專題02 函數(shù)的性質(zhì)（精講）

第1頁（共37頁）專題02專題02·函數(shù)的性質(zhì)命題規(guī)律函數(shù)的性質(zhì)歷來都是高考考查的熱點(diǎn)，綜合考查具體函數(shù)或抽象函數(shù)的性質(zhì)是高考中的難點(diǎn)，此類問題常綜合考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，若涉及周期性難度更大。正確理解函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性（最值）、奇偶性（對稱性）、周期性），只有對這些概念做到準(zhǔn)確、深刻的理解，才能正確、靈活地加以應(yīng)用。函數(shù)性質(zhì)主要考查數(shù)學(xué)抽象思維與邏輯推理能力。題型歸納題型1單調(diào)性與最值【解題技巧】1.若或，則是單調(diào)增函數(shù).2.若或，則是單調(diào)減函數(shù).3.奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性——同增異減.4.單調(diào)性法是求函數(shù)最值的通法．求函數(shù)最值時(shí)，首先考慮討論函數(shù)的單調(diào)性，除非某些特殊函數(shù)可以用其他方法求最值，如基本不等式法，配方法，導(dǎo)數(shù)法等.【例1】（2022春?讓胡路區(qū)校級期末）若函數(shù)f(x)=log0.5A．（﹣∞，2] B．（﹣4，2] C．[﹣4，2] D．（﹣4，2）【分析】由題意可得函數(shù)y＝x2+2ax+5a在區(qū)間（﹣∞，﹣2）上單調(diào)遞減，且滿足y＞0，故有?a≥?24?4a+5a≥0，由此求得a【解答】解：∵函數(shù)f(x)=lo∴函數(shù)y＝x2+2ax+5a在區(qū)間（﹣∞，﹣2）上單調(diào)遞減，且滿足y＞0．∴?a≥?24?4a+5a≥0，求得﹣4≤a故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．【例2】（2022春?金華期末）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，用其名字命名的“高斯函數(shù)“：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如：[﹣1.3]＝﹣2，[3.4]＝3，已知f(x)=13x+1?13A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}【分析】先化簡f（x）的解析式，利用不等式的性質(zhì)，求出函數(shù)f（x）的值域，可得函數(shù)y＝[f（x）]的值域．【解答】解：∵f（x）=13x+1?13，3x∈（0，+∞），∴令t＝3x＞0，則f（x）＝g（t）故函數(shù)y＝[f（x）]＝[g（t）]的值域?yàn)閧﹣1，0}，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查新定義，不等式的性質(zhì)，求函數(shù)的值域，屬于中檔題．題型2奇偶性【解題技巧】1.是偶函數(shù);是奇函數(shù).2.若函數(shù)在處有意義，則.3.若滿足對任意實(shí)數(shù)a,b都有,則是奇函數(shù);4.若的定義域，且對任意，都有，則是偶函數(shù).【例1】（2022秋?江西月考）設(shè)函數(shù)f(x)=a?xa+x(a≠0)，若g（x）＝f（xA．?20222021 B．?20212023 C．【分析】利用f（x）表示出g（x）的解析式，根據(jù)g（x）是奇函數(shù)，求出a的值，即可得出答案．【解答】解：∵函數(shù)f(x)=a?xa+x(a≠0)，∴f（x∴g（x）＝f（x﹣1）+1=a?x+1a+x?1+∵g（x）＝f（x﹣1）+1是奇函數(shù)，∴g（﹣x）＝﹣g（x），即2a?x+a?1∵a≠0，∴a＝1，即f（x）=1?x∴f（2022）=1?2022故選：B．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的值，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．【例2】（2022春?杞縣月考）已知函數(shù)f（x）＝（x2﹣2x）sin（x﹣1）+x+1，則f(logA．4 B．2 C．﹣3 D．﹣6【分析】利用函數(shù)圖象的平移可得g（x）＝f（x+1）＝（x2﹣1）sinx+x+2，令h（x）＝（x2﹣1）sinx+x，可得h（x）的奇偶性，將所求式子利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可求解．【解答】解：將y＝f（x）的圖象向左平移1個(gè)單位長度，可得函數(shù)g（x）＝f（x+1）＝（x2﹣1）sinx+x+2，令h（x）＝（x2﹣1）sinx+x，因?yàn)閔（﹣x）＝﹣（x2﹣1）sinx﹣x＝﹣h（x），所以h（x）為奇函數(shù)．所以f(log26)+f(log223)=f（1+log23）+f（1﹣log23）＝＝h（log23）+2+h（﹣log23）+2＝4．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．題型3對稱性【解題技巧】1.軸對稱：若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則①；②；③.2.點(diǎn)對稱：若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，則①；②；③.3.點(diǎn)對稱：若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，則①；②；③.【例1】（2022?杞縣校級開學(xué)）已知函數(shù)y＝f（x）（x∈R）滿足f（6﹣x）＝4﹣f（x），若函數(shù)y=2xx?3的圖象與y＝f（x）的圖象的交點(diǎn)為（x1，y1），（x2，y2），?，（xn，yn），且A．1080 B．1090 C．1100 D．1150【分析】根據(jù)題意，設(shè)g（x）=2xx?3，分析f（x）與g（x）的對稱性，可得兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（3，2）對稱，再設(shè)x1＜x2＜……＜xn，則有x1+xn＝6，y1+yn＝4，又由i=1n【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)y＝f（x）（x∈R）滿足f（6﹣x）＝4﹣f（x），即f（6﹣x）+f（x）＝4，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（3，2）對稱，設(shè)g（x）=2xx?3，g（6﹣x）=2(6?x)6?x?3=2x?12x?3，則g（x）+g（6﹣x若函數(shù)y=2xx?3的圖象與y＝f（x）的圖象的交點(diǎn)為（x1，y1），（x2，y2），?，（xn，y則這n個(gè)點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)（3，2）對稱，設(shè)x1＜x2＜……＜xn，則有x1+xn＝6，y1+yn＝4，又由i=1n(xi+y即兩函數(shù)圖象有1080個(gè)交點(diǎn)；故選：A．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)與方程的關(guān)系，涉及函數(shù)的對稱性，屬于中檔題．【例2】（2023?安康開學(xué)）函數(shù)y＝ln|x﹣1|的圖象與函數(shù)y＝﹣2cosπx的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（）A．10 B．14 C．16 D．