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【課標(biāo)解讀】 初中數(shù)學(xué)《新課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出:教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機(jī)會,幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法,獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人,教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。新課程把數(shù)學(xué)思想和方法作為基礎(chǔ)知識的重要組成部分,在《新課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出來,這不僅是課標(biāo)體現(xiàn)義務(wù)教育性質(zhì)的重要表現(xiàn),也是對學(xué)生實施創(chuàng)新教育、培訓(xùn)創(chuàng)新思維的重要保證。掌握數(shù)學(xué)思想,就是掌握數(shù)學(xué)的精髓?!窘忸}策略】初中數(shù)字中蘊含的數(shù)學(xué)思想很多,其中最主要的數(shù)學(xué)思想方法包括轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想等【考點深剖】★考點一整體思想整體思想是指把研究對象的某一部分(或全部)看成一個整體,通過觀察與分析,找出整體與局部的聯(lián)系,從而在客觀上尋求解決問題的新途徑。整體是與局部對應(yīng)的,按常規(guī)不容易求某一個(或多個)未知量時,特征,把一組數(shù)或一個代數(shù)式看作一個整體,從而使問題得到解決。【典例1】(2018?岳陽)已知a2+2a=1,則3(a2+2a)+2的值為.【分析】利用整體思想代入計算即可;【解答】解:∵a2+2a=1,∴3(a2+2a)+2=3×1+2=5,故答案為5.★考點二轉(zhuǎn)化思想問題轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想就是人們將需要解決的問題,通過演繹、歸納等轉(zhuǎn)化手段,歸結(jié)為另一種相對容易解決或已經(jīng)有解決方法的問題,從而使原來的問題得到解決.轉(zhuǎn)化思想體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題過程中就是將未知的、陌生的、復(fù)雜的問題通過演繹和歸納轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、簡單的問題.【典例2】(2018?連云港)解方程:﹣=0.【分析】根據(jù)等式的性質(zhì),可得整式方程,根據(jù)解整式方程,可得答案.★考點三數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想,數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué),因而,在某種程度上可以說數(shù)學(xué)研究是圍繞著數(shù)與形展開的,初中數(shù)學(xué)中的“數(shù)”就是代數(shù)式、方程、函數(shù)、不等式等符號表達(dá)式,初中數(shù)學(xué)中的“形”就是圖形、圖象、曲線等形象表達(dá)式,數(shù)形結(jié)合思想的實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言“數(shù)”)與直觀的圖象(“形“)結(jié)合起來,數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵就是抓住“數(shù)”與“形”之間本質(zhì)上的聯(lián)系,以“形”直觀地表達(dá)“數(shù)”,以“數(shù)”精確地研究“形”,實現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合思想包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面,它可以使代數(shù)問題幾何化,幾何問題代數(shù)化,“數(shù)無形時不直觀,形無數(shù)時難入微.”【典例3】(2018?威海)解不等式組,并將解集在數(shù)軸上表示出來.【分析】根據(jù)解一元一次不等式組的步驟,大小小大中間找,可得答案【解答】解:解不等式①,得x>﹣4,解不等式②,得x≤2,把不等式①②的解集在數(shù)軸上表示如圖,原不等式組的解集為﹣4<x≤2.★考點四分類討論思想分類討論思想就是根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的共同點和差異點,將數(shù)學(xué)對象區(qū)分為不同的種類.分類是以比較為基礎(chǔ)的,它有助于揭示數(shù)學(xué)對象之間的內(nèi)在聯(lián)系與規(guī)律,有助于學(xué)生總結(jié)歸納數(shù)學(xué)知識、解訣數(shù)學(xué)問題.在解答某些數(shù)學(xué)問題時,有時會遇到多種情況,需要對各種情況加以分類,并逐類求解,然后綜合得解,這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法,是一種重要的數(shù)學(xué)思想,同時也是一種重要的解題策略,它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。分類的原則:(1)分類中的每一部分是相互獨立的;(2)一飲分類按-一個標(biāo)準(zhǔn);(3)分類討論應(yīng)逐級進(jìn)行.正確的分類必須是周全的,既不重復(fù)、也不遺漏.【典例4】(2018?紹興)數(shù)學(xué)課上,張老師舉了下面的例題:例1等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度數(shù).