相似三角形模型講解-一線三等角問(wèn)題

./第一部分相似三角形模型分析相似三角形判定的基本模型認(rèn)識(shí)〔一A字型、反A字型〔斜A字型〔平行〔不平行 〔二8字型、反8字型〔蝴蝶型〔平行〔不平行〔三母子型〔四一線三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形〔等腰梯形或者等邊三角形為背景〔五一線三直角型：雙垂型：.相似三角形判定的變化模型旋轉(zhuǎn)型：由A字型旋轉(zhuǎn)得到.8字型拓展共享性一線三等角的變形一線三直角的變形.第二部分相似三角形典型例題講解母子型相似三角形例1：如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,BE∥CD交CA延長(zhǎng)線于E．求證：．ACDEB例2：已知：如圖,△ABC中,點(diǎn)E在中線ACDEB求證：〔1；〔2．例3：已知：如圖,等腰△ABC中,AB＝AC,AD⊥BC于D,CG∥AB,BG分別交AD、AC于E、F．求證：．相關(guān)練習(xí)：1、如圖,已知AD為△ABC的角平分線,EF為AD的垂直平分線．求證：．2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分線,∠C=90°,EF是AD的垂直平分線交AD于M,EF、BC的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)N.求證：<1>△AME∽△NMD;<2>ND=NC·NB3、已知：如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC上一點(diǎn),CF⊥BE于F.求證：EB·DF=AE·DB4.在中,AB=AC,高AD與BE交于H,,垂足為F,延長(zhǎng)AD到G,使DG=EF,M是AH的中點(diǎn).求證：5．〔本題滿分14分,第〔1小題滿分4分,第〔2、〔3小題滿分各5分ACBPDE〔第25題圖已知：如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=4,P是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),PD⊥AB,交邊AC于點(diǎn)D〔點(diǎn)D與點(diǎn)A、C都不重合,E是射線DC上一點(diǎn),且∠EPD=∠A．設(shè)A、P兩點(diǎn)的距離為xACBPDE〔第25題圖〔1求證：AE=2PE；〔2求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出它的定義域；〔3當(dāng)△BEP與△ABC相似時(shí),求△BEP的面積．雙垂型1、如圖,在△ABC中,∠A=60°,BD、CE分別是AC、AB上的高求證：〔1△ABD∽△ACE；〔2△ADE∽△ABC；<3>BC=2ED2、如圖,已知銳角△ABC,AD、CE分別是BC、AB邊上的高,△ABC和△BDE的面積分別是27和3,DE=6,求：點(diǎn)B到直線AC的距離.共享型相似三角形1、△ABC是等邊三角形,D、B、C、E在一條直線上,∠DAE=,已知BD=1,CE=3,,求等邊三角形的邊長(zhǎng).2、已知：如圖,在Rt△ABC中,AB=AC,∠DAE=45°．求證：〔1△ABE∽△ACD；〔2．一線三等角型相似三角形CCADBEF例1：如圖,等邊△ABC中,邊長(zhǎng)為6,D是BC上動(dòng)點(diǎn),∠EDF=60°〔1求證：△BDE∽△CFD〔2當(dāng)BD=1,FC=3時(shí),求BE例2：〔1在中,,,點(diǎn)、分別在射線、上〔點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合,且保持.①若點(diǎn)在線段上〔如圖,且,求線段的長(zhǎng)；②若,,求與之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；ABCABC備用圖ABC備用圖ABCPQABCD正方形的邊長(zhǎng)為〔如下圖,點(diǎn)、分別在直線、上〔點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合,且保持.當(dāng)時(shí),求出線段的長(zhǎng).ABCDABABCDABCD例3：已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD＜BC,且AD＝5,AB＝DC＝2．CDABP〔1如圖8,P為AD上的一點(diǎn),滿足∠BPCCDABP①求證；△ABP∽△DPC②求AP的長(zhǎng)．〔2如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)〔點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合,且滿足∠BPE＝∠A,PE交直線BC于點(diǎn)E,同時(shí)交直線DC于點(diǎn)Q,那么①當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí),設(shè)AP＝x,CQ＝y(tǒng),求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；②當(dāng)CE＝1時(shí),寫(xiě)出AP的長(zhǎng)．例4：如圖,在梯形中,∥,,．點(diǎn)為邊的中點(diǎn),以為頂點(diǎn)作,射線交腰于點(diǎn),射線交腰于點(diǎn),聯(lián)結(jié)．〔1求證：△∽△；〔2若△是以為腰的等腰三角形,求的長(zhǎng)；〔3若,求的長(zhǎng)．相關(guān)練習(xí)：1、如圖,在△ABC中,,,是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)在邊上,且．<1>求證：△ABD∽△DCE；ABCDE<2>如果,,求與的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出自變量的定義域；ABCDE<3>當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí),試說(shuō)明△ADE是什么三角形,并說(shuō)明理由．2、如圖,已知在△ABC中,AB=AC=6,BC=5,D是AB上一點(diǎn),BD=2,E是BC上一動(dòng)點(diǎn),聯(lián)結(jié)DE,并作,射線EF交線段AC于F．〔1求證：△DBE∽△ECF；〔2當(dāng)F是線段AC中點(diǎn)時(shí),求線段BE的長(zhǎng)；〔3聯(lián)結(jié)DF,如果△DEF與△DBE相似,求FC的長(zhǎng)．3、已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD＜BC,且BC=6,AB=DC=4,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．〔1如圖,P為BC上的一點(diǎn),且BP=2．求證：△BEP∽△CPD；〔2如果點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)〔點(diǎn)P與點(diǎn)B、C不重合,且滿足∠EPF=∠C,PF交直線CD于點(diǎn)F,同時(shí)交直線AD于點(diǎn)M,那么①當(dāng)點(diǎn)F在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí),設(shè)BP=,DF=,求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；EDCBAP〔第EDCBAP〔第25題圖EEDCBA〔備用圖4、如圖,已知邊長(zhǎng)為的等邊,點(diǎn)在邊上,,點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn),以線段為邊向右側(cè)作等邊,直線交直線于點(diǎn),〔1寫(xiě)出圖中與相似的三角形；〔2證明其中一對(duì)三角形相似；〔3設(shè),求與之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量的取值范圍；〔4若,試求的面積．備用圖備用圖一線三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD中,CD=2,AD=3,點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且和點(diǎn)A,D不重合,過(guò)點(diǎn)P作,交邊AB于點(diǎn)E,設(shè),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出x的取值范圍.例2、在中,是AB上的一點(diǎn),且,點(diǎn)P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),交線段BC于點(diǎn)Q,〔不與點(diǎn)B,C重合,設(shè),試求關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系,并寫(xiě)出定義域.[練習(xí)1]在直角中,,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn),交射線AC于點(diǎn)F〔1、求AC和BC的長(zhǎng)〔2、當(dāng)時(shí),求BE的長(zhǎng).〔3、連結(jié)EF,當(dāng)和相似時(shí),求BE的長(zhǎng).[練習(xí)2]在直角三角形ABC中,是AB邊上的一點(diǎn),E是在AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),〔與A,C不重合,與射線BC相交于點(diǎn)F.<1>、當(dāng)點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)時(shí),求證：<2>、當(dāng),求的值〔3、當(dāng),設(shè),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出定義域[練習(xí)4]]如圖,在中,,,,是邊的中點(diǎn),為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),作,交射線于點(diǎn)．設(shè),的面積為．〔1求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量的取值范圍；〔2如果以、、為頂點(diǎn)的三