小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)

第六章小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)§6.1小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)概述6.1.1小學(xué)數(shù)學(xué)概念（一）什么是數(shù)學(xué)概念數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中中的反映。數(shù)學(xué)的研究對象是客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式。在數(shù)學(xué)中，客觀事物的顏色、材料、氣味等方面的屬性都被看作非本質(zhì)屬性而被舍棄，只保留它們在形狀、大小、位置及數(shù)量關(guān)系等方面的共同屬性。在數(shù)學(xué)科學(xué)中，數(shù)學(xué)概念的含義都要給出精確的規(guī)定，因而數(shù)學(xué)概念比一般概念更準(zhǔn)確。小學(xué)數(shù)學(xué)中有很多概念，包括：數(shù)的概念、運算的概念、量與計量的概念、幾何形體的概念、比和比例的概念、方程的概念，以及統(tǒng)計初步知識的有關(guān)概念等。這些概念是構(gòu)成小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要內(nèi)容，它們是互相聯(lián)系著的。如只有明確牢固地掌握數(shù)的概念，才能理解運算概念，而運算概念的掌握，又能促進數(shù)的整除性概念的形成。（二）小學(xué)數(shù)學(xué)概念的表現(xiàn)形式在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的概念，根據(jù)小學(xué)生的接受能力，表現(xiàn)形式各不相同，其中描述式和定義式是最主要的兩種表示方式。1．定義式定義式是用簡明而完整的語言揭示概念的內(nèi)涵或外延的方法，具體的做法是用原有的概念說明要定義的新概念。這些定義式的概念抓住了一類事物的本質(zhì)特征，揭示的是一類事物的本質(zhì)屬性。這樣的概念，是在對大量的探究材料的分析、綜合、比較、分類中，使之從直觀到表象、繼而上升為理性的認識。如“有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形”；“含有未知數(shù)的等式叫方程”等等。這樣定義的概念，條件和結(jié)論十分明顯，便于學(xué)生一下子抓住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。2．描述式用一些生動、具體的語言對概念進行描述，叫做描述式。這種方法與定義式不同，描述式概念，一般借助于學(xué)生通過感知所建立的表象，選取有代表性的特例做參照物而建立。如：“我們在數(shù)物體的時候，用來表示物體個數(shù)的1、2、3、4、5……叫自然數(shù)”；“象1.25、0.726、0.005等都是小數(shù)”等。這樣的概念將隨著兒童知識的增多和認識的深化而日趨完善，在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中一般用于以下兩種情況。一種是對數(shù)學(xué)中的點、線、體、集合等原始概念都用描述法加以說明。例如，“直線”這一概念，教材是這樣描述的：拿一條直線，把它拉緊，就成了一條直線?！捌矫妗本陀谩罢n桌面”、“黑板面”、“湖面”來說明。另一種是對于一些較難理解的概念，如果用簡練、概括的定義出現(xiàn)不易被小學(xué)生理解，就改用描述式。例如，對直圓柱和直圓錐的認識，由于小學(xué)生還缺乏運動的觀點，不能像中學(xué)生那樣用旋轉(zhuǎn)體來定義，因此只能通過實物形象地描述了它們的特征，并沒有以定義的形式揭示它們的本質(zhì)屬性。學(xué)生在觀察、擺拼中，認識到圓柱體的特征是上下兩個底面是相等的圓，側(cè)面展開的形狀是長方形。一般來說，在數(shù)學(xué)教材中，小學(xué)低年級的概念采用描述式較多，隨著小學(xué)生思維能力的逐步發(fā)展，中年級逐步采用定義式，不過有些定義只是初步的，是有待發(fā)展的。在整個小學(xué)階段，由于數(shù)學(xué)概念的抽象性與學(xué)生思維的形象性的矛盾，大部分概念沒有下嚴(yán)格的定義；而是從學(xué)生所了解的實際事例或已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，盡可能通過直觀的具體形象，幫助學(xué)生認識概念的本質(zhì)屬性。對于不容易理解的概念就暫不給出定義或者采用分階段逐步滲透的辦法來解決。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)概念呈現(xiàn)出兩大特點：一是數(shù)學(xué)概念的直觀性；二是數(shù)學(xué)概念的階段性。在進行數(shù)學(xué)概念教學(xué)時，我們必須注意充分領(lǐng)會教材的這兩個特點。6.1.2小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義首先，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分。小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識包括：概念、定律、性質(zhì)、法則、公式等，其中數(shù)學(xué)概念不僅是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分，而且是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)。學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識的過程，實際上就是掌握概念并運用概念進行判斷、推理的過程。數(shù)學(xué)中的法則都是建立在一系列概念的基礎(chǔ)上的。事實證明，如果學(xué)生有了正確、清晰、完整的數(shù)學(xué)概念，就有助于掌握基礎(chǔ)知識，提高運算和解題技能。相反，如果一個學(xué)生概念不清，就無法掌握定律、法則和公式。例如，整數(shù)百以內(nèi)的筆算加法法則為：“相同數(shù)位對齊，從個位加起，個位滿十，就向十位進一?！币箤W(xué)生理解掌握這個法則，必須事先使他們弄清“數(shù)位”、“個位”、“十位”、“個位以感性材料為基礎(chǔ)引入新概念，是用概念形成的方式去進行教學(xué)的，因此教學(xué)中應(yīng)選擇那些能充分顯示被引入概念的特征性質(zhì)的事例，正確引導(dǎo)學(xué)生去進行觀察和分析，這樣才能使學(xué)生從事例中歸納和概括出共同的本質(zhì)屬性，形成概念。2、以新、舊概念之間的關(guān)系引入新概念。如果新、舊概念之間存在某種關(guān)系，如相容關(guān)系、不相容關(guān)系等，那么新概念的引入就可以充分地利用這種關(guān)系去進行。例如，學(xué)習(xí)“乘法意義”時，可以從“加法意義”來引入。又如，學(xué)習(xí)“整除”概念時，可以從“除法”中的“除盡”來引入。又如，學(xué)習(xí)“質(zhì)因數(shù)”可以從“因數(shù)”和“質(zhì)數(shù)”這兩個概念引入。再如，在學(xué)習(xí)質(zhì)數(shù)、合數(shù)概念時，可用約數(shù)概念引入：“請同學(xué)們寫出數(shù)1，2，6，7，8，12，11，15的所有約數(shù)。它們各有幾個約數(shù)？你能給出一個分類標(biāo)準(zhǔn)，把這些數(shù)進行分類嗎？你能找出多種分類方法嗎？你找出的所有分類方法中，哪一種分類方法是最新的分類方法？”3、以“問題”的形式引入新概念。以“問題”的形式引入新概念，這也是概念教學(xué)中常用的方法。一般來說，用“問題”引入概念的途徑有兩條：①從現(xiàn)實生活中的問題引入數(shù)學(xué)概念；②從數(shù)學(xué)問題或理論本身的發(fā)展需要引入概念。例如，在學(xué)習(xí)“平均數(shù)”時，教師可以先向?qū)W生呈現(xiàn)一個“幼兒園小朋友爭拿糖果”的生活情境，讓學(xué)生思考，為什么有的小朋友很高興，有的小朋友很不高興？應(yīng)該怎樣做才能使大家都高興？接下來應(yīng)該怎么做？這個幼兒園的老師可能會怎么做？4、從概念的發(fā)生過程引入新概念。數(shù)學(xué)中有些概念是用發(fā)生式定義的，在進行這類概念的教學(xué)時，可以采用演示活動的直觀教具或演示畫圖說明的方法去揭示事物的發(fā)生過程。例如，小數(shù)、分?jǐn)?shù)等概念都可以這樣引入。這種方法生動直觀，體現(xiàn)了運動變化的觀點和思想，同時，引入的過程又自然地、無可辯駁地闡明了這一概念的客觀存在性。（二）數(shù)學(xué)概念的形成引入概念，僅是概念教學(xué)的第一步，要使學(xué)生獲得概念，還必須引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確地理解概念，明確概念的內(nèi)涵與外延，正確表述概念的本質(zhì)屬性。為此，教學(xué)中可采用一些具有針對性的方法。1、對比與類比。對比概念，可以找出概念間的差異，類比概念，可以發(fā)現(xiàn)概念間的相同或相似之處。例如，學(xué)習(xí)“整除”概念時，可以與“除法”中的“除盡”概念進行對比，去比較發(fā)現(xiàn)兩者的不同點。用對比或類比講述新概念，一定要突出新、舊概念的差異，明確新概念的內(nèi)涵，防止舊概念對學(xué)習(xí)新概念產(chǎn)生的負遷移作用的影響。2、恰當(dāng)運用反例。概念教學(xué)中，除了從正面去揭示概念的內(nèi)涵外，還應(yīng)考慮運用適當(dāng)?shù)姆蠢ネ怀龈拍畹谋举|(zhì)屬性，尤其是讓學(xué)生通過對比正例與反例的差異，對自己出現(xiàn)的錯誤進行反思，更利于強化學(xué)生對概念本質(zhì)屬性的理解。用反例去突出概念的本質(zhì)屬性，實質(zhì)是使學(xué)生明確概念的外延從而加深對概念內(nèi)涵的理解。凡具有概念所反映的本質(zhì)屬性的對象必屬于該概念的外延集，而反例的構(gòu)造，就是讓學(xué)生找出不屬于概念外延集的對象，顯然，這是概念教學(xué)中的一種重要手段。但必須注意，所選的反例應(yīng)當(dāng)恰當(dāng)，防止過難、過偏，造成學(xué)生的注意力分散，而達不到突出概念本質(zhì)屬性的目的。3、合理運用變式。依靠感性材料理解概念，往往由于提供的感性材料具有片面性、局限性，或者感性材料的非本質(zhì)屬性具有較明顯的突出特征，容易形成干擾的信息，而削弱學(xué)生對概念本質(zhì)屬性的正確理解。