高二數(shù)學(xué)寒假講義練習(xí)（新人教A專用）第12講 排列組合（教師卷）

第12講排列組合【【考點目錄】【【知識梳理】知識點1排列與組合(1)排列：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.兩個排列相同的充要條件是：兩個排列的元素完全相同，且元素的排列順序也相同.(2)排列數(shù)定義及表示從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號Aeq\o\al(m,n)表示.全排列的概念n個不同的元素全部取出的一個排列.階乘的概念正整數(shù)1到n的連乘積，用n！表示.Aeq\o\al(n,n)＝n！，0?。?.排列數(shù)公式(n，m∈N*，m≤n).Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1).階乘式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,（n－m）！).(3)組合：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.(4)組合數(shù)定義及表示從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號Ceq\o\al(m,n)表示.組合數(shù)公式乘積式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！).階乘式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m?。╪－m）！).兩個性質(zhì)性質(zhì)1Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).性質(zhì)2Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).3.Aeq\o\al(m,n)＝(n－m＋1)Aeq\o\al(m－1,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1)；(n＋1)！－n?。絥·n！.4.kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1)；Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m－1,n－1)＋Ceq\o\al(m－1,n－2)＋…＋Ceq\o\al(m－1,m－1).知識點2有約束條件的排列問題一般有以下幾種基本類型與方法：①特殊元素優(yōu)先考慮；②對于相鄰問題采用“捆綁法”，整體參與排序后，再考慮“捆綁”部分的排序；③對于不相鄰問題，采用“插空”法，先排其他元素，再將不相鄰元素插入空檔；④對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列數(shù).知識點3解組合問題時要注意①分類時不重不漏；②注意間接法的使用，在涉及“至多”“至少”等問題時，多考慮用間接法(排除法)；知識點4分堆與分配問題平均分配給不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆數(shù)的全排列.分堆到位相當(dāng)于分堆后各堆再全排列，平均分堆不到指定位置，其分法數(shù)為：eq\f(平均分堆到指定位置,堆數(shù)的階乘).對于分堆與分配問題應(yīng)注意：①處理分配問題要注意先分堆再分配；②被分配的元素是不同的(如“名額”等則是相同元素，不適用)，位置也應(yīng)是不同的(如不同的“盒子”)；③分堆時要注意是否均勻，如6分成(2，2，2)為均勻分組，分成(1，2，3)為非均勻分組，分成(4，1，1)為部分均勻分組.【【考點剖析】考點一排列的基本問題全排列問題1．（2023秋·天津紅橋·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)字1，2，3，4，5．(1)可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)；(2)可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)．【答案】(1)120(2)48【分析】（1）將5個數(shù)進行全排列，利用排列數(shù)公式即可得出答案.（2）先排個位數(shù)，從2，4中選一個數(shù)排在個數(shù),其余的位置即剩下的4個數(shù)進行全排列即可得出答案.（1）由題意可得：將5個數(shù)進行全排列，即個.（2）先排個位數(shù)，從2，4中選一個數(shù)排在個數(shù)有：個，其余的位置即剩下的4個數(shù)進行全排列，即個，所以可以組成個沒有重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù).2．（2023春·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期末）若把英語單詞“”的字母順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤有______種．【答案】23【分析】先計算該單詞所有字母能夠組成的所有排列情況，然后減去正確的，即是可能出現(xiàn)錯誤的情況.【詳解】因為“”四個字母組成的全排列共有（種）結(jié)果，其中只有排列“”是正確的，其余全是錯誤的，故可能出現(xiàn)錯誤的共有（種）.故答案為：23.3．（2023秋·廣東佛山·高二統(tǒng)考期末）某同學(xué)有2本不同的語文書，3本不同的數(shù)學(xué)書，2本不同的英語書，如果要將全部的書放在一個單層的書架上，且不使同類的書分開，則不同的放法種數(shù)是______（用數(shù)字作答）【答案】144【分析】將同一類型的書做全排列，再三類書做全排列，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，種.故答案為：1444．（2023秋·江蘇蘇州·高二蘇州中學(xué)?？计谀┯幸粋€“國際服務(wù)”項目截止到2022年7月25日還有8個名額空缺，需要分配給3個單位，則每個單位至少一個名額且各單位名額互不相同的分配方法種數(shù)是___________.【答案】12【分析】首先確定3個單位名額互不相同的分配方式種數(shù)，再應(yīng)用全排列求每種方式的分配方法數(shù)，即可得結(jié)果.【詳解】各單位名額各不相同，則8個名額的分配方式有，兩種，對于其中任一種名額分配方式，將其分配給3個單位的方法有種，所以每個單位至少一個名額且各單位名額互不相同的分配方法種數(shù)是種.故答案為：12元素（位置）有限制的排列問題5．【多選】（2023秋·江蘇揚州·高二統(tǒng)考期末）現(xiàn)有2名男同學(xué)與3名女同學(xué)排成一排，則（

）A．女生甲不在排頭的排法總數(shù)為24B．男女生相間的排法總數(shù)為12C．女生甲、乙相鄰的排法總數(shù)為48D．女生甲、乙不相鄰的排法總數(shù)為72【答案】BCD【分析】A.利用排除法求解判斷；B.利用插空法求解判斷；C.利用捆綁法求解判斷；D.利用插空法求解判斷.【詳解】A.女生甲在排頭的排法有，所以女生甲不在排頭的排法總數(shù)為，故錯誤；B.2名男同學(xué)全排列為種，產(chǎn)生3個空，再將3名女同學(xué)排上有種，所以男女生相間的排法總數(shù)為，故正確；C.女生甲、乙相鄰看作一個元素，則種，女生甲、乙再排列有種，所以女生甲、乙相鄰的排法總數(shù)為種，故正確；D.除女生甲、乙以外3人全排列有種，產(chǎn)生4個空，再將女生甲、乙排上有種，所以女生甲、乙不相鄰的排法總數(shù)種，故正確故選：BCD6．（2023秋·遼寧丹東·高二統(tǒng)考期末）甲、乙、丙、丁名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲、乙不能同時站在兩端，則不同排列方式共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【分析】在四人全排的排法中，減去甲、乙同時站在兩端的排法，即可得解.【詳解】利用間接法，將四人全排，共種不同的排法，若甲、乙同時站在兩端，此時有種不同的排法.因此，若甲、乙不能同時站在兩端，則不同排列方式共有種.故選：D.7．（2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）5名學(xué)生，1名教師站成前后兩排照相，要求前排3人，后排3人，其中教師必須站在前排，那么不同的排法共有（

