shí)，圖形的轉(zhuǎn)換要抓住面積能變。）23、對(duì)稱圖形、軸對(duì)稱圖形、軸對(duì)稱、對(duì)稱軸、中心對(duì)稱圖形、平面對(duì)稱圖形請(qǐng)問天安門城樓這棟建筑它屬于對(duì)稱圖形嗎？好下面我們先來看這些概念，最后再來看它屬于什么.把一個(gè)圖形沿著某一條直線對(duì)折，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說明這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)，這條直線叫做對(duì)稱軸。兩個(gè)圖形關(guān)于直線對(duì)稱也叫軸對(duì)稱。在平面內(nèi)，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，畫對(duì)稱軸的時(shí)候，對(duì)稱軸用點(diǎn)畫線表示，而不是畫虛線的形式表示，請(qǐng)老師們注意提醒學(xué)生。軸對(duì)稱圖形是一個(gè)具有特殊形狀的圖形，如果把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形就是關(guān)于這條軸對(duì)稱的。如果一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形。而這個(gè)中心點(diǎn)，叫做中心對(duì)稱點(diǎn)。中心對(duì)稱圖形上每一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)所連成的線段都被對(duì)稱中心平分。在平面內(nèi)，如果把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和另一個(gè)圖形完全重合，那么就說這兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱。（兩個(gè)圖形）這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心。旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形：把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角.（旋轉(zhuǎn)角0度<旋轉(zhuǎn)角<360度）.（比如我們出示一幅天安門城樓的圖片，它是什么圖形？它是軸對(duì)圖形。那么假如我們站在天安門城樓前，看到的天安門城樓呢？它是對(duì)稱現(xiàn)象。在小學(xué)階段學(xué)的是軸對(duì)稱圖形，是在平面內(nèi)沿一條直線折疊，直線兩旁的部分完全重合的圖形，一定要關(guān)注它的本質(zhì)屬性。注意：小學(xué)階段我們學(xué)習(xí)的是軸對(duì)稱圖形，要注意把它與對(duì)稱現(xiàn)象的區(qū)別，）判斷：邊長(zhǎng)為6厘米的正方體，體積與表面積相等（錯(cuò)，首先它們的概念是不一樣的，單位也是不一樣的，計(jì)算方法也是不一樣的）24．體：長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、球長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐它們之間有什么區(qū)別與聯(lián)系？它們都是由面圍成的立體圖形。長(zhǎng)方體與正方體的區(qū)別與聯(lián)系：長(zhǎng)方體有六個(gè)面，六個(gè)面是長(zhǎng)方形，但有一種特殊的情況，有兩個(gè)面是正方形的情況，長(zhǎng)方形的相對(duì)的面大小相同、面積相等。正方體的六個(gè)面都是正方形，且面積都相等。從棱上看長(zhǎng)方體和正方體都有12條棱，長(zhǎng)方體里它是相對(duì)棱的長(zhǎng)度相等，而正方體的12條棱的長(zhǎng)度完全相等。它們都是有8個(gè)頂點(diǎn)。正方體是特殊的長(zhǎng)方體。長(zhǎng)方體和正方體之間是一個(gè)包含與被包含的關(guān)系。圓柱和圓錐：這里所講的圓柱和圓錐都是直圓柱、直圓錐。圓柱是兩個(gè)底面相等的圓，展開側(cè)面是一個(gè)長(zhǎng)方形或正方形，圓柱的側(cè)面積等于底面周長(zhǎng)乘圓柱的高。圓錐底面是一個(gè)圓，側(cè)面展開是一個(gè)扇形，它們之間的聯(lián)系：前提條件是等底等高的情況下，圓柱的體積是圓錐的體積的3倍，反過來，圓錐的體積是圓柱的體積的三分之一倍。25、地積、表面積與側(cè)面積（小學(xué)階段不怎么接觸地積，但是在這里介紹一下，地積指的是土地的面積，是指較大的土地面積。表面積與側(cè)面積是針對(duì)立體圖形而言，表面積包涵側(cè)面積，也就是說側(cè)面積是表面積的一部分。）26.體積與容積容積與體積是有著密切的聯(lián)系，即它們的計(jì)算方法都是用體積公式計(jì)算。但體積與容積是兩個(gè)不同的概念，它們的區(qū)別有三：（1）意義不同。體積是指物體所占空間的大小。容積是指容器（杯子、盒子、油桶等）所能容納物體的大小（即內(nèi)部體積）。（2）度量方法不同。計(jì)算體積時(shí)是從物體的外面去測(cè)量。比如：計(jì)算用玻璃做成的長(zhǎng)方體金魚缸的體積，就要從外面去分別測(cè)量出長(zhǎng)方體金魚缸的長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)度。如果要計(jì)算這個(gè)長(zhǎng)方體金魚缸的容積（或容量），所需要的數(shù)據(jù)，就必須從金魚缸里面去測(cè)量，因?yàn)樽鼋痿~缸的玻璃是有一定厚度的。（3）計(jì)量單位不完全同。計(jì)算物體的體積，必須使用體積單位“立方米、立方分米、立方厘米”等。計(jì)算容積一般使用容積單位“升、毫升”；但計(jì)算較大物體的容積時(shí)，也用“立方米”，因?yàn)樯秃辽幌抻谟?jì)量液體，如桶裝的汽油、小瓶裝的藥水。（三）統(tǒng)計(jì)與概率27.平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)（新頒布的新課標(biāo)中講了，中位數(shù)和眾數(shù)，9月份以后就不再放在小學(xué)學(xué)習(xí)了，順延到中學(xué)去了。）比如現(xiàn)在有一組數(shù)據(jù)：1，2，3，4，4，5，5，5，6，7，8，8，9，從小到大排好了順序，一共是13個(gè)，其中5有3個(gè)，4和8分別有2個(gè)，其他都是1個(gè)。平均數(shù)，就是把一組中所有數(shù)據(jù)相加，然后除以它們的個(gè)數(shù)。就得到這組數(shù)的平均數(shù)。中位數(shù)，就是這些數(shù)據(jù)排列好了以后中間的那個(gè)數(shù)字，比如現(xiàn)在是13個(gè)，中間那個(gè)應(yīng)該是第7個(gè)，所以就是5，