第2節(jié) 剛體系統(tǒng)的平衡 摩擦

基本力系平面匯交力系：各力的作用線匯交于一點(diǎn)；

平面力偶系：僅由力偶組成的力系；

平面平行力系：力的作用線互相平行；

平面任意（一般）力系：力的作用線既不匯交于一點(diǎn)，也不全都互相平行的力系。

第二節(jié)剛體系統(tǒng)的平衡摩擦平面力系：在力系中，所有力的作用線均在同一平面內(nèi)空間力系：所有力的作用線不全部在同一平面內(nèi)力系的分類平面力系的分類平面力偶系：力偶系中，所有力偶的作用面均在同一平面內(nèi)平面力偶系：所有力偶的作用面不全部在同一平面內(nèi)力偶系的分類注意：與平衡力系、等效力系概念的區(qū)分一、平面匯交力系的合成平面匯交力系：作用于物體上的力系,若各力的作用線在同一平面內(nèi),且匯交于一點(diǎn),這樣的力系稱為平面匯交力系。

研究方法：幾何法，解析法。1）兩個(gè)匯交力的合成F1F2ABCDFR力的平行四邊形法則FR=F1+F2

F1BDFRF2FR=F1+F2

力三角形法A1.平面匯交力系的合成的幾何法幾何法—力多邊形法則2）任意個(gè)匯交力的合成把各力向量首尾相接后得到開口多邊形，稱為力多邊形，然后由第一個(gè)力的起點(diǎn)指向最后一個(gè)力的終點(diǎn)所構(gòu)成的向量，稱為多邊形的封閉邊，即為各力的合力。這種求合力的方法為力多邊形法則。幾何法：用力多邊形法則求合力的方法。3）力多邊形法則結(jié)論:平面匯交力系的合成結(jié)果是一個(gè)合力,其合力的作用線通過各力的匯交點(diǎn)。大小和方向由力的多邊形的封閉邊來表示.2.平面匯交力系合成的解析法1）力在坐標(biāo)軸上的投影注意：力的投影是代數(shù)量，有正負(fù)之分。規(guī)定如下：如由a到b（或由a1到b1）的趨向與x軸（或y軸）的正向一致時(shí)，則力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取負(fù)值。所以,力在直角坐標(biāo)軸上的投影是代數(shù)量.

AFyoxBaba1b1FxFy若已知力F的大小，它和x軸的夾角為，則在坐標(biāo)軸上的投影為：若已知力F在直角坐標(biāo)軸上的投影FX，F(xiàn)Y則該力的大小和方向?yàn)椋簯?yīng)注意

(1)力的投影是代數(shù)量，而力的分量是矢量；（2）力在兩個(gè)相互垂直的坐標(biāo)軸上的投影的絕對(duì)值與力在這兩個(gè)坐標(biāo)軸上的分力大小相等；力在兩個(gè)不互相垂直的坐標(biāo)軸上的投影的絕對(duì)值與力在這連個(gè)坐標(biāo)軸上的分力大小一定不相等。2）合力投影定理：合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。3）平面匯交力系合成的解析法：然后根據(jù)合力在X軸和Y軸上的投影算出合力的大小和方向，如圖所示，合力的大小為：合力的方向?yàn)椋海?）由和的正負(fù)號(hào)決定所在象限；（2）合力與X軸所成的銳角α由下式?jīng)Q定：這種運(yùn)用投影計(jì)算合力的大小和方向的方法，稱為平面匯交力系簡(jiǎn)化（或合成）的解析法.

