河南省商丘市高考數(shù)學(xué)三模(理科)試卷含答案解析

2016年河南省商丘市高考數(shù)學(xué)三模試卷(理科)

一、選擇題(共12小題，每小題5分，滿分60分)

1.已知全集U={l,2,3,4,5},集合M={l,2,3},N={3,4,5},則集合{1,2}可以

表示為()

A.M∩NB.([uM)∩NC.M∩(CUN)D.([uM)∩([UN)

2.設(shè)復(fù)數(shù)Z],Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，且z∣=2-i,則z∣?W=()

A.-4+3iB.4-3iC.-3-4iD,-3+4i

3.設(shè)向量e2是兩個互相垂直的單位向量，且；=2e[-e2，E=≡2,則∣Wt^2Zl=()

A.2√2B?√5c?2D.4

4.下列判斷錯誤的是()

A.命題"若am2≤bm2,則aWb”是假命題

32u

B.命題"?x∈R,χ3-χ2-1W0"的否定是"mxo∈R,χ0-χ0-l>0

C."若a=l,則直線x+y=O和直線X-ay=O互相垂直"的逆否命題為真命題

D.命題"pVq為真命題"是命題"pAq為真”的充分不必要條件

5.在等差數(shù)列{a11}中,首項(xiàng)apθ,公差d等0,若ak=a1+a2+a3+…+a7,則k=()

A.22B.23C.24D.25

2

6.已知拋物線y2=8x與雙曲線e-y2=l的一個交點(diǎn)為M,F為拋物線的焦點(diǎn)，若IMFI=5,

a

則該雙曲線的漸近線方程為()

A.5x±3y=0B.3x±5y=0C.4x±5y=0D.5x±4y=0

7.某地市高三理科學(xué)生有15000名，在一次調(diào)研測試中，數(shù)學(xué)成績S服從正態(tài)分布N,已

知P(80<ξ≤100)=0.35,若按成績分層抽樣的方式取100份試卷進(jìn)行分析，則應(yīng)從120

分以上的試卷中抽取()

A.5份B.10份C.15份D.20份

8.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體

的各面中，面積最大的是()

A.8B.4√ξC?>2D.16

Jl_Jr

9.函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(∣φ∣<-)的圖象向右平移彳5個單位后的圖象關(guān)于丫軸對稱，

乙?CΛ

Jr

則函數(shù)f(X)在［0,?。萆系淖畲笾禐?)

A.立B.工C.--D.-返

2222

10.見如圖程序框圖，若輸入a=110011,則輸出結(jié)果是()

(開始)

ζI

/輸入。/

A.51B.49C.47D.45

22

11.已知直線I：y=kx+2(k為常數(shù))過橢圓J+Z=l(a>b>O)的上頂點(diǎn)B和左焦點(diǎn)E

b?

且被圓χ2+y2=4截得的弦長為L,若L2?∣√承則橢圓離心率e的取值范圍是()

A.(0,項(xiàng)］B.(0,羋］C.(Q,羋］D.(0,羋］

5I555

12.已知函數(shù)f(x)=xsinx+cosx+x?則不等式f(lnx)+f(1J)<2f(1)的解集為(

X

A.(e,+8)B.(0,e)C.(0,—)U(1,e)D.(?9e)

ee

二、填空題(共4小題，每小題5分，滿分20分)

'x≥l

13.設(shè)X,y滿足約束條件∣χ-2y<0,則z=x+2y-3的最大值為.

y-2<0

14.數(shù)列｛a11｝滿足：a???-,an-an+1=2an?an+1,則數(shù)歹∣J囪2+“前10項(xiàng)的和為__________

5

15.若(x+2)n的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為81,且常數(shù)項(xiàng)為a,則直線y=今與曲線y=x2

X6

所圍成的封閉區(qū)域面積為.