）A．30種 B．360種 C．720種 D．1440種【答案】B【分析】先排教師的位置，再排5名學(xué)生，從而可得不同的排法.【詳解】教師在前排，由3種排法，5名學(xué)生，前排2位，后排3位，共有，故不同的排法總數(shù)為，故選：B.8．（2023秋·四川眉山·高二統(tǒng)考期末）某中學(xué)舉行的秋季運動會中，有甲?乙?丙?丁四位同學(xué)參加100米短跑決賽，現(xiàn)將四位同學(xué)安排在1，2，3，4這4個跑道上，每個跑道安排一名同學(xué)，則甲不在2跑道，乙不在4跑道的不同安排方法種數(shù)為（

）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【分析】根據(jù)題意，按甲是否在道上分2種情況討論，求出每種情況的安排方法數(shù)目，由加法原理計算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：①若甲在道上，剩下3人任意安排在其他3個跑道上，有種排法，②若甲不在道上，甲的安排方法有2種，乙的安排方法也有2種，剩下2人任意安排在其他2個跑道上，有2種安排方法，此時有種安排方法，故共有種不同的安排方法，故選：B．9．（2023秋·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）甲?乙?丙三人相約一起去做核酸檢測，到達檢測點后，發(fā)現(xiàn)有兩支正在等待檢測的隊伍，則甲?乙?丙三人不同的排隊方案共有（

）A．12種 B．18種 C．24種 D．36種【答案】C【分析】對該問題進行分類，分成以下情況①3人到隊伍檢測，②2人到隊伍檢測，③1人到隊伍檢測，④0人到隊伍檢測；然后，逐個計算后再相加即可求解；注意計算時要考慮排隊時的順序問題.【詳解】先進行分類：①3人到隊伍檢測，考慮三人在隊的排隊順序，此時有種方案；②2人到隊伍檢測，同樣要考慮兩人在隊的排隊順序，此時有種方案；③1人到隊伍檢測，要考慮兩人在隊的排隊順序，此時有種方案；④0人到隊伍檢測，要考慮兩人在隊的排隊順序，此時有種方案；所以，甲?乙?丙三人不同的排隊方案共有24種.故選：C10．（2023秋·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字且比1000大的四位偶數(shù)共有（

）A．56個 B．60個 C．66個 D．72個【答案】B【分析】分個位是0和不是0兩種情況，去求用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字且比1000大的四位偶數(shù)【詳解】①末位是0時，滿足條件的偶數(shù)有個；②末位不是0時，滿足條件的偶數(shù)有個.滿足條件的四位偶數(shù)的個數(shù)為，故選：B.相鄰問題的排列問題11．（2023秋·福建泉州·高二福建省德化第一中學(xué)?？计谀┘?、乙、丙3名數(shù)學(xué)競賽獲獎同學(xué)邀請2名指導(dǎo)教師站在一排合影留念，若2名教師不相鄰，且教師不站在兩端，則不同的站法種數(shù)是（

）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】B【分析】利用分步計數(shù)原理即可求解.【詳解】先安排2名同學(xué)在兩端，有種方法，2名老師內(nèi)部全排有種方法，2名老師不相鄰，需剩余同學(xué)排兩個老師中間，根據(jù)分步計數(shù)原理，共有種方法，故選：B12．（2023秋·上海徐匯·高二期末）用1、2、3、4、5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，要求所有相鄰兩個數(shù)字的奇偶性都不同，且1和2相鄰，則這樣的六位數(shù)的個數(shù)為（

）A．20 B．40 C．60 D．80【答案】B【分析】利用分步計數(shù)原理分三步計算：第一步：先將3、5排列，第二步：再將4、6插空排列，第三步：將1、2放到3、5、4、6形成的空中即可．【詳解】解：依題意分三步完成，第一步：先將3、5排列，共有種排法；第二步：再將4、6插空排列，共有種排法；第三步：將1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有種排法．由分步乘法計數(shù)原理得共有（種．故選：B13．（2023秋·上海靜安·高二?？计谀┯?名學(xué)生排成一排，甲?乙相鄰的排法種數(shù)為___________，甲不在排頭，乙不在排尾的排法種數(shù)為___________.（用數(shù)字作答）【答案】

10080

30960【分析】（1）把甲乙兩人捆綁在一起看作一個復(fù)合元素，再和另外6人全排列；（2）可采用間接法得到；【詳解】（1）把甲乙兩人捆綁在一起看作一個復(fù)合元素，再和另外6人全排列，故有種情況；（2）利用間接法，用總的情況數(shù)減去甲在排頭、乙在排尾的情況數(shù)，再加上甲在排頭同時乙在排尾的情況，故有種情況故答案為：10080；3096014．（2023秋·上海崇明·高二統(tǒng)考期末）某辦公樓前有7個連成一排的車位，現(xiàn)有三輛不同型號的車輛停放，恰有兩輛車停放在相鄰車位的方法有___________種．【答案】120【分析】從3輛車中挑出2輛車排列好之后進行捆綁看作一個元素，另一輛看作另一個元素，這兩個元素不相鄰，將這兩個元素插入另外4個車位形成的5個空位中.【詳解】從3輛車中挑出2輛車排列好之后進行捆綁看作一個元素，有種方法；另一輛看作另一個元素，這兩個元素不相鄰，將這兩個元素插入另外4個車位形成的5個空位中，有種，因此共有種.故答案為：120不相鄰排列問題15．（2023秋·河北唐山·高二?？计谀?個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的方法有（