二、平面力偶系的合成主要研究?jī)?nèi)容力矩平面力偶理論平面力偶系的合成與平衡條件靜力學(xué)的兩個(gè)基本要素：力和力偶力的外效應(yīng)是使物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化，可以使物體產(chǎn)生移動(dòng)也可以使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)。力偶的外效應(yīng)是單純使物體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化1.力矩及合力矩定理1）力矩的概念及性質(zhì)規(guī)定F與

d

的乘積作為力F使物體繞支點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的量度，稱為力F對(duì)O點(diǎn)之矩，簡(jiǎn)稱力矩。作用在扳手上的力F

使扳手繞支點(diǎn)O

的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)與力的大小F成正比,與支點(diǎn)O到力的作用線的垂直距離d成正比。二、平面力偶系的合成力矩用符號(hào)Mo(F)表示

Mo(F)=±Fd

O

點(diǎn)稱為矩心力F的作用線到矩心O的垂直距離

d

稱為力臂力矩的正負(fù)號(hào)：繞逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。力矩的單位：國(guó)際單位制N·m，kN·m

工程單位制公斤力米（kgf·m）注意：一般來說，同一個(gè)力對(duì)不同點(diǎn)產(chǎn)生的力矩是不同的，因此不指明矩心而求力矩是無任何意義的。在表示力矩時(shí)，必須表明矩心。例2

大小為F=150N的力按圖a）、b）和c）

三種情況作用在扳手的一端,試求三種情況下力F

對(duì)O點(diǎn)之矩。

a)Mo(F)=-Fd=-150×0.20×cos30°=-2.598N·m

b)Mo(F)=Fd=150×0.20×sin30°=1.5N·m

c)Mo(F)=-Fd=-150×0.20=-3N·m

力矩的性質(zhì)1）力對(duì)點(diǎn)的矩不僅與力的大小有關(guān)，而且與矩心的位置有關(guān)，同一個(gè)力，因矩心的位置不同，其力矩的大小和正負(fù)都可能不同。2）力對(duì)點(diǎn)的矩不因力的作用點(diǎn)沿其作用線的移動(dòng)而改變。3）力對(duì)點(diǎn)的矩在下列情況下等于零:力等于零或者力的作用線通過矩心，即力臂等于零。4)互為平衡的一對(duì)力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和為零.3）平面合力矩定理合力對(duì)O點(diǎn)之矩,等于各分力對(duì)點(diǎn)O之矩的代數(shù)和。這一結(jié)論稱為合力矩定理即：2.

力偶的等效定理及力偶的性質(zhì)

力偶的等效定理:

在同平面內(nèi)的兩個(gè)力偶,如果力偶矩的大小相等,轉(zhuǎn)向相同,則兩個(gè)力偶等效。

力的大小不變

力偶矩相同

轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤的效果就是一樣

力偶的等效條件為:偶的三要素相同的力偶都等效??！兩種情況中力偶矩都是－Fd力偶的性質(zhì)力偶在何任軸上投影的代數(shù)和恒等于零。力偶無合力，力偶不能與一個(gè)力等效，力偶對(duì)物體只能單純改變旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，而無平移作用。任一力偶可以在它的作用面內(nèi)任意移動(dòng),而不改變它對(duì)剛體作用的外效應(yīng)。或者說力偶對(duì)剛體的作用與力偶在其作用面內(nèi)的位置無關(guān)。所以說力偶是自由矢量。只要保持力偶矩的大小和力偶的轉(zhuǎn)向不變,可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長(zhǎng)短,而不改變力偶對(duì)剛體的作用。

力偶對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩恒為常數(shù)，且等于力偶矩，與矩心的位置無關(guān)。力偶矩是力偶作用的唯一量度！

3.平面力偶系的合成平面力偶系：作用在物體上同一平面內(nèi)的若干力偶的總稱。1）兩個(gè)力偶的情況M1=+P1dM2=-P2dM1=+F1d1M2=-F2d2M表示合力偶的矩，則

M=FRd

=(P1-P2)d=P1d-P2d=M1+M2

2）任意個(gè)力偶的情況作用在同一平面內(nèi)的各個(gè)力偶，可合成為一個(gè)合力偶，合力偶矩等于各個(gè)分力偶矩的代數(shù)和，即

起重吊車中的梁AB，受到同一平面內(nèi)任意力系的作用。三、平面一般力系的簡(jiǎn)化作用在剛體上的力可以沿其作用線移至剛體上任意一點(diǎn)，而不改變它對(duì)剛體的作用效果。若作用在剛體上的力不沿其作用線移動(dòng)呢？復(fù)習(xí)：力的平移定理力的可傳性：定理

作用在剛體上某點(diǎn)的力F，可以平行移動(dòng)到剛體上任意一點(diǎn)，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，其力偶矩等于原來的力F

對(duì)平移點(diǎn)之矩。1.

