1第21講多邊形與平行四邊形

第21講多邊形與平行四邊形多邊形與平行四邊形多邊形平行四邊形命題點(diǎn)1平行四邊形的判定(10年3考)1．(2014·寧夏)如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝2，BC＝5，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，且AE∥CD，則四邊形ABCD的面積為_______.體驗(yàn)寧夏中考真題

2．(2011·寧夏)如圖，已知E、F是四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AE＝CF，BE＝DF，BE∥DF.求證：四邊形ABCD是平行四邊形．證明：∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC.∵CF＝AE，∴CF＋EF＝AE＋EF，即AF＝CE.在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE(SAS)，∴AD＝BC，∠DAC＝∠BCA，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．3．(2020·衡陽)如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是() A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD延伸訓(xùn)練C命題點(diǎn)2平行四邊形的性質(zhì)(10年6考)4．(2017·寧夏)如圖，將平行四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處．若∠1＝∠2＝50°，則∠A′為_______.105°5．(2016·寧夏)如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線AE交BC于點(diǎn)E，且BE＝3，若平行四邊形ABCD的周長是16，則EC等于______.26．(2020·寧夏)如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接CE并延長，交BA的延長線于點(diǎn)F.求證：FA＝AB.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC，AB∥DC，∴∠FAE＝∠D，∠F＝∠ECD.又EA＝ED，∴△AFE≌△DCE(AAS)．∴AF＝DC.∴FA＝AB.7．(2014·寧夏)如圖，在平行四邊形ABCD中，將△ABC沿AC對(duì)折，使點(diǎn)B落在B′處，AB′和CD相交于點(diǎn)O.求證：OA＝OC.證明：∵△AB′C是由△ABC沿AC對(duì)折得到的圖形，∴∠BAC＝∠B′AC.在平行四邊形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∴∠DCA＝∠B′AC，∴OA＝OC.8．(2015·寧夏)如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上的一點(diǎn)．連接AE.(1)若AB＝AE，求證：∠DAE＝∠D；(2)若點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接BD，交AE于F，求EF∶FA的值．(1)證明：∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE.∵AE＝AB，∴∠B＝∠AEB，∴∠B＝∠DAE.∵∠B＝∠D，∴∠DAE＝∠D.

C延伸訓(xùn)練10．(2020·重慶B)如圖，在平行四邊形ABCD中，AE，CF分別平分∠BAD和∠DCB，交對(duì)角線BD于點(diǎn)E，F(xiàn).(1)若∠BCF＝60°，求∠ABC的度數(shù)；(2)求證：BE＝DF.(1)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.∵CF平分∠DCB，∴∠BCD＝2∠BCF.∵∠BCF＝60°，∴∠BCD＝120°，∴∠ABC＝180°－120°＝60°.

焦點(diǎn)1平行四邊形的判定樣題1如圖，E、F是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AE＝CF.求證：四邊形DEBF是平行四邊形．重點(diǎn)難點(diǎn)素養(yǎng)拓展[解答]證明：連接BD，交AC于點(diǎn)O.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，∴四邊形DEBF是平行四邊形．1．(2020·河北)如圖，將△ABC繞邊AC的中點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°.嘉淇發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)后的△CDA與△ABC構(gòu)成平行四邊形，并推理如下：點(diǎn)A，C分別轉(zhuǎn)到了點(diǎn)C，A處，而B點(diǎn)轉(zhuǎn)到了點(diǎn)D處．∵CB＝AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．小明為保證嘉淇的推理更嚴(yán)謹(jǐn)，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四邊形……”之間作補(bǔ)充．下列正確的是() A．嘉淇推理嚴(yán)謹(jǐn)，不必補(bǔ)充 B．應(yīng)補(bǔ)充：且AB＝CD， C．應(yīng)補(bǔ)充：且AB∥CD， D．應(yīng)補(bǔ)充：且OA＝OC，變式訓(xùn)練B

方法指導(dǎo)判定平行四邊形的基本思路：(1)若已知一組對(duì)邊平行，可以證這一組對(duì)邊相等或另一組對(duì)邊平行．(2)若已知一組對(duì)邊相等，可以證這組對(duì)邊平行或另一組對(duì)邊相等．(3)若已知一組對(duì)角相等，可以證另一組對(duì)角相等．(4)若已知條件與對(duì)角線有關(guān)，可以證明對(duì)角線互相平分．焦點(diǎn)2平行四邊形的性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算樣題2如圖，在?ABCD中，BE平分∠ABC且交AD邊于點(diǎn)E，AB＝6cm，BC＝10cm.(1)求?ABCD的周長；(2)求線段DE的長．[分析]

(1)已知平行四邊形的兩鄰邊，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)邊相等，即可求出?ABCD的周長；(2)由平行四邊形的性質(zhì)及角平分線的定義可得出AB＝AE，進(jìn)而利用題中數(shù)值即可求出DE的長．[解答]解：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝6cm，BC＝10cm.∴?ABCD的周長為2(AB＋BC)＝2×(6＋10)＝32(cm)．(2)在?ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝6cm.又AD＝BC＝10cm，∴DE＝AD－AE＝10－6＝4(cm)，即線段DE的長為4cm.3．(2020·溫州)如圖，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，點(diǎn)D在AC邊上，以CB，CD為邊作?BCDE，則∠E的度數(shù)為() A．40° B．50° C．60° D．70°D變式訓(xùn)練4．(2020·天津)如圖，?ABCD的頂點(diǎn)C在等邊△BEF的邊BF上，點(diǎn)E在AB的延長線上，G為DE的中點(diǎn)，連接CG.若AD＝3，AB＝CF＝2，則CG的長為______.

5．(2020·廣元)已知?ABCD，O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過O的一條直線交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F.(1)求證：△AOE≌△COF；(2)若AE∶AD＝1∶2，△AOE的面積為2，求?ABCD的面積．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO.∵O是AC的中點(diǎn)，∴OA＝OC.在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF(ASA)．

∵△AOE的面積為2，∴△ADC的面積為8，∴S?ABCD＝2×8＝16.利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算的一般思路為：(1)運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化角度或線段之間的等量關(guān)系：①對(duì)邊平行可得相等的角，進(jìn)而可得相似三角形；②對(duì)邊相等、對(duì)角線互相平分可得相等的線段；③當(dāng)有角平分線的條件時(shí)，可利用“平行＋角平分線可得等腰三角形”的結(jié)論得到等角、等邊．方法指導(dǎo)(2)找到所求線段或角所在的三角形，若三角形為特殊三角形，則注意運(yùn)用特殊三角形的性質(zhì)求解；若三角形為任意三角形，可以利用某兩個(gè)三角形全等或相似的性質(zhì)進(jìn)行求解，有時(shí)還可利用三角形的中位線等知識(shí)求解．1．(2020·宜昌)游戲中有數(shù)學(xué)智慧，找起點(diǎn)游戲規(guī)定：從起點(diǎn)走五段相等直路之后回到起點(diǎn)，要求每走完一段直路后向右邊偏行，成功的招數(shù)不止一招，可助我們成功的一招是() A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走 B．每段直路要短 C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走 D．每段直路要長提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)A2．小峰不慎將一塊平行四邊形玻璃打碎成如圖所示的四塊，為了能在商店配到一塊與原來相同的玻璃，他帶了兩塊碎玻璃，其編號(hào)應(yīng)該是() A．①，② B．①，④

C．③，④