18【分析】在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y＝ln|x﹣1|的圖像與函數(shù)y＝﹣2cosπx，根據(jù)圖像可知兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)且圖像都關(guān)于直線x＝1對稱，然后利用圖象關(guān)鍵點(diǎn)估算得到所有交點(diǎn)的對數(shù)，由對稱性即可得到所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．【解答】解：易知函數(shù)y＝ln|x﹣1|與y＝﹣2cosπx的圖象都關(guān)于直線x＝1對稱，函數(shù)y＝﹣2cosπx的周期T＝2，當(dāng)x＝7時(shí)，﹣2cos7π＝2，ln|7﹣1|＝ln6＜ln7.29＝ln2.72＜lne2＝2，當(dāng)x＝9時(shí)，﹣2cos9π＝2，ln|9﹣1|＝ln8＞ln7.84＝ln2.82＞lne2＝2，作出兩函數(shù)的大致圖象如圖所示，由圖可知兩函數(shù)圖象共有7對關(guān)于直線x＝1的對稱點(diǎn)，且每對交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2，故所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為14．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了余弦函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖像的應(yīng)用，屬于中檔題．題型4利用函數(shù)性質(zhì)解不等式【解題技巧】當(dāng)題目中出現(xiàn)一些比較復(fù)雜的不等式，常常分析函數(shù)的奇偶性（對稱性）和單調(diào)性，利用這些性質(zhì)解決即可．【例1】（2022?寧夏三模）已知函數(shù)f（x）＝﹣x|x|，且f（m+2）+f（2m﹣1）＜0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A．(?∞，?13) B．（﹣∞，3） C．（3，+∞）【分析】根據(jù)題意，先分析函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，由此可以將原不等式變形為m+2＞1﹣2m，解可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）＝﹣x|x|=?x2，x≥0x2，x＜0則f（m+2）+f（2m﹣1）＜0?f（m+2）＜﹣f（2m﹣1）?f（m+2）＜f（1﹣2m）?m+2＞1﹣2m，解可得：m＞?13，即m的取值范圍為（故選：D．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．【例2】（2022?衡陽一模）已知函數(shù)f(x)=2A．f（1）+f（﹣1）＜0 B．f（﹣2）+f（2）＞0 C．f（1）﹣f（﹣2）＜0 D．f（﹣1）+f（2）＞0【分析】根據(jù)題意，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性，由此判斷各選項(xiàng)即可．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=2由x+33?x＞0，解得﹣3＜又f（﹣x）＝﹣f（x），所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，在區(qū)間（﹣3，3）上，y＝2x、y=?12x和y＝則函數(shù)f（x）在（﹣3，3）上為增函數(shù)．對于A，函數(shù)f（x）為定義域?yàn)椋ī?，3）的奇函數(shù)，則f（1）+f（﹣1）＝0，A錯誤；對于B，函數(shù)f（x）為定義域?yàn)椋ī?，3）的奇函數(shù)，則f（﹣2）+f（2）＝0，B錯誤；對于C，f（1）﹣f（﹣2）＝f（1）+f（2）＞0，C錯誤；對于D，f（﹣1）+f（2）＝f（2）﹣f（1）＞0，D正確．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．題型5與三角函數(shù)有關(guān)的對稱性【解題技巧】1.三角函數(shù)的對稱中心（對稱軸）有數(shù)個(gè)，適當(dāng)結(jié)合條件確定合適．2.要注意一個(gè)隱含性質(zhì)：一次函數(shù)是直線，它上邊任何一個(gè)點(diǎn)都可以作為對稱中心．一般情況下，選擇它與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，或則別的合適的點(diǎn)．【例1】（2022春?碑林區(qū)校級月考）已知函數(shù)f（x）＝sin（π2x+π2）?1A．4 B．2 C．0 D．﹣2【分析】結(jié)合圖象以及對稱性求得所有零點(diǎn)之和．【解答】解：由f（x）＝sin（π2x+π2）?1x?1∵y＝sin（π2x+π2畫出y＝sin（π2x+π2由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖象有4個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)f（x）＝sin（π2x+π2）?1故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，作出圖象是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．【例2】（2022?太原模擬）已知函數(shù)f(x)=sinπx①f（x）的圖象是軸對稱圖形；②f（x）的圖象是中心對稱圖形；③f（x）在(0，1④f（x）的最大值為43其中正確結(jié)論的序號有．【分析】①：可由f（1﹣x）＝f（x）判斷函數(shù)對稱軸；②：由函數(shù)無周期性且函數(shù)有對稱軸可反推函數(shù)無對稱中心；③：對函數(shù)分子分母分別在(0，12)分析可得f（x）在(0，12)單調(diào)遞增；④【解答】解：①：由f(1?x)=sin(π?πx)(1?x)2?(1?x)+1=sinπxx2?x+1，故f（1﹣x）＝f②：由①有函數(shù)關(guān)于x=1③：對其分母分析函數(shù)y＝x2﹣x+1在(0，12)恒減且函數(shù)值恒為正，其分子y＝sinπx在(0，12)恒增，且函數(shù)值恒為正，故④：其分母當(dāng)且僅當(dāng)在x=12取最小值，其分子在x=12時(shí)恰取最大值，故f（x）在x故答案為：①③④．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)基本性質(zhì)，屬于中檔題．題型6周期性【解題技巧】周期性的抽象函數(shù)：①，則是以為周期的周期函數(shù)．②，則是以為周期的周期函數(shù)．③，則是以為周期的周期函數(shù)．④，則是以為周期的周期函數(shù)．⑤，則是以為周期的周期函數(shù)．⑥，則是以為周期的周期函數(shù)．⑦，則是以為周期的周期函數(shù)．【例1】（2022春?浙江月考）已知函數(shù)f（x）＝2x﹣1，函數(shù)g（x）滿足g（x+1）＝g（x）．當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，g（x）＝f（x），則g（log220）＝．【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到4＜log220＜25，即可得到0＜log220﹣4＜1，再根據(jù)函數(shù)的周期性與指數(shù)冪的運(yùn)算和指數(shù)對數(shù)恒等式計(jì)算可得；【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)g（x）滿足g（x+1）＝g（x），又4＝log216＜log220＜log232＝5，則0＜log220﹣4＜1，又x∈[0，1）時(shí)，g（x）＝f（x）＝2x﹣1，所以g（log220）＝g（log220﹣4）=2log220?4?1故答案為：14【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)函數(shù)的周期性，進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．