統(tǒng)考版2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章5.1平面向量的概念及其線性運(yùn)算學(xué)案理含解析20230423165

統(tǒng)考版2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章5.1平面向量的概念及其線性運(yùn)算學(xué)案理含解析20230423165第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算【知識(shí)重溫】一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有①________又有②________的量；向量的大小叫做向量的③________(或④________)平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為⑤________的向量；其方向是任意的記作⑥________單位向量長(zhǎng)度等于⑦_(dá)_______的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量方向⑧__________或⑨________的非零向量共線向量eq\o(○,\s\up1(10))________________的向量又叫做共線向量0與任一向量?________或共線相等向量長(zhǎng)度?________且方向?________的向量相反向量長(zhǎng)度?________且方向?________的向量0的相反向量為02.向量的表示方法(1)字母表示法：如a，eq\o(AB,\s\up6(→))等．(2)幾何表示法：用一條?____________表示向量．3．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算?____________法則?______________法則(1)交換律：a＋b＝?____________.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝?________________.減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差eq\o(○,\s\up1(21))____________法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(1)|λa|＝eq\o(○,\s\up1(22))________.(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a的方向eq\o(○,\s\up1(23))______；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a的方向eq\o(○,\s\up1(24))________；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝eq\o(○,\s\up1(25))________λ(μa)＝eq\o(○,\s\up1(26))______________；(λ＋μ)a＝eq\o(○,\s\up1(27))________________；λ(a＋b)＝eq\o(○,\s\up1(28))________________.二、必明3個(gè)易誤點(diǎn)1．作兩個(gè)向量的差時(shí)，要注意向量的方向是指向被減向量的終點(diǎn)．2．在向量共線的充要條件中易忽視“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè)．3．要注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系．【小題熱身】一、判斷正誤1．判斷下列說(shuō)法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)向量就是有向線段．()(2)零向量沒(méi)有方向．()(3)若向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反．()(4)兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同．()(5)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上．()二、教材改編2．設(shè)M是?ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，O為任意一點(diǎn)，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝()A.eq\o(OM,\s\up6(→))B．2eq\o(OM,\s\up6(→))C．3eq\o(OM,\s\up6(→))D．4eq\o(OM,\s\up6(→))3．已知e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，a＝e1－2e2，b＝2e1＋ke2.若a與b是共線向量，則實(shí)數(shù)k的值為________．三、易錯(cuò)易混4．對(duì)于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．[2021·山東青島二中月考]如圖所示，在△ABC中，AD＝eq\f(2,3)AB，BE＝eq\f(1,2)BC，則eq\o(DE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))B.eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))D.eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))eq\x(考點(diǎn)一)平面向量的基本概念[自主練透型]1．下列命題中正確的是()A．若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同B．若a與b共線，b與c共線，則a與c也共線C．若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則ABCD為平行四邊形D．a(chǎn)＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b2．判斷下列四個(gè)命題：①若a∥b，則a＝b；②若|a|＝|b|，則a＝b；③若|a|＝|b|，則a∥b；④若a＝b，則|a|＝|b|.其中正確的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4悟·技法向量有關(guān)概念的5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)向量：方向、長(zhǎng)度．(2)非零共線向量：方向相同或相反．(3)單位向量：長(zhǎng)度是一個(gè)單位長(zhǎng)度．(4)零向量：方向沒(méi)有限制，長(zhǎng)度是0.(5)相等向量：方向相同且長(zhǎng)度相等.考點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算[自主練透型]3．化簡(jiǎn)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))得()A.eq\o(AB,\s\up6(→))B.eq\o(DA,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→))D．04．[2021·唐山統(tǒng)考]在等腰梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(CD,\s\up6(→))，M為BC的中點(diǎn)，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))悟·技法1.平面向量的線性運(yùn)算技巧(1)不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解．