大學(xué)數(shù)學(xué)練習(xí)題

大學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題及答案一填空題:1一階微分方程的通解的圖像是維空間上的一族曲線.2二階線性齊次微分方程的兩個解y1(x);y2(x)為方程的基本解組充分必要條件是________.3方程的基本解組是_________.4一個不可延展解的存在區(qū)間一定是___________區(qū)間.5方程的常數(shù)解是________.6方程一個非零解為x1(t),經(jīng)過變換_______7若4(t)是線性方程組的基解矩陣,則此方程組的任一解4(t)=___________.8一曲線上每一占切線的斜率為該點(diǎn)橫坐標(biāo)的2倍,則此曲線方程為________.9滿足_____________條件的解,稱為微分方程的特解.10如果在微分方程中,自變量的個數(shù)只有一個我們稱這種微分方程為_________.11一階線性方程有積分因子().12求解方程的解是().13已知(為恰當(dāng)方程,則=____________.14,,由存在唯一性定理其解的存在區(qū)間是().15方程的通解是().16方程的階數(shù)為_______________.17若向量函數(shù)在區(qū)間D上線性相關(guān),則它們的伏朗斯基行列式w(x)=____________.18若P(X)是方程組的基本解方陣則該方程組的通解可表示為_________.19．方程所有常數(shù)解是____________________．20．方程的基本解組是____________________．21．方程滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是____________________．22．函數(shù)組在區(qū)間I上線性無關(guān)的____________________條件是它們的朗斯基行列式在區(qū)間I上不恒等于零．23．若是二階線性齊次微分方程的基本解組，則它們____________________共同零點(diǎn)．二單項選擇:1方程滿足初值問題解存在且唯一定理條件的區(qū)域是().(A)上半平面(B)平面(C)下半平面(D)除y軸外的全平面2方程()奇解.(A)有一個(B)有兩個(C)無(D)有無數(shù)個3在下列函數(shù)中是微分方程的解的函數(shù)是().(A)(B)(C)(D)4方程的一個特解形如().(A)(B)(C)(D)5連續(xù)可微是保證方程解存在且唯一的()條件．（A）必要（B）充分(C)充分必要(D)必要非充分6二階線性非齊次微分方程的所有解().(A)構(gòu)成一個2維線性空間(B)構(gòu)成一個3維線性空間(C)不能構(gòu)成一個線性空間(D)構(gòu)成一個無限維線性空間7方程過點(diǎn)(0,0)有().(A)無數(shù)個解(B)只有一個解(C)只有兩個解(D)只有三個解8初值問題x,在區(qū)間,上的解是().(A)(B)(C)(D)9方程是().(A)一階非線性方程(B)一階線性方程（C)超越方程(D)二階線性方程10方程的通解是().(A)(B)(C)(D)證明：x1(t)+x2(t)是方程的解。3設(shè)f(x)在[0；+]上連續(xù)且f(x)=0求證：方程的一切解y(x)；均有y(x)=04在方程中p(x)、q(x)在（）上連續(xù)；求證：若p(x)恒不為零；則該方程的任一基本解組的朗斯基行列式w（x）是（）上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。5證明：x1(t)+x2(t)是方程的解。6證明：函數(shù)組（其中當(dāng)時）在任意區(qū)間（a,b）上線性無關(guān)。7．在方程中，已知，在上連續(xù)，且．求證：對任意和，滿足初值條件的解的存在區(qū)間必為．8．在方程中，已知，在上連續(xù)．求證：該方程的任一非零解在平面上不能與x軸相切．