【例2】（2022秋?廣東期末）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（﹣x）+f（x）＝0，f（2﹣x）＝f（x），且f（x）在（﹣1，1）內(nèi)單調(diào)遞增，則（）A．f（﹣5.3）＜f（5.5）＜f（2） B．f（﹣5.3）＜f（2）＜f（5.5） C．f（2）＜f（﹣5.3）＜f（5.5） D．f（5.5）＜f（2）＜f（﹣5.3）【分析】由題意可得f（x）是周期為4的周期函數(shù)，且對稱軸為x＝1，從而得f（x）在（1，3）內(nèi)單調(diào)遞減，再根據(jù)f（1.5）＝f（5.5），f（﹣5.3）＝f（2.7），即可比較大小，從而得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）+f（x）＝0，所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）為R上的奇函數(shù)；又因?yàn)閒（2﹣x）＝f（x），則有f（2﹣x）＝﹣f（﹣x），則有f（x+2）＝﹣f（x），則有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，且對稱軸為x＝1，f（x）在（﹣1，1）內(nèi)單調(diào)遞增，所以f（x）在（1，3）內(nèi)單調(diào)遞減，又因?yàn)閒（1.5）＝f（5.5），f（﹣5.3）＝f（2.7﹣8）＝f（2.7），∵1＜1.5＜2＜2.7＜3，∴f（1.5）＞f（2）＞f（2.7），即f（﹣5.3）＜f（2）＜f（5.5）．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱性、周期性及利用單調(diào)性進(jìn)行大小比較，屬于中檔題．題型7利用雙對稱求周期【解題技巧】由對稱中心與對稱軸求周期的結(jié)論1.若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對稱,又關(guān)于直線對稱,則是周期函數(shù),且是它的一個(gè)周期.2.若函數(shù)的圖象既關(guān)于點(diǎn)對稱,又關(guān)于點(diǎn)對稱,則是周期函數(shù),且是它的一個(gè)周期.3.若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對稱,又關(guān)于點(diǎn)對稱,則是周期函數(shù),且是它的一個(gè)周期.【例1】（2022秋?桃城區(qū)校級月考）已知f（x）是定義域?yàn)椋ī仭蓿?∞）的奇函數(shù)，滿足f（1﹣x）＝f（1+x）．若f（1）＝2，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）＝（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50【分析】根據(jù)f（x）是R上的奇函數(shù)和f（1﹣x）＝f（1+x），得出f（x）的周期為4，根據(jù)f（0）＝0，f（1）＝2，分別計(jì)算出f（2），f（3），f（4），f（5）的值即可得答案．【解答】解：因?yàn)閒（x）是R上的奇函數(shù)，且f（1﹣x）＝f（1+x），所以f（﹣x）＝f（2+x），即﹣f（x）＝f（x+2），所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以f（x）的周期為4，又因?yàn)閒（0）＝0，f（1）＝2，所以f（4）＝f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，所以f（3）＝f（﹣1+4）＝f（﹣1）＝﹣2，f（5）＝f（1+4）＝f（1）＝2，f（2）＝f（1+1）＝f（1﹣1）＝f（0）＝0，所以（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）＝2+0﹣2+0+2＝2．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的周期性，得出周期為4是難點(diǎn)，屬于中檔題．【例2】（2022秋?玉林期末）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f（x+2）＝﹣f（x），則f（2022）＝（）A．﹣2022 B．0 C．1 D．2022【分析】根據(jù)題意，分析可得f（x）是周期為4的周期函數(shù)，可得f（﹣2）＝f（2），結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（2）＝0，又由函數(shù)的周期性可得f（2022）＝f（2+505×4）＝f（2），即可得答案．【解答】解：f（x）滿足f（x+2）＝﹣f（x），則f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，則有f（﹣2）＝f（2），又由f（x）為奇函數(shù)，則f（﹣2）＝﹣f（2），則有f（2）＝0，函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，則f（2022）＝f（2+505×4）＝f（2）＝0，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用，注意分析函數(shù)的周期，屬于基礎(chǔ)題．題型8函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例1】（2022?楊浦區(qū)校級開學(xué)）已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f'（x）的定義域均為R，記g（x）＝f'（x），若f(32?2x)，g（2+x①f（0）＝0；②g(?12)=0；③f（﹣1）＝f（4）；④【分析】將題干轉(zhuǎn)化為抽象函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系可得解．【解答】解：因?yàn)閒（32?2x），g（2+x）均為偶函數(shù)，所以f（32?2x）＝f（即f（32?x）＝f（32+x），g（2+x）＝g（2﹣x），所以f（3﹣x）＝f（x），g（4﹣x）＝g（x），則f（﹣1）＝函數(shù)f（x），g（x）的圖象分別關(guān)于直線x=32，x＝2對稱，又g（x）＝f'（x），且函數(shù)f（x）可導(dǎo)，由函數(shù)f（x）圖象關(guān)于直線x=32對稱，所以其單調(diào)性在x=32處改變，導(dǎo)數(shù)值為零，所以g（32）＝0，g（3﹣x）＝﹣g（x），所以g（x）關(guān)于點(diǎn)（32，0）對稱，又g（x）圖象關(guān)于x＝2對稱，所以g（x）的周期為T＝4×（2?32）＝2，所以g（?12）＝g（32）＝0，所以g（4﹣x）＝g（x）＝﹣g若函數(shù)f（x）滿足題設(shè)條件，則函數(shù)f（x）+C（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定f（x）的函數(shù)值，故①錯誤；故答案為：②③．【點(diǎn)評】本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．【例2】（2023?新鄉(xiāng)一模）已知函數(shù)f（x）對任意的x∈R，都有f（8+x）﹣f（x）＝2f（4），若y＝f（x﹣1）的圖像關(guān)于直線x＝1對稱，且f（2）＝3，則f（2020）+f（2022）＝．【分析】利用函數(shù)的對稱性和周期性求解即可．【解答】解：因?yàn)閥＝f（x﹣1）的圖像關(guān)于直線x＝1對稱，所以f（x）的圖像關(guān)于y軸對稱，即f（x）為偶函數(shù)，令x＝﹣4，則f（﹣4+8）﹣f（﹣4）＝2f（4），所以f（4）＝﹣f（﹣4），因?yàn)閒（4）＝f（﹣4），所以f（4）＝0，所以f（8+x）＝f（x），即f（x）的周期為8，因?yàn)閒（2）＝3，所以f（2020）+f（2022）＝f（4）+f（﹣2）＝f（2）＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評】本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)的周期，函數(shù)的求值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．