(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái)求解．2．利用平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)的一般思路(1)沒(méi)有圖形的準(zhǔn)確作出圖形，確定每一個(gè)點(diǎn)的位置．(2)利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式．(3)比較、觀察可知所求.考點(diǎn)三平面向量共線定理的應(yīng)用[互動(dòng)講練型][例]設(shè)兩個(gè)非零向量a和b不共線．(1)如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k,使ka＋b和a＋kb共線．悟·技法共線向量定理的應(yīng)用(1)證明向量共線，對(duì)于向量a，b，若存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，則a與b共線．(2)證明三點(diǎn)共線，若存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，則A，B，C三點(diǎn)共線．(3)求參數(shù)的值，利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．[提醒]證明三點(diǎn)共線時(shí)，要說(shuō)明共線的兩向量有公共點(diǎn).[變式練]——(著眼于舉一反三)1．若將本例(1)中“eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b”改為“eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb”，則m為何值時(shí)，A，B，D三點(diǎn)共線？2．若將本例(2)中的“共線”改為“反向共線”，則k為何值？第五章平面向量第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算【知識(shí)重溫】①大?、诜较颌勰＂荛L(zhǎng)度⑤零⑥0⑦1個(gè)單位長(zhǎng)度⑧相同⑨相反⑩方向相同或相反?平行?相等?相同?相等?相反?有向線段?三角形?平行四邊形?b＋a?a＋(b＋c)eq\o\ac(○,21)三角形eq\o\ac(○,22)|λ||a|eq\o\ac(○,23)相同eq\o\ac(○,24)相反eq\o\ac(○,25)0eq\o\ac(○,26)λμaeq\o\ac(○,27)λa＋μaeq\o\ac(○,28)λa＋λb【小題熱身】1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×2．解析：∵O為任意一點(diǎn)，不妨把A點(diǎn)看成O點(diǎn)，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝0＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AC,\s\up6(→))＝4eq\o(OM,\s\up6(→)).答案：D3．解析：∵a與b是共線向量，∴存在實(shí)數(shù)t，有b＝ta，即2e1＋ke2＝t(e1－2e2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝t，,k＝－2t，))解得：k＝－4.答案：－44．解析：若a＋b＝0，則a＝－b，所以a∥b.若a∥b，則a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件．答案：A5．解析：eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))，故選D.答案：D課堂考點(diǎn)突破考點(diǎn)一1．解析：A錯(cuò)誤，兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等；但兩個(gè)向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)；B錯(cuò)誤，若b＝0，則a與c不一定共線；C正確，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))；又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊形；D錯(cuò)誤，當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．答案：C2．解析：只有④正確．答案：A考點(diǎn)二3．解析：因?yàn)閑q\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0.答案：D4．解析：因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→)).又M是BC的中點(diǎn)，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)).答案：B考點(diǎn)三例解析：(1)證明：因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共線，又eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))有公共點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線(2)因?yàn)閗a＋b與a＋kb共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b，又a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))所以k2－1＝0,即k＝±1.變式練1．解析：eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，即eq\o(BD,\s\up6(→))＝4a＋(m－3)b.若A，B，D三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝λ，,m－3＝λ，))解得m＝7.故當(dāng)m＝7時(shí)，A，B，D三點(diǎn)共線．2．解析：因?yàn)閗a＋b與a＋kb反向共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,kλ＝1，))所以k＝±1.又λ<0，k＝λ，所以k＝－1.故當(dāng)k＝－1時(shí)兩向量反向共線．第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示【知識(shí)重溫】一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)①____________向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝②____________.我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組③____________.2．平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x軸、y軸④____________的兩個(gè)單位⑤____________i、j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝⑥____________，則有序數(shù)對(duì)(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作⑦_(dá)___________，其中x，y分別叫做a在x軸、y軸上的坐標(biāo)，a＝(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)表示，相等的向量其⑧________相同，⑨________相同的向量是相等向量．