專題11 三角形綜合問題（精練）-2019年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破全攻略（解析版）

一、選擇題（10×3=30分）1.如圖，在方格紙中，以AB為一邊作△ABP，使之與△ABC全等，從P1，P2，P3，P4四個(gè)點(diǎn)中找出符合條件的點(diǎn)P，則點(diǎn)P有 (C)A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【解析】要使△ABP與△ABC全等，點(diǎn)P到AB的距離應(yīng)該等于點(diǎn)C到AB的距離，即3個(gè)單位長度，故點(diǎn)P的位置可以是P1，P3，P4三個(gè)．2.如圖，?ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，如果添加一個(gè)條件，使△ABE≌△CDF，則添加的條件不能為()A．BE＝DFB．BF＝DEC．AE＝CFD．∠1＝∠23.（2018·廣西梧州·3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′與△ABC關(guān)于直線EF對(duì)稱，∠CAF=10°，連接BB′，則∠ABB′的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出△BAC≌△B′AC′，進(jìn)而結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出答案．4.（2018·遼寧大連·3分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，得到△EBD，若點(diǎn)A恰好在ED的延長線上，則∠CAD的度數(shù)為（）A．90°﹣αB．αC．180°﹣αD．2α解：由題意可得：∠CBD=α，∠ACB=∠EDB．∵∠EDB+∠ADB=180°，∴∠ADB+∠ACB=180°．∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD=360°，∠CBD=α，∴∠CAD=180°﹣α．故選C．5.（2018?聊城）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點(diǎn)A落在△ABC外的A'處，折痕為DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正確的是（）A．γ=2α+β B．γ=α+2β C．γ=α+β D．γ=180°﹣α﹣β【分析】根據(jù)三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得結(jié)論．6.（2017?營口）如圖，在△ABC中，AB=AC，E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，以AC為斜邊作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，則下列結(jié)論不正確的是（）A．∠ECD=112.5° B．DE平分∠FDC C．∠DEC=30° D．AB=QUOTECD【考點(diǎn)】KX：三角形中位線定理；KH：等腰三角形的性質(zhì)．.【分析】由AB=AC，∠CAB=45°，根據(jù)等邊對(duì)等角及三角形內(nèi)角和定理求出∠B=∠ACB=67.5°．由Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACD=45°，根據(jù)等角對(duì)等邊得出AD=DC，那么∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，從而判斷A正確；根據(jù)三角形的中位線定理得到FE=QUOTEAB，F(xiàn)E∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得到FD=QUOTEAC，DF⊥AC，∠FDC=45°，等量代換得到FE=FD，再求出∠FDE=∠FED=22.5°，進(jìn)而判斷B正確；由∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，求出∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，從而判斷C錯(cuò)誤；在等腰Rt△ADC中利用勾股定理求出AC=QUOTECD，又AB=AC，等量代換得到AB=QUOTECD，從而判斷D正確．∵F是AC的中點(diǎn)，∠ADC=90°，AD=DC，∴FD=QUOTEAC，DF⊥AC，∠FDC=45°，∵AB=AC，∴FE=FD，∴∠FDE=∠FED=QUOTE（180°﹣∠EFD）=QUOTE（180°﹣135°）=22.5°，∴∠FDE=QUOTE∠FDC，∴DE平分∠FDC，故B正確，不符合題意；∵∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，∴∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，故C錯(cuò)誤，符合題意；∵Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=DC，∴AC=QUOTECD，∵AB=AC，∴AB=QUOTECD，故D正確，不符合題意．故選C．學(xué)科&網(wǎng)7.（2017山東濱州）如圖，點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)，若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不變；（3）四邊形PMON的面積不變；（4）MN的長不變，其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【考點(diǎn)】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KF：角平分線的性質(zhì)．【分析】如圖作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要證明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判斷．