題型9存在性與恒成立問題【解題技巧】常見不等式恒成立轉(zhuǎn)最值問題：1.．2.．3.．4.．5.．6.．7.．8.．【例1】（2022秋?淮安期末）已知函數(shù)f(x)=ex?e?x2+ln(1+x2+x)，若不等式f（2x﹣4x）+f（A．（﹣∞，22+1） B．（22+C．（﹣22+1，22?1） D．（﹣∞，2【分析】首先分析函數(shù)的性質(zhì)——奇偶性、單調(diào)性，因此將題中不等式化簡、分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求最值問題．【解答】解：由于f(x)=ex?e?x2+ln(1+x2由于y=ex?則f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，f（x）在R上單調(diào)遞增，于是f（2x﹣4x）+f（m?2x﹣2）＜0等價(jià)于f（2x﹣4x）＜﹣f（m?2x﹣2）＝f（﹣m?2x+2），也等價(jià)于2x﹣4x＜﹣m?2x+2，也即m＜4由于2x+22故選：D．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，以及函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的一般方法，屬于中檔題．【例2】（2021?陽泉三模）已知函數(shù)f(x)=2x+1x2，x＜?12ln(x+1)，x≥?12，g（x）＝x2﹣3x+3．設(shè)b為實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)a，使得f（a【分析】先分別求出每段函數(shù)的值域，從而可得函數(shù)f（x）的值域，若存在實(shí)數(shù)a，使得f（a）+g（b）＝0，只要﹣g（b）在f（a）的范圍內(nèi)，建立不等式解之即可．【解答】解：當(dāng)x＜?12時(shí)，f（x）=當(dāng)x≥?12時(shí)，f（x）＝ln（x+1）∈[﹣ln2，+∞），所以f（x）若存在實(shí)數(shù)a，使得f（a）+g（b）＝0，則只要g（b）∈（﹣∞，1]，即b2﹣3b+3≤1，則b2﹣3b+2＝（b﹣2）（b﹣1）≤0，解得1≤b≤2，故答案為：[1，2]．【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)問題，以及函數(shù)值域的求解，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．題型10函數(shù)整數(shù)解問題【解題技巧】涉及到整數(shù)解問題，一般要用到奇偶性、對稱性、周期性、單調(diào)性，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力，試題綜合度高，較難．【例1】（2022?平江縣模擬）已知函數(shù)f(x)=lgx+a6(x2?x)，若不等式A．（﹣lg3，﹣lg2） B．（﹣lg3，﹣lg2] C．（lg2，lg3） D．[lg2，lg3）【分析】不等式f（x）＞0有且僅有2個(gè)整數(shù)解可轉(zhuǎn)化為lgx＞a6（x﹣【解答】解：f（x）＞0即lgx+a6（x2﹣則問題可轉(zhuǎn)化為lgx＞a6（x﹣令g（x）＝lgx，h（x）=a6（x﹣當(dāng)a＝0時(shí)，lgx＞0，則x＞1，此時(shí)有無數(shù)個(gè)整數(shù)解，不成立；當(dāng)a＞0時(shí)，如圖所示，lgx＞a6（x﹣x當(dāng)a＜0時(shí)，如圖所示，則有g(shù)(3)＞?(3)g(4)≤?(4)，即lg3＞a解得﹣lg3＜a≤﹣lg2，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍，分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．【例2】（2022秋?舒城縣校級月考）ax2+（a+1）x+1＜0的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【分析】根據(jù)一元二次不等式的性質(zhì)以及已知得出a≤0不符合題意，然后討論a＝1，a＞1，0＜a＜1三種情況，分別求出不等式的解集，根據(jù)整數(shù)解只有三個(gè)建立不等式關(guān)系，由此即可求解．【解答】解：不等式ax2+（a+1）x+1＜0化為：（ax+1）（x+1）＜0，因?yàn)閍x2+（a+1）x+1＜0的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)解，當(dāng)a≤0時(shí)，不滿足題意，所以a＞0，當(dāng)a＝1時(shí)，不等式化為（x+1）2＜0，此時(shí)不等式無解，當(dāng)a＞1時(shí)，?1a＞?要使解集中只有三個(gè)整數(shù)解，則整數(shù)解為0，1，2，所以2＜?1a≤3，解得?當(dāng)0＜a＜1時(shí)，?1a＜?1要使不等式的解集中只有三個(gè)整數(shù)解，則為﹣2，﹣3，﹣4，所以﹣5≤?1a＜?4綜上，實(shí)數(shù)a的范圍為[15故答案為：[15【點(diǎn)評】本題考查了一元二次不等式的解法以及應(yīng)用，涉及到分類討論思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．最新模擬一．選擇題1．（2022秋?武陵區(qū)校級期末）已知函數(shù)f(x)=log1A．（﹣2，4] B．[﹣2，4] C．（﹣∞，4] D．[4，+∞）【答案】A【題型】單調(diào)性與最值．【解析】解：∵函數(shù)f(x)=lo則y＝x2﹣ax+4a在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，且滿足y＞0，故有a2≤24?2a+4a＞0故選：A．2．（2022?魏都區(qū)校級開學(xué)）已知函數(shù)f(x)=sin(x?1)+1(x?1)3+3，則f（﹣2022）+f（﹣2021）+?+f（﹣1）+f（0）+f（2）+fA．10130 B．10132 C．12136 D．12138【答案】D【題型】與三角函數(shù)有關(guān)的對稱性．【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=sin(x?1)+則f（2﹣x）＝sin（2﹣x﹣1）+1(2?x?1)3+則有f（x）+f（2﹣x）＝6，則f（﹣2022）+f（﹣2021）+?+f（﹣1）+f（0）+f（2）+f（3）+?+f（2023）+f（2024）＝2023×6＝12138；故選：D．3．（2022秋?九龍坡區(qū)校級期中）已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)且f（0）＝1，g（x）＝f（x﹣1）是奇函數(shù)，則f（1）+f（2）+f（3）+?+f（2021）+f（2022）＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【答案】B【題型】奇偶性．【解析】解：∵g（x）＝f（x﹣1）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴f（x）關(guān)于（﹣1，0）對稱，且g（0）＝f（﹣1）＝0，∴f（﹣2+x）＝﹣f（﹣x），又∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（﹣x）＝f（x），∴f（﹣2+x）＝﹣f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣f（x+2），f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝f（x+2+2）＝﹣f（x+2）＝﹣（﹣f（x））＝f（x），∴f（x）是周期為4的周期函數(shù)，f（0）＝1，f（1）＝f（﹣1）＝0，f（2）＝f（0+2）＝﹣f（0）＝﹣1，f（3）＝f（1+2）＝﹣f（1）＝0，f（4）＝f（2+2）＝﹣f（2）＝1，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0，∴f（1）+f（2）+f（3）+?