3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(○,\s\up1(10))________________，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝?____________________.(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝?____________，a－b＝?______________，λa＝?________________，a∥b(b≠0)的充要條件是?________________.(3)非零向量a＝(x，y)的單位向量為?________________或?________________.(4)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a＝b??__________.二、必明3個(gè)易誤點(diǎn)1．若a、b為非零向量，當(dāng)a∥b時(shí)，a，b的夾角為0°或180°，求解時(shí)容易忽視其中一種情形而導(dǎo)致出錯(cuò)．2．要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息．3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0.【小題熱身】一、判斷正誤1．判斷下列說(shuō)法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))可以作為基底．()(2)在△ABC中，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則向量a與b的夾角為∠ABC.()(3)平面向量不論經(jīng)過(guò)怎樣的平移變換之后，其坐標(biāo)不變．()(4)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，且μ1＝μ2.()(5)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可以表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).()二、教材改編2．已知?ABCD的頂點(diǎn)A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A．(1,5)B．(2,5)C．(3,4)D．(5,1)3.如圖，在△ABC中，AD＝eq\f(1,3)AB，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)．設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，用a，b表示eq\o(CD,\s\up6(→))＝________，eq\o(AE,\s\up6(→))＝________.三、易錯(cuò)易混4．[2021·合肥模擬]若向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,3)，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(1,1)B．(－1，－1)C．(3,7)D．(－3，－7)5．下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的一組基底的是()A．a(chǎn)＝(1,2)，b＝(0,0)B．a(chǎn)＝(1，－2)，b＝(3,5)C．a(chǎn)＝(3,2)，b＝(9,6)D．a(chǎn)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(1,2)))，b＝(3，－2)四、走進(jìn)高考6．[2018·全國(guó)卷Ⅰ]在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up6(→))等于()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))考點(diǎn)一平面向量基本定理及其應(yīng)用[互動(dòng)講練型][例1](1)已知等腰梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，G為EF的中點(diǎn)，若記eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AG,\s\up6(→))＝()A.eq\f(3,8)a＋eq\f(3,4)bB.eq\f(3,8)a＋eq\f(1,2)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(3,4)bD.eq\f(1,4)a＋eq\f(3,8)b(2)[2021·江蘇南通調(diào)研]在△ABC中，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，且eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，Q是BC的中點(diǎn)，AQ與CP的交點(diǎn)為M，又eq\o(CM,\s\up6(→))＝teq\o(CP,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)t的值為________．悟·技法平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.[變式練]——(著眼于舉一反三)1．如圖，在三角形ABC中，BE是邊AC的中線，O是BE的中點(diǎn)，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AO,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)bB.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)bD.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b2．[2021·山東濟(jì)南模擬]在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(AN,\s\up6(→))，則λ＋μ的值為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,5)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,4)考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算[自主練透型]1．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－1)，C(0,1)，若eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A．(－2，，3)B．(2，－3)C．(－2,1)D．(2，－1)2．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，則c的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(8,3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，\f(8,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(4,3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3)))3．