16.三棱柱ABC-AlBICl的底面是直角三角形，側(cè)棱垂直于底面，面積最大的側(cè)面是正方

形，且正方形的中心是該三棱柱的外接球的球心，若外接球的表面積為16π,則三棱柱ABC

-A[B]C]的最大體積為.

三、解答題(共5小題，滿分60分)

17.在AABC中,a,b,C分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，且b?+c2-a2=bc,

(I)求角A的大??；

(Il)設(shè)函數(shù)f(x)=SinX+2CoS2負(fù)a-2,f(B)=J牙1時，求邊長b.

18.某小學(xué)對五年級的學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測試，已知五年級一班共有學(xué)生30人，測試立定跳遠(yuǎn)

的成績用莖葉圖表示如下(單位：cm)：

男生成績在∣75cm以上(包括175cm)定義為"合格"，成績在175cm以下(不包括175cm)

定義為"不合格"；

女生成績在∣65cm以上(包括165cm)定義為"合格"，成績在165cm以下(不包括165cm)

定義為"不合格"

(I)在五年級一班男生中任意選取3人，求至少有2人的成績是合格的概率；

(II)若從五年級一班成績“合格"的學(xué)生中選取2人參加復(fù)試，用X表示其中男生的人數(shù),

寫出X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望.

19.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA_L底面ABCD,AB=AP,E為棱PD

的中點(diǎn)

(I)求直線AE與平面PBD所成角的正弦值；

(ID若F為AB的中點(diǎn)，棱PC匕是否存在一點(diǎn)M,使得FMLAC,若存在，求出粵的

值，若不存在，說明理由.

20.動點(diǎn)P在拋物線χ2=2y上，過點(diǎn)P作PQ垂直于X軸，垂足為Q,設(shè)鈍?j■而.

(I)求點(diǎn)M的軌跡E的方程；

(II)設(shè)點(diǎn)S(-4,4),過N(4,5)的直線1交軌跡E于A,B兩點(diǎn)，設(shè)直線SA,SB

的斜率分別為曷，k2,求M-k21的最小值.

21.已知函數(shù)f(x)=alnx-ax-3(a∈R).

(I)求函數(shù)f(χ)的單調(diào)區(qū)間；

(∏)若函數(shù)y=f(X)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線的傾斜角為45。，對于任意的t∈

［1，2］,函數(shù)g(χ)=χ3+χ2［f,(χ)+｝］在區(qū)間(t,3)匕總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值

范圍；

(In)求證：×?^-×?^-××^1?<?-(n≥2,n∈N*).

234nn

［選修4-1；幾何證明選講］

22.已知四邊形ABCD為。O的內(nèi)接四邊形,且BC=CD,其對角線AC與BD相交于點(diǎn)M.過

點(diǎn)B作。O的切線交DC的延長線于點(diǎn)P.

(1)求證：AB?MD=AD?BM;

(2)若CP?MD=CB?BM,求證：AB=BC.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

x∑∑2cosθ

ζ(θ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的正半軸

(y=sιnUI

為極軸建立極坐標(biāo)系，A,B的極坐標(biāo)分別為A(2,π),B(2,粵).

(I)求直線AB的直角坐標(biāo)方程；

(∏)設(shè)M為曲線C上的動點(diǎn)，求點(diǎn)M到直線AB距離的最大值.

［選修4?5：不等式選講］

24.設(shè)f(X)=∣x-l∣-21x+l∣的最大值為m.

(I)求m；

2.2

(H)若a,b,c∈(0,+o0),———≤-+b2=jp,求ab+bc的最大值.

2

2016年河南省商丘市高考數(shù)學(xué)三模試卷(理科)

參考答案與試題解析

一、選擇題(共12小題，每小題5分，滿分60分)

I.已知全集U={l,2,3,4,5},集合M={l,2,3},N={3,4,5},則集合{1,2}可以

表示為()

A.M∩NB.([uM)∩NC.M∩(CUN)D.(IUM)∩((UN)

【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.

【分析】由題意作Venn圖，從而結(jié)合圖象確定集合的運(yùn)算.