[來&源:%中國@教*育#出版網(wǎng)]在△POE和△POF中，，∴△POE≌△POF，∴OE=OF，8.（2018?杭州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，DE∥BC，與邊AC交于點(diǎn)E，連結(jié)BE．記△ADE，△BCE的面積分別為S1，S2（）A．若2AD＞AB，則3S1＞2S2 B．若2AD＞AB，則3S1＜2S2C．若2AD＜AB，則3S1＞2S2 D．若2AD＜AB，則3S1＜2S2【分析】根據(jù)題意判定△ADE∽△ABC，由相似三角形的面積之比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵如圖，在△ABC中，DE∥BC，9.（2018?孝感）如圖，△ABC是等邊三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于點(diǎn)E，連CD分別交AE，AB于點(diǎn)F，G，過點(diǎn)A作AH⊥CD交BD于點(diǎn)H．則下列結(jié)論：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】①由等邊三角形與等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且頂角∠CAD=150°，據(jù)此可判斷；②求出∠AFP和∠FAG度數(shù)，從而得出∠AGF度數(shù)，據(jù)此可判斷；③證△ADF≌△BAH即可判斷；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得證；⑤設(shè)PF=x，則AF=2x、AP==x，設(shè)EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根據(jù)△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，據(jù)此得出EH=a，證△PAF∽△EAH得=，從而得出a與x的關(guān)系即可判斷．由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°，則∠BAH=∠ADC=15°，在△ADF和△BAH中，∵，∴△ADF≌△BAH（ASA），∴DF=AH，故③正確；∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，∴△AFG∽△CBG，故④正確；在Rt△APF中，設(shè)PF=x，則AF=2x、AP==x，10.（2018?揚(yáng)州）如圖，點(diǎn)A在線段BD上，在BD的同側(cè)作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD與BE、AE分別交于點(diǎn)P，M．對(duì)于下列結(jié)論：①△BAE∽△CAD；②MP?MD=MA?ME；③2CB2=CP?CM．其中正確的是（）A．①②③ B．① C．①② D．②③【分析】（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三邊份數(shù)關(guān)系可證；（2）通過等積式倒推可知，證明△PAM∽△EMD即可；（3）2CB2轉(zhuǎn)化為AC2，證明△ACP∽△MCA，問題可證．【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正確∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP?MD=MA?ME所以②正確二、填空題（6×4=24分）.11.如圖22－7，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，還需添加一個(gè)條件，你添加的條件是___(只需寫一個(gè)，不添加輔助線)．【解析】由已知AB＝BC，及公共邊BD＝BD，可知要使△ABD≌△CBD，已經(jīng)具備了兩個(gè)邊了，然后根據(jù)全等三角形的判定定理，應(yīng)該有兩種判定方法①SAS，②SSS.所以可添∠ABD＝∠CBD或AD＝CD.12.（2018·廣西賀州·3分）如圖，將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′C，連接BB'，若∠A′B′B=20°，則∠A的度數(shù)是．13.（2018·重慶市B卷）（4.00分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD是斜邊AB上的中線，將△BCD沿直線CD翻折至△ECD的位置，連接AE．若DE∥AC，計(jì)算AE的長度等于．【分析】根據(jù)題意、解直角三角形、菱形的性質(zhì)、翻折變化可以求得AE的長．【解答】解：由題意可得，DE=DB=CD=AB，∴∠DEC=∠DCE=∠DCB，∵DE∥AC，∠DCE=∠DCB，∠ACB=90°，∴∠DEC=∠ACE，∴∠DCE=∠ACE=∠DCB=30°，∴∠ACD=60°，∠CAD=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴AC=CD，∴AC=DE，∵AC∥DE，AC=CD，∴四邊形ACDE是菱形，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，∠B=30°，∴AC=，∴AE=．學(xué)科&網(wǎng)14.（2018?綿陽）如圖，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC邊上的中線BE，AD垂直相交于O點(diǎn)，則AB=．【分析】利用三角形中線定義得到BD=2，AE=，且可判定點(diǎn)O為△ABC的重心，所以AO=2OD，OB=2OE，利用勾股定理得到BO2+OD2=4，OE2+AO2=，等量代換得到BO2+AO2=4，BO2+AO2=，把兩式相加得到BO2+AO2=5，然后再利用勾股定理可計(jì)算出AB的長．15.（2017廣西）如圖，點(diǎn)P在等邊△ABC的內(nèi)部，且PC=6，PA=8，PB=10，將線段PC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到P'C，連接AP'，則sin∠PAP'的值為．