已知平行四邊形ABCD中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3,7)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2,3)，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，則eq\o(CO,\s\up6(→))的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－5))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5))悟·技法求解向量坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題的一般思路(1)向量問(wèn)題坐標(biāo)化：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來(lái)進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái)，通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，使幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算．(2)巧借方程思想求坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，求解過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用．(3)妙用待定系數(shù)法求系數(shù)：利用坐標(biāo)運(yùn)算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出系數(shù).考點(diǎn)三共線向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用[互動(dòng)講練型]考向一：利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)[例2]已知梯形ABCD中，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則D點(diǎn)坐標(biāo)為________．悟·技法利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)，一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa，即可得到所求向量.考向二：利用向量共線求參數(shù)[例3](1)[2021·河南、河北重點(diǎn)高中段考]已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(2m＋n)∥(m－2n)，則λ＝()A．－1B．0C．1D．2(2)已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－k,10)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值是()A．－eq\f(2,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)悟·技法平面向量共線的坐標(biāo)表示問(wèn)題的解題策略(1)利用兩向量共線求參數(shù)，如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，則利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便．(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)，一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(3)三點(diǎn)共線問(wèn)題．A，B，C三點(diǎn)共線等價(jià)于eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線.[變式練]——(著眼于舉一反三)3．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，則“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件4．[2021·河南安陽(yáng)模擬]已知向量a＝(1，－1)，b＝(－1,0)，若λa－b和2a＋b共線，則λ＝()A．2B.eq\f(1,2)C．－1D．－2第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示【知識(shí)重溫】不共線②＋③基底④同向⑤向量⑥xi＋yj⑦a＝(x，y)⑧坐標(biāo)⑨坐標(biāo)⑩(－，－)??(＋，＋)?(－，－)?(λ，λ)?－＝0?±eq\f(a,|a|)?±(x，y)?＝且＝【小題熱身】1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)×2．解析：設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4,1)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(5－x,6－y)，∵平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得x＝1，y＝5.所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,5)．答案：A3．解析：eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a－b.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(1,2)b.答案：eq\f(1,3)a－beq\f(1,6)a＋eq\f(1,2)b4．解析：因?yàn)橄蛄縠q\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,3)，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．故選B.答案：B5．解析：根據(jù)平面向量基底的定義知，兩個(gè)向量不共線即可作為基底.故選B.答案：B6．解析：作出示意圖如圖所示eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)).故選A.答案：A課堂考點(diǎn)突破考點(diǎn)一例1解析：(1)因?yàn)榈妊菪蜛BCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，G為EF的中點(diǎn)，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(3,8)eq\o(AB,\s\up6(→))，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(3,8)a.故選B項(xiàng)．(2)因?yàn)閑q\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，所以3eq\o(CP,\s\up6(→))＝2eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))，即2eq\o(CP,\s\up6(→))－2eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CP,\s\up6(→))，所以2eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，即P為AB的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)A)，又因?yàn)锳，M，Q三點(diǎn)共線，所以可設(shè)eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AQ,\s\up6(→)).