【解答】解：由題意作Venn圖如下，

結(jié)合圖象可知，

集合{1,2}=M∩(CuN),

故選C.

2.設(shè)復(fù)數(shù)Z],Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，且Z]=2-i,5J∣JZI?Z2=()

A.-4+3iB.4-3iC.-3-4iD.-3+4i

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.

【分析】復(fù)數(shù)z∣,Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，且z∣=2-i,可得：z2=-2-i,司,

再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出.

【解答】解：?.?復(fù)數(shù)z∣,Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，且z∣=2-i,

.β.∑2=-2-i,

.*.Z2=-2+i,

則zι?*z^=(2-i)(-2+i)=-3+4i,

故選：D.

3.設(shè)向量可，可是兩個互相垂直的單位向量，且；=2[-,，E=司，則1；+2》=()

A.2√2B.√5C.2D.4

【考點(diǎn)】向量的模.

【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則計算即可.

【解答】解：?.?向量e「e2是兩個互相垂直的單位向量,

e1l=l>e2=1>e??e2=θ>

?*?a+2b∣=2e?+e、,

+z+z+,

?'?Ia2b'^~*?e?^*-e∣?≡2e2^5

?,?a+2bI=Vs,

故選：B.

4.下列判斷錯誤的是()

A.命題"若am2≤bm2,則aWb"是假命題

32w

B.命題"?x∈R,χ3-χ2-1W0"的否定是"mxo∈R,x0-x0-l>0

C."若a=l,則直線x+y=O和直線X-ay=O互相垂直"的逆否命題為真命題

D.命題"pVq為真命題"是命題"pAq為真”的充分不必要條件

【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用.

【分析】A中考查m=0特殊情況；

B對任意命題的否定：把任意改為存在，再否定結(jié)論.

C根據(jù)原命題和逆否命題為等價命題；

DPVq為真命題，可,知p,q至少有一個為真，PAq可真可假.

【解答】解：A命題“若am2wbn12,當(dāng)m=0時，a可以大于b,故aWb是假命題，故正確;

B對任意命題的否定：把任意改為存在，再否定結(jié)論.命題"Vx∈R,χ3-χ2-1W0”的否定

是"mx()∈R,χg3-xj-lX)”故正確；

C根據(jù)原命題和逆否命題為等價命題，”若a=l,則直線x+y=O和直線X-ay=O互相垂直”為

證命題，故其逆否命題也為真命題，故正確；

DpVq為真命題，可知p,q至少有一個為真，但推不出PAq為真，故錯誤.

故選D.

5.在等差數(shù)列｛a11｝中,首項(xiàng)aι=0,公差d≠0,若ak=a1+a2+a3+...+a7,則k=()

A.22B.23C.24D.25

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì).

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，我們可將ak=a∣+a2+a3+...+a7,轉(zhuǎn)化為ak=7a4,又由首項(xiàng)a1=。,

公差d≠0,我們易得ak=7a4=21d,進(jìn)而求出k值.

【解答】解：：數(shù)列｛a∕為等差數(shù)列

且首項(xiàng)a∣=0,公差dW0,

又?.'ak=(k-1)d=a1+a2+a3+...+a7=7a4=2id

故k=22

故選A

6.已知拋物線y2=8x與雙曲線弓-y2=l的一個交點(diǎn)為M,F為拋物線的焦點(diǎn)，若【MF1=5,

a

則該雙曲線的漸近線方程為()

A.5x±3y=0B.3x±5y=OC.4x±5y=0D.5x±4y=0

【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì).

【分析】求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，設(shè)M(m,n),則由拋物線的定義可得m=3,進(jìn)而

得到M的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，可得a,再由漸近線方程即可得到所求.

【解答】解：拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F(2,0),準(zhǔn)線方程為X=-2,

設(shè)M(m,n),則由拋物線的定義可得

MFI=m+2=5,解得m=3,

由i二24,可得11二±2?后.