+f（2021）+f（2022）＝505×0+f（1）+f（2）＝﹣1．故選：B．4．（2022?河南模擬）已知f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，f（1+x）＝f（1﹣x），當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）＝ex﹣1，則2≤x≤3時(shí)，f（x）的解析式為（）A．f（x）＝1﹣ex﹣2 B．f（x）＝ex﹣2﹣1 C．f（x）＝1﹣ex﹣1 D．f（x）＝ex﹣1﹣1【答案】A【題型】奇偶性．【解析】解：因?yàn)閒（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，f（1+x）＝f（1﹣x），所以f（2﹣x）＝f（x），當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）＝ex﹣1，設(shè)﹣1≤x≤0，則0≤﹣x≤1，所以f（﹣x）＝e﹣x﹣1＝﹣f（x），所以f（x）＝﹣e﹣x+1，則2≤x≤3時(shí)，﹣1≤2﹣x≤0，所以f（2﹣x）＝﹣ex﹣2+1＝f（x）故選：A．5．（2022?杭州模擬）中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對稱美”．如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美．在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)函數(shù)的圖象能夠?qū)⒛硞€(gè)圓的周長和面積同時(shí)平分，那么稱這個(gè)函數(shù)為這個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”．則下列說法中錯誤的有（）A．函數(shù)f(x)=exB．函數(shù)f（x）＝x3+x2+x+1可以是無數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)” C．函數(shù)y=2sin(34D．若函數(shù)y＝f（x）是“優(yōu)美函數(shù)”，則函數(shù)y＝f（x）的圖象一定是中心對稱圖形【答案】D【題型】對稱性．【解析】解：對于A，定義域?yàn)镽，因?yàn)閒(?x)=e?x?1e?x+1=1?e對于B，由f（x）＝x3+x2+x+1，得f'（x）＝3x2+2x+1，令g（x）＝f'（x）＝3x2+2x+1，則g'（x）＝6x+2，令g'（x）＝0，得x=?13，則f(?13)=(?13)3+(?13)2+(?13)+1=2027，所以f（x）＝x3+x2對于C，y=2sin(34π?2x)，則由3π4?2x=kπ，k∈Z，得x=3π8?kπ2，k∈Z，所以y=2sin(34對于D，若y＝f（x）的圖象是中心對稱圖形，則此函數(shù)一定是“優(yōu)美函數(shù)”，但“優(yōu)美函數(shù)”不一定是中心對稱圖形，如圖所示，所以D錯誤，故選：D．6．（2022秋?東勝區(qū)校級期末）設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+|x|)?11+x2，則使f（x）＞fA．(13，1) C．(?13【答案】A【題型】利用函數(shù)性質(zhì)解不等式．【解析】解：函數(shù)f(x)=ln(1+|x|)?11+x2，則定義域?yàn)镽，且f（﹣x）＝ln（1+|x|）?11+x當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝ln（1+x）?1∵f（x）＞f（2x﹣1），∴f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，即（3x﹣1）（x﹣1）＜0，解得13＜故選：A．7．（2022春?濟(jì)寧期末）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，且f（x+1）是偶函數(shù)，不等式f（3m+1）≥f（x﹣2）對任意的x∈[﹣1，0]恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．[?12，12]【答案】B【題型】利用函數(shù)性質(zhì)解不等式．【解析】解：因?yàn)閒（x+1）是偶函數(shù)，所以f（x）關(guān)于x＝1對稱，又f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，所以f（x）在（﹣∞，1）上單調(diào)遞增，畫出f（x）的草圖如下所示，因?yàn)閤∈[﹣1，0]，所以x﹣2∈[﹣3，﹣2]，又不等式f（3m+1）≥f（x﹣2）對任意的x∈[﹣1，0]恒成立，由圖可知，f（3m+1）≥f（﹣2）＝f（4），所以﹣2≤3m+1≤4，解得﹣1≤m≤1，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[﹣1，1]．故選：B．8．（2021秋?朝陽區(qū)校級月考）已知函數(shù)f(x)=1sinx+sinx+1，定義域?yàn)镽的函數(shù)g（x）滿足g（﹣x）+g（x）＝2，若函數(shù)y＝f（x）與y＝g（x）圖象的交點(diǎn)為（x1，y1），（x2，y2），…，（x4，y4A．0 B．4 C．8 D．12【答案】B【題型】與三角函數(shù)有關(guān)的對稱性．【解析】解；由g（﹣x）+g（x）＝2得y＝g（x）的圖象關(guān)于（0，1）對稱，同時(shí)函數(shù)f(x)=1sinx+sinx+1，則f（﹣x）+f即y＝f（x）的圖象也關(guān)于（0，1）對稱，則函數(shù)f(x)=1sinx+sinx+1與y＝g則不妨設(shè)關(guān)于點(diǎn)（0，1）對稱的坐標(biāo)為（x1，y1），（x4，y4），則x1則x1+x4＝0，y1+y4＝2，同理可得：x2+x3＝0，y2+y3＝2，即i=14故選：B．9．（2022秋?永昌縣校級月考）已知函數(shù)y＝f（x）（x∈R）滿足f（6﹣x）＝4﹣f（x），若函數(shù)y=2xx?3的圖象與y＝f（x）的圖象的交點(diǎn)為（x1，y1），（x2，y2），?，（xn，yn），且A．1080 B．1090 C．1100 D．1150【答案】A【題型】函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)y＝f（x）滿足f（6﹣x）＝4﹣f（x），即f（6﹣x）+f（x）＝4，所以函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（3，2）對稱，又y=2xx?3=若點(diǎn)（xi，yi）為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，則點(diǎn)（6﹣xi，4﹣yi）也為其交點(diǎn)，且四個(gè)坐標(biāo)之和為10，因?yàn)閮珊瘮?shù)圖象都關(guān)于點(diǎn)（3，2）對稱，所以交點(diǎn)可以兩兩配對，所以i=1n(故選：A．10．（2022春?普洱期末）已知f（x）是定義域?yàn)椋ī仭蓿?∞）的奇函數(shù)，滿足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2022）＝（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2【答案】D【題型】利用雙對稱求周期．【解析】解：因?yàn)閒（x）是定義域?yàn)椋ī仭蓿?