因此，在教學(xué)中應(yīng)注意運用變式，從不同角度、不同方面去反映和刻畫概念的本質(zhì)屬性。一般來說，變式包括圖形變式、式子變式和字母變式等。例如，講授“等腰三角形”概念，教師除了用常見的圖形(圖6-1(1))展示外，還應(yīng)采用變式圖形(圖6-1(2)、(3)、(4))去強化這一概念，因為利用等腰三角形的性質(zhì)去解題時，所遇見的圖形往往是后面幾種情形。圖6圖6—1（三）數(shù)學(xué)概念的鞏固為了使學(xué)生牢固地掌握所學(xué)的概念，還必須有概念的鞏固和應(yīng)用過程。教學(xué)中應(yīng)注意如下幾個方面。1、注意及時復(fù)習(xí)概念的鞏固是在對概念的理解和應(yīng)用中去完成和實現(xiàn)的，同時還必須及時復(fù)習(xí)，鞏固離不開必要的復(fù)習(xí)。復(fù)習(xí)的方式可以是對個別概念進行復(fù)述，也可以通過解決問題去復(fù)習(xí)概念，而更多地則是在概念體系中去復(fù)習(xí)概念。當(dāng)概念教學(xué)到一定階段時，特別是在章節(jié)末復(fù)習(xí)、期末復(fù)習(xí)和畢業(yè)總復(fù)習(xí)時，要重視對所學(xué)概念的整理和系統(tǒng)化，從縱向和橫向找出各概念之間的關(guān)系，形成概念體系。2、重視應(yīng)用在概念教學(xué)中，既要引導(dǎo)學(xué)生由具體到抽象，形成概念，又要讓學(xué)生由抽象到具體，運用概念，學(xué)生是否牢固地掌握了某個概念，不僅在于能否說出這個概念的名稱和背誦概念的定義，而且還在于能否正確靈活地應(yīng)用，通過應(yīng)用可以加深理解，增強記憶，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識。概念的應(yīng)用可以從概念的內(nèi)涵和外延兩方面進行。（1）概念內(nèi)涵的應(yīng)用 ①復(fù)述概念的定義或根據(jù)定義填空。②根據(jù)定義判斷是非或改錯。③根據(jù)定義推理。④根據(jù)定義計算。例4（1）什么叫互質(zhì)數(shù)？答：是互質(zhì)數(shù)。（2）判斷題：27和20是互質(zhì)數(shù)（

）34與85是互質(zhì)數(shù)（

）

有公約數(shù)1的兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)（

）

兩個合數(shù)一定不是互質(zhì)數(shù)（

）（3）鈍角三角形的一個角是82o，另兩個角的度數(shù)是互質(zhì)數(shù)，這兩個角可能是多少度？（4）如果P是質(zhì)數(shù)，那么比P小的自然數(shù)都與P互質(zhì)。這句話對嗎？請說明理由？2．概念外延的應(yīng)用（1）舉例（2）辨認肯定例證或否定例證。并說明理由。（3）按指定的條件從概念的外延中選擇事例。（4）將概念按不同標(biāo)準(zhǔn)分類。例5（1）列舉你所見到過的圓柱形物體。（2）下列圖形中的陰影部分，哪些是扇形？（圖6－2）圖6圖6—2（3）分母是9的最簡真分?jǐn)?shù)有＿分子是9的假分?jǐn)?shù)中，最小的一個是

（4）將自然數(shù)2－19按不同標(biāo)準(zhǔn)分成兩類（至少提出3種不同的分法）概念的應(yīng)用可分為簡單應(yīng)用和綜合應(yīng)用，在初步形成某一新概念后通過簡單應(yīng)用可以促進對新概念的理解，綜合應(yīng)用一般在學(xué)習(xí)了一系列概念后，把這些概念結(jié)合起來加以應(yīng)用，這種練習(xí)可以培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識的能力。(三)注意辨析隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生掌握的概念不斷增多，有些概念的文字表述相同，有些概念內(nèi)涵相近，使得學(xué)生容易產(chǎn)生混淆，如質(zhì)數(shù)與互質(zhì)數(shù)，整除與除盡，體積與容積等等。因此在概念的鞏固階段，要注意組織學(xué)生運用對比的方法，弄清易混淆概念的區(qū)別和聯(lián)系，以促使概念的精確分化。例6關(guān)于面積和周長，可組織學(xué)生從下列幾個方面進行對見(1)什么叫做長方形的周長？什么叫做長方形的面積？（2）周長和面積常用的計量單位分別有哪些？（3）在圖6—3中，A，B兩個圖形的周長相等嗎？面積相等嗎？圖6—圖6—4圖6—3（4）圖6—4中的每一小方格代表一平方厘米，這個圖的面積是，周長是，剪一刀，然后將它拼成一個正方形，這個正方形的周長是，面積是。數(shù)學(xué)概念是用詞或詞組來表達的，但有些詞語受日常用語的影響，會給學(xué)生造成認識和理解上的錯覺和障礙。如幾何知識中的高”、“底”、“腰”等概念，從字面上容易使學(xué)生產(chǎn)生“鉛垂方向”與“下方”、“兩側(cè)”的錯覺。而“倒數(shù)”則強化了分子與分母顛倒位置的直觀認識，弱化了“兩個數(shù)的乘積等于1”的本質(zhì)屬性，因此在教學(xué)時，要幫助學(xué)生分清一些詞的日常意義和專門的數(shù)學(xué)意義，正確地理解表示概念的詞語，從而準(zhǔn)確地掌握概念。（二）小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)注意的問題1、把握概念教學(xué)的目標(biāo)，處理好概念教學(xué)的發(fā)展性與階段性之間的矛盾。概念本身有自己嚴(yán)密的邏輯體系。在一定條件下，一個概念的內(nèi)涵和外延是固定不變的，這是概念的確定性。由于客觀事物的不斷發(fā)展和變化，同時也由于人們認識的不斷深化，因此，作為人們反映客觀事物本質(zhì)屬性的概念，也是在不斷發(fā)展和變化的。但是，在小學(xué)階段的概念教學(xué)，考慮到小學(xué)生的接受能力，往往是分階段進行的。如對“數(shù)”這個概念來說，在不同的階段有不同的要求。開始只是認識1、2、3、……，以后逐漸認識了零，隨著學(xué)生年齡的增大，又引進了分?jǐn)?shù)(小數(shù))，以后又逐漸引進正、負數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)，把數(shù)擴充到實數(shù)、復(fù)數(shù)的范圍等。又如，對“0”的認識，開始時只知道它表示沒有，然后知道又可以表示該數(shù)位上一個單位也沒有，還知道“0”可以表示界限等。因此，數(shù)學(xué)概念的系統(tǒng)性和發(fā)展性與概念教學(xué)的階段性成了教學(xué)中需要解決的一對矛盾。解決這一矛盾的關(guān)鍵是要切實把握概念教學(xué)的階段性目標(biāo)。為了加強概念教學(xué)，教師必須認真鉆研教材，掌握小學(xué)數(shù)學(xué)概念的系統(tǒng)，摸清概念發(fā)展的脈絡(luò)。概念是逐步發(fā)展的，而且諸概念之間是互相聯(lián)系的。不同的概念具體要求會有所不同，即使同一概念在不同的學(xué)習(xí)階段要求也有差別。有許多概念的含義是逐步發(fā)展的，一般先用描述方法給出，以后再下定義。例如，對分?jǐn)?shù)意義理解的三次飛躍。第一次是在學(xué)習(xí)小數(shù)以前，就讓學(xué)生初步認識了分?jǐn)?shù)，“像上面講的、、、、、等，都是分?jǐn)?shù)?！蓖ㄟ^大量感性直觀的認識，結(jié)合具體事物描述什么樣的是分?jǐn)?shù)，初步理解分?jǐn)?shù)是平均分得到的，理解誰是誰的幾分之幾。第二次飛躍是由具體到抽象，把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或幾份都可以用分?jǐn)?shù)來表示。從具體事物中抽象出來。然后概括分?jǐn)?shù)的定義，這只是描述性地給出了分?jǐn)?shù)的概念。這是感性的飛躍。第三次飛躍是對單位“1”的理解與擴展，單位“1”不僅可以表示一個物體、一個圖形、一個計量單位，還可以是一個群體等，最后抽象出，分誰，誰就是單位“1”，這樣單位“1”與自然數(shù)“1”的區(qū)別就更加明確了。這樣三個層次不是一蹴而就的，要展現(xiàn)知識的發(fā)展過程，引導(dǎo)學(xué)生在知識的發(fā)生發(fā)展過程中去理解分?jǐn)?shù)。再如長方體和立方體的認識在許多教材中是分成兩個階段進行教學(xué)的。在低年級，先出現(xiàn)長方體和立方體的初步認識，通過讓學(xué)生觀察一些實物及實物圖，如裝墨水瓶的紙盒、魔方等。積累一些有關(guān)長方體和立方體的感性認識，知道它們各是什么形狀，知道這些形狀的名稱。然后，通過操作、觀察，了解長方體和立方體各有幾個面，每個面是什么形狀，進一步加深對長方體和立方體的感性認識。再從實物中抽象出長方體和立方體的圖形(并非透視圖)。但這一階段的教學(xué)要求只要學(xué)生知道長方體和立方體的名稱，能夠辨認和區(qū)分這些形狀即可。僅僅停留在感性認識的層次上。第二階段是在較高年級。教學(xué)時仍要從實例引入。教學(xué)長方體的認識時，先讓學(xué)生收集長方體的物體，教師先說明什么是長方體的面、棱和頂點，讓學(xué)生數(shù)一數(shù)面、棱和頂點各自的數(shù)目，量一量棱的長度，算一算各個面的大小，比較上下、左右、前后棱和面的關(guān)系和區(qū)別。然后歸納出長方體的特征。再從長方體的實例中抽象出長方體的幾何圖形。進而可以讓學(xué)生對照實物，觀察圖形，弄清楚不改變觀察方向，最多可以看到幾個面和幾條棱。哪些是看不見的，圖中是怎樣來表示的。還可以讓學(xué)生想一想，看一看，逐步看懂長方體的幾何圖形，形成正確的表象。在把握階段性目標(biāo)時，應(yīng)注意以下幾點：(1)在每一個教學(xué)階段，概念都應(yīng)該是確定的，這樣才不致于造成概念混亂的現(xiàn)象。有些概念不嚴(yán)格下定義，但也要依據(jù)學(xué)生的接受能力，或者用描述代替定義，或者用比較通俗易懂的語言揭示概念的本質(zhì)特征。同時注意與將來的嚴(yán)格定義不矛盾。(2)當(dāng)一個教學(xué)階段完成以后，應(yīng)根據(jù)具體情況，酌情指出概念是發(fā)展的，不斷變化的。如：有一位學(xué)生在認識了長方體之后，認為課本中的任何一張紙的形狀也是長方體的。說明該學(xué)生對長方體的概念有了更進一步的理解，教師應(yīng)加以肯定。(3)當(dāng)概念發(fā)展后，教師不但指出原來概念與發(fā)展后概念的聯(lián)系與區(qū)別，以便學(xué)生掌握，而且還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對有關(guān)概念進行研究，注意其發(fā)展變化。如“倍”的概念，在整數(shù)范圍內(nèi)，通常所指的是，如果把甲量當(dāng)作1份，而乙量有這樣的幾份，那么乙量就是甲量的幾倍。在引入分?jǐn)?shù)以后，“倍”的概念發(fā)展了，發(fā)展后的“倍”的概念，就包含了原來的“倍”的概念。