2

將M(3,±2%)代入雙曲線f?-y2=l,

a

93

可得一?-24=1,解得a4，

a5

即有雙曲線的漸近線方程為y=±?∣?χ?

即為5x±3y=O.

故選A.

7.某地市高三理科學(xué)生有15000名，在一次調(diào)研測試中，數(shù)學(xué)成績ξ服從正態(tài)分布N,已

知P(80VSWlOO)=0.35,若按成績分層抽樣的方式取100份試卷進(jìn)行分析，則應(yīng)從120

分以上的試卷中抽取()

A.5份B.10份C.15份D.20份

【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.

【分析】由題意結(jié)合正態(tài)分布曲線可得120分以上的概率，乘以100可得.

【解答】解：:數(shù)學(xué)成績S服從正態(tài)分布N,P(80<ξ≤100)=0.35,

.?.P(80<ξ≤120)=2X0.35=0.70,

ΛP(ξ>120)](1-0.70)=0.15,

ΛI(xiàn)OO×O.15=15,

故選：C.

8.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體

的各面中，面積最大的是()

【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.

【分析】根據(jù)三視圖得出該幾何體是在棱長為4的正方體中的三棱錐，畫出圖形，求出各個

面積即可.

【解答】解：根據(jù)題意，得；

該幾何體是如圖所示的三棱錐A-BCD,

且該三棱錐是放在棱長為4的正方體中，

所以，在三棱錐A-BCD中，BD=4>∕2>AC=ABWq2+22=2^,AD=VcD2+AC^,

SZ?ABCZ±^X4X4=8.S^ADC=-^-×4×2√5=4Λ∕5,S^PBC=-^-×4×4=8,在三角形ABC中,

作CE_LAB于E,連結(jié)DE,則CEhl^=色裂

j,DE=

S?ABD=-∣-×2√5×

=12.

9.函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(∣φ∣<-y)的圖象向右平移W個單位后的圖象關(guān)于y軸對稱,

TT

則函數(shù)f(X)在[0,—]上的最大值為()

4

A.叵B.Lc.-?D.-近

2222

【考點(diǎn)】由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式.

【分析】由函數(shù)圖象變換以及誘導(dǎo)公式和偶函數(shù)可得巾值，可得函數(shù)解析式，由三角函數(shù)

區(qū)間的最值可得.

TTTT

【解答】解：將函數(shù)f(X)=Sin(2x+φ)的圖象向右平移行個單位后得到y(tǒng)=sin[2(x--)

JL乙JL乙

÷φ)]=sin(2x+φ-的圖象,

6

TTTrQJT

???圖象關(guān)于y軸對稱，，由誘導(dǎo)公式和偶函數(shù)可得巾-2?=kτι+;9,解得巾=kn+等，k∈

623

Z,

TrJT

?IΦ<-y,可得當(dāng)k=-1時，巾=-不-，

JT

故f(x)=sin(2x-

?

τrTrTrTr

由x∈[0,?,可得：2X-∈[-,?,

4336

TrTrTrTΓTTTT1

.?.當(dāng)2x-==i,即X匕時，函數(shù)f(X)在[0,]上取最大值sin(2X2-Ir)=??,

3644432

故選:B.

10.見如圖程序框圖，若輸入a=l10011,則輸出結(jié)果是()

A.51B.49C.47D.45

【考點(diǎn)】程序框圖.

【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量b的值,

模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.

【解答】解：第一次執(zhí)行循環(huán)體后，t=l,b=l,i=2,不滿足退出循環(huán)的條件，

第二次執(zhí)行循環(huán)體后，t=l,b=3,i=3,不滿足退出循環(huán)的條件，

第三次執(zhí)行循環(huán)體后，t=0,b=3,i=4,不滿足退出循環(huán)的條件，

第四次執(zhí)行循環(huán)體后，t=0,b=3,i=5,不滿足退Hl循環(huán)的條件，

第五次執(zhí)行循環(huán)體后，t=l,b=19,i=6,不滿足退出循環(huán)的條件，

第六次執(zhí)行循環(huán)體后，t=l,b=51,i=7,滿足退出循環(huán)的條件，

故輸出b值為51,

故選：A.