(答案:35°)例2等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度數(shù),(答案:40°或70°或100°)張老師啟發(fā)同學(xué)們進(jìn)行變式,小敏編了如下一題:變式等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度數(shù).(1)請你解答以上的變式題.(2)解(1)后,小敏發(fā)現(xiàn),∠A的度數(shù)不同,得到∠B的度數(shù)的個數(shù)也可能不同,如果在等腰三角形ABC中,設(shè)∠A=x°,當(dāng)∠B有三個不同的度數(shù)時,請你探索x的取值范圍.【分析】(1)由于等腰三角形的頂角和底角沒有明確,因此要分類討論;(2)分兩種情況:①90≤x<180;②0<x<90,結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可.(2)分兩種情況:①當(dāng)90≤x<180時,∠A只能為頂角,∴∠B的度數(shù)只有一個;②當(dāng)0<x<90時,若∠A為頂角,則∠B=()°;若∠A為底角,∠B為頂角,則∠B=(180﹣2x)°;若∠A為底角,∠B為底角,則∠B=x°.當(dāng)≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x,即x≠60時,∠B有三個不同的度數(shù).綜上所述,可知當(dāng)0<x<90且x≠60時,∠B有三個不同的度數(shù).學(xué)科&網(wǎng)★考點五函數(shù)與方程思想函數(shù)與方程思想,函數(shù)與方程思想就是用函數(shù)的觀點和方法分析問題、解訣問題.函數(shù)思想是客觀世界中事物運動變化、相互聯(lián)系、相互制約的普遍規(guī)律在數(shù)學(xué)中的具體反映.函數(shù)與方程思想的本質(zhì)是變量之間的對應(yīng),即用變化的觀點和函數(shù)的形式將所研究的數(shù)量關(guān)系表示出來,然后用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究,從而使問題獲得解訣.如果函數(shù)的形式用解析式的方式表示,那么就可以將函數(shù)解析式看作方程,并通過解方程和對方程的研究使問題得到解訣,這就是方程思想.【典例5】2018?天門)綠色生態(tài)農(nóng)場生產(chǎn)并銷售某種有機(jī)產(chǎn)品,假設(shè)生產(chǎn)出的產(chǎn)品能全部售出.如圖,線段EF、折線ABCD分別表示該有機(jī)產(chǎn)品每千克的銷售價y1(元)、生產(chǎn)成本y2(元)與產(chǎn)量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系.(1)求該產(chǎn)品銷售價y1(元)與產(chǎn)量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)直接寫出生產(chǎn)成本y2(元)與產(chǎn)量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系式;(3)當(dāng)產(chǎn)量為多少時,這種產(chǎn)品獲得的利潤最大?最大利潤為多少?【解答】解:(1)設(shè)y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y1=kx+b,∵經(jīng)過點(0,168)與(180,60),∴,解得:,∴產(chǎn)品銷售價y1(元)與產(chǎn)量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系式為y1=﹣x+168(0≤x≤180);(3)設(shè)產(chǎn)量為xkg時,獲得的利潤為W元,①當(dāng)0≤x≤50時,W=x(﹣x+168﹣70)=﹣(x﹣)2+,∴當(dāng)x=50時,W的值最大,最大值為3400;②當(dāng)50<x<130時,W=x[(﹣x+168)﹣(﹣x+80)]=﹣(x﹣110)2+4840,∴當(dāng)x=110時,W的值最大,最大值為4840;③當(dāng)130≤x≤180時,W=x(﹣x+168﹣54)=﹣(x﹣95)2+5415,∴當(dāng)x=130時,W的值最大,最大值為4680.因此當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為110kg時,獲得的利潤最大,最大值為4840元.★考點六類比思想類比思想是數(shù)學(xué)創(chuàng)造型思維中很重要的一種思想方法,它可以幫助學(xué)習(xí)者建立新舊知識聯(lián)系的橋梁,實現(xiàn)知識的正遷移,將已學(xué)過的知識或已掌握的解題方法遷移到陌生的問題中,進(jìn)而使問題得到解決.具體的策略是分析問題有深度→借助新舊知識的關(guān)聯(lián)→合理進(jìn)行知識遷移→運用類比的思想→輕松解決疑難問題【典例6】(2017山東濱州)根據(jù)要求,解答下列問題:①方程x2﹣2x+1=0的解為;②方程x2﹣3x+2=0的解為;③方程x2﹣4x+3=0的解為;…(2)根據(jù)以上方程特征及其解的特征,請猜想:①方程x2﹣9x+8=0的解為;[來②關(guān)于x的方程的解為x1=1,x2=n.[(3)請用配方法解方程x2﹣9x+8=0,以驗證猜想結(jié)論的正確性.[【分析】(1)利用因式分解法解各方程即可;(2)根據(jù)以上方程特征及其解的特征,可判定方程x2﹣9x+8=0的解為1和8;②關(guān)于x的方程的解為x1=1,x2=n,則此一元二次方程的二次項系數(shù)為1,則一次項系數(shù)為1和n的和的相反數(shù),常數(shù)項為1和n的積.(3)利用配方法解方程x2﹣9x+8=0可判斷猜想結(jié)論的正確.(2)根據(jù)以上方程特征及其解的特征,請猜想:①方程x2﹣9x+8=0的解為x1=1,x2=8;②關(guān)于x的方程x2﹣(1+n)x+n=0的解為x1=1,x2=n.