華師一附中高二數學《數列》專題試卷含答案

2024華師一附中高二數學《數列》專題試卷1．已知是單調遞增的等差數列，其前項和為.是公比為的等比數列..(1)求和的通項公式；(2)設，求數列的前項和.2．已知等差數列的前項和為，，.(1)求及；(2)若，求數列的前項和.3．已知為數列的前項和，，，記.(1)求數列的通項公式；(2)已知，記數列的前項和為，求證：.4．已知數列滿足．(1)求的通項公式．(2)記，數列的前n項和為，是否存在實數m，使得數列為等差數列？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．5．已知數列滿足(1)證明：數列為等差數列；(2)設數列滿足，為數列的前項和，若在上恒成立，求的取值范圍．6．已知數列是以2為公差的等差數列，且成等比數列，記數列的前n項和為．(1)求；(2)設數列對，有，求；7．已知數列的前項和滿足，且數列中的第2項、第5項、第14項依次組成某等比數列的連續(xù)3項（公比不等于1）．(1)求數列的通項公式；(2)若，且數列的前項和為，求的最大值與最小值．8．已知正項數列的前項和為，且.(1)求數列的通項公式；(2)求數列前n項和；(3)若，數列的前項和為，求的取值范圍.9．已知數列滿足:.(1)求數列的通項公式;(2)設,求數列的前項和為.10．已知等差數列的前項和為，且滿足．(1)求數列的通項公式；(2)已知數列滿足，記數列的前項和為，證明：．11．已知數列是公差為1的等差數列，且，數列是等比數列，且．(1)求和的通項公式；(2)令，求證：；(3)記其中，求數列的前項和．12．已知數列滿足，求數列的前n項和．13．已知數列的前n項和為，，．(1)求，并證明數列是等比數列；(2)若，求數列的前n項和．14．已知數列的前項和為且；等差數列前項和為滿足.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和；(3)設，若，對任意的正整數都有恒成立，求的最大值.15．已知數列滿足，其前8項的和為64；數列是公比大于0的等比數列，，．(1)求數列和的通項公式；(2)記，，求數列的前項和；(3)記，求．16．已知數列是首項為1的等差數列，數列是公比不為1的等比數列，且滿足，，（1）求數列，的通項公式；（2）令，記數列的前n項和為，求證：對任意的，都有；（3）若數列滿足，，記，是否存在整數，使得對任意的都有成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．17．已知數列的前項和為，且滿足:(1)證明：是等比數列，并求數列的通項公式.(2)設，若數列是等差數列，求實數的值；(3)在(2)的條件下，設記數列的前項和為，若對任意的存在實數,使得,求實數的最大值.18．已知數列是等差數列，其前項和為；數列的前項和為．(1)求數列的通項公式；(2)求數列的能項和；(3)若，，求．華師一附中高二數學《數列》專題參考答案1．(1)(2)【分析】（1）根據題意結合等差、等邊數列的通項公式列式求解即可；（2）利用分組求和，結合裂項相消法和錯位相減法運算求解.【詳解】（1）設等差數列的公差為，由題意可得：，解得或（舍去），所以.（2）由（1）可得，當為奇數時，則，設，則，兩式相減得，所以；當為偶數時，則，設，所以；綜上所述：，當為奇數時，則；當為偶數時，則；綜上所述：.2．(1)，(2)【分析】（1）根據等差數列基本量的計算可得公差和首項，即可求解，（2）根據裂項求和即可求解.【詳解】（1）設公差為，則由，可得：，解得，所以，（2），故3．(1)(2)證明見解析【分析】（1）借助構造等比數列算出，即可求出；（2）將裂項后求和，再分奇偶討論即可得證.【詳解】（1）由，得，，則，，，數列是以為首項，為公比的等比數列，，，.（2），，，當為奇數時，，當為偶數時，，由，可知是遞增數列，，綜上，.4．(1)(2)存在，.【分析】（1）根據求出通項公式；（2），裂項相消法求和得到，變形得到，假設存在實數m，使得數列為等差數列，從而根據等差數列的定義得到.