練習(xí)題答案一填空題:1、22、線性無關(guān)（或：它們的朗斯基行列式不等于零）3、ex;xex4、開5、6、7、,c為常數(shù)列向量8、y=x2+c9、初始10、常微分方程11、ep(x)dx12、x2+y2=c;c為任意正常數(shù)13、/14、15、16、417、018、；其中c是確定的n維常數(shù)列向量19．20．21．，（或不含x軸的上半平面）22．充分23．沒有二單項選擇1、D2、C3、C4、D5、B6、C7、A8、D9、A10、C11、D12、B13、D14、D15、B16、C17、D18、D19．D20．B21．A22.C23．D三求下列方程的解1(1）解：當(dāng)時，分離變量取不定積分，得通積分為1ny=Cex（2）解：令y=xu,則代入原方程，得分離變量，取不定積分，得（）通積分為：（3）解：方程兩端同乘以y-5,得令y-4=z，則代入上式，得通解為原方程通解為（4）解：因為，所以原方程是全微分方程。?。▁0,y0）=（0，0）原方程的通積分為即（5）解：原方程是克萊洛方程，通解為：y=cx+2c32解：設(shè)則方程化為，積分后得y=ct即于是x=c1t5+c2t3+c3t2+c4t+c5其中c1,c2,c3,c4,c5為任意常數(shù)==f1(t)+f2(t)故x1(t)+x2(t)為方程=f1(t)+f2(t)的解。3解：將變量分離，得到兩邊積分，即得

因而，通解為這里c是任意常數(shù)。以x=0,y=1代入通解中以決定任意常數(shù)c，得到c=-1因而，所求特解為4解：以及代入，則原方程變?yōu)榧磳⑸鲜椒蛛x變量,即有兩邊積分,得到這里是任意函數(shù),整理后,得到令,得到sinu=cx5解:令z=y-1得代入原方程得到這是線性方程,求得它的通解為代回原來的變量y,得到這就是原方程的通解。此外，方程還有解y=0。6解：這里M=3x2+6xy2.N=6x2y+4y3，這時因此方程是恰當(dāng)方程?，F(xiàn)在求u，使它同時滿足如下兩個方程由（1）對x積分，得到為了確定，將（3）對y求導(dǎo)數(shù)，并使它滿足（2），即得于是=4y4積分后可得=y4將代入（3），得到u=x3+3x2y2+y4因此，方程的通解為x3+3x2y2+y4=c這里c是任意常數(shù)7解：特征方程即特征根i是重根，因此方程有四個實值解cost、tcost、sint、tsint故通解為x=(c1+c2t)cost+(c3+c4t)sin其中c1;c2;c3;c4為任意常數(shù)8解：令則方程化為：積分后得y=ct即于是x=c1t5+c2t3+c3t2+c4t1+c5其中c1;c2…c5為任意常數(shù)，這就是原方程的通解。9解對應(yīng)齊次方程的特征方程為，特征根為齊次方程的通解為y=C1+C2e5x因為a=0是特征根。所以，設(shè)非齊次方程的特解為y1(x)=x（Ax2+Bx+C）代入原方程，比較系數(shù)確定出A=，B=，C=原方程的通解為10解：先解出齊次方程的通解=C1+C2令非齊次方程特解為=C1(t)+C2(t)滿足=解得積分，得通解為11解：M=max=4故解的存在區(qū)間為2)q0(x)=0q1(x)=0q2(x)=0+=12求方程的通解:1)解:變形(1),將y看作自變量,x為未知函數(shù)解齊線性方程,通解為x=cy令x=c(y)y…..(2)微分得,由(1)(2)知,積分得故(是任意常數(shù))2)解:令則,于是則原方程變?yōu)榧磳⑸鲜椒蛛x變量有積分得為任意常數(shù)。整理令得方程還有解tanu=0即sinu=0,故通解為sinu=cx(c為任意常數(shù))3）(三種方法)解：法一，這里M=y-3x2,N=-(4y-x)=4-4y因此此方程是恰當(dāng)方程現(xiàn)求u使（1），（2）對（1）中x積分得（3）對（3）中y求導(dǎo)積分得，代入（3）得故通解為，c為任意常數(shù)法二，重新組合得，即于是通解為其中c是任意常數(shù)。4）解：令則對x求導(dǎo)得積分得于是方程通解為（p=0）13方程的通解解：齊次方程是由于2i是特征方程單根故所求特解應(yīng)具形式代入原方程故通解為，其中c1c2為任意常數(shù)14解：特征方程有重根因此對應(yīng)齊線性方程的通解為，其中c1,c2為任意常數(shù)。