）A．5種 B．6種 C．10種 D．20種【答案】C【分析】利用插空法計算可得，需注意個不需要排列；【詳解】解：依題意利用插空法，個有個位置可以放，故方法有種；故選：C．16．（2023秋·貴州黔東南·高二統(tǒng)考期末）小紅，小明，小芳，張三，李四共有5名同學(xué)參加演講比賽，在安排出場順序時，小紅、小明排在一起，且小芳與小紅、小明都不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用捆綁法和插空法進行求解即可.【詳解】解：由題意得：5名同學(xué)參加演講比賽出場順序總的方法：種；將小紅小明捆在一起，然后張三李四兩個排列，再后小芳與小紅小明組插空，總的方法數(shù)有：種在安排出場順序時，小紅、小明排在一起，且小芳與小紅、小明都不相鄰的概率為故選：C17．（2023秋·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學(xué)?？计谀?個人隨機去坐連成一排的11個座位，由于受新冠疫情影響，要求他們每兩人之間至少留有一個空位，則不同的坐法有______種．【答案】1680【分析】利用插空法求解即可.【詳解】4個人坐11個座位，有7個空位，7個空位產(chǎn)生8個空擋，選4個空擋給4個人坐，有種坐法．故答案為：168018．（2023秋·陜西咸陽·高二校考期末）現(xiàn)有7位同學(xué)（分別編號為A，B，C，D，E，F(xiàn)，G）排成一排拍照，若其中A，B，C三人互不相鄰，D，E兩人也不相鄰，而F，G兩人必須相鄰，求不同的排法總數(shù)．【答案】種【分析】把排列，產(chǎn)生4個空位，然后將看作一個整體與插入到中可求解.【詳解】解：因兩人必須相鄰，所以把看作一個整體有種排法.又三人互不相鄰，兩人也不相鄰，所以把排列，有種排法，產(chǎn)生了4個空位，再用插空法.（1）當(dāng)分別插入到中間的兩個空位時，有種排法，再把整體插入到此時產(chǎn)生的6個空位中，有6種排法.（2）當(dāng)分別插入到中間的兩個空位其中一個和兩端空位其中一個時，有種排法，此時必須排在中間的兩個空位的另一個空位，有1種排法.所以共有.19．（2023秋·河南安陽·高二統(tǒng)考期末）2022年央視春晩出現(xiàn)了很多優(yōu)秀的歌曲、小品、相聲等節(jié)目，現(xiàn)將歌曲《你是我生命中的禮物》《我們的時代》《愛在一起》《春天的鐘聲》，冬奧主題歌曲《點亮夢》，小品《父與子》《還不還》《喜上加喜》《發(fā)紅包》《休息區(qū)的故事》，相聲《歡樂方言》《像不像》這12個節(jié)目進行排列，則冬奧主題歌曲《點亮夢》排在最后一位，相聲《歡樂方言》與《像不像》不相鄰，小品《喜上加喜》與《發(fā)紅包》相鄰的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】基本事件的總個數(shù)是12個節(jié)目的全排列數(shù)，所求概率事件所含有的基本事件方法數(shù)用排列的知識求解：冬奧主題歌曲在最后一位，先放好，其他的相鄰的用捆綁法作為一個元素，不相鄰的用插空法計算可得，然后由概率公式計算．【詳解】所求事件發(fā)生的概率為，故選：B．20．（2023秋·湖南永州·高二永州市第一中學(xué)校考期末）A，B，C，D，E，F(xiàn)這6位同學(xué)站成一排照相，要求A與C相鄰且A排在C的左邊，B與D不相鄰且均不排在最右邊，則這6位同學(xué)的不同排法數(shù)為（

）A．72 B．48 C．36 D．24【答案】C【分析】第一步：捆綁與除B、D以外的其他2位同學(xué)進行排列第二步：采用“插空法”；然后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可得到答案【詳解】首先將A與C捆綁到一起，與除B、D以外的其他2位同學(xué)共3個元素進行排列，有種排法，再將B、D插空到除最右邊的3個位置中，有種排法，因此共有種排法，故選：C定序問題21．（2023秋·上海金山·高二上海市金山中學(xué)?？计谀┠炒窝莩鲇?個節(jié)目，若甲、乙、丙3個節(jié)目的先后順序已確定，則不同的排法有____種．【答案】【分析】根據(jù)已知條件求出6個節(jié)目全排的種數(shù)，再求出甲、乙、丙3個節(jié)目全排的種數(shù)，二者相除即可求解.【詳解】演出中的6個節(jié)目全排列有,甲、乙、丙3個節(jié)目全排列有,所以演出中的6個節(jié)目，若甲、乙、丙3個節(jié)目的先后順序已確定，則不同的排法有，故答案為：.22．（2023秋·安徽合肥·高二合肥市第十一中學(xué)校聯(lián)考期末）有名男生與名女生，在下列不同條件下，分別求排法種數(shù)(要求用數(shù)字作答).（1）全體排成一排，女生必須站在一起；（2）全體排成一排，男生互不相鄰；（3）全體排成一行，其中甲，乙，丙三人從左至右的順序不變.【答案】（1）576；（2）1440；（3）840.【分析】（1）相鄰問題采用捆綁法即可求出排法種數(shù)；（2）不相鄰問題采用插空法即可求出排法種數(shù)；（3）根據(jù)定序法即可求出排法種數(shù).【詳解】（1）將女生看成一個整體，與3名男生在一起進行全排列，有種方法，再將4名女生進行全排列，也有種方法，故共有種排法；（2）男生不相鄰，而女生不作要求，所以應(yīng)先排女生，有種方法，再在女生之間及首尾空出的5個空位中任選3個空位排男生，有種方法，故共有種排法.（3）把名男生與名女生進行全排列，共有中排列方法，其中甲，乙，丙三人從左至右的順序不變有種排列方法.23．（2023秋·天津濱海新·高二天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？计谀┰?所高水平的高校代表隊中，選擇5所高校進行航模表演.如果、為必選的高校，并且在航模表演過程中必須按先后的次序（、兩高校的次序可以不相鄰），則可選擇的不同航模表演順序有_______.【答案】1200.【分析】首先從從8所高校中選出5所，除去、還需要選3所，再分、兩高校不相鄰和、兩高校相鄰兩種情況即可求出結(jié)果.【詳解】從8所高校中選出5所，除去、還需要選3所，選法是種，當(dāng)、兩高校不相鄰時，不同的表演順序有，當(dāng)、兩高校相鄰時，不同的表演順序有，因此可選擇的不同航模表演順序有種.故答案為：1200.24．（2023秋·全國·高二期末）某公司為慶祝年利潤實現(xiàn)目標(biāo)，計劃舉行答謝聯(lián)歡會，原定表演6個節(jié)目，已排成節(jié)目單，開演前又臨時增加了2個互動節(jié)目.如果保持原節(jié)目的順序不變，那么不同排法的種數(shù)為（