∞）的奇函數(shù)，所以f（0）＝0，因?yàn)閒（1﹣x）＝f（1+x），所以f（x+1）＝f（1﹣x）＝f[﹣（x﹣1）]＝﹣f（x﹣1），所以f（x+2）＝﹣f（x），所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，所以f（4）＝f（0）＝0，因?yàn)閒（1﹣x）＝f（1+x），f（1）＝2，所以f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0+（﹣2）+0＝0，所以f（1）+f（2）+f（3）+?+f（2022）＝505×0+f（1）+f（2）＝2，故選：D．11．（2023?廣東一模）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（x+1）為奇函數(shù)，f（x+2）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）＝ax2+b．若f（0）+f（3）＝6，則f（92A．?94 B．?32 C．【答案】D【題型】利用雙對稱求周期．【解析】解：∵f（x+1）為奇函數(shù)，∴f（1）＝0，且f（x+1）＝﹣f（﹣x+1），∵f（x+2）偶函數(shù)，∴f（x+2）＝f（﹣x+2），∴f[（x+1）+1]＝﹣f[﹣（x+1）+1]＝﹣f（﹣x），即f（x+2）＝﹣f（﹣x），∴f（﹣x+2）＝f（x+2）＝﹣f（﹣x），令t＝﹣x，則f（t+2）＝﹣f（t），∴f（t+4）＝﹣f（t+2）＝f（t），∴f（x+4）＝f（x），∵當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）＝ax2+b，∴f（0）＝f（﹣1+1）＝﹣f（2）＝﹣4a﹣b，f（3）＝f（1+2）＝f（﹣1+2）＝f（1）＝a+b，又f（0）+f（3）＝6，∴﹣3a＝6，解得a＝﹣2，∵f（1）＝a+b＝0，∴b＝﹣a＝2，∴當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）＝﹣2x2+2，∴f（92）＝f（12）＝﹣f（32）＝﹣（﹣2×故選：D．12.（2021?六模擬）定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（2﹣x）＝f（2+x），且當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=ex?1，0?x?1x2?4x+4，1＜x?2．若關(guān)于x的不等式m|x|≤A．(e?17，e?15] B．[【答案】C【題型】函數(shù)整數(shù)解問題．【解析】解：因?yàn)镽上的偶函數(shù)f（x）滿足f（2﹣x）＝f（2+x），f（﹣x）＝f（x），所以f（2+x）＝f（﹣2﹣x）＝f（﹣x+2），所以f（x+4）＝f（x），所以函數(shù)周期為4，函數(shù)的圖象如圖：令g（x）＝m|x|，將g（x）的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可得7m≤e?19m＞e?1，即m∈（e?19，故選：C．二．多選題13．（2023?威海一模）已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f'（x）的定義域均為R，記g（x）＝f'（x），若f（x+2）為偶函數(shù)，g（x）為奇函數(shù)，則（）A．f（x）＝f（4﹣x） B．g（x）＝﹣g（4﹣x） C．f（x）＝﹣f（x+4） D．g（x）＝g（x+4）【答案】ABD【題型】函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．【解析】解：對于A：∵f（x+2）為偶函數(shù)，∴f（2﹣x）＝f（2+x），∴f（x）＝f（4﹣x），故A正確；對于B：∵f（x）＝f（4﹣x），對左右兩側(cè)分別取導(dǎo)數(shù)得f'（x）＝﹣f'（4﹣x），∴g（x）＝﹣g（4﹣x），故B正確；對于D，因?yàn)間（x）＝﹣g（4﹣x），又g（x）為奇函數(shù)，則g（x）＝﹣g（﹣x），所以﹣g（﹣x）＝﹣g（4﹣x），即g（﹣x）＝g（4﹣x），則g（x）＝g（x+4），故D正確；對于C，令f(x)=cosπx，則f(x+2)=cosπ(x+2)=cos(πx+2π)=cosπx為偶函數(shù)，g(x)=f'(x)=?sinπx為奇函數(shù)，滿足題干，當(dāng)x＝1時(shí)，f（1）＝cosπ＝﹣1，f（x+4）＝cos5π＝cosπ＝﹣1，所以f（1）≠﹣f（1+4），即存在x＝1，使得f（x）＝﹣f（x+4）不成立，故C故選：ABD．14．（2022秋?建湖縣期中）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)x∈R用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，也稱為取整函數(shù)，例如：[﹣1.5]＝﹣2，[2.3]＝2，下列函數(shù)中，滿足函數(shù)y＝[f（x）]的值域中有且僅有兩個(gè)元素的是（）A．f(x)=2B．f（x）＝x+1C．f（x）＝|log2x|，x∈(1D．f(x)=【答案】ACD【題型】單調(diào)性與最值．【解析】解：對于選項(xiàng)A，當(dāng)x≤0時(shí)，﹣1＜f（x）≤0，當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1，即f（x）∈（﹣1，1），則[f（x）]＝{﹣1，0}，即選項(xiàng)A滿足題意；對于選項(xiàng)B，由f(x)=x+1x，x∈(12，2)，結(jié)合“対勾”函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）∈[2，52），則[對于選項(xiàng)C，由f（x）＝|log2x|，x∈(13，2)，則f（x）∈[0，log23），則[f（x對于選項(xiàng)D，由f(x)=2x?12x+1=1?22x+1，則f故選：ACD．三．填空題15．（2022秋?七里河區(qū)校級期末）若f（x）=f(x?4)，x＞02x+1【答案】5【題型】周期性．【解析】解：由題意可知：f(2023)=f(2019)=f(2015)=?=f(?1)=故答案為：5616．（2023?渝中區(qū)校級一模）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）＝﹣f（x），f（1）＝3，則f（2023）＝．【答案】﹣3【題型】利用雙對稱求周期．【解析】解：∵f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），可得函數(shù)周期T＝4，故f（2023）＝f（3+505×4）＝f（3），∵f（1）＝3，又當(dāng)x＝1時(shí)，f（3）＝﹣f（1）＝﹣3，∴f（2023）＝﹣3，故答案為：﹣3．17．（2022秋?益陽期末）已知定義在R上的奇函數(shù)y＝f（x）滿足y＝f（x+1）是R上的偶函數(shù)，且f(1)=12，則f（1）+f（2）+?+f（2022）＝【答案】1【題型】函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．【解析】解：因?yàn)閥＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（﹣x）＝﹣f（x），且f（0）＝0，又因?yàn)閥＝f（x+1）是R上的偶函數(shù)，所以f（﹣x+1）＝f（x+1），即f（﹣x）＝f（x+2），所以﹣f（x）＝f（x+2），所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以函數(shù)f（x）的周期為4，又因?yàn)椹乫（x）＝f（x+2），所以f（2）＝﹣f（0）＝0，f（3）＝﹣f（1）=?1f（4）＝f（4﹣4）＝f（0）＝0，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=12+所以f（1）+f（2）+?+f（2022）＝505[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）=12+故答案為：1218．