【詳解】（1）①中，令得，，解得，當時，②，①-②得，，故，當時，，滿足要求，綜上，的通項公式為（2），，，假設存在實數m，使得數列為等差數列，故當時，，只有當，即時，為常數，其他值均不合要求，故當時，是等差數列.5．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據題意，化簡得到，結合等差數列的定義，即可得證；（2）由（1）求得，得到，進而求得，結合題意，轉化為即恒成立，結合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）證明：由，可得，整理得為常數，又由，所以數列是首項為，公差為的等差數列.（2）解：由（1）可得，所以，又由，則，因為若在上恒成立，即，所以，又因為，當且僅當時，即時，等號成成立，所以，所以，即實數的取值范圍為.6．(1)(2)【分析】（1）根據等比中項結合等差數列基本量的求解即可得首項，由等差求和公式即可求解，（2）根據作差法可得時，即可利用裂項相消法求解和.【詳解】（1）由題意可得，所以，解得，所以，（2），由得：當時，，兩式相減可得，所以，當時，，從而7．(1)，；(2)最大值，最小值.【分析】（1）分和兩種情況，利用關系及等差數列定義，再由等比中項、等差通項公式列方程求公差，即可得通項公式．（2）由（1）得通項公式，裂項相消求，分為奇數和偶數兩種情況討論求最值．【詳解】（1）當時，；當時，，，則①，故②，由②－①得，即，所以(，且)，數列為等差數列，設其公差為，則，，．又，則，解得或（舍去），所以，又也符合上式，故數列的通項公式為，．（2）由題得，．當為奇數時，，當時有最大值，且；當為偶數時，，當時有最小值，且．綜上，有最大值，最小值．8．(1)(2)(3)【分析】（1）利用，求得數列的通項公式.（2）由（1）得，然后利用錯位相減法求得前n項和（3）由（1）求得的表達式，然后利用裂項求和法求得的前項和，利用差比較法證得數列遞增，進而求得的取值范圍.【詳解】（1）當時，由，得，得，由，得，兩式相減，得，即，即因為數列各項均為正數，所以，所以所以數列是以為首項，為公差的等差數列.因此，，即數列的通項公式為.（2）由（1）得，兩式相減得.（3）由（1）知，所以.所以.所以.令，則所以是單調遞增數列，數列遞增，所以，又，所以的取值范圍為.9．(1)(2)【分析】（1）由遞推關系取可求，當時，取遞推關系中的可求，由此可得數列的通項公式；（2）由（1）可得，利用裂項相消法求數列的前項和為.【詳解】（1）當時，，解得；當時，，則，兩式相減得，即；當時也成立，所以數列的通項公式為.（2）因為，所以，所以.10．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據已知條件利用等差數列的通項公式和求和公式得到關于首項和公差的方程組，求得首項和公差，然后利用通項公式求出結論；（2）利用等差數列前項和公式，求得，進而得到，然后利用裂項相消求和法求得，最后利用不等式的基本性質證明結論.【詳解】（1）設已知數列的公差為d，依題意有，解得，，.（2）由（1）可得，，∴，，，，，累加相消得.故.11．(1)，(2)證明見解析(3)【分析】（1）結合等差數列與等比數列的通項公式及題目條件，用基本量表達條件中的式子，即可求得兩數列的首項與公差公比，代入通項公式即可；（2）根據第一問寫出表達式，再用裂項相消法化簡式子，最后放縮即可證明；（3）將前項和分成奇數項之和加上偶數項之和，分別求解奇數項和偶數項再相加即可.【詳解】（1）∵數列是公差為1的等差數列，且，∴，解得，∴，∴數列的通項公式為：.數列是等比數列，且，設數列的公比為，∴，解得，∴，∴數列的通項公式為：.（2）由（1）知，∴，∴，∵，∴，∴，∴∴（3）由（1）可知，∴，∴，令，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴數列的前項和.12．【分析】由，將分成兩組，一組為等比數列求和，一組為裂項相消求和．【詳解】因為，所以.13．(1)，證明見解析(2)【分析】（1）由可得答案；（2）求出利用裂項相消可求得其前項和.