(3)x2﹣9x=﹣8,x2﹣9x+=﹣8+(x﹣)2=x﹣=±,所以x1=1,x2=8;所以猜想正確.故答案為x1=x2=1;x1=1,x2=2;x1=1,x2=3;x2﹣(1+n)x+n=0;【講透練活】變式1:(2018?玉林)已知ab=a+b+1,則(a﹣1)(b﹣1)=.【分析】將ab=a+b+1代入原式=ab﹣a﹣b+1合并即可得.【解答】解:當(dāng)ab=a+b+1時,原式=ab﹣a﹣b+1=a+b+1﹣a﹣b+1=2,故答案為:2.學(xué)科&網(wǎng)變式2:(2018?隨州)已知是關(guān)于x,y的二元一次方程組的一組解,則a+b=5.【分析】根據(jù)方程組解的定義,把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、b的方程組,求出a、b即可解決問題;【解答】解:∵是關(guān)于x,y的二元一次方程組的一組解,∴,解得,∴a+b=5,故答案為5.變式3:(2018?常德)分式方程﹣=0的解為x=.變式4:(2018?棗莊)如圖,一次函數(shù)y=kx+b(k、b為常數(shù),k≠0)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點,且與反比例函數(shù)y=(n為常數(shù),且n≠0)的圖象在第二象限交于點C.CD⊥x軸,垂足為D,若OB=2OA=3OD=12.(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;(2)記兩函數(shù)圖象的另一個交點為E,求△CDE的面積;(3)直接寫出不等式kx+b≤的解集.【分析】(1)根據(jù)三角形相似,可求出點C坐標(biāo),可得一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式;(2)聯(lián)立解析式,可求交點坐標(biāo);(3)根據(jù)數(shù)形結(jié)合,將不等式轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象關(guān)系.把點A(6,0),B(0,12)代入y=kx+b得:解得:∴一次函數(shù)解析式為:y=﹣2x+12(2)當(dāng)﹣=﹣2x+12時,解得x1=10,x2=﹣4當(dāng)x=10時,y=﹣8∴點E坐標(biāo)為(10,﹣8)∴S△CDE=S△CDA+S△EDA=(3)不等式kx+b≤,從函數(shù)圖象上看,表示一次函數(shù)圖象不低于反比例函數(shù)圖象∴由圖象得,x≥10,或﹣4≤x<0變式5:(2017綏化)在等腰△ABC中,AD⊥BC交直線BC于點D,若AD=BC,則△ABC的頂角的度數(shù)為.w【分析】分兩種情況;①BC為腰,②BC為底,根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半判斷出∠ACD=30°,然后分AD在△ABC內(nèi)部和外部兩種情況求解即可.變式6:(2017貴州安順)如圖甲,直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C,經(jīng)過B、C兩點的拋物線y=x2+bx+c與x軸的另一個交點為A,頂點為P.(1)求該拋物線的解析式;(2)在該拋物線的對稱軸上是否存在點M,使以C,P,M為頂點的三角形為等腰三角形?若存在,請直接寫出所符合條件的點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;(3)當(dāng)0<x<3時,在拋物線上求一點E,使△CBE的面積有最大值(圖乙、丙供畫圖探究).【解答】解:(1)∵直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C,∴B(3,0),C(0,3),把B、C坐標(biāo)代入拋物線解析式可得,解得,∴拋物線解析式為y=x2﹣4x+3;(2)∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,∴拋物線對稱軸為x=2,P(2,﹣1),設(shè)M(2,t),且C(0,3),∴MC==,MP=|t+1|,PC==2,∵△CPM為等腰三角形,∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三種情況,①當(dāng)MC=MP時,則有=|t+1|,解得t=,此時M(2,);②當(dāng)MC=PC時,則有=2,解得t=﹣1(與P點重合,舍去)或t=7,此時M(2,7);③當(dāng)MP=PC時,則有|t+1|=2,解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2,此時M(2,﹣1+2)或(2,﹣1﹣2);綜上可知存在滿足條件的點M,其坐標(biāo)為(2,)或(2,7)或(2,﹣1+2)或(2,﹣1﹣2);(3)如圖,過E作EF⊥x軸,交BC于點F,交x軸于點D,變式7:(2017內(nèi)蒙古赤峰)△OPA和△OQB分別是以O(shè)P、OQ為直角邊的等腰直角三角形,點C、D、E分別是OA、OB、AB的中點.(1)當(dāng)∠AOB=90°時如圖1,連接PE、QE,直接寫出EP與EQ的大小關(guān)系;(2)將△OQB繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn),當(dāng)∠AOB是銳角時如圖2,(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,請給出證明;若不成立,請加以說明.(3)仍將△OQB繞點O旋轉(zhuǎn),當(dāng)∠AOB為鈍角時,延長PC、QD交于點G,使△ABG為等邊三角形如圖3,求∠AOB的度數(shù).【分析】(1)先判斷出點P,O,Q在同一條直線上,再判斷出△APE≌△BFE,最后用直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半即可得出結(jié)論;(2)先判斷出CE=DQ,PC=DE,進(jìn)而判斷出△EPC≌
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