（2021秋?邵陽期末）已知函數(shù)f（x）=2sinπx，g（x）＝lnx?2m，若對于?x1∈[16，14]，?x2∈[1，e2]，使得f（【答案】[﹣2，+∞）【題型】存在性與恒成立問題．【解析】解：函數(shù)f（x）=2sinπx，g（x）＝lnx?∵對于?x1∈[16，14]，?x2∈[1，e2]，使得f∴只需f（x1）min≥g（x2）min，當(dāng)x∈[16，14]時(shí)，πx∈[π6，π4]，sinπx∈[1g'(x)=1x，當(dāng)x∈[1，e2]時(shí)，g∴對于x∈[1，e2]，g(x)=lnx?2m單調(diào)遞增，∴依題意知22≥?2m，即m故答案為：[﹣2，+∞）．19．（2021?興慶區(qū)校級三模）已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝﹣x2﹣x，若不等式f（x）+x≤2logax（a＞0且a≠1）對任意的x∈(0，22]恒成立，則實(shí)數(shù)a【答案】[14【題型】存在性與恒成立問題．【解析】解：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝﹣x2﹣x，x＞0時(shí)，﹣x＜0，f（﹣x）＝﹣x2+x＝﹣f（x），∴f（x）＝x2﹣x，不等式f（x）+x≤2logax（a＞0且a≠1）對任意的x∈(0，2當(dāng)a＞1時(shí)，2logax＜0，顯然不成立，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，又∵函數(shù)y＝x2在(0，22]上單調(diào)遞增，0＜a＜1故答案為：[1420.（2021春?郊區(qū)校級月考）已知f（x）=lnxx?ax+a，若f（x）＞0僅有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a【答案】[ln36，ln2【題型】函數(shù)整數(shù)解問題．【解析】解：因?yàn)閒（x）=lnxx?ax+a由f（x）＞0可得lnxx＞ax﹣a，即lnxx＞令g（x）=lnxx，則g'（x）所以當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，所以g（x）max＝g（e）=1又因?yàn)間（1）＝0，當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞0，而y＝a（x﹣1）過點(diǎn)（1，0），同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的大致圖象，如圖所示：要使lnxx＞a（必有g(shù)(2)＞a(2?1)g(3)≤a(3?1)?a＜ln222a≥ln3故答案為：[ln36，ln2真題在線一．選擇題1．（2023?上海）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝x3 D．y＝2x【答案】B【題型】奇偶性．【解析】解：對于A，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，y＝sinx為奇函數(shù)；對于B，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，y＝cosx為偶函數(shù)；對于C，由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，y＝x3為奇函數(shù)；對于D，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，y＝2x為非奇非偶函數(shù)．故選：B．2．（2022?乙卷）已知函數(shù)f（x），g（x）的定義域均為R，且f（x）+g（2﹣x）＝5，g（x）﹣f（x﹣4）＝7．若y＝g（x）的圖像關(guān)于直線x＝2對稱，g（2）＝4，則k=122f（A．﹣21 B．﹣22 C．﹣23 D．﹣24【答案】D【題型】函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．【解析】解：∵y＝g（x）的圖像關(guān)于直線x＝2對稱，則g（2﹣x）＝g（2+x），∵f（x）+g（2﹣x）＝5，∴f（﹣x）+g（2+x）＝5，∴f（﹣x）＝f（x），故f（x）為偶函數(shù)，∵g（2）＝4，f（0）+g（2）＝5，得f（0）＝1．由g（x）﹣f（x﹣4）＝7，得g（2﹣x）＝f（﹣x﹣2）+7，代入f（x）+g（2﹣x）＝5，得f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，故f（x）關(guān)于點(diǎn)（﹣1，﹣1）中心對稱，∴f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，由f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，f（﹣x）＝f（x），得f（x）+f（x+2）＝﹣2，∴f（x+2）+f（x+4）＝﹣2，故f（x+4）＝f（x），f（x）周期為4，由f（0）+f（2）＝﹣2，得f（2）＝﹣3，又f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝﹣1，所以k=122f（k）＝6f（1）+6f（2）+5f（3）+5故選：D．3．（2022?新高考Ⅱ）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，則k=122f（A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1【答案】A【題型】函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．【解析】解：令y＝1，則f（x+1）+f（x﹣1）＝f（x），即f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），∴f（x+2）＝f（x+1）﹣f（x），f（x+3）＝f（x+2）﹣f（x+1），∴f（x+3）＝﹣f（x），則f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），∴f（x）的周期為6，令x＝1，y＝0得f（1）+f（1）＝f（1）×f（0），解得f（0）＝2，又f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），∴f（2）＝f（1）﹣f（0）＝﹣1，f（3）＝f（2）﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（3）﹣f（2）＝﹣1，f（5）＝f（4）﹣f（3）＝1，f（6）＝f（5）﹣f（4）＝2，∴k=16∴k=122f(k)=3×0+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=f（1）+f（2）+f故選：A．4．（2021?全國）函數(shù)y＝log2（1﹣x2）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣1，0） D．（0，1）【答案】D【題型】單調(diào)性與最值．【解析】解：設(shè)t＝1﹣x2，（﹣1＜x＜1），則y＝log2t，由y＝log2t為增函數(shù)，即函數(shù)y＝log2（1﹣x2）的單調(diào)遞減區(qū)間是函數(shù)t＝1﹣x2，（﹣1＜x＜1），的減區(qū)間，又函數(shù)t＝1﹣x2，（﹣1＜x＜1），的減區(qū)間為（0，1），即函數(shù)y＝log2（1﹣x2）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），故選：D．5．（2021?新高考Ⅱ）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽（f（x）不恒為0），f（x+2）為偶函數(shù)，f（2x+1）為奇函數(shù)，則（）A．f（?12）＝0 B．f（﹣1）＝0 C．f（2）＝0 D．【答案】B【題型】利用雙對稱求周期．