因為不是特征根，現(xiàn)求形如的特征解，代入原方程化簡于是故故通解為其中c1,c2為任意常數(shù)15求下列常系數(shù)線性微分方程對應(yīng)的齊次方程為特征方程為特征根為a不是特征根，故原方程有形如y*=(ax+b)e2x的特解代入原方程得故原方程通解為，（為任意常數(shù)）16解：因為=+而且后面的兩個矩陣是可交換的得到t={E+t+但是，=所以，級數(shù)只有兩項。因此，基解矩陣就是17解：特征方程為因此，是A的二重特征值.為了尋求對應(yīng)于的特征向量,考慮方程組因此,向量是對應(yīng)于特征值的特征向量,其中是任意常數(shù).18解A特征方程為特征根為對應(yīng)于1=3+5i的特征向量滿足解得u=a為任意常數(shù)對應(yīng)于特征向量滿足解得為任意常數(shù)19解:的特征方程為1=1,2=4為特征根,為方程組解a為任意常數(shù).為方程組解.這樣為方程的解20．解方程組的特征方程為即特征根為，對應(yīng)的解為其中是對應(yīng)的特征向量的分量，滿足可解得．同樣可算出對應(yīng)的特征向量分量為．所以，原方程組的通解為四名詞解釋1聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)及它的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，稱之為微分方程。2如果在微分方程中，自變量的個數(shù)只有一個，稱這種微分方程的個數(shù)為兩個或兩個以上的微分方程稱為偏微分方程。3形如的方程，稱為變量分離方程，這里分別是x,y的連續(xù)函數(shù)。4形如的方程，稱為伯努利方程，這里為x的連續(xù)函數(shù)，是常數(shù)5函數(shù)f(x,y)稱為在R上關(guān)于y滿足條件，如果存在常數(shù)L>0,使得不等式對于所有都成立,L稱為常數(shù).6定義在區(qū)間上的函數(shù),如果存在不全為零的常數(shù)c1,c2,….ck使得恒等式對于所有都成立,稱這些函數(shù)是線性相關(guān)的.五1在方程中,已知p(x),q(x)在上連續(xù),求證:該方程的任一非零解在平面上不能與x軸相切.證明：方程，設(shè)是它的任一非零解。若p(x),q(x)在上連續(xù)，假設(shè)在平面上與軸相切。則與方程有非零解矛盾。故與x軸不相切。2由已知得把x1(t)+x2(t)代入方程由左端得=3證明設(shè)y=y(x)是方程任一解，滿足y(x0)=y0，該解的表達(dá)式為取極限4證明設(shè)y1(x),y2(x)是方程的基本解組,則對任意,它們朗斯基行列式在上有定義,且.又由劉維爾公式由于,于是對一切,有或故是上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)5答案略6證明:已知函數(shù)組的行列式為W(x)==上述最后的行列式為范德蒙受行列式它等于由題設(shè)知由此行列式不為零.從而由性質(zhì)知.已知的函數(shù)組在上線性無關(guān)證畢.7．證明由已知條件，該方程在整個平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理條件．顯然是方程的兩個常數(shù)解．任取初值，其中,．記過該點(diǎn)的解為，由上面分析可知，一方面可以向平面無窮遠(yuǎn)處無限延展；另一方面又上方不能穿過，下方不能穿過，否則與惟一性矛盾．故該解的存在區(qū)間必為．（10分）8．證明由已知條件可知，該方程滿足解的存在惟一及解的延展定理條件，且任一解的存在區(qū)間都是．顯然，該方程有零解．假設(shè)該方程的任一非零解在x軸上某點(diǎn)處與x軸相切，即有=0，那么由解的惟一性及該方程有零解可知，這是因為零解也滿足初值條件=0，于是由解的惟一性，有．這與是非零解矛盾．一、計算（20分）1）2）二、證明：（20分）1）若向量組線性無關(guān)，則它們的部分向量組