【考點(diǎn)】R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；KK：等邊三角形的性質(zhì)；T7：解直角三角形．【解答】解：連接PP′，如圖，∵線段PC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到P'C，∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°，∴△CPP′為等邊三角形，∴PP′=PC=6，∵△ABC為等邊三角形，∴CB=CA，∠ACB=60°，∴∠PCB=∠P′CA，在△PCB和△P′CA中，∴△PCB≌△P′CA，∴PB=P′A=10，∵62+82=102，∴PP′2+AP2=P′A2，∴△APP′為直角三角形，∠APP′=90°，∴sin∠PAP′===．故答案為．16.（2016·浙江省湖州市·3分）如圖1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如圖2，在底邊BC上取一點(diǎn)D，連結(jié)AD，使得∠DAC=∠ACD．如圖3，將△ACD沿著AD所在直線折疊，使得點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，連結(jié)BE，得到四邊形ABED．則BE的長是.A．4B．C．3D．2【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；四點(diǎn)共圓；等腰三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】只要證明△ABD∽△MBE，得=，只要求出BM、BD即可解決問題．∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴=，即=，三、解答題（共46分）.17.某產(chǎn)品的商標(biāo)如圖所示，O是線段AC，DB的交點(diǎn)，且AC＝BD，AB＝DC，嘉琪認(rèn)為圖中的兩個(gè)三角形全等，他的思考過程是：∵AC＝DB，∠AOB＝∠DOC，AB＝DC，∴△ABO≌△DCO.你認(rèn)為嘉琪的思考過程對(duì)嗎？如果正確，指出她用的是判別三角形全等的哪個(gè)條件；如果不正確，寫出你的思考過程．【點(diǎn)撥】判定兩個(gè)三角形是否滿足全等條件“SAS”．【解答】解：顯然嘉琪的思路是不正確的，因?yàn)橛梢阎獥l件不能直接得到這兩個(gè)三角形全等．可考慮連接BC，由SSS可先得△ABC和△DCB全等，由全等三角形的性質(zhì)，可得到∠A＝∠D，再根據(jù)∠AOB＝∠DOC，AB＝DC，由AAS判斷得到△ABO≌△DCO.18.如圖1所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為直角邊，A為直角頂點(diǎn)，在AD左側(cè)作等腰直角△ADF，連接CF.(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(不與點(diǎn)B重合)，線段CF和BD的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系分別是什么？請(qǐng)給予證明；(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，(1)的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出相應(yīng)的圖形，并說明理由．【點(diǎn)撥】可證明△ACF≌△ABD，再利用全等三角形的性質(zhì)，可得CF＝BD，CF⊥BD.(2)(1)的結(jié)論仍然成立．∵∠CAB＝∠DAF＝90°，∴∠CAB＋∠CAD＝∠DAF＋∠CAD，即∠CAF＝∠BAD.在△ACF和△ABD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝AB，,∠CAF＝∠BAD，,AF＝AD，))∴△ACF≌△ABD(SAS)．∴CF＝BD，∠ACF＝∠B.∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°.∴∠BCF＝∠ACF＋∠ACB＝45°＋45°＝90°，即CF⊥BD.綜上，CF＝BD，且CF⊥BD.19.（2016·山東濰坊）如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F．（1）如圖1，連接AC分別交DE、DF于點(diǎn)M、N，求證：MN=AC；（2）如圖2，將△EDF以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，其兩邊DE′、DF′分別與直線AB、BC相交于點(diǎn)G、P，連接GP，當(dāng)△DGP的面積等于3時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角的大小并指明旋轉(zhuǎn)方向．【分析】（1）連接BD，證明△ABD為等邊三角形，根據(jù)等腰三角形的三線合一得到AE=EB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可；（2）分∠EDF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩種情況，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)解答即可．（2）解：∵AB∥DC，∠BAD=60°，∴∠ADC=120°，又∠ADE=∠CDF=30°，∴∠EDF=60°，當(dāng)∠EDF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60°，DE=DF=，∠DEG=∠DFP=90°，在△DEG和△DFP中，，同理可得，當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，△DGP的面積也等于3，學(xué)科&網(wǎng)綜上所述，將△EDF以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，△DGP的面積等于3．20.（山東省菏澤市·3分）如圖，△ACB和△DCE均為等腰三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．（