46利用相似三角形測(cè)高九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步備課系列（北師大版）

北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第四章圖形的相似4.6利用相似三角形測(cè)高怎樣測(cè)量這些非常高大物體的高度？情景引入胡夫金字塔是埃及現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔，被譽(yù)為“世界古代八大奇跡之一”，古希臘數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家泰勒斯曾經(jīng)利用相似三角形的原理測(cè)量金字塔的高度，你能根據(jù)圖示說出他測(cè)量金字塔的原理嗎？一、運(yùn)用相似三角形解決高度(長(zhǎng)度)測(cè)量問題例1：如下圖，如果木桿EF長(zhǎng)2m，它的影長(zhǎng)FD為3m，測(cè)得OA為201m，求金字塔的高度BO.解：∵BF∥ED，∴∠BAO=∠EDF，又∵∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF，∴=，∴=，∴BO=134.因此金字塔高134m.物1高：物2高=影1長(zhǎng)：影2長(zhǎng)測(cè)高方法一：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，可以用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比例”的原理解決.例2：如圖，小明為了測(cè)量一棵樹CD的高度，他在距樹24m處立了一根高為2m的標(biāo)桿EF，然后小明前后調(diào)整自己的位置，當(dāng)他與樹相距27m的時(shí)候，他的眼睛、標(biāo)桿的頂端和樹的頂端在同一條直線上.已知小明的眼高1.6m，求樹的高度.解析：人、樹、標(biāo)桿是相互平行的，添加輔助線，過點(diǎn)A作AN∥BD交ID于N，交EF于M，則可得△AEM∽△ACN.AECDFBNAECDFBN解：過點(diǎn)A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，因?yàn)槿?、?biāo)桿、樹都垂直于地面，∴∠ABF=∠EFD=∠CDF=90°,∴AB∥EF∥CD,∴∠EMA=∠CNA.∵∠EAM=∠CAN,∴△AEM∽△ACN,∴ .∵AB=1.6m,EF=2m,BD=27m,FD=24m,∴ ,∴CN=3.6（m），∴CD=3.6+1.6=5.2（m）.故樹的高度為5.2m.M測(cè)高方法二：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，也可以用“利用標(biāo)桿測(cè)量高度”的原理解決.例3：為了測(cè)量一棵大樹的高度，某同學(xué)利用手邊的工具（鏡子、皮尺）設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：如圖，①在距離樹AB底部15m的E處放下鏡子；②該同學(xué)站在距離鏡子1.2m的C處，目高CD為1.5m；③觀察鏡面，恰好看到樹的頂端.你能幫助他計(jì)算出大樹的大約高度嗎？解：∵∠1=∠2,∠DCE=∠BAE=90°,∴△DCE∽△BAE.∴ ,得BA=18.75m.因此，樹高約為18.75m.DBACE21測(cè)高方法三：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，也可以用“利用鏡子的反射測(cè)量高度”的原理解決.例4：如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)P，在近岸取點(diǎn)Q和S，使點(diǎn)P、Q、S共線且直線PS與河垂直，接著在過點(diǎn)S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T，確定PT與過點(diǎn)Q且垂直PS的直線b的交點(diǎn)R．如果測(cè)得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的寬度PQ.45m90m60m解：∵QR∥ST∴△PQR∽△PSTPQ=90m.（1）根據(jù)題意畫出___________;（2）將題目中的已知量或已知關(guān)系轉(zhuǎn)化為示意圖中的_____________________;（3）利用相似三角形建立線段之間的關(guān)系，求出__________;（4）寫出___________.示意圖已知線段、已知角未知量答案利用三角形相似解決實(shí)際問題的一般步驟：歸納總結(jié)1.如圖,小李打網(wǎng)球時(shí),球恰好打過網(wǎng),且落在離網(wǎng)4m的位置上,則球拍擊球的高度h為()A.0.6m B.1.2m C.1.3m D.1.4mD課堂練習(xí)2.一個(gè)鋼筋三角形框架三邊長(zhǎng)分別為20cm,50cm,60cm,現(xiàn)要再做一個(gè)與其相似的鋼筋三角形框架,而只有長(zhǎng)是30cm和50cm的兩根鋼筋,要求以其中一根為一邊,從另一根上截下兩段(允許有余料)作為兩邊,則不同的截法有()A.1種 B.2種 C.3種 D.4種B3.如圖,小華在地面上放置一個(gè)平面鏡E來測(cè)量鐵塔AB的高度,當(dāng)鏡子與鐵塔的距離EB=20m,鏡子與小華的距離ED=2m時(shí),小華剛好從鏡子中看到鐵塔頂端點(diǎn)A.已知小華的眼睛距地面的高度CD=1.5m,則鐵塔AB的高度是.

15m4.如圖,矩形ABCD為臺(tái)球桌面,AD=260cm,AB=130cm,球目前在點(diǎn)E位置,AE=60cm.如果小丁瞄準(zhǔn)BC邊上的點(diǎn)F將球打過去,經(jīng)過反彈后,球剛好彈到點(diǎn)D位置.(1)求證:△BEF∽△CDF;(2)求CF的長(zhǎng).5.如圖,小明想測(cè)量電線桿AB的高度,他發(fā)現(xiàn)電線桿AB的影子正好落在坡面CD和地面BC上,已知CD和地面成30°角,CD=4m,BC=10m,且此時(shí)測(cè)得1m高的標(biāo)桿在地面上的影長(zhǎng)為2m,求電線桿AB的高.通過本課時(shí)的學(xué)