11.已知直線I:y=kx+2(k為常數(shù))過橢圓I(a>b>0)的上頂點(diǎn)B和左焦點(diǎn)F,

且被圓χ2+y2=4截得的弦長為L,若L》則橢圓離心率e的取值范圍是()

A.(0,皚］B.(0,羋］C.(0,平］D.(0,攀］

5!555

【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì).

>|7§算出直線1到圓x2+y2=4的圓心的距離d滿足d2≤^-,

【分析】由垂徑定理，結(jié)合L

結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于k的不等式，算出由直線1經(jīng)過橢圓的上頂點(diǎn)B

Q14一

和左焦點(diǎn)F,可得c=-(,從而得到a2=4+Rj?,利用離心率的公式建立e關(guān)于k的關(guān)系式,

即可求出橢圓離心率e的取值范圍.

2

【解答】解：圓χ2+y2=4的圓心到直線1：y=kx+2的距離為d=χ

?.?直線1：y=kx+2被圓x2+y2=4截得的弦長為L,

，由垂徑定理，得2

W2√4-解之得d?W答

bO

?,?-2W羋■,解之得k?

k2+l54

???直線1經(jīng)過橢圓的上頂點(diǎn)B和左焦點(diǎn)F,

Λb=2JIc→∕-2-k2=-3，即a2=4+-?^

VaPkk

4

2]

因此,橢圓的離心率e滿足e2=-^-=?

2

al+k

14

??k>∣,?*?0<o^≤-,可得e∈(0,

1+k?5

故選：B

12.已知函數(shù)￡6)=*5出*+。。$*+*2,貝1」不等式￡(1門*)+￡(13)<2￡(1)的解集為()

X

A.(e,+8)B.(0,e)C.(O,?)lj(l,e)D.(?,e)

eeI

【考點(diǎn)】其他不等式的解法.

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)增區(qū)間，再判斷函數(shù)的奇偶性，則不等式

f(lnx)+f(lrΛ)<2f(l),轉(zhuǎn)化為f(Inx)<f(1)即為f∣lnX)Vf(I),則IInXl<1,

X

運(yùn)用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到解集.

【解答】解:函數(shù)f(x)=XSinX+cosx+χ2的導(dǎo)數(shù)為：

f'(x)=sinx+xcosx-sinx+2x=x(2+cosx),

則x>0時，f'(X)>0,f(X)遞增，

且f(-x)=xsinx+cos(-x)+(-x)2=f(x),

則為偶函數(shù)，即有f(X)=f(IxI),

貝IJ不等式f(lnx)+f(lrΛ)<2f(l),即為f(Inx)<f(1)

X

即為f∣lnx∣)<f(1),

則IlnXlV1,Bp-1<lnx<I,解得，-?-<x<e.

e

故選：D.

二、填空題(共4小題，每小題5分，滿分20分)

'x≥l

13.設(shè)X,y滿足約束條件,X-2y<0,則z=x+2y-3的最大值為5.

y-2<0

【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃.

【分析】先山約束條件畫出可行域，再求出可行域各個角點(diǎn)的坐標(biāo)，將坐標(biāo)逐一代入目標(biāo)函

數(shù)，驗(yàn)證即得答案.

【解答】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：

z=x+2y-3的最大值為5,

故答案為：5.

14.數(shù)列｛a∏｝滿足：a3=?∣?,all-an+ι=2an?an+ι,則數(shù)列｛a∏?a11+ι｝前10項(xiàng)的和為_黑_.

D21

【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和.