力的平移定理a)b)c)意義力的平移定理是平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化的理論依據(jù),而且還可以分析和解決許多工程問題。

2.平面一般力系的簡(jiǎn)化F1′=F1,F2′=F2,…,Fn′

=Fn

M1=Mo(F1),M2=Mo(F2)，…，Mn=Mo(Fn)

Mo=M1+M2+…+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+…+Mo(Fn)=ΣMo(Fi)

FR=F1+F2+…+Fn=ΣF

結(jié)論在一般情形下,平面任意力系向作用面內(nèi)任意一點(diǎn)O簡(jiǎn)化（O稱為簡(jiǎn)化中心）,可得到一個(gè)通過簡(jiǎn)化中心O的力和一個(gè)力偶。這個(gè)力等于該力系的矢量和,成為主矢量（主向量）；這個(gè)力偶矩的等于該力系對(duì)簡(jiǎn)化中心O的力矩的代數(shù)和，稱為主矩。

平面一般力系平面匯交力系合成R’（主矢）平面力偶系合成Mo（主矩）向一點(diǎn)簡(jiǎn)化注意：不能認(rèn)為主向量R′就是原力系的合力，因?yàn)镽′的作用效果并不和原力系的作用效果一樣，只有主向量R′和主矩Mo一起的作用效果才與原力系的作用效果等效。主失量是不是原力系中各力的合力？？2.平面一般力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析平面一般力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化，一般可得到一個(gè)主矢FR'和一個(gè)主矩MO，但這不是最終簡(jiǎn)化結(jié)果，最終簡(jiǎn)化結(jié)果通常有以下四種情況:（1）FR'＝0，MO≠0表明原力系與一個(gè)力偶等效，原力系簡(jiǎn)化為一個(gè)合力偶，其力偶矩為MO＝∑MO(F)，此時(shí)主矩MO與簡(jiǎn)化中心的選擇無關(guān)。（2）FR'≠0，MO＝0表明原力系與一個(gè)主矢量FR'等效，即FR'為原力系的合力，其作用線通過簡(jiǎn)化中心。(3)FR'≠0，MO≠0根據(jù)力的平移定理的逆過程，可以將FR'和MO合成為一個(gè)合力。合FR的作用線到簡(jiǎn)化中心O的距離為(4)FR'＝0，MO＝0表明原力系為平衡力系，則剛體在此力系作用下處于平衡狀態(tài)。習(xí)題集P116，0857平面匯交力系平衡的必要與充分條件為:該力系的合力等于零!!1）平面匯交力系的平衡條件向量表達(dá)式為:四、力系與力偶系的平衡條件1.平面力系與平面力偶系的平衡條件平面匯交力系的平衡方程：平面匯交力系平衡的必要與充分條件是:該力系的合力F等于零，即力系中所有力在任選兩個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和均為零。平面匯交力系有兩個(gè)獨(dú)立的方程，可以求解兩個(gè)未知量！平面匯交力系平衡時(shí)力多邊形特點(diǎn)（幾何條件）是：最后一個(gè)力的終點(diǎn)與第一個(gè)力的始點(diǎn)相重合;即各分力構(gòu)成的力多邊形自行封閉!用解析法求解平面力系的平衡問題時(shí)，未知力的指向可以預(yù)先假設(shè)，若計(jì)算結(jié)果為正值，則表示預(yù)先假設(shè)的力的指向是正確的，若為負(fù)值，則表示預(yù)先假設(shè)的力指向與實(shí)際指向相反。

