華師一附中2024屆高三數(shù)學獨立作業(yè)7 試題含答案

華師一附中2024屆高三數(shù)學獨立作業(yè)（7）一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.已知，則（）A.B.C.D.2.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的函數(shù)解析式可能為（）A.B.C.D. 3.函數(shù)是偶函數(shù)的一個必要不充分條件是（）A.B.C.D.4.已知，則A.B.1C.D.25.已知正數(shù)滿足，則的最小值為()A．B． C． D．6.已知函數(shù)在上存在最值，且在上單調(diào)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．7..已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，當時，，若函數(shù)在區(qū)間上有10個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.8.已知函數(shù)，若在圖像上存在點，使得點到坐標原點的距離，則稱函數(shù)為“向心函數(shù)”.下列四個選項中，是“向心函數(shù)”的有（）A.B.C.D.二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)9.如圖，一個半徑為的筒車按逆時針方向每分鐘圈，筒車的軸心距離水面的高度為，設筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：m）（在水面下則為負數(shù)），若以盛水筒剛浮出水面時開始計算時間，與時間（單位：s）之間的關(guān)系為.則下列結(jié)論正確的是A.B.C.D.10.函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，且，則()A.B.C.D.11.聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學模型是函數(shù),我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復合音.若一個復合音的數(shù)學模型是函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于點對稱B.在上是增函數(shù)C.的最大值為D.若，則12.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)在上有兩個零點C.對恒有，則整數(shù)的最大值為D.若，則有三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13.已知角的終邊經(jīng)過點，將角的終邊繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，則=。14.設計一段寬的公路彎道，彎道內(nèi)沿和外沿分別為共圓心的兩個圓上的一段弧，彎道中心線到圓心的距離為（如圖），公路外沿長為，則這段公路的占地面積為=。15.已知，則當取得最大值時，=。16.在中，角的對邊分別為，滿足，，則，的面積最大值為=。四、解答題(本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.（本小題滿分12分）已知，（1）求的值；（2）若，，求的值.18.（本小題滿分12分）已知,（1）求的值域；（2）若，求的單調(diào)遞增區(qū)間.19.（本小題滿分12分）在中，為邊上一點，且平分,（1）若求與；（2）若設求20（本小題滿分12分）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知（1）求；（2）若是上的一點，且，求的最小值21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，且.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）已知,證明：22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）當時，（?。┣笄€在點處的切線方程；（ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間及在區(qū)間上的最值；（2）若對恒成立，求的取值范圍.華師一附中2024屆高三數(shù)學獨立作業(yè)（7)參考答案：1．A【分析】利用誘導公式及二倍角公式計算可得.【詳解】解：因為，所以；故選：A2．B【分析】利用排除法，結(jié)合函數(shù)圖及性質(zhì)可得出答案.【詳解】解：對于A，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故排除A；對于D，，故排除D；對于C，，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故排除C.故選：B.3．C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)進行求解即可．【詳解】由三角函數(shù)的性質(zhì)可知若的圖象關(guān)于軸，則，即，，故函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱的充分必要條件是，，故選：C．4．略5．B.【分析】運用同構(gòu)函數(shù)研究其單調(diào)性可得，將求的最小值轉(zhuǎn)化為求上的最小值，運用導數(shù)研究的最小值即可.【詳解】因為，即，所以，所以.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，令.則．令，解得：；令，解得：；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.即的最小值為.故答案為：.【點睛】同構(gòu)法的三種基本模式：①乘積型，如可以同構(gòu)成，進而構(gòu)造函數(shù)；②比商型，如可以同構(gòu)成，進而構(gòu)造函數(shù)；③和差型，如，同構(gòu)后可以構(gòu)造函數(shù)f或.6．略7．A【解析】根據(jù)條件，易得函數(shù)是關(guān)于對稱，以2為周期的奇函數(shù)，再根據(jù)時，，在同一坐標系中作出函數(shù)，的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】因為是奇函數(shù)，且，所以，即函數(shù)是關(guān)于對稱，以2為周期的奇函數(shù)，又時，，在同一坐標系中作出函數(shù)，的圖象如圖所示：因為函數(shù)在區(qū)間上有且僅有10個零點，所以函數(shù)，在區(qū)間上有且僅有10個交點，由圖知：實數(shù)的取值范圍是，故答案為A【點睛】方法點睛：函數(shù)零點求參數(shù)范圍問題：若方程可解，通過解方程即可得出參數(shù)的范圍，若方程不易解或不可解，則構(gòu)造兩個函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題求解，這樣會使得問題變得直觀、簡單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應用．8.B【分析】設，結(jié)合選項中函數(shù)解析式，即可表示出的表達式，結(jié)合不等式知識可判斷A、B；利用構(gòu)造函數(shù)，求出導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，即可判斷與1的大小關(guān)系，可判斷C、D.