）.A．42 B．56 C．30 D．72【答案】B【分析】利用倍縮法，先將8個節(jié)目排好，由于原來6個節(jié)目順序不變，則要除以原有的6個節(jié)目對應(yīng)的不同排法，即可得解.【詳解】解：增加2個互動節(jié)目后，一共有8個節(jié)目，這8個節(jié)目的不同排法有種，而原有的6個節(jié)目對應(yīng)的不同排法共有種，所以不同的排法有（種）.故選：B.正難則反25．（2023秋·吉林·高二校聯(lián)考期末）2022年6月17日，我國第三艘航母“福建艦”正式下水．現(xiàn)要給“福建艦”進行航母編隊配置科學(xué)試驗，要求2艘攻擊型核潛艇一前一后，3艘驅(qū)逐艦和3艘護衛(wèi)艦分列左右，每側(cè)3艘，同側(cè)不能都是同種艦艇，則艦艇分配方案的方法數(shù)為（

）A．72 B．324 C．648 D．1296【答案】D【分析】先排核潛艇，再分配3艘驅(qū)逐艦和3艘護衛(wèi)艦，用艦艇任意的分配數(shù)減去同側(cè)都是同種艦艇的分配數(shù)，再根據(jù)分步乘法原理即可求得答案.【詳解】由題意，2艘攻擊型核潛艇一前一后，分配方案有種，3艘驅(qū)逐艦和3艘護衛(wèi)艦分列左右，任意分配有種，同側(cè)的是同種艦艇的分配方案有種，故符合題意要求的艦艇分配方案的方法數(shù)為,故選：D26．（2023秋·全國·高二期末）某高中從3名男教師和2名女教師中選出3名教師，派到3個不同的鄉(xiāng)村支教，要求這3名教師中男女都有，則不同的選派方案共有（

）種A．9 B．36 C．54 D．108【答案】C【分析】根據(jù)給定條件利用排列并結(jié)合排除法列式計算作答.【詳解】從含有3名男教師和2名女教師的5名教師中任選3名教師，派到3個不同的鄉(xiāng)村支教，不同的選派方案有種，選出3名教師全是男教師的不同的選派方案有種，所以3名教師中男女都有的不同的選派方案共有種故選：C27．【多選】（2023秋·廣東清遠·高二統(tǒng)考期末）現(xiàn)分配甲、乙、丙三名臨床醫(yī)學(xué)檢驗專家到A，B，C，D，E五家醫(yī)院進行核酸檢測指導(dǎo)，每名專家只能選擇一家醫(yī)院，且允許多人選擇同一家醫(yī)院，則（