【詳解】（1）令中，得，，所以，，因為，所以．所以，又時，所以數列是首項為2、公比為2的等比數列；（2）由（1）得，，所以．所以．【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點是利用求出是等比數列.14．(1)，(2)(3)2【分析】（1）根據與的關系證明為等比數列，根據等差數列性質求的首項及公差，再利用等比數列和等差數列通項公式求，的通項公式；（2）利用裂項相消法求和即可；（3）由（1）求，由條件可得，判斷數列的單調性求其最值，由此可得，結合基本不等式求的最大值.【詳解】（1）由，得，當時，，即，所以，且，所以，所以為首項為，公比為3的等比數列，所以.設等差數列的公差為，則，解得，，所以.（2）由（1）知，，，則，令為的前項和，則即.（3）因為，，，所以，故恒成立，設，當時，；當時，，即，所以，即，所以，所以恒成立，即恒成立，因為，當且僅當，即時等號成立，所以，故的最大值為2.15．(1)，(2)(3)【分析】（1）根據條件得到等差數列的公差，利用前項和公式，求出首項，得到通項公式，設出公比，得到方程，求出公比，寫成通項公式；（2）寫出的通項公式，利用裂項相消法求和；（3）方法一：變形得到，其中利用錯位相減法求和，分為偶數和為奇數兩種情況求解，最終求出；方法二：變形后，利用裂項相消法求和，分為偶數和為奇數兩種情況求解，最終求出.【詳解】（1）∵，∴數列是公差為等差數列，且，∴，解得，∴；設等比數列的公比為（），∵，，，即，解得（舍去）或，∴（2）由（1）得，（3）方法一：∵，①②兩式相減得，，，當為偶數時，，當為奇數時，，.方法二：當為偶數時，，當為奇數時，，.【點睛】方法點睛：常見的裂項相消法求和類型：分式型：，，等；指數型：，等，根式型：等，對數型：，且；16．（1），；（2）證明見解析；（3）存在整數，使得對任意的都有成立，理由見解析.【分析】（1）利用等差等比數列的基本量表示已知條件，解方程組得到基本量，利用等差等比數列的通項公式得到答案；（2）根據（1）的結論得到數列的通項公式，利用指數的運算裂項，相消求和后得到的表達式，判定單調性，然后利用不等式的基本性質即可證明；（3）假設存在滿足要求的整數，取得到的范圍，進而求得的值為，然后證明當時，對任意的，都有成立．為此先要根據，利用等比數列的求和公式，求得，結合，求得，然后利用作差法證明即可.【詳解】（1）設等差數列的公差為d，等比數列的公比為，則，所以，因為，所以．所以，解得所以，．（2）因為所以又因為對任意的，都有單調遞增，即，所以對任意的，都有成立；（3）假設存在滿足要求的整數，令，則，解得；令，則，解得；令，則，解得；所以，又已知，故若存在，則．下證：當時，對任意的，都有成立．；；即又；所以則而對任意的，單調遞增，所以即對任意的都有成立，得證.所以，存在整數，使得對任意的都有成立．【點睛】本題考查等差比數列得綜合問題，涉及等差等比數列的通項公式，求和公式，裂項求和法，存在性問題和探索性方法，考查不等式的證明，屬難題.17．（1）

證明過程見解析

（2）

（3）【分析】（1）由，再得出，兩式作差，得出，，再分奇數項，偶數項分別求通項公式即可得解；（2）由等差數列的等差中項可得恒成立，可得，解得;（3）由已知有，由裂項求和法求數列前項和得，由分離變量最值法可得，運算即可得解.【詳解】解：（1）因為，①所以，②②-①得：，由易得，即，即，，即數列的奇數項是以為首項，4為公比的等比數列，偶數項是以為首項，4為公比的等比數列，當為奇數時，，當為偶數時，，綜上可得，又，故是等比數列，且數列的通項公式.(2)因為，所以，因為數列是等差數列，所以恒成立，即有恒成立，即，解得;(3)因為=，即，又對任意的存在實數,使得,即對任意的恒成立，又當時，取最小值3，時，，即,故實數的最大值為.【點睛】本題考查了由的關系求數列的通項、用裂項求和法求數列前項和及不等式恒成立問題，重點考查了分離變量最值法，屬綜合性較強的題型.18．(1)(2)(3).【分析】（1）利用等差數列定義可求得，根據遞推公式可證明數列