如果把甲量當(dāng)作l份，乙量也可以是甲量的幾分之幾。因此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，要搞清概念之間的順序，了解概念之間的內(nèi)在聯(lián)系。數(shù)學(xué)概念隨著客觀事物本身的發(fā)展變化和研究的深入不斷地發(fā)展演變。學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的認識，也需要隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的程度的提高，由淺入深，逐步深化。教學(xué)時既要注意教學(xué)的階段性，不能把后面的要求提到前面，超越學(xué)生的認識能力；又要注意教學(xué)的連續(xù)性，教前面的概念要留有余地，為后繼教學(xué)打下埋伏。從而處理好掌握概念的階段性與連續(xù)性的關(guān)系。2、加強直觀教學(xué)，處理好具體與抽象的矛盾盡管教材中大部分概念沒有下嚴(yán)格的定義，而是從學(xué)生所了解的實際事例或已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，盡可能通過直觀的具體形象，幫助學(xué)生認識概念的本質(zhì)屬性。對于不容易理解的概念就暫不給出定義或者采用分階段逐步滲透的辦法來解決。但對于小學(xué)生來說，數(shù)學(xué)概念還是抽象的。他們形成數(shù)學(xué)概念，一般都要求有相應(yīng)的感性經(jīng)驗為基礎(chǔ)，而且要經(jīng)歷一番把感性材料在腦子里來回往復(fù)，從模糊到逐漸分明，從許多有一定聯(lián)系的材料中，通過自己操作、思維活動逐步建立起事物一般的表象，分出事物的主要的本質(zhì)特征或?qū)傩裕@是形成概念的基礎(chǔ)。因此，在教學(xué)中，必須加強直觀，以解決數(shù)學(xué)概念的抽象性與學(xué)生思維形象性之間的矛盾。（1）通過演示、操作進行具體與抽象的轉(zhuǎn)化教學(xué)中，對于一些相對抽象的內(nèi)容，盡可能地利用恰當(dāng)?shù)难菔净虿僮魇蛊滢D(zhuǎn)化為具體內(nèi)容，然后在此基礎(chǔ)上抽象出概念的本質(zhì)屬性。幾何初步知識，無論是線、面、體的概念還是圖形特征、性質(zhì)的概念都非常抽象，因此，教學(xué)中更要加強演示、操作，通過讓學(xué)生量一量、摸一摸、擺一擺、拼一拼來讓學(xué)生體會這些概念，從而抽象出這些概念。例如“圓周率”這一概念非常抽象，有的教師在課前，布置每個學(xué)生用硬紙制做一個圓，半徑自定。上課時，就讓每個學(xué)生在課堂作業(yè)本上寫出三個內(nèi)容：(1)寫出自己做的圓的直徑；(2)滾動自己的圓，量出圓滾動一周的長度，寫在練習(xí)本上；(3)計算圓的周長是直徑的幾倍。全班同學(xué)做完后，要求每個同學(xué)匯報自己計算的結(jié)果，并把結(jié)果整理成下表。圓直徑(厘米)圓的周長(厘米)周長是直徑的幾倍A26.23.1B39.63.2C412.63.15D515.73.14然后引導(dǎo)學(xué)生分析發(fā)現(xiàn)：不管圓的大小，它的周長總是直徑的3倍多一點。這時再揭示：這個倍數(shù)是個固定的數(shù)，數(shù)學(xué)上叫做圓周率。再讓學(xué)生任意畫一個圓，量出直徑和周長加以驗證。這樣，引導(dǎo)學(xué)生把大量的感性材料，加以分析、綜合、抽象、概括，拋棄事物的非本質(zhì)屬性(如圓的大小、測量時用的單位等)，抓住事物的本質(zhì)特征(圓的周長總是直徑的3倍多一點)，形成了概念。這樣教師借助于直觀教學(xué)，運用學(xué)生原有的一些基礎(chǔ)知識，逐步抽象，環(huán)環(huán)緊扣，層次清楚。通過實物演示，使學(xué)生建立表象，從而解決了數(shù)學(xué)知識的抽象性與兒童思維的形象性的矛盾。（2）結(jié)合學(xué)生的生活實際進行具體與抽象的轉(zhuǎn)化教學(xué)中有許多數(shù)量關(guān)系都是從具體生活內(nèi)容中抽象出來的，因此，在教學(xué)中應(yīng)該充分利用學(xué)生的生活實際，運用恰當(dāng)?shù)姆绞竭M行具體與抽象的轉(zhuǎn)化，即把抽象的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為學(xué)生的具體生活知識，在此基礎(chǔ)上又將其生活知識抽象為教學(xué)內(nèi)容。例如乘法交換律的教學(xué)，往往讓學(xué)生先解答這樣的習(xí)題：一種鋼筆，每盒10支，每支3元，買2盒鋼筆要多少元?學(xué)生在實際解答中發(fā)現(xiàn)，這道題可以有兩種解答思路，一種是先求出“每盒多少元”，再求出“2盒要多少元”，算式是(3×10)×2＝60元；另一種是先求出“一共有多少支鋼筆”，再求出“2盒多少元”，算式是3×(2×10)＝60元。乘法分配律的教學(xué)也是讓學(xué)生解答類似的問題，如：一件上衣50元，一條褲子30元，買這樣的5套衣服需要多少元?這樣借助于學(xué)生熟悉的生活情景，使抽象的問題變得具體化。同樣常見數(shù)量關(guān)系中的單價、總價與數(shù)量之間的關(guān)系；路程、速度與時間的關(guān)系，工作量、工作效率與工作時間之間的關(guān)系等，都應(yīng)結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗，通過具體的題目將其抽象出來，然后又利用這些關(guān)系來分析解決問題。這樣的訓(xùn)練有利于使學(xué)生的思維逐漸向抽象思維過渡，逐步緩解知識的抽象性與學(xué)生思維的具體形象性的矛盾。但是，運用直觀并不是目的，它只是引起學(xué)生積極思維的一種手段。因此概念教學(xué)不能只停留在感性認識上，在學(xué)生獲得豐富的感性認識后，要對所觀察的事物進行抽象概括，揭示概念的本質(zhì)屬性，使認識產(chǎn)生飛躍，從感性上升到理性，形成概念。3、遵循小學(xué)生學(xué)習(xí)概念的特點，組織合理有序的教學(xué)過程盡管小學(xué)生獲取概念有概念形成和概念同化這兩種基本形式，各類概念的形成又有各自的特點，但不管以何種方式獲得概念，一般都會遵循從“引入一理解一鞏固一深化”這樣的概念形成路徑。下面就概念教學(xué)中每個環(huán)節(jié)的教學(xué)策略及應(yīng)注意的問題作一闡述。（1）概念的引入要注重提供豐富而典型的感性材料在概念引入的過程中，要注意使學(xué)生建立起清晰的表象。因為建立能突出事物共性的、清晰的典型表象是形成概念的重要基礎(chǔ)，因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)的概念教學(xué)中，無論以什么方式引入概念，都應(yīng)考慮如何使小學(xué)生在頭腦中建立起清晰的表象。概念教學(xué)一開始，應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容運用直觀手段向?qū)W生提供豐富而典型的感性材料，如采用實物、模型、掛圖，或進行演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察，并結(jié)合實驗，讓學(xué)生自己動手操作，以便讓學(xué)生接觸有關(guān)的對象，豐富自己的感性認識。如在一節(jié)教學(xué)分?jǐn)?shù)的意義的課上，一位教師為了突破單位“l(fā)”這一教學(xué)難點，事先向?qū)W生提供了各種操作材料：一根繩子，4只蘋果圖，6只熊貓圖，一張長方形紙，l米長的線段等，通過比較、歸納出：一個物體、一個計量單位、一個整體都可以用單位“1”表示，從而突破理解單位“1”這一難點，為理解分?jǐn)?shù)的意義奠定了基礎(chǔ)。但概念引入時所提供的材料要注意三點：一是所選材料要確切。例如角的認識，小學(xué)里講的角是平面角，可以讓學(xué)生觀察黑板、書面等平面上的角。有的教師讓學(xué)生觀察教室相鄰兩堵墻所夾的角，那是兩面角，對于小學(xué)教學(xué)要求來說，就不確切了。二是所選材料要突出所授知識的本質(zhì)特征。例如直角三角形的本質(zhì)特征是“有一個角是直角的三角形”，至于這個直角是三角形中的哪一個角，直角三角形的大小、形狀，則是非本質(zhì)的。因此教學(xué)時應(yīng)出示不同的圖形，使學(xué)生在不同的圖形中辨認其不變的本質(zhì)屬性。（2）概念的理解要注重正反例證的辨析，突出概念的本質(zhì)屬性概念的理解是概念教學(xué)的中心環(huán)節(jié)，教師要采取一切手段幫助學(xué)生逐步理解概念的內(nèi)涵和外延，以便讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握概念。促進對概念理解的途徑有：1）剖析概念中關(guān)鍵詞語的真實含義例如，分?jǐn)?shù)定義中的單位“1”、“平均分”、“表示這樣的一份或幾份的數(shù)”，學(xué)生只有對這些關(guān)鍵詞語的真實含義弄清楚了，才會對分?jǐn)?shù)的概念有了深刻的理解。再如教學(xué)“整除”概念之后應(yīng)幫助學(xué)生從以下三方面進行判斷，一是判斷是否具有“整除”關(guān)系的兩個數(shù)都必須是自然數(shù)；二是這兩個數(shù)相除所得的商是整數(shù)；三是沒有余數(shù)。對定義的分析是幫助學(xué)生認識概念的又一次提高。三角形的高的定義:“從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高，這條邊叫做三角形的底。”這里的“一個頂點”、“垂線”、“垂足”都是一些關(guān)鍵詞語。為了讓學(xué)生理解三角形的高，除了讓學(xué)生理解字面意思外，往往還需要學(xué)生通過實際操作，體會畫“高”的全過程。指出畫“高”的關(guān)鍵是畫垂線，并注意限制條件：“過三角形的一個頂點(可以是任何一個頂點)，作到它對邊的垂線，頂點和垂足之間的線段”。這樣把實際操作的過程和所畫的三角形高的圖形與定義所敘述的內(nèi)容對照，使學(xué)生準(zhǔn)確地理解三角形的高的定義。這實際上是在數(shù)學(xué)概念建立后，幫助學(xué)生對本質(zhì)屬性進行剖析，既將本質(zhì)屬性再次從定義中分離出來，加以明確。2）辨析概念的肯定例證和否定例證學(xué)生能背誦概念并不等于真正理解概念，還要通過實例突出概念的主要特征，幫助他們加深對概念的理解。教師不僅要充分運用肯定例證來幫助學(xué)生理解概念的內(nèi)涵，同時要及時運用否定例證來促進學(xué)生對概念的辨析。在概念揭示后往往要針對教學(xué)要求組織學(xué)生進行一些練習(xí)，如教完三角形按角分類后，可以出示：一個三角形不是直角三角形，并且有兩個角是銳角，這個三角形一定是銳角三角形。讓學(xué)生進行判斷，引起學(xué)生討論來鞏固三角形的分類，以深化對三角形這一概念的外延的進一步認識。