高斯小學(xué)奧數(shù)六年級(jí)上冊(cè)含答案第08講-復(fù)雜直線型計(jì)算

第八講復(fù)雜直線型計(jì)算我們?cè)谥暗膶W(xué)習(xí)中已經(jīng)詳細(xì)學(xué)習(xí)了直線形長度、角度以及面積的計(jì)算，并學(xué)習(xí)了直線形中的各種比例關(guān)系．下面我們就對(duì)這些知識(shí)作一下總結(jié)．本講知識(shí)點(diǎn)匯總：我們?cè)谥暗膶W(xué)習(xí)中已經(jīng)詳細(xì)學(xué)習(xí)了直線形長度、角度以及面積的計(jì)算，并學(xué)習(xí)了直線形中的各種比例關(guān)系．下面我們就對(duì)這些知識(shí)作一下總結(jié)．角度問題邊形的內(nèi)角和是；邊形的外角和是360°．基本直線形的面積計(jì)算：

三角形、平行四邊形、長方形、正方形、梯形面積公式（詳細(xì)公式略）．直線形中的比例關(guān)系等高三角形：面積比等于底的比．babaS2S1abS2S1abS2S1S1aS2b共角三角形：面積比等于共角夾邊比的乘積．如右圖所示，陰影三角形與大三角形共享一個(gè)角，它的左側(cè)邊占大三角形左側(cè)邊的，右側(cè)邊占大三角形右側(cè)邊的，那么它的面積就是大三角形的．沙漏三角中的比例關(guān)系：如下圖所示，上下兩個(gè)三角形底邊平行，另兩邊呈交叉關(guān)系，則有比例關(guān)系成立．a(chǎn)abcdefabcdefabcdefabab共邊長方形的面積比等于另一組邊的比．如右圖所示，．

ab如右圖所示，長方形被一對(duì)分別平行于長、寬的線段一分為四，則有面積比例：．將其寫成交叉相乘的形式可得．

abS1S1S2S3S4如右圖所示，當(dāng)四邊形被對(duì)角線分為四個(gè)部分的時(shí)候，這四塊的面積有的比例關(guān)系成立．S3S4S1S2如右圖所示，連接四邊形的一條對(duì)角線CD，并在CD上取一點(diǎn)O，連接OA和OBS3S4S1S2a1a1b1c1a2b2c2金字塔模型右圖三角形中添加一條與底邊平行的平行線，就是金字塔模型．金字塔模型的比例關(guān)系如右圖：

和．燕尾三角形：上面的等高三角形中我們學(xué)過等高三角形的比例關(guān)系，如下左圖所示，△ABC被線段AD一分為二，且有比例關(guān)系．a(chǎn)bS1S2abS1S2ABCD外比：BS1S2S3S4CADO內(nèi)比：面積之間的比例關(guān)系如圖中所示．A、B是兩個(gè)大小完全一樣的長方形，已知這個(gè)長方形的長比寬長8厘米，圖中的字母表示相應(yīng)部分的長度．則A、B中陰影部分的周長之差是多少厘米？

「分析」根據(jù)圖中標(biāo)出的字母，你能用字母a、b分別表示出長方形的長和寬以及兩圖中陰影部分的周長之差嗎？

bbbbbbbbBaaabbbbA②①練習(xí)1、下圖中，大正六邊形內(nèi)部有7個(gè)完全一樣的小正六邊形．如果陰影部分的周長是l20(陰影部分周長由內(nèi)、外兩部分組成)，那么大正六邊形的周長是多少？