【分析】把已知數(shù)列遞推式變形，得到數(shù)列｛」-｝是以2為公差的等差數(shù)列，求出等差數(shù)列

an

的通項(xiàng)公式，代入a11?an+∣,然后利用裂項(xiàng)相消法求和.

【解答】解：山an-an+i=2an?a”i，得上———=2.

anan÷l

則an?an+ι-(2n-l)(2n+l)F?n-1-2n+l

???數(shù)列｛｝前項(xiàng)的和為之(+ll

a11?an+]101-?4^??,'9×ι∩-ι^9v1∩+ι)!

ZJJbZ^1U1Z^1U+1

門

IX1S1v2010

221722121

故答案為：??-.

15.若(χ2)n的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為81,且常數(shù)項(xiàng)為a,則直線y=l與曲線y=x2

XO

所圍成的封閉區(qū)域面積為孚.

一3一

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用：定積分.

【分析】依據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和為3n,列出方程求出n,利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出常數(shù)項(xiàng)

a的值，再利用積分求直線y=∣?x與曲線y=x2圍成的封閉圖形的面積.

O

【解答】解：：(x2)n的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為81,

X

Λ3n=81,

解得n=4,

(x2)4的展開式的通項(xiàng)公式為：Tr+∣=Cj?2r?χ4-2r,

X

令4-2r=0,解得r=2,

22

展開式中常數(shù)項(xiàng)為a=C4?2=24;

直線y=4x與曲線y=χ2所圍成的封閉區(qū)域面積為：S=?J(4x-x2)dx=(2x2-?)∣J

?

_32

3'

故答案為：~2^?

16.三棱柱ABC-AlBlCl的底面是直角三角形，側(cè)棱垂直于底面，面積最大的側(cè)面是正方

形，且正方形的中心是該三棱柱的外接球的球心，若外接球的表面積為16π,則三棱柱ABC

-A1B1C1的最大體積為

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積.

【分析】根據(jù)球體體積計算球的半徑，得出底面直角三角形的斜邊長，從而得出底面直角邊

a,b的關(guān)系，利用基本不等式求得ab的最大值，代入棱柱的體積得出體積的最大值.

【解答】解：設(shè)三棱柱底面直角三角形的直角邊為a,b則棱柱的高h(yuǎn)=√3p,

設(shè)外接球的半徑為r,貝∣j4m?2=i6n,解得r=2,

：正方形的中心是該三棱柱的外接球的球心，??.√]h=2尸4.

Λh=2yj~2,

Λa2+b2=h2=8≥2ab,Λab≤4.

；?三棱柱的體積V=Sh=i-abh=√2ab≤4√2?

故答案為√2?

三、解答題(共5小題，滿分60分)

17.在aABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，且b?+c2-a2=bc,

(I)求角A的大??；

（II）設(shè)函數(shù)f（x）=sinx+2cos2?^?,a=2,f（B）=+1時，求邊長b.

【考點(diǎn)】余弦定理.

【分析】（I）由已知及余弦定理可得CoSA=結(jié)合范圍0<A<n,即可解得A的值.

zJT

（II）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（X）=&sin（x+-「）+1.由√2

sin（BT）+1=√2+1>解得B的值，利用正弦定理即可求b的值.

【解答】（本題滿分為12分）

解：（1）在aABC中，因?yàn)閎2+c2-a2=bc,

由余弦定理可得COSA='士——g--?--?,...

2bc2bc2

VO<A<∏,

,π

.■A=

3

(II)Vf(x)=sinx+2cos2-^=sinx+cosx+1=5∕2sin(x+-^~)+1,

?,.f(B)=Λ∕2sin(e-^?)+1=Λ∕2+1,

18.某小學(xué)對五年級的學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測試，已知五年級一班共有學(xué)生30人，測試立定跳遠(yuǎn)

的成績用莖葉圖表示如下（單位：cm）：

男生成績在175cm以上（包括175cm）定義為"合格"，成績在175cm以下（不包括175cm）

定義為"不合格"；

女生成績在165cm以上（包括165cm）定義為"合格"，成績在165cm以F（不包括165cm）

定義為"不合格"

（I）在五年級一班男生中任意選取3人，求至少有2人的成績是合格的概率；

（II）若從五年級一班成績"合格"的學(xué)生中選取2人參加復(fù)試，用X表示其中男生的人數(shù),

寫出X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望.