【詳解】對于A，設，則，當且僅當，即時，上述等號成立，所以，即不正確；對于，當時，等號成立，所以，在圖象上存在點，使得點到坐標原點的距離，符合題意，即B正確；對于C，，顯然當時，，此時在圖象上不存在點，使得點到坐標原點的距離；當時，令，則，設，則，當時，，故，故在上單調(diào)遞減，而，所以時，，即，在上單調(diào)遞增，時，，即，在上單調(diào)遞減，故在時取到最大值，又，故當時，，即，即，綜合上述在圖象上不存在點，使得點到坐標原點的距離，錯誤；對于D，，若，則；若，設，則，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，故，即，當且僅當時等號成立，則時，，所以，綜合上述在圖象上不存在點，使得點到坐標原點的距離，即錯誤，故選：B【點睛】難點點睛：解答本題時要根據(jù)“向心函數(shù)”的定義去判斷各選項中函數(shù)是否滿足定義中的條件，難點是判斷選項C、D時，要構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導數(shù)知識判斷函數(shù)單調(diào)性，繼而判斷點到坐標原點的距離和1的大小關(guān)系.9．AC【分析】根據(jù)實際含義分別求的值即可，再根據(jù)可求得.【詳解】振幅即為半徑，即；因為逆時針方向每分轉(zhuǎn)1.5圈，所以；；.故選：AC.10．ABD【分析】根據(jù)輔助角公式化簡，然后根據(jù)其圖像關(guān)于對稱，可得之間的關(guān)系，從而得到，然后對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，其中因為函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，所以，即化簡得，故A正確.則即，因為，故B正確.因為，故C錯誤.因為故D正確.故選:ABD.11．AD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對稱性、單調(diào)性、最值、周期等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，，，所以的圖象關(guān)于點對稱，A選項正確.，，B選項錯誤.由于，所以，C選項錯誤.，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，結(jié)合的單調(diào)性可知的最小正周期為，所以當時，取得最大值為：，當時，取得最小值為：，而，所以，D選項正確.故選：AD12．ABD【分析】A選項，求導得到時，，得到在上單調(diào)遞增；B選項，二次求導，得到在上單調(diào)遞增，結(jié)合隱零點得到在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，結(jié)合特殊點的函數(shù)值得到在上有兩個零點；C選項，轉(zhuǎn)化為，由選項B知，，由得：，變形得到，令，，求導得到其單調(diào)性，得到，進而得到，求出整數(shù)的最大值；D選項，構(gòu)造函數(shù)得到當時，，，構(gòu)造并放縮得到，，得到其單調(diào)性，求出，D正確．【詳解】函數(shù)，求導得，對于A，當時，，有，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，A正確；對于B，令，則，當時，，有，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，則使得，當時，，當時，，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由選項A知，在上遞增，又，則，使得，因此函數(shù)在上有兩個零點，B正確；對于C，對恒有，故，由選項B知，，則有，由得：，令，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，又，則有，故，因此整數(shù)的最大值為，C不正確；對于D，當時，令，則，，函數(shù)在上遞減，，即，函數(shù)在上遞增，，即，令，，顯然在上單調(diào)遞增，則有函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即，所以當時，成立，D正確．故選：ABD【點睛】隱零點的處理思路：第一步：用零點存在性定理判定導函數(shù)零點的存在性，其中難點是通過合理賦值，敏銳捕捉零點存在的區(qū)間，有時還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點的個數(shù)；第二步：虛設零點并確定取范圍，抓住零點方程實施代換，如指數(shù)與對數(shù)互換，超越函數(shù)與簡單函數(shù)的替換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.13．/【分析】先由三角函數(shù)的定義求得，再利用誘導公式求得，進而求得.【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，所以，則，又因為角的終邊繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，故，所以，故.故答案為：.14．900【分析】先根據(jù)題意計算出外沿、內(nèi)沿的半徑，根據(jù)外沿弧長計算出圓心角，再利用大扇形的面積減去小扇形的面積，求得公路占地面積.【詳解】公路外沿半徑，公路內(nèi)沿半徑，圓心角，故填：【點睛】本小題主要考查扇形圓心角的計算，考查扇形面積計算，考查實際生活的數(shù)學應用問題，屬于基礎(chǔ)題.15.略16.123【分析】變形得到，結(jié)合得到，由正弦定理和余弦定理得到，由余弦定理和同角三角函數(shù)平方關(guān)系得到，表達出三角形面積，利用基本不等式求出最值.【詳解】由可得，由，則，，因為，所以，故，又，，則，因為，所以，則，即，故，由正弦定理得，由余弦定理得，則，則；因為，則，則，當且僅當，即時取得等號．故，面積最大值為．故答案為：12，3【點睛】方法點睛：解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.17．(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)降冪公式得，再對原式構(gòu)造齊次式結(jié)合即可求解.（2）先求出，再根據(jù)角的范圍即可確定的值.【詳解】（1）由已知得，所以所以.（2）因為又，同理所以.18．(1)(2)略【分析】（1）根據(jù)三角恒等變化公式化簡可得，從而得到值域；略（1）故，所以.（2）略19．(1)，(2)【分析】（1）一方面由角平分線定理，另一方面，又，所以可以求出，接下來結(jié)合余弦定理即可求出.（2）由已知條件可知，，在中運用正弦定理即可求解.【詳解】（1）如下圖所示：

因為平分，所以，又因為在上，所以，因此，又，所以．在中，，可得．在中，由余弦定理可得，故．（2）如下圖所示：

因為平分，，又，所以，在中，由正弦定理可得，又，所以，展開并整理得，解得．20．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理化簡可得，再根據(jù)角度關(guān)系分析即可；（2）根據(jù)平面向量基本定理可得，再兩邊平方可得，結(jié)合余弦定理可得，再令，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與最值求解即可.【詳解】（1），又，則或，若，則；若，則，又，不符合題意，舍去，綜上所述.（2）①，又②，①÷②得：令，又，，令令，令，當時，當時，由對勾函數(shù)性質(zhì)可得當時，為減函數(shù)，故，同理當時，所以當三角形為等邊三角形時最小，最小值為21．(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用導數(shù)求函數(shù)的最小值，通過最小值，即可得出答案；（2）利用小問（1）構(gòu)造函數(shù)，利用累加法，即可得出答案.【詳解】（1），由解得，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，由解得，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，故的最小值是，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為．（2）由（1）得，，即，當且僅當時等號成立，令，則，所以，，，令，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故時，，即．所以，，所以．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題求解的關(guān)鍵是借助得出，結(jié)合累加求和可證結(jié)論.22．(1)