）A．所有可能的安排方法有125種B．若A醫(yī)院必須有專家去，則不同的安排方法有61種C．若專家甲必須去A醫(yī)院，則不同的安排方法有16種D．若三名專家所選醫(yī)院各不相同，則不同的安排方法有10種【答案】AB【分析】利用分步計數(shù)原理及排列知識逐項分析即得.【詳解】對于A，每名專家有5種選擇方法，則所有可能的安排方法有種，A正確；對于B，由選項A知，所有可能的方法有種，A醫(yī)院沒有專家去的方法有種，所以A醫(yī)院必須有專家去的不同的安排方法有種，B正確；對于C，專家甲必須去A醫(yī)院，則專家乙、丙的安排方法有種，C錯誤；對于D，三名專家所選醫(yī)院各不相同的安排方法有種，D錯誤．故選：AB.考點二組合的基本問題實際問題中的組合問題28．（2023秋·上海黃浦·高二上海市向明中學(xué)?？计谀┤鐖D，在某城市中，兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中是道路網(wǎng)中的一點．今在道路網(wǎng)處的甲、乙兩人分別要到處，其中甲每步只能向右走或者向上走，乙每步只能向下或者向左走．(1)求甲從到達處的走法總數(shù)；(2)求甲乙兩人在相遇的方法數(shù)．【答案】(1)924種(2)50625種【分析】（1）甲從到達需要走12步，結(jié)合分步計算原理即可得到方法數(shù)；（2）分別求出甲經(jīng)過的方法數(shù)，乙經(jīng)過的方法數(shù)，即可得到甲乙在相遇的方法數(shù).【詳解】（1）甲從出發(fā)走到需要走12步，向右、向上各走6步，走法總數(shù)為種.（2）甲經(jīng)過的方法數(shù)為種，乙經(jīng)過的方法數(shù)為種，所以甲乙兩人在相遇的方法數(shù)為種.29．（2023秋·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）某校為落實“雙減”政策，在課后服務(wù)時間開展了豐富多彩的體育興趣小組活動.現(xiàn)有，，，四名同學(xué)擬參加足球、籃球、排球、羽毛球、乒乓球等五項活動，由于受個人精力和時間限制，每個人只能等可能的參加其中一項，則恰有兩人參加同一項活動的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先分析得到四名同學(xué)總共的選擇為個選擇，然后分析恰有兩人參加同一項活動的情況為，則剩下兩名同學(xué)不能再選擇同一項活動，他們的選擇情況為，再根據(jù)古典概型的概率公式計算可得．【詳解】解：每人只能等可能的選擇參加五項活動中的一項活動，且可以參加相同的活動，四名同學(xué)總共的選擇為個選擇，恰有兩人參加同一項活動的情況為，剩下兩名同學(xué)的選擇有種，恰有兩人參加同一項活動的概率為．故選：B．30．（2023秋·河南信陽·高二統(tǒng)考期末）用紅、黃、藍，紫四種顏色隨機地給正四面體的四個頂點染色，則“恰有一個面上的三個頂點同色”的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得每個頂點各有四種涂色方法總數(shù)為，再求得“恰有一個面上的三個頂點同色“包含的基本事件個數(shù)，結(jié)合古典摡型的概率公式，即可求解.【詳解】用紅、黃、藍、紫四種顏色隨機地給正四面體的四個頂點染色，基本事件總數(shù)，恰有一個面上的三個頂點同色“包含的基本事件個數(shù)，則“恰有一個面上的三個頂點同色“的概率為故選：D.31．（2023秋·上海閔行·高二校考期末）書架上有2本不同的數(shù)學(xué)書，3本不同的語文書，4本不同的英語書．若從這些書中取不同科目的書兩本，有____種不同的取法．【答案】26【分析】分三種情況討論即可求解.【詳解】取兩本不同科目的書，可以分三種情況：①一本數(shù)學(xué)書和一本語文書，有種；②一本數(shù)學(xué)書和一本英語書，有種；③一本語文書和一本英語書，有種.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有種不同的取法.故答案為：26代數(shù)中的組合計數(shù)問題32．（2023春·四川攀枝花·高二統(tǒng)考期末）千年一遇對稱日，萬事圓滿在今朝，年月日又是一個難得的“世界完全對稱日”（公歷紀(jì)年日期中數(shù)字左右完全對稱的日期）.數(shù)學(xué)上把這樣的對稱自然數(shù)叫回文數(shù)，兩位數(shù)的回文數(shù)共有個（），其中末位是奇數(shù)的又叫做回文奇數(shù)，則在內(nèi)的回文奇數(shù)的個數(shù)為___．【答案】【分析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，結(jié)合題中定義、組合的定義進行求解即可.【詳解】兩位數(shù)的回文奇數(shù)有，共個，三位數(shù)的回文奇數(shù)有，四位數(shù)的回文奇數(shù)有，所以在內(nèi)的回文奇數(shù)的個數(shù)為，故答案為：33．（2023春·江蘇南通·高二江蘇省如皋中學(xué)?？计谀?，3，5，7中任取2個數(shù)字，從0，2，4，6，8中任取2個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有___________個.（用數(shù)字作答）【答案】1296【分析】根據(jù)取出的數(shù)字是否含有零，分類討論，若不含零，則有四位數(shù)個，若含有零，則有四位數(shù)個，再根據(jù)分類加法計數(shù)原理即可求出．【詳解】若取出的數(shù)字中不含零，則有四位數(shù)個；若取出的數(shù)字中含零，則有四位數(shù)個；所以，這樣的四位數(shù)有個．故答案為：1296．34．（2023秋·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）若將4名志愿者分配到3個服務(wù)點參加抗疫工作，每人只去1個服務(wù)點，每個服務(wù)點至少安排1人，則不同的安排方法共有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．72種【答案】C【分析】先選后排可得答案.【詳解】將4名志愿者分配到3個服務(wù)點參加抗疫工作，每人只去1個服務(wù)點，每個服務(wù)點至少安排1人，則不同的安排方法共有種.故選：C.幾何組合計數(shù)問題35．（2023春·上海楊浦·高二上海市楊浦高級中學(xué)?？计谀┰谡襟w的12條棱中任選3條，其中任意2條所在的直線都是異面直線的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)確定3條棱兩兩互為異面直線的情況數(shù)，結(jié)合組合數(shù)及古典概率的求法，求任選3條其中任意2條所在的直線是異面直線的概率.【詳解】如下圖，正方體中如：中任意2條所在的直線都是異面直線，∴這樣的3條直線共有8種情況，∴任選3條，其中任意2條所在的直線都是異面直線的概率為.故選：B.36．（2023春·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中校考期末）已知直線ax＋by－1＝0(a，b不全為0)與圓x2＋y2＝50有公共點，且公共點的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線有________條．【答案】72【分析】確定圓上整點個數(shù)，過其中任兩點的直線去除過原點的直線，以及過整點的切線均符合題意，由此可得結(jié)論．【詳解】圓在第一象限內(nèi)有，，三個整點，圓與坐標(biāo)軸交點不是整點，因此共有12個整點，過其中任兩點的直線有條，其中有6條過原點去除，另外過圓的任一整點還各有一條切線，因此所求直線的條數(shù)為．故答案為：72．37．（2023秋·全國·高二期末）如圖，已知面積為1的正三角形三邊的中點分別為，，，則從，，，，，六個點中任取三個不同的點構(gòu)成的面積為的三角形的個數(shù)為（

