1第21講多邊形與平行四邊形

第21講多邊形與平行四邊形多邊形與平行四邊形多邊形平行四邊形命題點1平行四邊形的判定(10年3考)1．(2014·寧夏)如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝2，BC＝5，∠BAD的平分線交BC于點E，且AE∥CD，則四邊形ABCD的面積為_______.體驗寧夏中考真題

2．(2011·寧夏)如圖，已知E、F是四邊形ABCD的對角線AC上的兩點，AE＝CF，BE＝DF，BE∥DF.求證：四邊形ABCD是平行四邊形．證明：∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC.∵CF＝AE，∴CF＋EF＝AE＋EF，即AF＝CE.在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE(SAS)，∴AD＝BC，∠DAC＝∠BCA，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．3．(2020·衡陽)如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，下列條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是() A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD延伸訓練C命題點2平行四邊形的性質(zhì)(10年6考)4．(2017·寧夏)如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在點A′處．若∠1＝∠2＝50°，則∠A′為_______.105°5．(2016·寧夏)如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線AE交BC于點E，且BE＝3，若平行四邊形ABCD的周長是16，則EC等于______.26．(2020·寧夏)如圖，在?ABCD中，點E是AD的中點，連接CE并延長，交BA的延長線于點F.求證：FA＝AB.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC，AB∥DC，∴∠FAE＝∠D，∠F＝∠ECD.又EA＝ED，∴△AFE≌△DCE(AAS)．∴AF＝DC.∴FA＝AB.7．(2014·寧夏)如圖，在平行四邊形ABCD中，將△ABC沿AC對折，使點B落在B′處，AB′和CD相交于點O.求證：OA＝OC.證明：∵△AB′C是由△ABC沿AC對折得到的圖形，∴∠BAC＝∠B′AC.在平行四邊形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∴∠DCA＝∠B′AC，∴OA＝OC.8．(2015·寧夏)如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上的一點．連接AE.(1)若AB＝AE，求證：∠DAE＝∠D；(2)若點E為BC的中點，連接BD，交AE于F，求EF∶FA的值．(1)證明：∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE.∵AE＝AB，∴∠B＝∠AEB，∴∠B＝∠DAE.∵∠B＝∠D，∴∠DAE＝∠D.

C延伸訓練10．(2020·重慶B)如圖，在平行四邊形ABCD中，AE，CF分別平分∠BAD和∠DCB，交對角線BD于點E，F(xiàn).(1)若∠BCF＝60°，求∠ABC的度數(shù)；(2)求證：BE＝DF.(1)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.∵CF平分∠DCB，∴∠BCD＝2∠BCF.∵∠BCF＝60°，∴∠BCD＝120°，∴∠ABC＝180°－120°＝60°.

焦點1平行四邊形的判定樣題1如圖，E、F是平行四邊形ABCD的對角線AC上的兩點，AE＝CF.求證：四邊形DEBF是平行四邊形．重點難點素養(yǎng)拓展[解答]證明：連接BD，交AC于點O.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，∴四邊形DEBF是平行四邊形．1．(2020·河北)如圖，將△ABC繞邊AC的中點O順時針旋轉(zhuǎn)180°.嘉淇發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)后的△CDA與△ABC構(gòu)成平行四邊形，并推理如下：點A，C分別轉(zhuǎn)到了點C，A處，而B點轉(zhuǎn)到了點D處．∵CB＝AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．小明為保證嘉淇的推理更嚴謹，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四邊形……”之間作補充．下列正確的是() A．嘉淇推理嚴謹，不必補充 B．應補充：且AB＝CD， C．應補充：且AB∥CD， D．應補充：且OA＝OC，變式訓練B

方法指導判定平行四邊形的基本思路：(1)若已知一組對邊平行，可以證這一組對邊相等或另一組對邊平行．(2)若已知一組對邊相等，可以證這組對邊平行或另一組對邊相等．(3)若已知一組對角相等，可以證另一組對角相等．(4)若已知條件與對角線有關(guān)，可以證明對角線互相平分．焦點2平行四邊形的性質(zhì)及相關(guān)計算樣題2如圖，在?ABCD中，BE平分∠ABC且交AD邊于點E，AB＝6cm，BC＝10cm.(1)求?ABCD的周長；(2)求線段DE的長．[分析]

(1)已知平行四邊形的兩鄰邊，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對邊相等，即可求出?ABCD的周長；(2)由平行四邊形的性質(zhì)及角平分線的定義可得出AB＝AE，進而利用題中數(shù)值即可求出DE的長．[解答]解：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝6cm，BC＝10cm.∴?ABCD的周長為2(AB＋BC)＝2×(6＋10)＝32(cm)．(2)在?ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝6cm.又AD＝BC＝10cm，∴DE＝AD－AE＝10－6＝4(cm)，即線段DE的長為4cm.3．(2020·溫州)如圖，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，點D在AC邊上，以CB，CD為邊作?BCDE，則∠E的度數(shù)為() A．40° B．50° C．60° D．70°D變式訓練4．(2020·天津)如圖，?ABCD的頂點C在等邊△BEF的邊BF上，點E在AB的延長線上，G為DE的中點，連接CG.若AD＝3，AB＝CF＝2，則CG的長為______.

5．(2020·廣元)已知?ABCD，O為對角線AC的中點，過O的一條直線交AD于點E，交BC于點F.(1)求證：△AOE≌△COF；(2)若AE∶AD＝1∶2，△AOE的面積為2，求?ABCD的面積．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO.∵O是AC的中點，∴OA＝OC.在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF(ASA)．

∵△AOE的面積為2，∴△ADC的面積為8，∴S?ABCD＝2×8＝16.利用平行四邊形的性質(zhì)進行有關(guān)計算的一般思路為：(1)運用平行四邊形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化角度或線段之間的等量關(guān)系：①對邊平行可得相等的角，進而可得相似三角形；②對邊相等、對角線互相平分可得相等的線段；③當有角平分線的條件時，可利用“平行＋角平分線可得等腰三角形”的結(jié)論得到等角、等邊．方法指導(2)找到所求線段或角所在的三角形，若三角形為特殊三角形，則注意運用特殊三角形的性質(zhì)求解；若三角形為任意三角形，可以利用某兩個三角形全等或相似的性質(zhì)進行求解，有時還可利用三角形的中位線等知識求解．1．(2020·宜昌)游戲中有數(shù)學智慧，找起點游戲規(guī)定：從起點走五段相等直路之后回到起點，要求每走完一段直路后向右邊偏行，成功的招數(shù)不止一招，可助我們成功的一招是() A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走 B．每段直路要短 C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走 D．每段直路要長提升數(shù)學核心素養(yǎng)A2．小峰不慎將一塊平行四邊形玻璃打碎成如圖所示的四塊，為了能在商店配到一塊與原來相同的玻璃，他帶了兩塊碎玻璃，其編號應該是() A．①，② B．①，④

C．③，④