再如，小數(shù)的性質(zhì)揭示后，可以讓學(xué)生判斷0.40、0.030、20.020、2.800、10.404、5.0000各數(shù)，哪些“0”可以去掉，哪些“0”不能去掉?從而加深學(xué)生對小數(shù)性質(zhì)的理解。3）變換本質(zhì)屬性的敘述或表達方式小學(xué)生理解和掌握概念的特點之一往往是：對某一概念的內(nèi)涵不很清楚，也不全面，把非本質(zhì)的特征作為本質(zhì)的特征。例如，有的學(xué)生誤認為，只有水平放置的長方形才叫長方形，如果斜著放就辨認不出來。為此，往往需要變換概念的敘述或表達方式，讓學(xué)生從各個側(cè)面來理解概念。旨在從變式中把握概念的本質(zhì)屬性，排除非本質(zhì)屬性的干擾。因為事物的本質(zhì)屬性可以運用不同的語言來表達，如果學(xué)生對各種不同的敘述和表達都能理解和掌握，就說明學(xué)生對概念的理解是透徹的，是靈活的，不是死記硬背的。4）對近似的概念及時加以對比辨析在小學(xué)數(shù)學(xué)中，有些概念其含義接近，但本質(zhì)屬性又有區(qū)別。如數(shù)與數(shù)字，數(shù)位與位數(shù)，奇數(shù)與質(zhì)數(shù)，偶數(shù)與合數(shù)，化簡比與求比值，時間與時刻，質(zhì)數(shù)、質(zhì)因數(shù)與互質(zhì)數(shù)，周長與面積，等等。對這類概念，學(xué)生常常容易混淆，必須及時把它們加以比較，以避免互相干擾。如學(xué)習(xí)了“整除”，為了和以前學(xué)的“除盡”加以比較，可以設(shè)計這樣的練習(xí)題：下列等式中，哪些是整除，哪些是除盡?(1)8÷2＝4(2)48÷8＝6(3)30÷7＝4……2(4)8÷5＝1.6(5)6÷0.2＝30(6)1.8÷3＝0.6引導(dǎo)學(xué)生通過分析、比較，從而得出：第(3)題是有余數(shù)的除法，當(dāng)然不能說被除數(shù)被除數(shù)整除或除盡，其他各題當(dāng)然能說被除數(shù)被除數(shù)除盡了。其中只有第(1)、(2)題，被除數(shù)、除數(shù)和商都是自然數(shù)，而且沒有余數(shù)，這兩題既可以說被除數(shù)被除數(shù)除盡，又能說被除數(shù)被除數(shù)整除。從上面的分析中，讓學(xué)生明白：整除是除盡的一種特殊情況，除盡包括了整除和一切商是有限小數(shù)的情況。學(xué)習(xí)了比之后，可以用列表法設(shè)計比與除法、分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系的習(xí)題，從中明確“除法是一種運算，分?jǐn)?shù)是一個數(shù)，比是一個關(guān)系式”的區(qū)別。（3）重視概念的運用，發(fā)揮概念的作用正確、靈活地運用概念，就是要求學(xué)生能夠正確、靈活地運用概念組成判斷，進行推理、計算、作圖等，能運用概念分析和解決實際問題。理解概念的目的在于運用，運用的途徑有：1)自舉實例這是要求學(xué)生把已經(jīng)初步獲得的概念簡單運用于實際，通過實例來說明概念，加深對概念的理解。有經(jīng)驗的教師，根據(jù)小學(xué)生對概念的認識通常帶有具體性的特點，在學(xué)生通過分析、綜合、抽象、概括出概念后，總是讓他們自舉例證，把概念具體化。從具體到抽象又回到具體，符合小學(xué)生的認識規(guī)律，使學(xué)生更準(zhǔn)確把握概念的內(nèi)涵和外延。例如在學(xué)生初步獲得了真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)的概念后，就可以讓學(xué)生分別舉一些真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的實例；知道了圓柱的特征后，讓學(xué)生說說日常生活中有哪些物品的形狀是圓柱形的。2)運用于計算、作圖等例如，如學(xué)了乘法的運算定律后，就可以讓學(xué)生簡便計算下面各題。104×2548×25101×35×214×99+1425×32146+9×146(80+8)×258×(125+50)34×5×2在掌握分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)后，就要求學(xué)生能熟練地進行通分、約分，并說明通分、約分的依據(jù)。學(xué)習(xí)了小數(shù)的性質(zhì)后，就可以讓學(xué)生把小數(shù)按要求進行化簡或改寫；學(xué)習(xí)了等腰三角形，可設(shè)計一組操作題；畫一個等腰三角形；畫一個頂角60度的等腰三角形；畫一個腰長為2厘米的等腰直角三角形。3)運用于生活實踐數(shù)學(xué)概念來源于生活，就必然要回到生活實際中去。教師引導(dǎo)學(xué)生運用概念去解決數(shù)學(xué)問題，是培養(yǎng)學(xué)生思維，發(fā)展各種數(shù)學(xué)能力的過程。并且，也只有讓學(xué)生把所學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)概念，拿到生活實際中去運用，才會使學(xué)到的概念鞏固下來，進而提高學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的運用技能。為此，教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)根據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生實際，在掌握小學(xué)數(shù)學(xué)教材邏輯系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，有意識地深化和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)概念。例如在學(xué)習(xí)圓的面積后，一位教師就設(shè)計了這樣的問題：“我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓面積公式，誰能想辦法算一算，學(xué)校操場上白楊樹樹干的橫截面面積?”同學(xué)們就討論開了，有的說，算圓面積一定要先知道半徑，只有把樹砍下來才能量出半徑；有的不贊成這樣做，認為樹一砍下來就會死掉。這時教師進一步引導(dǎo)說：“那么能不能想出不砍樹就能算出橫截面面積的辦法來呢?大家再討論一下?！睂W(xué)生們渴望得到正確的答案，通過積極思考和爭論，終于找到了好辦法，即先量出樹干的周長，再算出半徑，然后應(yīng)用面積公式算出大樹橫截面面積。課后許多學(xué)生還到操場上實際測量了樹干的周長，算出了橫截面面積。再如，在教學(xué)正比例應(yīng)用題時，可以啟發(fā)學(xué)生運用旗桿高度與影長的關(guān)系，巧妙地算出了旗桿的高度。這樣通過創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情景，教師適時點撥，不但啟迪了學(xué)生的思維，而且培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)以致用的興趣和能力，也加深了對所學(xué)概念的理解。（4）注重概念之間的比較分類，深化概念小學(xué)數(shù)學(xué)知識的特點是系統(tǒng)性強，前后聯(lián)系密切，但是由于小學(xué)生思維發(fā)展水平和接受能力的限制，有些知識的教學(xué)往往是分幾節(jié)課或幾個學(xué)期來完成，這樣難免在不同程度上削弱知識間的聯(lián)系。對一些有聯(lián)系的概念或法則，在一定階段應(yīng)進行系統(tǒng)的整理，使學(xué)生在頭腦中建立起知識的網(wǎng)絡(luò)，形成良好的認知結(jié)構(gòu)。尤其是中高年級，可以引導(dǎo)學(xué)生將概念進行分類，明確概念間的聯(lián)系和區(qū)別，以形成概念系統(tǒng)。6.2.3概念教學(xué)片段舉例（一）乘法的初步認識教學(xué)片段1．創(chuàng)設(shè)情景，出示課題師：老師帶來了一些鉛筆準(zhǔn)備獎給學(xué)習(xí)認真的小朋友，如果每人2枝，獎給4位小朋友，一共要多少枝?怎樣列式?(板書：2+2+2+2=8)如果獎給5位小朋友，一共要多少枝?(板書：2+2+2+2+2＝10)我們班46名同學(xué)學(xué)習(xí)都很認真，每位小朋友都獎勵2枝，該怎么列式呢?教師一邊板書2+2+2+2……，一邊問：這樣要寫多少個“2”?能不能有一種比較簡便的方法來表示呢?這就是今天要學(xué)習(xí)的乘法(板書課題)。2．直觀感知，形成表象(1)教學(xué)乘號。(2)學(xué)生擺紅花，寫算式。師：在投影儀上先擺2朵，再擺2朵，最后再擺2朵。問：數(shù)一數(shù)，一共擺了幾個2朵?(板書：3個2)可以用什么方法算?(板書：2+2+2＝6)這個連加算式中加數(shù)都是2，我們可以把它改寫成乘法算式，寫作：2×3=6，讀做：2乘3；也可以寫作：3×2＝6，讀做：3乘2。(教師示范，再指名讀、全班讀)(3)學(xué)生擺小圓片，寫算式。師：請小朋友自己擺一擺小圓片，再寫出算式，行嗎?要求第一行擺3個小圓片，第二行也擺3個小圓片，一共擺了幾個小圓片?用加法算怎樣列式?能改寫成乘法算式嗎?(根據(jù)學(xué)生回答板書：3+3＝63×2＝6或2×3＝6師：如果再擺兩行，那一共又有幾個3呢?算式該怎么列?(根據(jù)學(xué)生回答板書：3+3+3+3＝123×4＝12或4×3＝12(4)看圖形，寫算式。板書：4+4+4＝12，4×3＝12或3×4＝125+5+5＝15，5×3＝15或3×5＝153．分析比較，揭示本質(zhì)(1)師：仔細觀察黑板上的這些加法算式和乘法算式，你發(fā)現(xiàn)了什么?引導(dǎo)學(xué)生得出：這些加法算式的加數(shù)都相同，所以能改寫成乘法算式。求幾個相同加數(shù)的和，用乘法計算比較簡便。(2)討論下列算式哪些能改寫成乘法算式，哪些不能?為什么?2+2+33+3+3+35+56+6+6+74．多種訓(xùn)練，鞏固和深化新知(1)看圖列式。*********************加法算式：乘法算式：(2)根據(jù)算式，用學(xué)具擺一擺。2×24×32×5(3)把前面“導(dǎo)入”中的三道加法算式改寫成乘法算式。(4)自己寫一個加法算式，然后改寫成乘法算式。5．小結(jié)(略)評析：這節(jié)概念課遵循了概念形成的規(guī)律，依據(jù)感知——表象——概念——運用這么一條途徑。概念的引入能緊緊抓住同數(shù)連加這一已有的知識基礎(chǔ)，又輔以生動形象的直觀教學(xué)手段，可謂雙管齊下。一開始就讓學(xué)生在現(xiàn)實情境中初步接觸“相同加數(shù)”，從計算全班學(xué)生的獎品總數(shù)而激起學(xué)生學(xué)習(xí)“乘法”的欲望。