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列.

【分析】(I)設(shè)"僅有兩人的成績合格"為事件A,"有三人的成績合格"為事件B,至少有

兩人的成績是合格的概率為P=P(A)+P(B),由此能求出至少有2人的成績是合格的概率.

(II)因?yàn)榕灿?8人，其中有10人合格，依題意，X的取值為O,1,2.分別求出相

應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E(X).

【解答】解：(I)設(shè)"僅有兩人的成績合格"為事件A,“有三人的成績合格"為事件B,

至少有兩人的成績是合格的概率為P，貝IJP=P(A)+P(B),

C4?C∣

又男生共12人，其中有8人合格，從而P(A)=4二2

%

c∣

P(B)T-,...所以

CJ

υ12

(II)因?yàn)榕灿?8人，其中有10人合格,依題意，X的取值為0,1,2.

C1

CgC?n58

則=80

P(X=O)=IlU普,C

rdIr153

υ18

P2∩0

P(X=2)=810=-?,(每項(xiàng)1分)

cd?b?

t,18

因此，X的分布列如卜丁

XOI2

58028

PT?____153153

.?.E(X)=O×?1×?+2×-?≈4(人)?(未化簡不扣分)…

171531539

19.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA，底面ABCD,AB=AP,E為棱PD

的中點(diǎn)

(I)求直線AE與平面PBD所成角的正弦值；

(ID若F為AB的中點(diǎn)，棱PC上是否存在一點(diǎn)M,使得FMLAC,若存在，求出粵的

MC

值，若不存在，說明理由.

B

【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；點(diǎn)、線、面間的距離計算.

【分析】(D以A為原點(diǎn)建系，設(shè)AB=2,求出彘和平面PBD的法向量嗝，則所求的線面

角的最小值等于ICoS<版，∏>；

(II)設(shè)赤=人而，求出而和菽的坐標(biāo)，令而?正=0解出入即可得出金?的值.

MC

【解答】解：(I)以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)AB=AP=2,

則A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1).

Λ?g=(0,1,1),g??(-2,2,0),^p=(-2,0,2),

設(shè)平面PBD的一個法向量為；=(x,y,z),

n?BD=0f-2x+2y=0

則即4,

n?BP=O-2x+2z=0

令z-1,得葦=(1.1,1).

n,AEVβ

?"?cos?n,AE>="-

InIIAEI

.?.直線AE與平面PBD所成角的正弦值為塞.

3

(II)C(2,2,O),F(1,0,0),

.?.^CP=(-2,-2,2),H(2,2,O),Tc=(1，2,0).

設(shè)?'ep=(-2λ,-2λ,2λ)(0≤λ≤1),

?,-FM=FC+cjr_22-2人，2人)，

VFMlAC,An-AC=O-

：.2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得人=出■,

4

20.動點(diǎn)P在拋物線χ2=2y上，過點(diǎn)P作PQ垂直于X軸，垂足為Q,設(shè)PM=I^PQ?

(I)求點(diǎn)M的軌跡E的方程；

(Ii)設(shè)點(diǎn)S(-4,4),過N(4,5)的直線1交軌跡E于A,B兩點(diǎn)，設(shè)直線SA,SB

的斜率分別為k],kj,求Ikι-k21的最小值.

【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì).

【分析】(D設(shè)M的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入整理可求得M的軌跡方程;

(II)直線1過點(diǎn)N,設(shè)1的方程為：y=k(x-4)+5,與E聯(lián)立，整理得：x2-4kx+16k-

20=0,根據(jù)韋達(dá)定理，分類討論1是否經(jīng)過點(diǎn)S,并分別求得直線的斜率，即可求∣k∣-1?∣

的最小值.