2）平面力偶系的平衡條件平面力偶系平衡的必要和充分條件是：所有各個(gè)力偶矩的代數(shù)和等于零。即平面力偶系有一個(gè)獨(dú)立的方程，可以求解一個(gè)未知量！用解析法求解平面力系的平衡問題時(shí)，未知力偶的指向可以預(yù)先假設(shè)，若計(jì)算結(jié)果為正值，則表示預(yù)先假設(shè)的力偶的轉(zhuǎn)向是正確的，若為負(fù)值，則表示預(yù)先假設(shè)的力偶的轉(zhuǎn)向與實(shí)際指向相反。平面任意力系平衡的必要和充分條件：該力系向任意點(diǎn)簡(jiǎn)化時(shí)，所得的主向量和主矩都等于零。3）平面一般力系的平衡條件平面任意力系的平衡方程

平面一般力系有三個(gè)獨(dú)立的方程，可以求解三個(gè)未知量！(1)所有各力在x軸上的投影的代數(shù)和為零

(2)所有各力在y軸上的投影的代數(shù)和為零

(3)所有各力對(duì)于平面內(nèi)的任一點(diǎn)取矩的代數(shù)和等于零

平面任意力系的平衡方程

平面任意力系的平衡方程還有：

A、B不能與x軸（或y軸）垂直！平面任意力系的平衡方程還有：

A、B、C三點(diǎn)不能共線！注意：在應(yīng)用平衡方程解平衡問題時(shí)，為了計(jì)算簡(jiǎn)化，通常將矩心選在兩個(gè)未知力的交點(diǎn)，而坐標(biāo)軸則盡可能選取與該力系中多數(shù)未知力的作用線平行或垂直！4）平面平行力系的平衡條件平面平行力系力作用線在同一平面內(nèi)且相互平行的力系,它是平面任意力系的一種特殊情形。平面平行力系的平衡方程為：

如圖：設(shè)物體受有平面平行力系F1、F2、…Fn的作用，存在平面平行力系有兩個(gè)獨(dú)立的方程，可以求解兩個(gè)未知量！力系中所有各力在正交坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零。2.空間力系與空間力偶系的平衡條件空間匯交力系的平衡方程是三個(gè)相互獨(dú)立的代數(shù)方程，可以求解三個(gè)未知量！1)空間匯交力系的平衡條件：力偶系中各力偶矩矢在正交坐標(biāo)系三個(gè)投影軸上投影的代數(shù)和等于零。2)空間力偶系的平衡條件：空間力偶系的平衡方程是三個(gè)相互獨(dú)立的代數(shù)方程，可以求解三個(gè)未知量！力系中所有各力在正交坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零；力系中各力對(duì)任一點(diǎn)之矩矢在正交坐標(biāo)系三個(gè)投影軸上投影的代數(shù)和分別等于零3)空間一般力系的平衡條件：空間力系最多能列出六個(gè)相互獨(dú)立的平衡方程，最多可以求解六個(gè)未知量！力中所有各力在正交坐標(biāo)系中與各力平行的坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零。力系中各力對(duì)任一點(diǎn)之矩矢在正交坐標(biāo)系中與各力垂直的兩個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零4)空間平行力系的平衡條件：對(duì)于空間平行力系恒有：空間平行力系有三個(gè)相互獨(dú)立的平衡方程，可以求解三個(gè)未知量！五、剛體系統(tǒng)的平衡外力：系統(tǒng)外的物體對(duì)系統(tǒng)的作用力內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)部剛體間的相互作用力。

對(duì)于同一剛體系統(tǒng)，內(nèi)力和外力是相對(duì)的，隨所選研究對(duì)象的不同而改變的。根據(jù)作用與反作用定律，內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的，因此在分離體上只畫外而不畫內(nèi)力。