接著讓學(xué)生在操作實踐的過程中，各種感官協(xié)同活動，在獲得大量感性材料的基礎(chǔ)上，形成清晰而豐富的表象，為學(xué)生初步認識“乘法”奠定了堅實的基礎(chǔ)。新課展開以后能及時對加法算式和乘法算式這些感性材料引導(dǎo)學(xué)生進行分析比較，抽象概括出本質(zhì)屬性?！扒髱讉€相同加數(shù)和，用乘法計算比較簡便”這一結(jié)論是抽象概括的結(jié)果。教師通過第一層次由學(xué)生擺出了3個2朵小紅花，列出加法算式2十2+2＝6再引導(dǎo)學(xué)生看算式回答算式中的加數(shù)有什么特點?再讓學(xué)生用正方形擺出4個3，用小圓片擺出5個4，分別列出加法算式，并觀察每個算式中加數(shù)的特點。第二層次，教師由三道加法算式引出新的運算——乘法，說明3個2相加的和，4個3相加的和。5個4相加的和，可以用乘法計算。第三層次，通過加法和乘法算式的比較，得出用乘法計算比較簡便。第四層次是抽象出乘法的意義。在這個由具體到抽象的過程中，學(xué)生的抽象、概括能力得到了培養(yǎng)。為鞏固新知設(shè)計的辨析題中既有肯定例證，也有否定例證，抓住了教學(xué)的難點，突出了教學(xué)的重點，有利于學(xué)生真正理解乘法的意義，即乘法是求幾個相同加數(shù)和的簡便運算。最后寫出求46個學(xué)生的鉛筆總數(shù)的乘法算式，使學(xué)生已有的概念得到了及時擴展。整節(jié)課學(xué)生都主動地投入了整個教學(xué)過程。（二）面積單位及其進率教學(xué)片段1．感知1平方分米(1)學(xué)生觀察：教師在黑板上貼的紙上畫一條1分米長的線段，以這條線段為邊長，畫一個正方形。告訴學(xué)生，這個邊長1分米的正方形的面積是l平方分米。接著教師用剪刀剪下這l平方分米的正方形紙，貼在黑板上。(2)學(xué)生操作：剪出一個l平方分米的正方形，用手摸一摸，閉上眼睛想一想1平方分米的樣子及大小。2．感知1平方厘米(1)師：誰能第一個剪出1平方厘米的正方形?學(xué)生動手剪出了l平方厘米的正方形后，要求他們說說是怎樣剪的。然后讓學(xué)生用手摸一摸，閉上眼睛想一想l平方厘米的樣子及大小。(2)把1平方分米的正方形紙和l平方厘米的正方形紙放在桌面上，看一看，比一比，閉上眼睛想一想它們的樣子及大小。3．感知1平方米師：誰能告訴大家，怎樣剪出1平方米的正方形紙?學(xué)生說完，教師就把事先剪好的1平方米的正方形紙貼在黑板上，讓學(xué)生看一看，閉上眼睛想一想它的樣子和大小。4．討論：什么叫1平方分米、1平方厘米、l平方米?5．討論：1平方分米、l平方厘米及l(fā)平方米的關(guān)系。(1)要求學(xué)生看著自己桌上的1平方分米和1平方厘米的正方形紙。想一想怎樣才能測出1平方分米中有多少個l平方厘米?學(xué)生認為動手?jǐn)[一擺、畫一畫就能測出來。開始學(xué)生把兩張正方形紙的一個頂點對齊，然后沿著1平方厘米的正方形紙的邊沿把它所占的平面位置畫在了1平方分米的正方形紙上。再挪動1平方厘米的正方形紙，緊挨著畫好的小正方形擺好，再沿邊沿畫出它所占的位置。再挪動正方形……這樣畫了一排，再畫第二排，第二排沒有畫完，有的學(xué)生已經(jīng)用尺子把l平方分米的正方形每邊平均分成了10份，把對邊上的兩點連結(jié)，畫出格線，數(shù)一數(shù)，算一算，得出1平方分米=100平方厘米。(2)提問：怎樣知道1平方米中有多少個1平方分米?如果沿l平方米的正方形的邊長擺1平方分米的小正方形，一排能擺幾個?可以擺多少排?得出：1平方米＝100平方分米。(3)想一想，算一算，l平方米等于多少平方厘米呢?學(xué)生很快就得出：1平方米＝10000平方厘米。6．鞏固運用(1)舉例說說1平方厘米、l平方分米、1平方米的大小。(2)填上合適的單位名稱。(略)評析：學(xué)生通過動手操作，可以增加對所學(xué)知識的感性認識，在操作中獲得實物的表象，加深對所學(xué)知識的理解。這里的教學(xué)片段，教師正是出于這樣的思考，讓學(xué)生通過自己動手?jǐn)[一擺，畫一畫，想一想，算一算，真正理解了1平方米、1平方分米、l平方厘米的意義及它們之間的進率，并且印象深刻，記憶持久。同時，也培養(yǎng)了學(xué)生的動手能力。自始至終學(xué)生獲取知識的過程是主動積極的。（三）質(zhì)數(shù)與合數(shù)教學(xué)片段1．導(dǎo)入師：同學(xué)們都有自己的學(xué)號，請把表示你學(xué)號的這個數(shù)的所有約數(shù)找出來。(指名反饋，教師根據(jù)29號、2號、26號、16號同學(xué)的發(fā)言，逐一板書這些數(shù)的約數(shù)。其余同學(xué)互相交流。)2．分類整理，揭示概念師：請同學(xué)們仔細觀察這些數(shù)(手指黑板)，能不能把這些數(shù)分分類?同桌可以互相議一議。生甲：我把這些數(shù)分成兩類，一類是奇數(shù)，一類是偶數(shù)。奇數(shù)有21、7、29，偶數(shù)有6、2、26和16。生乙：我是按約數(shù)的個數(shù)來分的，7、29、2只有兩個約數(shù)分為一類，6、16、21、26有兩個以上的約數(shù)分為一類。生丙：我把6、7、2分為一類，這些數(shù)都是一位數(shù)，21、16、29、26分為一類，這些數(shù)都是兩位數(shù)。師：還有其他分法嗎?(學(xué)生表示沒有)這些分法都有道理。奇數(shù)、偶數(shù)我們以前已經(jīng)認識了，今天我們著重來研究按約數(shù)個數(shù)來分的情況。像這樣只有兩個約數(shù)的數(shù)，叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素數(shù)；有兩個以上約數(shù)的數(shù)叫做合數(shù)。3．討論，建立概念師：再請同學(xué)們仔細觀察一下：質(zhì)數(shù)有什么特點?合數(shù)有什么特點?有困難的同學(xué)可以和周圍的同學(xué)商量一下。生：質(zhì)數(shù)的約數(shù)只有l(wèi)和它本身兩個，合數(shù)的約數(shù)除了1和它本身還有別的約數(shù)。師：有沒有不同意見?誰再來說一說?看看書上是怎么說的。4．理解和鞏固概念師：現(xiàn)在我們知道了什么是質(zhì)數(shù)，什么是合數(shù)，那么除了黑板上的這些數(shù)，你還能舉一些例子嗎?寫在本子上。生：19、23、27、31、59、61是質(zhì)數(shù)，4、15、20、18、25、10、12、30是合數(shù)。師：還有嗎?還有這么多同學(xué)想說，可是黑板只有這么大，怎么辦?生：用省略號表示。(板書)師：這幾位同學(xué)舉出的這些數(shù)是不是質(zhì)數(shù)?指板書我們來判斷一下。生：19、23是質(zhì)數(shù)，27不是質(zhì)數(shù)。師：27為什么不是質(zhì)數(shù)?生：因為27除了1和它本身以外，還有別的約數(shù)3和9，所以是合數(shù)。(教師調(diào)整板書)師：這些都是合數(shù)嗎?(學(xué)生沒有意見)誰能說說12為什么是合數(shù)?5．運用概念(1)教師從周圍環(huán)境中選取素材，讓學(xué)生進行判斷練習(xí)，概括出判斷方法(略)。(2)討論“1”，得出1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，因為它只有一個約數(shù)。6．綜合練習(xí)(1)找一找，黑板上的這些數(shù)中，哪些是奇數(shù)?哪些是偶數(shù)?你發(fā)現(xiàn)了什么?(一些數(shù)既是奇數(shù)又是合數(shù)，如9、21等；一些數(shù)既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)，如2)師：既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的只有2，其他偶數(shù)有可能是質(zhì)數(shù)嗎?為什么?同桌互相檢查一下，你找對了嗎?(2)出示2～50的數(shù)，要求很快找出質(zhì)數(shù)。反饋時要求介紹一下你有什么好方法。(3)把下面各數(shù)寫成兩個質(zhì)數(shù)的和。6=()+()8＝()+()10＝()+()12＝()+()師：這里的6、8、10、12都是什么數(shù)?生：是合數(shù)，也都是偶數(shù)。師：能不能把這些數(shù)寫成兩個質(zhì)數(shù)的和?學(xué)生在練習(xí)本上寫。師：是不是所有不小于6的偶數(shù)都能寫成兩個質(zhì)數(shù)的和?這是一種猜想，要證明它可不容易，這就是世界有名的難題“哥德巴赫猜想”，有興趣的同學(xué)課后可以去查閱有關(guān)資料。評析：這是一節(jié)比較抽象的概念課，其最大的特點是教師能遵循學(xué)生概念學(xué)習(xí)的特點展開整個教學(xué)過程。上課一開始就緊緊抓住“約數(shù)”這一已有的基礎(chǔ)知識，讓學(xué)生找一找表示自己學(xué)號的數(shù)的約數(shù)，通過觀察、分類，揭示質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念。再通過進一步的觀察、討論，并用自己的語言來說一說什么是質(zhì)數(shù)、合數(shù)，初步建立概念。在此基礎(chǔ)上，請全體學(xué)生舉例，進行判斷，從而檢驗并鞏固了所學(xué)的概念。綜合練習(xí)的組織，在及時鞏固運用新知識的同時，溝通了與舊知識的聯(lián)系，讓學(xué)生明確了奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)間的區(qū)別和聯(lián)系，使概念系統(tǒng)化。除此之外，這節(jié)課還有以下三個特點：一是教師能真心誠意地把學(xué)生當(dāng)做學(xué)習(xí)的主體，課堂的主人，發(fā)揚教學(xué)民主，讓每個學(xué)生都積極參與教學(xué)過程，在自主探索中獲取新知，體驗成功。二是注意就地取材，充實教學(xué)內(nèi)容，使抽象的教學(xué)內(nèi)容變得生動,貼近學(xué)生生活。三是能以知識學(xué)習(xí)為載體，培養(yǎng)學(xué)生主動探索、獨立思考的能力和敢于創(chuàng)新的精神，同時適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)思想方法。§7.1小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則教學(xué)概述7.1.1小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則的主要內(nèi)容和特點（一）小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則的主要內(nèi)容小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則的主要內(nèi)容為法則、定律、公式等。