如圖，ABCDE是正五邊形，CDF是正三角形，那么∠BFE等于多少度？

「分析」正五邊形的每個(gè)內(nèi)角是多少度？等邊三角形每個(gè)內(nèi)角又是多少度？由此如何求出∠BFE的度數(shù)？

AACDEFB

練習(xí)2、如下圖，已知ABCDEF是正六邊形，ABIJK是正五邊形，ABGH是正方形，圖中∠AFK、∠AHK哪個(gè)大，它們的差是多少度？

ADCADCBFEGHKJI如圖，四邊形ABCD與四邊形CNMP都是平行四邊形，若三角形DFP與三角形AEF的面積分別是21和43，則三角形BNE的面積為多少？

AAPDBNCMEF「分析」兩個(gè)平行四邊形為我們提供了幾組平行線這個(gè)條件，那么如何使用平行線作為我們的解題突破口呢？

練習(xí)3、圖中的長方形被分成若干小塊，其中四塊的面積已經(jīng)標(biāo)出，那么陰影部分的面積是多少？

11231427

11231427已知四邊形ABCD是平行四邊形，三角形AEF的面積為4，三角形CDE的面積為9，那么平行四邊形的面積等于多少？

ABCDFE

「分析」這道題中有一個(gè)“沙漏形”是可以用在解題中的請(qǐng)你找出．

練習(xí)4ABCDFEABCDO416

如圖，大長方形被分為四個(gè)小長方形，面積分別為12、24、35、49．那么圖中陰影圖形的面積為多少？

1224493512244935EGFACBHDIJ如圖所示，ABCD是一個(gè)長方形，點(diǎn)E在CD延長線上．已知AB5，BC12，三角形AFE的面積等于15，那么三角形CFE的面積等于多少？

ABCDEFABCDEF幾何原本幾何原本《幾何原本》（希臘語：Στοιχε?α）是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作，共13卷．這本著作是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在西方是僅次于《圣經(jīng)》而流傳最廣的書籍．這本書是世界上最著名、最完整而且流傳最廣的數(shù)學(xué)著作，也是歐幾里得最有價(jià)值的一部著作．在《原本》里，歐幾里得系統(tǒng)地總結(jié)了古代勞動(dòng)人民和學(xué)者們?cè)趯?shí)踐和思考中獲得的幾何知識(shí)，把人們公認(rèn)的一些事實(shí)列成定義和公理，用這些定義和公理來研究各種幾何圖形的性質(zhì)，從而建立了一套從公理、定義出發(fā)，論證命題得到定理得幾何學(xué)論證方法，形成了一個(gè)嚴(yán)密的邏輯體系——幾何學(xué)．而這本書，也就成了歐式幾何的奠基之作．《幾何原本》集整個(gè)古希臘數(shù)學(xué)的成果和精神于一書．既是數(shù)學(xué)巨著，又是哲學(xué)巨著，并且第一次完成了人類對(duì)空間的認(rèn)識(shí)．除《圣經(jīng)》之外，沒有任何其他著作，其研究、使用和傳播之廣泛，能夠與《幾何原本》相比．《幾何原本》大約成書與公元前300年，原書早已失傳，如今見到的《幾何原本》是經(jīng)過后來的數(shù)學(xué)家們修改過的，而且有的包含13卷，有的包含15卷，書中大部分內(nèi)容有關(guān)圖形的知識(shí)（即幾何知識(shí)）．1582年，意大利人利瑪竇到我國傳教，帶來了15卷本的《原本》．1600年，明代數(shù)學(xué)家徐光啟（1562-1633）與利瑪竇相識(shí)后，便經(jīng)常來往．1607年，他們把該書的前6卷平面幾何部分合譯成中文，并改名為《幾何原本》．后9卷是1857年由我國清代數(shù)學(xué)家李善蘭（1811-1882）和英國人偉烈亞歷譯完的．《幾何原本》最主要的特色是建立了比較嚴(yán)格的幾何體系，在這個(gè)體系中有四方面主要內(nèi)容，定義、公理、公設(shè)、命題（包括作圖和定理）．《幾何原本》第一卷列有23個(gè)定義，5條公理，5條公設(shè)．（其中最后一條公設(shè)就是著名的平行公設(shè)，這些定義、公理、公設(shè)就是《幾何原本》全書的基礎(chǔ)．全書以這些定義、公理、公設(shè)為依據(jù)邏輯地展開他的各個(gè)部分的．比如后面出現(xiàn)的每一個(gè)定理都寫明什么是已知、什么是求證．都要根據(jù)前面的定義、公理、定理進(jìn)行邏輯推理給予仔細(xì)證明．歐幾里得的《幾何原本》是中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的好教材．它巳成為培養(yǎng)、提高青、少年邏輯思維能力的好教材．歷史上不知有多少科學(xué)家從學(xué)習(xí)幾何中得到益處，從而做出了偉大的貢獻(xiàn)．兩千多年來，《幾何原本》一直是學(xué)習(xí)幾何的主要教材．哥白尼、伽利略、笛卡爾、牛頓等許多偉大的學(xué)者都曾學(xué)習(xí)過《幾何原本》，從中吸取了豐富的營養(yǎng)，從而作出了許多偉大的成就．課堂內(nèi)外作業(yè)如圖，它是由若干塊面積為12平方厘米的小長方形磚和3塊白色小正方形磚砌起來的一面墻，問這塊墻的面積是多少？