所以eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AC,\s\up6(→))))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(λ,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ－2,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(CM,\s\up6(→))＝teq\o(CP,\s\up6(→))＝t(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))－\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(t,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)＝\f(t,3)，,\f(λ－2,2)＝－t，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝\f(3,4)，,λ＝\f(1,2).))答案：(1)B(2)eq\f(3,4)變式練1．解析：∵在三角形ABC中，BE是AC邊上的中線．∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，∵O是BE邊的中點(diǎn)，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b.答案：D2．解析：如圖，連接AC，由eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(AN,\s\up6(→))，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λ·eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＋μ·eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))，則(eq\f(μ,2)－1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋(eq\f(λ,2)＋eq\f(μ,2))eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，得(eq\f(μ,2)－1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋(eq\f(λ,2)＋eq\f(μ,2))(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝0，得(eq\f(1,4)λ＋eq\f(3,4)μ－1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(λ＋eq\f(μ,2))eq\o(AD,\s\up6(→))＝0.又eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))不共線，所以由平面向量基本定理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)λ＋\f(3,4)μ－1＝0，,λ＋\f(μ,2)＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(4,5)，,μ＝\f(8,5).))所以λ＋μ＝eq\f(4,5).答案：C考點(diǎn)二1．解析：設(shè)D(x，y)，則eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x，y－1)，2eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－2)，根據(jù)eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，得(x，y－1)＝(2，－2)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y－1＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1，))故選D.答案：D2．解析：設(shè)c＝(x，y)．因?yàn)閍－2b＋3c＝0，所以(5，－2)－2(－4，－3)＋3(x，y)＝(0,0)，即(5＋8＋3x，－2＋6＋3y)＝(0,0)所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(13＋3x＝0，,4＋3y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(13,3)，,y＝－\f(4,3).))所以c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3))).答案：D3．解析：因?yàn)閑q\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))，所以eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5)).故選D項(xiàng)．答案：D考點(diǎn)三例2解析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o(DC,\s\up6(→))＝(4－x,2－y)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x＝2，,2－y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4)．答案：(2,4)例3解析：(1)因?yàn)?m＋n＝(3λ＋4,4)，m－2n＝(－λ－3，－3)，且(2m＋n)∥(m－2n)，所以(－3)·(3λ＋4)－4·(－λ－3)＝0，解得λ＝0.故選B.(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4－k，－7)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2k，－2)．∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共線，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－eq\f(2,3).答案：(1)B(2)A變式練3．解析：由題意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，當(dāng)m＝－6時(shí)，a∥(a＋b)，則“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要條件．答案：A4．解析：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,0)，∴λa－b＝(λ＋1，－λ)，2a＋b＝(1，－2)，又λa－b和2a＋b共線，∴－λ＝－2(λ＋1)，∴λ＝－2.故選D項(xiàng)．答案：D第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與應(yīng)用舉例【知識(shí)重溫】一、必記4個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．平面向量的數(shù)量積的定義(1)已知兩個(gè)①____________a、b，過(guò)O點(diǎn)作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的②________.很顯然，當(dāng)且僅當(dāng)兩非零向量a、b同方向時(shí)，θ＝③________，當(dāng)且僅當(dāng)a、b反方向時(shí)，θ＝④________，特別地，0與其他任何非零向量之間不談夾角這一問(wèn)題．(2)如果a，b的夾角為90°，則稱a與b垂直，記作⑤________.(3)a，b是兩個(gè)非零向量，它們的夾角為θ，則數(shù)|a|·|b|·cosθ叫做a與b的數(shù)量積．記作a·b，即a·b＝⑥________________.規(guī)定0·a＝0.當(dāng)a⊥b時(shí)，θ＝90°，這時(shí)⑦_(dá)_______＝0.