）A．4 B．6 C．10 D．11【答案】C【分析】分兩類;兩個中點和一個頂點構(gòu)成的三角形,三個中點構(gòu)成的三角形，由分類加法計數(shù)原理可求.【詳解】從，，，，，六個點中任取三個不同的點構(gòu)成的面積為的三角形有兩類：第一類，兩個中點和一個頂點構(gòu)成的三角形，共有（個）；第二類，三個中點構(gòu)成的三角形，共有（個），由分類加法計數(shù)原理，知面積為的三角形的個數(shù)為．故選：C．考點三排列、組合的綜合問題（一）分堆與分配問題38．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二?？计谀┈F(xiàn)有6本不同的書，如果滿足下列要求，分別求分法種數(shù)．(1)分成三組，一組3本，一組2本，一組1本；(2)分給三個人，一人3本，一人2本，一人1本；(3)平均分成三個組每組兩本．【答案】(1)60；(2)360；(3)15.【分析】（1）根據(jù)題意，由分步計數(shù)原理直接計算可得答案；（2）根據(jù)題意，先將6本書分為1、2、3的三組，再將分好的三組分給3人，由分步計數(shù)原理計算可得答案；（3）根據(jù)題意，由平均分組公式計算可得答案．【詳解】（1）根據(jù)題意，第一組3本有種分法，第二組2本有種分法，第三組1本有1種分法，所以共有種分法.（2）根據(jù)題意，先將6本書分為1、2、3的三組，有種分法，再將分好的三組分給3人，有種情況，所以共有種分法.（3）根據(jù)題意，將6本書平均分為3組，有15種不同的分法．39．（2023秋·河南南陽·高二鄧州市第一高級中學(xué)校?？计谀榱俗龊眯鹿诜窝滓咔槌B(tài)化防控工作，推進疫苗接種進度，降低新冠肺炎感染風(fēng)險，某醫(yī)院準(zhǔn)備將2名醫(yī)生和6名護士分配到2所學(xué)校，設(shè)立疫苗接種點，免費給學(xué)校老師和學(xué)生接種新冠疫苗，若每所學(xué)校分配1名醫(yī)生和3名護士，則不同的分配方法共有______種.【答案】40【分析】任選1名醫(yī)生和3名護士，將醫(yī)護人員分成兩組安排到2所學(xué)校即可.【詳解】1、選1名醫(yī)生和3名護士的方法數(shù)為種；2、由第一步得到兩組醫(yī)護人員，將其安排到2所學(xué)校的方法數(shù)為種.所以不同的分配方法共有種.故答案為：4040．（2023春·北京·高二北京八中校考期末）為迎接第24屆冬季奧運會，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名學(xué)生擔(dān)任冰球、冰壺和短道速滑三個項目的志愿者，每個比賽項目至少安排1人，每人只能安排到1個項目，則所有排法的總數(shù)為（

）A．60 B．120 C．150 D．240【答案】C【分析】結(jié)合排列組合的知識，分兩種情況求解.【詳解】當(dāng)分組為1人,1人,3人時，有種，當(dāng)分組為1人，2人，2人時有種，所以共有種排法.故選：C41．（2023秋·安徽黃山·高二統(tǒng)考期末）某校從8名青年教師中選派4名分別作為四個學(xué)生社團的指導(dǎo)教師，每個社團各派去1名教師，其中教師甲和乙不能同時參加，甲和丙只能都參加或都不參加，則不同的選派方案有（

）A．360種 B．480種 C．600種 D．720種【答案】C【分析】根據(jù)題意分三種情況：甲參加，乙不參加，或甲不參加，乙不參加，或甲不參加，乙參加，求出分配的方法數(shù)，然后利用分類加法原理可求得結(jié)果【詳解】若甲參加，乙不參加，則丙參加，只需從剩余5人中選出2人，再分配即可，此時有：種情況；若甲不參加，乙不參加，則丙不參加，只需從剩余5人中選出4人，再分配即可，此時有：種情況；若甲不參加，乙參加，則丙不參加，只需從剩余5人中選出3人，再分配即可，此時有：種情況；故共有：種情況.故選：C.42．（2023秋·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）當(dāng)前，國際疫情仍未得到有效控制，國內(nèi)防控形勢依然嚴峻?復(fù)雜.某地區(qū)安排A，B，C，D四名同志到三個地區(qū)開展防疫宣傳活動，每個地區(qū)至少安排一人，每人只去一個地區(qū)，且A，B兩人不安排在同一個地區(qū)，則不同的分配方法總數(shù)為（

）A．24種 B．30種 C．36種 D．72種【答案】B【分析】分和各去一個地區(qū)，同去一個地區(qū)；和中的1人同去一個地區(qū)，和另一人各去一個地區(qū)；和中的1人同去一個地區(qū)，和另一人各去一個地區(qū)分別計算，再由分類加法原理求解即可.【詳解】若和各去一個地區(qū)，同去一個地區(qū)，則共有種方案；若和中的1人同去一個地區(qū)，和另一人各去一個地區(qū)，則共有種方案；若和中的1人同去一個地區(qū)，和另一人各去一個地區(qū)，則共有種方案；由分類加法原理可得共有種方案.故選：B.43．（2023秋·福建莆田·高二莆田一中校考期末）現(xiàn)有5名師范大學(xué)畢業(yè)生主動要求到西部某地的甲、乙、丙三校支教，每個學(xué)校至少去1人，則恰好有2名大學(xué)生分配到甲校的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求分組分配后的方法種數(shù)，再求恰好有2名大學(xué)生分配到甲校的方法種數(shù)，再求概率.【詳解】按1+1+3分組：種（1與1自然成堆），從而有按1+2+2分組：種，從而有,故所有的分配方法有60+90=150種，甲校恰好分配到兩人的分配方法有種，則概率為.故選：A.44．（2023秋·福建福州·高二福建省福州延安中學(xué)?？计谀⒓?、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個班，則不同分法的種數(shù)為______．【答案】30【分析】先取2人一組且甲乙不在一組共有種，與剩余2人一起分配到3個不同的班級，再由分步乘法計數(shù)原理求得結(jié)果.【詳解】取兩個人一組，其中甲乙不在一組，共有種取法，剩余的2人和這一組分別分到三個不同的班級共有種分法，由分步乘法計數(shù)原理知，不同分法的種數(shù)為種.故答案為：3045．【多選】（2023秋·吉林長春·高二長春吉大附中實驗學(xué)校?？计谀┈F(xiàn)有5名同學(xué)報名參加3個不同的課后服務(wù)小組，每人只能報一個小組（