ABCDE1如圖，將一個(gè)正方形的左上角和左下角折起來，并且交于A點(diǎn)，求∠ABCDE1ABDCE1O如圖，ABCD是一個(gè)長方形，E為CD邊的一個(gè)三等分點(diǎn)，如果圖中陰影部分面積為ABDCE1ODCBAFEO如圖，面積為4的正方形ABCD中，E、FDCBAFEO如圖，三角形ABC的面積是1，D、E、F分別是相應(yīng)邊的三等分點(diǎn)，三角形ADO的面積是多少？

ACBACBDEEFOE第八講復(fù)雜直線型計(jì)算例題：答案：16厘米

詳解：長方形的長為，寬為．再根據(jù)長比寬多8厘米，就能求出厘米．長方形A中，陰影部分的周長為．長方形B中，陰影部分有6條邊，它的周長其實(shí)就等于大長方形的周長，等于．兩者相差厘米．

答案：

詳解：因?yàn)椤鰿DF是正三角形，所以．正五邊形的內(nèi)角和是，每個(gè)內(nèi)角是．因此．△BCF是等腰三角形，所以，同理也等于．因此看得到．

答案：22

詳解：如圖連接AM，因?yàn)镻M∥AD，所以由蝴蝶模型可知三角形DFP與三角形AFM面積相等；同樣道理三角形BEN與三角形AEM面積相等，所以三角形BEN面積=43－21=22．

AAPDBNCMEF答案：30

詳解：三角形AFE與三角形DCE構(gòu)成沙漏模型，而已知面積比為4:9，所以對(duì)應(yīng)邊長比為EF:EC=2:3，因此FE:FC=2:5．三角形AFE又與三角形BFC構(gòu)成金字塔模型，所以三角形AFE與三角形BFC的面積比為4:25，因此三角形BFC的面積為25，所以四邊形ABCE的面積為25－4=21，因此平行四邊形的面積為21+9=30．

答案：15

詳解：，所以．，所以．由此可得，．而，因此陰影部分的面積等于．

答案：30

詳解：三角形ABF與三角形DEF構(gòu)成沙漏模型，所以，即，所以，又因?yàn)锳D=12，所以AF=6，因此．所以三角形CFE的面積=．練習(xí)：答案：90

簡答：陰影部分的外周長與大正六邊形相同，而陰影部分的外周長等于內(nèi)周長的3倍，因此陰影部分外周長等于總周長的，即．

答案：

簡答：四邊形內(nèi)角等于90°，五邊形內(nèi)角等于108°，六邊形內(nèi)角等于120°，所以，．△AFK與△AHK都是等腰三角形，因此，，兩者相差．

答案：25

簡答：如圖作輔助線構(gòu)造蝴蝶模型即可．

112311231427111212141313答案：36

簡答：三角形AOD與三角形BOC構(gòu)成沙漏模型，而已知面積比為4:16=1:4，所以對(duì)應(yīng)邊長比為OD:OB=1:2，因此三角形AOD與三角形BOA的面積比為1:2，所以三角形BOA的面積為8．由蝴蝶模型可知三角形COD的面積也是8，所以梯形的面積是4+16+8+8=36．作業(yè)：答案：270

簡答：設(shè)小長方形的長為x，寬為y．從水平方向的線段可以看出，因此．所以小長方形的長寬比為3:2，而相應(yīng)小正方形的邊長就是份．由此可得小長方形的面積是白色小正方形的倍，即．接著把小長方形與小正方形的面積相加即可得到答案．

FABCDE1答案：75°

簡答：如右圖，添加一個(gè)點(diǎn)F．△ADE是正三角形，所以，因此，由于△AFE是由△BFE折疊而來的，因此兩個(gè)三角形完全相同，