在小學(xué)數(shù)學(xué)的規(guī)則學(xué)習(xí)中，按規(guī)則水平分，主要有一級運算規(guī)則（加減運算）的學(xué)習(xí)和二級運算規(guī)則（乘除運算）的學(xué)習(xí)，還有簡單的三級運算規(guī)則（主要是二次或三次乘方運算）的學(xué)習(xí)；按涉及對象看，主要是整數(shù)和小數(shù)的四則運算規(guī)則的學(xué)習(xí)和簡單的乘方運算規(guī)則的學(xué)習(xí)，也包含簡單的分?jǐn)?shù)四則運算規(guī)則的學(xué)習(xí)；從運算形式看，主要有口算、筆算和估算（有時也包括珠算）等學(xué)習(xí)；從學(xué)習(xí)目標(biāo)看，主要有運算的規(guī)則理解與掌握以及運算技能和運算策略的初步形成。具體地看，在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，運算規(guī)則的學(xué)習(xí)主要有：（1）四則運算（包括整數(shù)和小數(shù)四則運算，簡單的分?jǐn)?shù)加減運算等）；（2）性質(zhì)運用（包括分?jǐn)?shù)、小數(shù)的互化，解答簡易方程，分?jǐn)?shù)、小數(shù)化簡等）；（3）名數(shù)化聚；（4）四則運用（包括簡單幾何形體的面積、體積的求法，各種數(shù)學(xué)問題的解決等）。（二）小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則的特點小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則，既要體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)密性、邏輯性的特點，又要符合兒童的年齡特點和認知規(guī)律，因而具有以下特點：1、淡化嚴(yán)格證明，強化合情推理按照數(shù)學(xué)科學(xué)的要求，數(shù)學(xué)規(guī)則的敘述必須嚴(yán)密、準(zhǔn)確，都要經(jīng)過嚴(yán)格的論證。但受兒童智力發(fā)展水平和接受能力的限制，許多小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則并不進行嚴(yán)格的證明。為了讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性、邏輯性，使學(xué)生感到數(shù)學(xué)規(guī)則是有根有據(jù)的，小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則學(xué)習(xí)一般采用合情推理，用不完全歸納法或類比法導(dǎo)出。往往是先給出具體事例或已有知識，讓學(xué)生經(jīng)過觀察、實驗、探索，發(fā)現(xiàn)事物之間的關(guān)系或發(fā)展的規(guī)律性，經(jīng)過歸納、猜測、驗證過程，然后用簡練、準(zhǔn)確的語言表達出來，形成規(guī)則。2、重要規(guī)則逐步深化為適應(yīng)小學(xué)生認知能力及認知規(guī)律，小學(xué)數(shù)學(xué)中的重要規(guī)則，采用先滲透，再深化，逐步提高的分段編排方法。例如：加減法運算法則分成20以內(nèi)的加減法，100以內(nèi)的加減法，三位數(shù)、四位數(shù)的加減法三個階段進行教學(xué)；加法、乘法的運算律采用先滲透，再使用，然后歸納成條文的編排方法。3、有些規(guī)則不給結(jié)語根據(jù)兒童的認知特點，有些規(guī)則不形成命題的形式，而是通過例題給出。這樣的規(guī)則稱為“隱規(guī)則”?！半[規(guī)則”也是小學(xué)數(shù)學(xué)知識的重要組成部分，要求學(xué)生通過習(xí)題練習(xí)使用，并達到一定的熟練程度。如減法、除法的運算性質(zhì)，教材中未給出結(jié)語，但要求學(xué)生會利用它簡化運算。7.1.2各種不同的運算規(guī)則（一）運算法則運算法則是關(guān)于運算方法和程序的規(guī)定，運算法則的理論依據(jù)稱為算理。運算法則說的是怎樣算，算理說的是為什么這樣算。如兩位數(shù)筆算加法運算法則：“相同數(shù)位對齊，從個位加起，個位相加滿十就向十位進一?！币?guī)定了兩位數(shù)豎式加法的寫法、算法和計算的先后順序。其中“相同數(shù)位對齊”、“個位相加滿十向十位進一”的理論依據(jù)是“記數(shù)的位值原則”，不同位置上的數(shù)字計數(shù)單位不同。相同單位的數(shù)字才能相加。為什么要從個位加起，從十位加起可以嗎？其實對于兩位數(shù)不進位加法，從十位加起更簡便。而對于兩位數(shù)進位加法，若從十位加起，“進一”后需要十位上再加一，容易出現(xiàn)錯誤。為減少學(xué)生計算錯誤，才規(guī)定“從個位加起”。因此，“記數(shù)的位值原則”和“相同單位的數(shù)才能相加”是兩位數(shù)加法的算理，而“從個位加起”只是一種人為規(guī)定。在運算法則教學(xué)中，要摒棄那種只講“法則”，不講算理的錯誤做法。只有讓學(xué)生深入理解算理，才能靈活運用計算法則，提高計算速度。2.四則運算的類型及其要求四則運算有口算、筆算、估算、用計算器計算等四種類型。所謂口算，又稱心算，就是指不借助工具直接通過思維求出結(jié)果的一種計算方法。口算具有計算速度快、在日常生活中運用廣泛的特點。同時，口算也是筆算和珠算的基礎(chǔ)。雖然口算也要口述或筆記答案，但運算活動主要依靠心智活動為主，因此，口算是發(fā)展兒童心智技能的主要途徑之一。所謂筆算，簡單地說，就是借助筆且運用列式的方法，按照一定的規(guī)則來求出結(jié)果的一種計算方法。筆算具有能進行較大數(shù)目的計算以及運算的準(zhǔn)確率高的特點。所謂估算，實際上就是一種無需獲得精確結(jié)果的口算，是個體依據(jù)條件和有關(guān)知識對事物的數(shù)量或運算結(jié)果作出的一種大致的判斷。在科學(xué)技術(shù)變遷日益加快、信息大量涌入的社會，人們的工作節(jié)奏和生活節(jié)奏被大大地加快了，因此，估算能力越來越成為現(xiàn)代社會成員一種必不可少的基本素養(yǎng)。（二）運算性質(zhì)運算性質(zhì)反映運算的規(guī)律性，根據(jù)其所起作用可分為三類；第一類，改變參算的數(shù)的位置。如加法交換律，乘法對加法的分配律等。第三類，參算的數(shù)的改變引起的運算結(jié)果的變化。如被減數(shù)增加一個數(shù)，減數(shù)不變，差也增加相同的數(shù)。被除數(shù)同時擴大或縮小相同倍數(shù)，商不變等。運算性質(zhì)的學(xué)習(xí)不僅可以用來驗算，而且還可以用來進行簡便運算，同時還可以用來進行估算。運算性質(zhì)的教學(xué)對于學(xué)生形成“驗算意識”、“巧算意識”、“估算意識”，對于形成“算法多樣化”和運算技能，對于發(fā)展學(xué)生思維的靈活性、敏捷性，都有重要的作用和意義。更重要的是，運算性質(zhì)學(xué)習(xí)過程的本身就是一個歸納、抽象與推理等的邏輯思維的過程。（三）計算方法計算方法是指利用四則運算求某種量，或者兩種量換算的具體方法，通常被稱為常規(guī)方法。計算方法是客觀事物的數(shù)學(xué)關(guān)系的具體體現(xiàn)，是四則運算與現(xiàn)實世界相互聯(lián)系的橋梁。學(xué)習(xí)和進行量的計算，可使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)與客觀世界的緊密聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和能力。7.1.3兒童形成運算技能的基本特征小學(xué)數(shù)學(xué)運算規(guī)則教學(xué)的重要目標(biāo)就是發(fā)展兒童的運算技能。（一）數(shù)學(xué)規(guī)則學(xué)習(xí)意義1、有利于形成學(xué)生的基本技能運算規(guī)則學(xué)習(xí)的基本目的就是形成運算技能，提高數(shù)據(jù)信息的處理能力。首先，計算作為一種工具性技能，是人們面對日常生活和生產(chǎn)所須臾不可離的，同時也是進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)或其他學(xué)科知識所必需的；其次，計算作為一種探究性能力，是人們面對復(fù)雜的生活問題和社會問題進行探索與解決所需要的，人的許多行為的選擇、行為方案的提出，往往是要在對眾多的數(shù)據(jù)信息進行某些分析后才能作出。因此，運算規(guī)則的學(xué)習(xí)和運算的訓(xùn)練，有助于發(fā)展學(xué)生這些基本的技能和能力。2、有利于發(fā)展學(xué)生的基本智能首先，運算是一種心智技能和動作技能協(xié)作、外部操作和內(nèi)部思維同步、形象感知和抽象思維統(tǒng)和的一種心理活動過程，是一個知識提取、技能運用和問題解決的協(xié)同過程，因此，運算規(guī)則的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練有助于發(fā)展學(xué)生的基本智能；其次，不同的計算形式對學(xué)生智能發(fā)展的側(cè)面也有所不同。例如，口算有助于發(fā)展學(xué)生思維的敏捷性，筆算有助于發(fā)展學(xué)生思維與運動的協(xié)調(diào)性，估算則有助于發(fā)展學(xué)生思維堵塞的反省性等。（二）兒童數(shù)學(xué)規(guī)則學(xué)習(xí)的特點從認知角度看，運算技能主要屬于程序性知識。技能學(xué)習(xí)（規(guī)則學(xué)習(xí)）大致要經(jīng)歷認知、聯(lián)結(jié)和自動化這三個階段，而兒童在這三個不同階段的學(xué)習(xí)中，往往表現(xiàn)出一定的特征。1、生活經(jīng)驗是理解運算意義的基礎(chǔ)兒童在學(xué)齡前已經(jīng)有了某些運算（更多的是加減運算）的活動，并通過這種活動形成了自己的經(jīng)驗，這些經(jīng)驗是與兒童的生活情境緊密聯(lián)系的，而這些與兒童生活緊密聯(lián)系的經(jīng)驗正是他們理解并掌握運算意義的重要基礎(chǔ)。首先，豐富的生活情境是理解運算意義的條件。兒童運算意義的理解，不是從以符號為表征的概念開始的，而是以自己的生活情境為基礎(chǔ)的實踐活動開始的。兒童知道了2加3等于5，并不代表他就理解了加法的意義，兒童是在豐富的生活情境之下，通過自己的實踐活動來逐漸獲得加法意義的理解的。其次，豐富的生活情境擴展著對運算意義的理解。豐富的生活情境，不僅可以幫助學(xué)生理解運算的意義，又能進一步擴展學(xué)生對運算意義的理解。例如，對于乘法意義的理解，兒童開始是通過對“相同加數(shù)”的“加法”來理解的。但是，在生活的情境中，乘法的意義要豐富得多。