(4)a·b的幾何意義a·b等于a的長(zhǎng)度與b在a的方向上的⑧____________.2．向量數(shù)量積的性質(zhì)(1)如果e是單位向量，則a·e＝e·a＝⑨____________.(2)a⊥b?⑩________且a·b＝0??____________.(a，b為非零向量)(3)a·a＝?________，|a|＝?____________.(4)cos〈a，b〉＝?________________.(5)|a·b|?________|a||b|.3．?dāng)?shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律a·b＝?________.(2)分配律(a＋b)·c＝?________________.(3)對(duì)λ∈R，λ(a·b)＝?________________＝?________________.4．?dāng)?shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則(1)a·b＝?________________.(2)a⊥b?eq\o(○,\s\up1(21))________________.(3)|a|＝eq\o(○,\s\up1(22))____________.(4)cos〈a，b〉＝eq\o(○,\s\up1(23))____________________.二、必明2個(gè)易誤點(diǎn)1．若a，b，c是實(shí)數(shù)，則ab＝ac?b＝c(a≠0)；但對(duì)于向量就沒(méi)有這樣的性質(zhì)，若向量a，b，c滿足a·b＝a·c(a≠0)，則不一定有b＝c，即等式兩邊不能同時(shí)約去一個(gè)向量，但可以同時(shí)乘以一個(gè)向量．2．?dāng)?shù)量積運(yùn)算不適合結(jié)合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)．【小題熱身】一、判斷正誤1．判斷下列說(shuō)法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)向量．()(2)向量在另一個(gè)向量方向上的投影也是向量．()(3)若a·b>0，則a和b的夾角為銳角；若a·b<0，則a和b的夾角為鈍角．()(4)若a·b＝0，則a＝0或b＝0.()(5)(a·b)·c＝a·(b·c)．()(6)若a·b＝a·c(a≠0)，則b＝c.()二、教材改編2．對(duì)于任意兩個(gè)向量a和b，下列命題中正確的是()A．若a，b滿足|a|>|b|，且a與b同向，則a>bB．|a＋b|≤|a|＋|b|C．|a·b|≥|a|·|b|D．|a－b|≤|a|－|b|3．若e1，e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，則a＝2e1＋e2與b＝－3e1＋2e2的夾角為()A．30°B．60°C．120°D．150°三、易錯(cuò)易混4．已知a，b為非零向量，則“a·b>0”是“a與b的夾角為銳角”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________.四、走進(jìn)高考6．[2020·全國(guó)卷Ⅰ]設(shè)a，b為單位向量，且|a＋b|＝1，則|a－b|＝________.考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積[自主練透型]1．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，則|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝________；eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝________.2．[2019·全國(guó)卷Ⅱ]已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，t)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．－3B．－2C．2D．33．[2021·南昌市高三年級(jí)摸底測(cè)試卷]已知△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠A＝eq\f(π,3)，BC的中點(diǎn)為M，eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))等于()A.eq\f(15,2)B．11C．12D．154．[2021·重慶第一中學(xué)月考]已知非零向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，a，b的夾角為120°，且|b|＝2|a|，則向量a，c的數(shù)量積為()A．0B．－2a2C．2a2D．－a2考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的性質(zhì)(高頻考點(diǎn))[互動(dòng)講練型]考向一：平面向量的模[例1](1)[2021·惠州市高三調(diào)研考試試題]平面向量a與b的夾角為eq\f(π,3)，a＝(2,0)，|b|＝1，則|a－2b|＝()A．2eq\r(3)B.eq\r(6)C．0D．2(2)[2021·河北省九校高三聯(lián)考試題]已知兩個(gè)不相等的非零向量a，b滿足|a|＝1，且a與b－a的夾角為60°，則|b|的取值范圍是()A．(0，eq\f(\r(3),2))B．[eq\f(\r(3),2)，1)C．[eq\f(\r(3),2)，＋∞)D．(1，＋∞)考向二：平面向量的夾角[例2](1)[2020·全國(guó)卷Ⅲ]已知向量a，b滿足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，則cos〈a，a＋b〉＝()A．－eq\f(31,35)B．－eq\f(19,35)C.eq\f(17,35)D.eq\f(19,35)(2)[2021·山西省八校高三聯(lián)考]已知向量a＝(－1,2)，單位向量b滿足b·(a＋eq\r(5)b)＝eq\f(\r(5),2)，則向量a，b的夾角θ為________．考向三：平面向量的垂直與平行[例3](1)[2020·全國(guó)卷Ⅱ]已知單位向量a，b的夾角為45°，ka－b與a垂直，則k＝________.(2)[2021·貴陽(yáng)市適應(yīng)性考試]已向量a＝(1,2)，b＝(m，－1),若a∥(a＋b)，則a·b＝()A.eq\f(5,2)B．－eq\f(5,2)C.eq\f(3,2)D．－eq\f(3,2)悟·技法平面向量數(shù)量積應(yīng)用的技巧1．求兩向量的夾角，cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)，要注意θ∈[0，π]．2．兩向量垂直的應(yīng)用．兩非零向量垂直的充要條件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|.3．求向量的模的方法(1)公式法：利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算．(2)幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.[變式練]——(著眼于舉一反三)1．[2021·廣東省七校聯(lián)合體高三聯(lián)考試題]已知向量a、b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a－b|＝()A.eq\r(3)B.eq\r(5)C．2eq\r(3)D.eq\r(7)2．[2021·福州市高三畢業(yè)班適應(yīng)性練習(xí)卷]已知兩個(gè)單位向量e1，e2，若(e1－2e2)⊥e1，則e1，e2的夾角為()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)3．