剛體系統(tǒng)：多個(gè)剛體所組成的系統(tǒng)在求解平衡問題時(shí)，可先取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，解出部分未知量后，再在系統(tǒng)中選取某些構(gòu)件為研究對(duì)象，求出其余未知量，也可以先取剛體系統(tǒng)中某剛體為研究對(duì)象。六、摩擦摩擦：兩相接觸的物體當(dāng)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)或相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)兩物體間彼此產(chǎn)生了相互阻礙其運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象。有害：給機(jī)械帶來多余阻力，使機(jī)械發(fā)熱，引起零件磨損、噪聲和消耗能量。有利：用于傳動(dòng)，制動(dòng)，調(diào)速等，沒有摩擦，人不能走路，車不能行駛。兩種基本形式：滑動(dòng)摩擦和滾動(dòng)摩擦。1.靜滑動(dòng)摩擦滑動(dòng)摩擦力：

兩個(gè)相互接觸的物體，發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)或存在相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，在接觸面處，彼此間就會(huì)有阻礙相對(duì)滑動(dòng)的力存在，此力稱為滑動(dòng)摩擦力。

滑動(dòng)摩擦力作用在物體的接觸面處

方向沿接觸面的切線方向并與物體相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)方向相反

滑動(dòng)摩擦力分為靜滑動(dòng)摩擦力和動(dòng)滑動(dòng)摩擦力

根據(jù)兩接觸物體之間是否存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)在水平桌面上放一重G的物塊，用一根繞過滑輪的繩子系住，繩子的另一端掛一砝碼盤。

物塊平衡T的大小就等于砝碼及砝碼盤重量的總和

T使物塊產(chǎn)生向右的滑動(dòng)趨勢(shì)

靜摩擦力F

阻礙物塊向右滑動(dòng)

F=T當(dāng)T不超過某限度時(shí)六、摩擦1.靜滑動(dòng)摩擦（靜摩擦）FT很小時(shí)，盤沒有滑動(dòng)而只具有滑動(dòng)趨勢(shì)，此時(shí)物系將保持平衡，F(xiàn)f稱為靜滑動(dòng)摩擦力。摩擦力Ff隨主動(dòng)力的變化而變化，與主動(dòng)力FT等值。靜滑動(dòng)摩擦力：物體間具有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)的摩擦其方向與物體相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)相反最大靜滑動(dòng)摩擦力Ff增加到某一臨界值Ffmax時(shí)，如果繼續(xù)增大FT，盤將開始滑動(dòng)。因此，則物體處于將動(dòng)而未動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)。此時(shí)的摩擦力達(dá)到最大值，稱為最大靜摩擦力。所以，靜摩擦力的大小由平衡方程決定，但介于零與最大值之間，即：最大靜摩擦力定律：實(shí)驗(yàn)證明，最大靜摩擦力的方向與物體相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)方向相反，大小與接觸面法向反力FN的大小成正比，即：Fmax＝fFN

比例常數(shù)f稱為靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)，簡(jiǎn)稱靜摩擦系數(shù)。大小主要取決于接觸面的材料及表面狀況(粗糙度、溫度、濕度等)有關(guān)，與接觸面的大小無關(guān)，無量綱。2.動(dòng)滑動(dòng)摩擦（動(dòng)摩擦）動(dòng)摩擦定律:當(dāng)水平力FT超過Ffmax時(shí)，盤開始加速滑動(dòng)，此時(shí)盤所受到的摩擦阻力已由靜摩擦力轉(zhuǎn)化為動(dòng)摩擦力。實(shí)驗(yàn)證明，動(dòng)滑動(dòng)摩擦力的大小與接觸表面間的正壓力FN成正比，即：f

：動(dòng)滑動(dòng)摩擦系數(shù)，它主要取決于物體接觸表面的材料性質(zhì)與物理狀態(tài)（光滑程度、溫度、濕度等等），與接觸面積的大小無關(guān)。F

＝f

FN

動(dòng)摩擦系數(shù)f’一般小于于靜摩擦系數(shù)f，但在精度要