）A．若報名沒有任何限制，則共有種不同的安排方法B．若報名沒有任何限制，則共有種不同的安排方法C．若每個小組至少要有1人參加，則共有540種不同的安排方法D．若每個小組至少要有1人參加，則共有150種不同的安排方法【答案】BD【分析】利用分步計數(shù)原理及排列組合分析即得.【詳解】5名同學(xué)報名參加3個不同的課后服務(wù)小組，每人只能報一個小組，若報名沒有任何限制，則每人都有3種選擇，故共有種不同的安排方法，故B正確，A錯誤；若每個小組至少要有1人參加，則先分組后排列，先將5名同學(xué)分為三組有種方法，再將分好的三組分到3個不同的課后服務(wù)小組有種情況，所以每個小組至少要有1人參加，則共有種不同的安排方法，故C錯誤，D正確.故選：BD.（二）數(shù)字排列問題46．（2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)校考期末）（1）用1、2、3、4、5可以組成多少個四位數(shù)？（2）用0，1，2，3，4，5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？【答案】（1）若組成的四位數(shù)的數(shù)字不能重復(fù)，可組成120個四位數(shù)；若組成的四位數(shù)的數(shù)字能重復(fù)，可組成625個四位數(shù)（2）156個【分析】（1）分數(shù)字重復(fù)和不重復(fù)討論，根據(jù)排列組合計算即可.（2）偶數(shù)先確定個位數(shù)字為0或2或4，再分三類討論，最后根據(jù)加法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】解：（1）①若組成的四位數(shù)的數(shù)字不能重復(fù)，則可組成的四位數(shù)有：（個）②若組成的四位數(shù)的數(shù)字能重復(fù)，則可組成的四位數(shù)有：（個）綜上所述，結(jié)論是：若組成的四位數(shù)的數(shù)字不能重復(fù)，可組成120個四位數(shù)；若組成的四位數(shù)的數(shù)字能重復(fù)，可組成625個四位數(shù).（2）滿足偶數(shù)按個位數(shù)字分成三類：個位是0或2或4，①個位是0的，即需要從1，2，3，4，5這5個數(shù)中選出3個分別放在千、百、十位，有個；②個位是2的，千位需要從1，3，4，5這4個數(shù)中選出1個有4種選法，從剩下的4個數(shù)字中選出2個分別放在百位、十位，有個，所以個位是2的偶數(shù)有個；③個位是4的，也有48個；綜上所述，用0，1，2，3，4，5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有個.47．（2023秋·吉林長春·高二統(tǒng)考期末）從2，4，6，8中任取3個數(shù)字，從1，3，5，7，9中任取2個數(shù)字，一共可以組成______個沒有重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)（用數(shù)字作答）.【答案】2880【分析】利用分步乘法計數(shù)原理，結(jié)合排列組合，按位置分析法列式計算作答.【詳解】先按給定條件取出偶數(shù)和奇數(shù)，有種方法，再從3個偶數(shù)中取1個放在個位，余下4個數(shù)字作全排列，有種方法，由分步乘法計數(shù)原理得：，所以一共可以組成2880個沒有重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù).故答案為：288048．（2023春·陜西西安·高二長安一中校考期末）用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是奇數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有___________個．（用數(shù)字作答）【答案】504【分析】分兩種情況求解，一是四個數(shù)字中沒有奇數(shù)，二是四個數(shù)字中有一個奇數(shù)，然后根據(jù)分類加法原理可求得結(jié)果【詳解】當(dāng)四個數(shù)字中沒有奇數(shù)時，則這樣的四位數(shù)有種，當(dāng)四個數(shù)字中有一個奇數(shù)時，則從5個奇數(shù)中選一個奇數(shù)，再從4個偶數(shù)中選3個數(shù)，然后對這4個數(shù)排列即可，所以有種，所以由分類加法原理可得共有種，故答案為：50449．（2023秋·安徽·高二校聯(lián)考期末）年07月01日是中國共產(chǎn)黨成立100周年，習(xí)近平總書記代表黨和人民莊嚴宣告，經(jīng)過全黨全國各族人民持續(xù)奮斗，我們實現(xiàn)了第一個百年奮斗目標(biāo)，在中華大地上全面建成了小康社會，歷史性地解決了絕對貧困問題.某數(shù)學(xué)興趣小組把三個0?兩個2?兩個1與一個7組成一個八位數(shù)（如20001217），若其中三個0均不相鄰，則這個八位數(shù)的個數(shù)為（

）A．200 B．240 C．300 D．600【答案】C【分析】由于三個0均不相鄰，所以采用插空法，第一步排列兩個2，兩個1，一個7，第二步再把0插入其中五個空，即可得答案.【詳解】利用插空法，第一步排列兩個2，兩個1，一個7，共有種排法，第二步再把0插入其中五個空，所以有種排法，所以共有個八位數(shù).故選：C.【【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023秋·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）2022年北京冬奧會期間，需從5名志愿者中選3人去為速度滑冰?花樣滑冰?冰球三個競賽項目服務(wù)，每個項目必須有志愿者參加且每名志愿者只服務(wù)一個項目，不同的安排方法種數(shù)為（

）A．10 B．27 C．36 D．60【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用排列的意義列式計算作答.【詳解】依題意，從5名志愿者中選3人服務(wù)3個不同項目，不同的安排方法有（種）．故選：D2．（2023秋·福建福州·高二福建省福州華僑中學(xué)?？计谀┘滓冶?名同學(xué)站成一排拍照，若甲不站在兩端，不同排列方式有（

）A．6種 B．12種 C．36種 D．48種【答案】B【分析】題目關(guān)鍵點為甲不站在兩端，則甲站中間2個位置，先排好甲以后，剩余3個位置其余的三位同學(xué)進行全排列即可.【詳解】甲站位的排列數(shù)為，其余三位學(xué)生的全排列數(shù)為，所有的排列方式有：.故選：B.3．（2023秋·新疆阿克蘇·高二?？计谀?，2，3，4，5，6這6個數(shù)中任取兩個數(shù)，則兩個數(shù)之和為偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用古典概型與組合可求得結(jié)果.【詳解】兩個數(shù)之和為偶數(shù)則這兩個數(shù)均為偶數(shù)或均為奇數(shù)，故.故選：B.4．（2023秋·上海黃浦·高二上海市向明中學(xué)校考期末）將4名新老師安排到三所學(xué)校去任教，每所學(xué)校至少一人，則不同的安排方案的種數(shù)是（