【解析】解：∵函數(shù)f（x+2）為偶函數(shù)，∴f（2+x）＝f（2﹣x），∵f（2x+1）為奇函數(shù)，∴f（1﹣2x）＝﹣f（2x+1），用x替換上式中2x+1，得f（2﹣x）＝﹣f（x），∴f（2+x）＝﹣f（x），f（4+x）＝﹣f（2+x）＝f（x），即f（x）＝f（x+4），故函數(shù)f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，∵f（2x+1）為奇函數(shù)，∴f（1﹣2x）＝﹣f（2x+1），即f（2x+1）+f（﹣2x+1）＝0，用x替換上式中2x+1，可得，f（x）+f（2﹣x）＝0，∴f（x）關(guān)于（1，0）對稱，又∵f（1）＝0，∴f（﹣1）＝﹣f（2+1）＝﹣f（1）＝0．故選：B．6．（2021?上海）以下哪個(gè)函數(shù)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)（）A．y＝﹣3x B．y＝x3 C．y＝log3x D．y＝3x【答案】A【題型】函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．【解析】解：y＝﹣3x在R上單調(diào)遞減且為奇函數(shù)，A符合題意；因?yàn)閥＝x3在R上是增函數(shù)，B不符合題意；y＝log3x，y＝3x為非奇非偶函數(shù)，C不符合題意；故選：A．7．（2021?甲卷）設(shè)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且f（1+x）＝f（﹣x）．若f（?13）=13，則A．?53 B．?13 C．【答案】C【題型】利用雙對稱求周期．【解析】解：由題意得f（﹣x）＝﹣f（x），又f（1+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（2+x）＝f（x），又f（?13）=13，則f（53）＝f（2?13故選：C．8．（2021?乙卷）設(shè)函數(shù)f（x）=1?xA．f（x﹣1）﹣1 B．f（x﹣1）+1 C．f（x+1）﹣1 D．f（x+1）+1【答案】B【題型】奇偶性．【解析】解：因?yàn)閒（x）=1?x1+x=?1+2x+1所以將函數(shù)f（x）向右平移一個(gè)單位，向上平移一個(gè)單位，得到函數(shù)y＝f（x﹣1）+1，該函數(shù)的對稱中心為（0，0），故函數(shù)y＝f（x﹣1）+1為奇函數(shù)．故選：B．9．（2021?甲卷）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（x+1）為奇函數(shù)，f（x+2）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）＝ax2+b．若f（0）+f（3）＝6，則f（92A．?94 B．?32 C．【答案】D【題型】利用雙對稱求周期．【解析】解：∵f（x+1）為奇函數(shù)，∴f（1）＝0，且f（x+1）＝﹣f（﹣x+1），∵f（x+2）偶函數(shù)，∴f（x+2）＝f（﹣x+2），∴f[（x+1）+1]＝﹣f[﹣（x+1）+1]＝﹣f（﹣x），即f（x+2）＝﹣f（﹣x），∴f（﹣x+2）＝f（x+2）＝﹣f（﹣x）．令t＝﹣x，則f（t+2）＝﹣f（t），∴f（t+4）＝﹣f（t+2）＝f（t），∴f（x+4）＝f（x）．當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）＝ax2+b．f（0）＝f（﹣1+1）＝﹣f（2）＝﹣4a﹣b，f（3）＝f（1+2）＝f（﹣1+2）＝f（1）＝a+b，又f（0）+f（3）＝6，∴﹣3a＝6，解得a＝﹣2，∵f（1）＝a+b＝0，∴b＝﹣a＝2，∴當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）＝﹣2x2+2，∴f（92）＝f（12）＝﹣f（32）＝﹣（﹣2×故選：D．10．（2020?海南）已知函數(shù)f（x）＝lg（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（5，+∞） D．[5，+∞）【答案】D【題型】單調(diào)性與最值．【解析】解：由x2﹣4x﹣5＞0，得x＜﹣1或x＞5．令t＝x2﹣4x﹣5，∵外層函數(shù)y＝lgt是其定義域內(nèi)的增函數(shù)，∴要使函數(shù)f（x）＝lg（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，則需內(nèi)層函數(shù)t＝x2﹣4x﹣5在（a，+∞）上單調(diào)遞增且恒大于0，則（a，+∞）?（5，+∞），即a≥5．∴a的取值范圍是[5，+∞）．故選：D．11．（2020?新課標(biāo)Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）＝x3?1x3，則fA．是奇函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞減 C．是偶函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞增 D．是偶函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞減【答案】A【題型】函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．【解析】解：因?yàn)閒（x）＝x3?1x3，則f（﹣x）＝﹣x3+1x3=?f根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知，y＝x3在（0，+∞）為增函數(shù)，故y1=1x3在（0，+∞）為減函數(shù)，y所以當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝x3?1故選：A．12．（2020?新課標(biāo)Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|，則f（x）（）A．是偶函數(shù)，且在（12，+∞）單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在（?12，1C．是偶函數(shù)，且在（﹣∞，?12D．是奇函數(shù)，且在（﹣∞，?1【答案】D【題型】函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．【解析】解：由2x+1≠02x?1≠0，得x≠±又f（﹣x）＝ln|﹣2x+1|﹣ln|﹣2x﹣1|＝﹣（ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|）＝﹣f（x），∴f（x）為奇函數(shù)；由f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|=ln|2x+1|∵2x+12x?1可得內(nèi)層函數(shù)t＝|2x+12x?1在（﹣∞，?12）上單調(diào)遞減，在（?12，又對數(shù)式y(tǒng)＝lnt是定義域內(nèi)的增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，f（x）在（﹣∞，?1故選：D．13．（2019?上海）已知ω∈R，函數(shù)f（x）＝（x﹣6）2?sin（ωx），存在常數(shù)a∈R，使f（x+a）為偶函數(shù)，則ω的值可能為（）A．π2 B．π3 C．π4【答案】C【題型】奇偶性．【解析】解：由于函數(shù)f（x）＝（x﹣6）2?sin（ωx），存在常數(shù)a∈R，f（x+a）為偶函數(shù)，則：f（x+a）＝（x+a﹣6）2?sin[ω（x+a）]，由于函數(shù)為偶函數(shù)，故：a＝6，所以：6ω=π2+kπ，當(dāng)k故選：C．14．（2018?新課標(biāo)Ⅱ）已知f（x）是定義域?yàn)椋ī仭蓿?∞）的奇函數(shù)，滿足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50【答案】C【題型】利用雙對稱求周期．【解析