這種豐富的意義，不僅擴展了兒童對乘法意義的理解，而且也豐富了兒童新的數(shù)學(xué)意義。2、規(guī)則的運用有明顯的階段性兒童對運算規(guī)則的掌握與運用呈現(xiàn)出一定的階段性，這種階段性是與兒童的認知發(fā)展相一致的。首先表現(xiàn)在對規(guī)則理解和掌握的階段性。兒童對運算的理解與掌握，因其能力特征的局限，有一個明顯的發(fā)展過程。例如，兒童對“加法”的理解，最早是建立在自己“數(shù)數(shù)”活動的基礎(chǔ)之上的。而這種“數(shù)數(shù)”活動在兒童不同的發(fā)展階段也有不同的水平。其次表現(xiàn)在對規(guī)則運用的階段性。兒童在運算規(guī)則的運用上，也明顯表現(xiàn)出一定的階段性。在低年級的兒童中，當(dāng)他們已經(jīng)初步掌握了一定的運算規(guī)則之后，在運算的過程中常常還要依靠一些“構(gòu)造事實”的方法來獲得幫助。但是，到了初步形成運算技能的階段，兒童對“20以內(nèi)”加減法的運算已經(jīng)非常熟悉，再遇到像3+5這樣的算題，一般就會采用“提取事實”的策略，而不再運用“數(shù)數(shù)”的方式。從一個低年級的兒童看，擺脫“構(gòu)造事實”的方式而采用“提取事實”的策略，也是形成一定運算技能的一個標(biāo)志。3、從實物表征運算到符號表征運算兒童在最初學(xué)習(xí)運算規(guī)則時，往往要依靠實物的表征，通過對大量的以實物為表征的“計數(shù)”運算活動，逐步概括出更為一般的運算規(guī)則。例如，學(xué)習(xí)“20以內(nèi)”的進位加法時，學(xué)生可能會面對這樣的情境：一個有10個格子的盒子，里面放有9個小球，盒子的外面還有3個小球，如果要求9+3的結(jié)果，可以先將1個小球放入盒子，正好“湊成”10個小球，而一個“10”，就可以在“十位”上用一個“1”來表示。學(xué)生就是通過這樣的方法來加深對“十進位制位置制”記數(shù)法的體驗，從而習(xí)得“進位加法”的運算規(guī)則的。但是，隨著兒童學(xué)習(xí)的發(fā)展，他們開始逐步擺脫以實物來表征運算，而直接獲得以符號表征的運算規(guī)則。例如，學(xué)習(xí)“100以內(nèi)”的加減運算時，學(xué)生更多的是面對直接用符號表征的運算，這是通過“20以內(nèi)”加減法的規(guī)則遷移來獲得的。（三）兒童形成運算技能的基本表征不同的運算對小學(xué)生的要求也不相同。一般看來，運算要求分為三個層次：會、比較熟悉、熟練。會是指能夠正確地進行計算；比較熟練是指通過訓(xùn)練，能夠計算準(zhǔn)確，有一定的速度；熟練是指不僅計算準(zhǔn)確、迅速，而且能夠選擇恰當(dāng)?shù)乃惴?，使計算合理、靈活。兒童是否形成了運算技能，可從其計算時表現(xiàn)出來的特征加以考察。1、“會”計算的特征對于某種運算，達到了不出聲的言語階段，多余的、不規(guī)則的思考和動作較少，并且能夠及時校正。頭腦中的思考比較連貫，眼看、心想、手寫等各方面動作基本協(xié)調(diào)，計算結(jié)果基本準(zhǔn)備。2、計算比較熟練的特征對于某種運算，雖然仍停留在不出聲的言語階段，但多余的、不規(guī)范的思考與動作幾乎消失。頭腦中的思考清晰、流暢，眼看、心想、手寫等各方面的動作協(xié)調(diào)統(tǒng)一，能適當(dāng)簡化運算的某些中間環(huán)節(jié)，計算速度快，計算結(jié)果準(zhǔn)確。如計算分?jǐn)?shù)加法，可以將通分與同分母分?jǐn)?shù)相加兩個過程合二而一：3、運算“熟練”的特征對于某種運算，基本達到或完全達到無意識的內(nèi)部言語階段，多余的、不規(guī)范的思考和動作完全消失，能夠根據(jù)算理及題目的特點，變通、靈活地使用運算法則，迅速選擇恰當(dāng)?shù)挠嬎惴椒?，思考過程高度簡縮，省略或合并中間環(huán)節(jié)，眼看、心想、手寫等幾個方面的動作高度協(xié)調(diào)，能把注意力同時分散到不同的目標(biāo)，計算過程迅速，計算結(jié)果準(zhǔn)確，計算方法合理、靈活。§7.2小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則教學(xué)的過程與方法7.2.1數(shù)學(xué)規(guī)則學(xué)習(xí)的基本模式（一）數(shù)學(xué)規(guī)則之間的關(guān)系1、上位、下位關(guān)系如果規(guī)則B包含于規(guī)則A，就說規(guī)則A是規(guī)則B的上位規(guī)則，規(guī)則B是規(guī)則A的下位規(guī)則。如長方形面積公式與正方形面積公式，前者是后者的上位規(guī)則，后者是前者的下位規(guī)則；大數(shù)－小數(shù)＝差與大圓面積－小圓面積＝環(huán)形面積，前者是后者的上位規(guī)則。根據(jù)已知規(guī)則，學(xué)習(xí)它的下位規(guī)則，稱為規(guī)則的下位學(xué)習(xí)。一般地，下位學(xué)習(xí)較易，上位學(xué)習(xí)較難。如在長方形面積公式基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)正方形面積公式較易，而學(xué)習(xí)平行四邊形面積公式較難。２、并列關(guān)系如果幾個規(guī)則形式結(jié)構(gòu)一致，內(nèi)容相互并聯(lián)，就說它們是并列關(guān)系。如：整除的商不變性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)，三者是并列關(guān)系。通過并列關(guān)系之間的類比來學(xué)習(xí)新規(guī)則，叫規(guī)則的并列學(xué)習(xí)。并列學(xué)習(xí)有助于學(xué)生理解新規(guī)則。（二）數(shù)學(xué)規(guī)則學(xué)習(xí)的基本模式（二）數(shù)學(xué)規(guī)則學(xué)習(xí)的基本模式數(shù)學(xué)規(guī)則學(xué)習(xí)常用的學(xué)習(xí)模式有例證——規(guī)則和規(guī)則——例證兩種。１、例證——規(guī)則先呈現(xiàn)與數(shù)學(xué)規(guī)則有關(guān)的若干例證，再引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析，逐步概括出一般結(jié)論，從而獲得數(shù)學(xué)規(guī)則。例證——規(guī)則的學(xué)習(xí)模式與概念形成的學(xué)習(xí)類似，是數(shù)學(xué)規(guī)則的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)。例如，學(xué)習(xí)長方形面積公式時，教師先向?qū)W生提供24個1平方厘米的小正方形，讓學(xué)生把這些小正方形擺成長方形，最多能擺多少個？并將結(jié)果填入表中。再讓學(xué)生思考，為什么最多能擺出這四種？從而發(fā)現(xiàn)長方形面積公式。2、規(guī)則——例證所謂規(guī)則——例證教學(xué)模式，就是指教師先向?qū)W生呈現(xiàn)某個規(guī)則，然后通過若干的實例來說明規(guī)則的一種教學(xué)模式。這種教學(xué)模式往往比較適用于規(guī)則的下位學(xué)習(xí)。其條件就是學(xué)生必須掌握構(gòu)建規(guī)則的必要概念。例如，在學(xué)習(xí)了長方形的面積計算規(guī)則（公式）后，學(xué)生可以利用已構(gòu)建的數(shù)學(xué)概念（正方形的特征以及正方形與長方形之間的關(guān)系等），直接獲得正方形的面積計算規(guī)則（公式），然后再通過多個例證來進行驗證（如采用數(shù)“面積紙”的方格的方式）。需要指出的是，在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，所采用的規(guī)則——例證模式學(xué)習(xí)，并不表示就是一種簡單的接受學(xué)習(xí)，因為在教學(xué)中，通常不直接將規(guī)則呈現(xiàn)給學(xué)生，而通過對某一對象（或某一組對象）的本質(zhì)特征的探究來引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)規(guī)則。因此，這樣的學(xué)習(xí)仍然帶有一定的發(fā)現(xiàn)與探究的成分。7.2.2小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則教學(xué)的過程與方法小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則的教學(xué)一般要經(jīng)過規(guī)則的引入、規(guī)則的建立、規(guī)則的鞏固與運用等三個階段。（一）規(guī)則的引入與數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一樣，數(shù)學(xué)規(guī)則的教學(xué)也要創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生在有利于學(xué)習(xí)的課堂氛圍中主動參與數(shù)學(xué)規(guī)則的建構(gòu)過程。一般而言，規(guī)則的引入可以分為兩種形式。一種是直接向?qū)W生展示規(guī)則，教學(xué)的重點放在分析和建立規(guī)則以及規(guī)則的應(yīng)用方面。另一種是向?qū)W生提出一些供研究、探討的素材，并作必要的啟示引導(dǎo)，讓學(xué)生在一定的情境中獨立進行思考，通過運算、觀察、分析、類比、歸納等步驟，自己探索規(guī)律，建立猜想和形成規(guī)則?？刹捎萌缦乱恍┓椒ㄈヒ胍?guī)則。(1)用觀察、實驗的方法引入規(guī)則。教師提供材料，組織學(xué)生進行實踐操作，通過動作思維去發(fā)現(xiàn)規(guī)則。(2)用觀察、歸納的方法引入規(guī)則。(3)由實際的需要引入規(guī)則。為了解決一些現(xiàn)實生活和生產(chǎn)實踐中的問題，有時需要運用數(shù)學(xué)的方法，而這種數(shù)學(xué)方法往往會產(chǎn)生出很有用處的定理、法則。因此，由實際問題的需要，以問題的形式去探求規(guī)則，也是教學(xué)中常用的規(guī)則引入方式。（二）規(guī)則的建立數(shù)學(xué)規(guī)則的建立是一個在教師引導(dǎo)下，通過學(xué)生思維，主動建構(gòu)數(shù)學(xué)規(guī)則的過程。要注意適應(yīng)兒童的認知規(guī)律和接受能力，有利于學(xué)生理解、掌握概念，有利于促進學(xué)生智能發(fā)展，獲得積極的情感體驗。1、例證要有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)則、發(fā)展智能例證的選擇和呈現(xiàn)方式影響學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、思維深度和規(guī)則發(fā)現(xiàn)的難易程度。