[2021·黃岡中學(xué)，華師附中等八校聯(lián)考]已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa－b與b垂直，則λ＝()A．－1B．1C．－2D．2考點(diǎn)三平面向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用[互動(dòng)講練型][例4][2021·福建泉州模擬]已知函數(shù)f(x)＝d·e，其中d＝(2cosx，－eq\r(3)sin2x)，e＝(cosx,1)，x∈R.(1)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，f(A)＝－1，a＝eq\r(7)，且向量m＝(3，sinB)與n＝(2，sinC)共線，求邊長(zhǎng)b和c的值．悟·技法平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解．(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題思路是經(jīng)過(guò)向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求值域等.[變式練]——(著眼于舉一反三)4．[2017·江蘇卷]已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－eq\r(3))，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)記f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值．第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與應(yīng)用舉例【知識(shí)重溫】非零向量②夾角③0°④180°⑤a⊥b⑥|a|·|b|·cosθ⑦a·b⑧投影的乘積⑨|a|cos〈a，e〉⑩a·b＝0?a⊥b?|a|2?eq\r(a·a)?eq\f(a·b,|a|·|b|)?≤?b·a?a·c＋b·c?(λa)·b?a·(λb)?eq\o\ac(○,21)＝0eq\o\ac(○,22)eq\o\ac(○,23)【小題熱身】1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×2．解析：對(duì)于A：向量不能比較大小，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由向量運(yùn)算的三角形法則，可得B正確；對(duì)于C：a·b＝|a||b|cosθ，則必有|a·b|≤|a|·|b|，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由向量運(yùn)算的三角形法則，有|a－b|≥|a|－|b|，D錯(cuò)誤．答案：B3．解析：由題意知e1·e2＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2).a·b＝－6eeq\o\al(2,1)＋e1·e2＋2eeq\o\al(2,2)＝－6＋eq\f(1,2)＋2＝－eq\f(7,2).|a|＝eq\r(2e1＋e22)＝eq\r(4e\o\al(2,1)＋e\o\al(2,2)＋4e1·e2)＝eq\r(4＋1＋2)＝eq\r(7)，|b|＝eq\r(－3e1＋2e22)＝eq\r(9e\o\al(2,1)－12e1·e2＋4e\o\al(2,2))＝eq\r(9－12×\f(1,2)＋4)＝eq\r(7)，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－\f(7,2),\r(7)·\r(7))＝－eq\f(1,2).∴a與b的夾角為120°.答案：C4．解析：根據(jù)向量數(shù)量積的定義可知，若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或零角，若a與b的夾角為銳角，則一定有a·b>0，所以“a·b>0”是“a與b的夾角為銳角”的必要不充分條件，故選B.答案：B5．解析：方法一|a＋2b|＝eq\r(a＋2b2)＝eq\r(a2＋4a·b＋4b2)＝eq\r(22＋4×2×1×cos60°＋4×12)＝eq\r(12)＝2eq\r(3).方法二(數(shù)形結(jié)合法)由|a|＝|2b|＝2知，以a與2b為鄰邊可作出邊長(zhǎng)為2的菱形OACB，如圖，則|a＋2b|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)6．解析：由|a＋b|＝1，得|a＋b|2＝1，即a2＋b2＋2a·b＝1，而|a|＝|b|＝1，故a·b＝－eq\f(1,2)，|a－b|＝eq\r(|a－b|2)＝eq\r(a2＋b2－2a·b)＝eq\r(1＋1＋1)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)課堂考點(diǎn)突破考點(diǎn)一1．解析：解法一如圖，在正方形ABCD中，由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))得點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，∴|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·(eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝1×1×cos180°＝－1.解法二∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴P為BC的中點(diǎn)，以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意知A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，P(2,1)，∴|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝eq\r(2－02＋1－22)＝eq\r(5)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(0，－1)，eq\o(PD,\s\up6(→))＝(－2,1)，∴eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0，－1)·(－2,1)＝－1.答案：eq\r(5)－12．解析：因?yàn)閑q\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，t－3)，所以|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋t－32)＝1，解得t＝3，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1,0)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2×1＋3×0＝2，故選C.答案：C3．解析：解法一因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，則eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝8＋eq\f(1,2)×4×3×coseq\f(π,3)＝11，故選B.解法二如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在的直線為x軸，過(guò)點(diǎn)A與AC垂直的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，C(3,0)，B(2,2eq\r(3))．因?yàn)镸為BC的中心，所以M(eq\f(5,2)，eq\r(3))，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝(eq\f(5,2)，eq\r(3))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，2eq\