）A．54 B．36 C．24 D．18【答案】B【分析】分類討論分別有兩名新教師的情況，進而計算出4名新教師安排到三所學(xué)校去任教每所學(xué)校至少一人的所有情況，【詳解】將4名新教師安排到三所學(xué)校去任教，每所學(xué)校至少一人，分配方案是：，學(xué)校有兩名新老師：；學(xué)校有兩名新老師：；學(xué)校有兩名新老師：所以共有種情況，故選：B.5．（2023春·福建莆田·高二?？计谀┮阎状又醒b有1個紅球和3個白球，乙袋子中裝有3個紅球和2個白球，若從甲、乙兩個袋子中各取出2個球，則取出的4個球中恰有2個紅球的不同取法共有（

）A．9種 B．18種 C．27種 D．36種【答案】C【分析】甲最多可取1個紅球，故可以分兩類：①甲乙各取一紅球，②乙取兩個紅球．【詳解】甲、乙各取1個紅球，有種方法；乙取兩個紅球，有種方法；共有18+9＝27種方法.故選：C.二、多選題6．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱德強學(xué)校?？计谀┈F(xiàn)有編號為1，2，3的三個口袋，其中1號口袋內(nèi)裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；2號口袋內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；3號口袋內(nèi)裝有三個1號球，兩個2號球；第一次先從1號口袋內(nèi)隨機抽取1個球，將取出的球放入與球同編號的口袋中，第二次從該口袋中任取一個球，下列說法正確的是（

）A．在第一次抽到3號球的條件下，第二次抽到1號球的概率是B．第二次取到1號球的概率C．如果第二次取到1號球，則它來自1號口袋的概率最大D．如果將5個不同小球放入這3個口袋內(nèi)，每個口袋至少放1個，則不同的分配方法有150種【答案】BCD【分析】對于A選項利用條件概率公式求解；對于B選項利用全概率公式求解，對于C選項利用貝葉斯公式求解，對于D選項，不同元素的分配問題，先分份再分配即可求解【詳解】對于A選項，記事件分別表示第一次、第二次取到號球,,則第一次抽到號球的條件下，第二次抽到號球的概率，故A錯誤對于B選項，記事件分別表示第一次、第二次取到號球,,依題意兩兩互斥,其和為,并且應(yīng)用全概率公式,有，故B正確；對于C選項，依題設(shè)知,第二次的球取自口袋的編號與第一次取的球上的號數(shù)相同,則故在第二次取到1號球的條件下,它取自編號為的口袋的概率最大.故C正確對于D選項，先將5個不同的小球分成1，1，3或2，2，1三份，再放入三個不同的口袋，則不同的分配方法有，故D正確故選：BCD7．（2023秋·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）將甲，乙，丙，丁4個志愿者分別安排到學(xué)校圖書館，食堂，實驗室?guī)兔?，要求每個地方至少安排一個志愿者幫忙，則下列選項正確的是（

）A．總其有36種安排方法B．若甲安排在實驗室?guī)兔?，則有6種安排方法C．若圖書館需要安排兩位志愿者幫忙，則有24種安排方法D．若甲?乙安排在同一個地方幫忙，則有6種安排方法【答案】AD【分析】先將4人分成3組，再將3組安排到3個場館，即可判斷A；分實驗室只安排甲1人和實驗室安排2人，即可判斷B；先安排2人去圖書館，再將其他2人安排到其他兩個場館，即可判斷C；將甲?乙看成一人，則將3人安排到3個不同的地方，即可判斷D.【詳解】解：對于A，先將4人分成3組，再將3組安排到3個場館，有種安排方法，故A正確；對于B，若實驗室只安排甲1人，則有種安排方法，若實驗室安排2人，則有種安排方法，所以若甲安排在實驗室?guī)兔?，則有12種安排方法，故B錯誤；對于C，先安排2人去圖書館，再將其他2人安排到其他兩個場館，則有種安排方法，故C錯誤；對于D，若甲?乙安排在同一個地方幫忙，則有種安排方法，故D正確.故選：AD.8．（2023秋·河北·高二河北省文安縣第一中學(xué)?？计谀┠承Ｓ媱澃才盼逦焕蠋煟ò?、乙、丙）擔(dān)任四月三日至四月五日的值班工作，每天都有老師值班，且每人最多值班一天.（

）A．若每天安排一人值班，則不同的安排方法共有種B．若甲、乙、丙三人只有一人安排了值班，則不同的安排方法共有種C．若甲、乙兩位老師安排在同一天值班，丙沒有值班，則不同的安排方法共有種D．若五位老師都值班了一天，且每天最多安排兩位老師值班，則不同的安排方法共有種【答案】AC【分析】根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)的定義，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理依次求出各安排的方法數(shù)即可.【詳解】對于選項A，每天安排一人值班，則不同的安排方法共有種，A正確；對于選項B，安排甲、乙、丙三人只有一人安排了值班的安排方法可分為兩步完成，第一步，從甲，乙，丙三人中選出一人，有種選法，再將所選之人與余下兩人分別安排到四月三日至四月五日，有種方法，故不同的安排方法共有種，B錯誤；對于選項C，安排甲、乙兩位老師安排在同一天值班，丙沒有值班等價于將甲，乙視為一個整體，與除甲，乙，丙外的兩人一起分別安排到四月三日至四月五日值班，不同的安排方法共有種，C正確；選項D，安排五位老師都值班了一天，且每天最多安排兩位老師值班可分為兩步完成，先將5人分為2人，2人，1人三個小組，再將3個小組分別安排到四月三日至四月五日，完成第一步的方法有種，完成第二步的方法有種，所以不同的安排方法共有種，D錯誤；故選：AC.三、填空題9．（2023秋·福建福州·高二福建省福州外國語學(xué)校?？计谀┠嘲鄬?名同學(xué)分配到甲、乙、丙三個社區(qū)參加勞動鍛煉，每個社區(qū)至少分配一名同學(xué)，則甲社區(qū)恰好分配2名同學(xué)共有____________種不同的方法．【答案】【分析】由題意，根據(jù)分組分配的做題原理，可得答案.【詳解】由題意，分2步分析：①先5人中選出2人，安排到甲社區(qū)，有種方法，②將剩下3人分成2組，