例如，在學(xué)習(xí)長方形面積計算方法時，教師給出幾個長方形，讓學(xué)生量出長方形的長和寬，用擺小正方形的方法測量它們的面積，再把結(jié)果填入表中，這就有利于學(xué)生通過觀察，概括出規(guī)則來。2、由直觀到抽象，由個別到一般在使用例證——規(guī)則學(xué)習(xí)模式時，為促進學(xué)生發(fā)現(xiàn)，一般先安排直觀形象的演示或?qū)嶒?，讓學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上，進行分析、綜合、抽象和概括，進而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)則。在使用規(guī)則——例證學(xué)習(xí)模式時，一般也不是以抽象的邏輯推理的方式進行，而是以具體的、個別的事例，支持學(xué)生思維。例如梯形面積計算規(guī)則學(xué)習(xí)，是在安排了學(xué)生剪拼梯形的實驗活動基礎(chǔ)上，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)多種推導(dǎo)方法，去完成公式推導(dǎo)過程的。3、緊密結(jié)合例證，逐級抽象概括兒童的抽象概括能力一般較弱，通常可以采用多級抽象的方法，從例證中抽象概括數(shù)學(xué)法則。在例證呈現(xiàn)時，就要為抽象概括法則埋下伏筆；抽象概括時，要緊密結(jié)合例證，先抽象出個例的計算方法，再推廣到一般的數(shù)學(xué)規(guī)則。例如，在學(xué)習(xí)兩位數(shù)豎式加法時，通?？刹捎眠@樣的程序：（1）計算34+24。擺小棒的方法，暗含著數(shù)位對齊。從“3捆與2捆相加”，“4根與5根相加”，暗含著“個位與個位相加”、“十位與十位相加”。緊接著，要結(jié)合擺小棒，引導(dǎo)學(xué)生思考：如何用一個算式表示剛才的相加過程？抽象出34+25的豎式寫法。（2）計算34+28。先讓學(xué)生用小棒擺一擺，讓學(xué)生感知，4根加8根得12根，把10根捆成一捆，移到“捆的下方”，暗含著“滿十進一”。緊接著，結(jié)合小棒的擺法，思考在算式中應(yīng)如何表示“滿十進一”？抽象出34+28的豎式寫法。（3）計算46+24。想一想怎樣列式？先算什么？后算什么？怎樣算？（4）提問：筆算兩位數(shù)加法，應(yīng)注意什么問題？經(jīng)過學(xué)生發(fā)言、補充、修改，得出：“相同數(shù)位對齊，從個位加起，個位相加滿十，向十位進1”的兩位數(shù)加法法則。4、突出算理，以理馭法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)規(guī)則，不僅要知道該怎樣算，而且要知道為什么這樣算，使學(xué)生明白算理，進一步理解數(shù)學(xué)規(guī)則。如有必要，可繼續(xù)思考，在不違反算理的前提下，還可怎么計算？鼓勵學(xué)生以自己喜歡的方式進行計算。（三）規(guī)則的鞏固和運用新規(guī)則建立之后，要及時安排練習(xí)，鞏固和運用新規(guī)則。要避免讓學(xué)生機械運用程序規(guī)則，減少簡單重復(fù)的、單純的技能性訓(xùn)練，應(yīng)注意以下問題。1、加強練習(xí)的目的性加強練習(xí)的目的性，是避免重復(fù)的機械訓(xùn)練的有效方法。讓學(xué)生明了練習(xí)目的，感受到練習(xí)的意義，可提高學(xué)生的練習(xí)興趣和練習(xí)效率。練習(xí)的形式通常有：（1）鞏固練習(xí)。一般在新規(guī)則建立后，要組織適量的直接應(yīng)用規(guī)則的基本練習(xí)，以幫助記憶新規(guī)則。（2）重點練習(xí)。許多新規(guī)則建立在舊規(guī)則之上，其中有些是舊規(guī)則的原有內(nèi)容，新就新在一個點上，這一點即是新規(guī)則的重點。此外，容易與其他規(guī)則混淆的易混點，容易出現(xiàn)錯誤的易錯點也是新規(guī)則的重點。圍繞新規(guī)則的重點安排練習(xí)，可以達到以少勝多的訓(xùn)練價值。例如，在學(xué)習(xí)小數(shù)乘法法則中，積的小數(shù)點位置確定是全新點，也是易錯點。為此，可設(shè)計如下練習(xí)：已知6824=1632，那么6.82.4=，0.680.24=。（3）糾錯練習(xí)。即學(xué)生作業(yè)中的錯誤，要及時發(fā)現(xiàn)、及時糾正，有計劃地組織糾錯練習(xí)。（4）發(fā)展練習(xí)和綜合練習(xí)。為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識的能力，還應(yīng)安排一些有意義、富有挑戰(zhàn)性的發(fā)展練習(xí)和綜合練習(xí)。2、創(chuàng)設(shè)有趣味的練習(xí)情境單純的技能練習(xí)沒有情節(jié)，枯燥乏味。為練習(xí)安排實際的生活背景、游戲情節(jié)、競賽氣氛、探索手段、采用多樣化的練習(xí)方式，可以調(diào)動學(xué)生練習(xí)各級性，提高練習(xí)效率。3、練習(xí)設(shè)計要有坡度練習(xí)設(shè)計要由易到難，一般先安排一定數(shù)量的基本練習(xí)題，再安排改變呈現(xiàn)形式的變式題，需要認真思考的發(fā)展題，最后安排綜合運用知識的綜合題。還可適當(dāng)安排發(fā)展學(xué)生思維的思考題。4、練習(xí)分量適當(dāng)，時間分配合理沒有一定分量的練習(xí)，學(xué)生很難形成應(yīng)用規(guī)則的技能。練習(xí)分量過大，會增加學(xué)生負擔(dān)，使學(xué)生失去興趣。一次練習(xí)的時間不宜過長，一般把學(xué)生練習(xí)與教師講述、師生互動相互穿插進行。5、練習(xí)要有一定彈性對于不同層次的學(xué)生，練習(xí)要求不同。布置練習(xí)作業(yè)時，要有面向全體學(xué)生的必作題，也要有些供學(xué)有余力的同學(xué)選做的選作題和思考題，使各層次的學(xué)生都獲得發(fā)展。7.2.3小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則教學(xué)中應(yīng)注意的問題（一）重視算法的多樣化由于兒童數(shù)學(xué)能力的水平差異，以及他們對數(shù)的認知模式的差異，在運算中的思維推理過程會有較大的差異，這就形成了不同兒童的算法的多樣化。算法的多樣化，不僅是由于這些客觀原因所形成的一種客觀的現(xiàn)象，同時，倡導(dǎo)算法的多樣化，也是發(fā)展兒童運算思維的一條有效的途徑。因此，倡導(dǎo)算法的多樣化，就能促進兒童形成獨立的、開放性的思維。例如，在學(xué)習(xí)一位數(shù)乘法時，面對教師呈現(xiàn)的問題情境：“一個小皮球要12元，4個這樣的皮球要多少元？”學(xué)生遇到了這樣一個算題：124。于是，教師鼓勵學(xué)生自己去嘗試解決這個算題。結(jié)果，不同的學(xué)生得出了許多不同的算法：（1）12+12+12+12=48（2）4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4=48（3）122+122=48（4）624=68=48（5）（6+6）4=64+64=48（6）1222=242=48（7）12450（8）104+24=40+8=48（9）104+4+4=48（10）10+10+10+10+2+2+2+2=48（11）410+42=40+8=48顯然，這些算法都顯示不同學(xué)生對算題的不同思考，相對于算法（1）、（2）來說，這些學(xué)生對算題的理解是建立在加法意義上的，因此，思考的策略也就較多地傾向“加”的運算；相對于算法（10）的學(xué)生來說，雖然他們對算題的理解也是建立在加法意義上的，但是能顯示出對數(shù)之間關(guān)系（如數(shù)的組合等）的認識較為清晰；而對于使用算法（3）、（5）、（8）、（9）、（11）的學(xué)生來說，雖然他們對算式的理解主要也是建立在加法意義之上，但是，可以發(fā)現(xiàn)他們對數(shù)之間關(guān)系的認識似乎更加精細些，而且已經(jīng)構(gòu)建了初步的“轉(zhuǎn)化思想”。當(dāng)然，如果更具體地去分析，算法（8）與算法（9）也有明顯的差異，前者基于乘法意義的理解更多些，而后者基于加法意義的理解更多些。同樣的，算法（9）與算法（11）也有區(qū)別，雖然兩者實際上都已經(jīng)將124看作了412，擺脫了對具體情境的依賴，初步具有了等量變換的思想，但是，后者的思考似乎基于對乘法意義的理解更多些；對于使用算法（4）、（6）的學(xué)生來說，可能他們對數(shù)的關(guān)系認識更為清晰，而且思維中已經(jīng)開始采用了類似“分解因數(shù)”策略，以“化歸”的數(shù)學(xué)方法來解決“難題”；而對于使用算法（7）的學(xué)生來說，明顯可以感受到他們對策略的思考大于對精確結(jié)果的思考，數(shù)的位置感是比較良好的，而且善于在實際情境中運用自己的運算技能。當(dāng)然，教學(xué)中，目標(biāo)不能僅僅停留在學(xué)生能給出多少種不同的算法，第一是要求學(xué)生按自己的理解給出自己認為最好的算法，而不能一味地“求異”，反而拋棄了自己真實的理解；第二是要求學(xué)生在給出自己的算法后，能有條有理地推理、有依據(jù)地作出解釋和說明，尤其要能說出自己最初的思考過程，這樣才能真正起到發(fā)展兒童思維的作用。同時，以下兩個問題值得探討：（1）在規(guī)則學(xué)習(xí)中除了需要給學(xué)生一種經(jīng)濟有效的算法之外，是否還需要鼓勵這種算法的多樣化？也就是說，如何處理算法的多樣化與優(yōu)化之間的問題。這一方面涉及是否能真正注意到兒童學(xué)習(xí)水平及其策略形成的差異性的問題，即兒童有著算法多樣化的可能。另一方面還涉及是否能真正為學(xué)生構(gòu)建一個獨立思考和創(chuàng)造性思考的空間的問題，即算法多樣化不是一種追求的形式，其價值在于激發(fā)學(xué)生的獨立思考和思維的創(chuàng)造性。（2）在規(guī)則學(xué)習(xí)中鼓勵算法多樣化了，是否還需要給學(xué)生一種經(jīng)濟有效的算法？也就是說，如何處理算法的一般化與特殊化的問題。一方面，統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)化的算法是否是每一個學(xué)生都必須理解與掌握的定向技能目標(biāo)？還是僅僅為學(xué)生提供一種思考上的方向？另一方面，統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)化的算法在何時呈現(xiàn)？以何種方法予以呈現(xiàn)？有一點是可以肯定的，在實際情境中，每