—?1■■?

【解答】解：(I)設(shè)點(diǎn)M(X,y),P(x0,y0),則由PM專PQ，得，

因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線χ2=2y上，所以，x2=4y.

(II)由已知，直線1的斜率一定存在，

設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則

y=k(x-4)+5

聯(lián)立

x2=4y

得，x2-4kx+16k-20=0,

x1+xo=4k

由韋達(dá)定理,得1

x1x2=16k-20

當(dāng)直線1經(jīng)過點(diǎn)S即Xi=-4或X2=-4時，

當(dāng)Xi=-4時，直線SA的斜率看作拋物線在點(diǎn)A處的切線斜率，

則k[=-2,k2],此時Ikl-k?I得J

同理，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)S重合時，∣k[-(學(xué)生如果沒有討論，不扣分)

?/8

y1-4

直線1不經(jīng)過點(diǎn)SBPXI≠-4?X2≠-4時?.?k,=——

?X1+4

-

(kx14k+l)(kχ2-4k+l)

Mk2=(X]+4)(X2+G

2+22-

kX?X2-4k)(x?+X2)+I6k8k+l

X?x2+4Cx?+X2)+l6

=l-8k__1

=32k-4^^4^,

故Iki-k2I≥2λyIk?k2I?21，

所以k∣-l?∣的最小值為1.

21.已知函數(shù)f(x)=alnx-ax-3(a∈R).

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若函數(shù)y=f(X)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線的傾斜角為45。，對于任意的t∈

[1,2],函數(shù)g(x)=χ3+χ2[f,(χ)+會在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值

范圍;

(Ill)求證：?-×-?^-X-^×-×^≡-<i(n>2,n∈N*)?

234nn

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟是①求導(dǎo)函數(shù)f'(X);②解f'(X)>0(或

<0)；③得到函數(shù)的增區(qū)間(或減區(qū)間)，

對于本題的(1)在求單調(diào)區(qū)間時要注意函數(shù)的定義域以及對參數(shù)a的討論情況；

(2)點(diǎn)(2,f(2))處的切線的傾斜角為45。，即切線斜率為1,即f(2)=1,可求a值，

代入得g(X)的解析式，由t∈[l,2],且g(X)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)可知：

旨(1X0

-g'(2)<0,于是可求m的范圍.

g'(3)>0

(3)是近年來高考考查的熱點(diǎn)問題，即與函數(shù)結(jié)合證明不等式問題，常用的解題思路是利

用前面的結(jié)論構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，對于函數(shù)取單調(diào)區(qū)間上的正整數(shù)自變量n有某

些結(jié)論成立，進(jìn)而解答出這類不等式問題的解.

【解答】解：(I)f，(X)=Sa=>-(x>0)

X

當(dāng)a>0時，f(X)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1],減區(qū)間為[1,+8)；

當(dāng)aV0時，f(X)的單調(diào)增區(qū)間為[1,+8),減區(qū)間為(0,1]；

當(dāng)a=0時，f(x)不是單調(diào)函數(shù)

(II)fy(2)=-?∣?=1得a=-2,f(X)=-21nx+2x-3

?,?g(x)=χ3+(y+2)χ2-2x,

Λg'(x)=3x2+(m+4)X-2

Vg(X)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，且g'(0)=-2

?zCtXO

(8分)

g'⑶>0

由題意知：對于任意的tG[l,2],g,(t)VO恒成立,

"⑴<0

所以有：?g'(2)<0,.?.-得VnK-9

g'(3)>0

(III)令a=-1此時f(x)=-lnx+x-3,所以f(1)=-2,

由(I)知f(x)=-lnx+x-3在(1,+8)上單調(diào)遞增，

，當(dāng)x∈(1,+8)時f(x)>f(1),即Tnx+x-1>0,

,InxVx-I對一切乂￡