數(shù)學(xué)九年級下冊專題27.8 相似章末測試卷（培優(yōu)卷）（人教版）（教師版）

第27章相似章末測試卷（培優(yōu)卷）【人教版】參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（2021秋?拱墅區(qū)期中）如圖，已知△ADE∽△ACB，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，則AE的長是（）A．3.2 B．4 C．5 D．20【解題思路】直接利用相似三角形的性質(zhì)得出ADAC【解答過程】解：∵△ADE∽△ACB，∴ADAC∵AB＝10，AC＝8，AD＝4，∴48解得：AE＝5，故選：C．2．（2021?棗莊）如圖，△DEF與△ABC是位似圖形，點O是位似中心，D、E、F分別是OA、OB、OC的中點，則△DEF與△ABC的面積比是（）A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：2【解題思路】根據(jù)兩三角形為位似圖形，且點O是位似中心，D、E、F分別是OA、OB、OC的中點，求出兩三角形的位似比，根據(jù)面積之比等于位似比的平方即可求出面積之比．【解答過程】解：∵△DEF與△ABC是位似圖形，點O是位似中心，D、E、F分別是OA、OB、OC的中點，∴兩圖形的位似之比為1：2，則△DEF與△ABC的面積比是1：4．故選：C．3．（2021?江西）下列四個三角形中，與圖中的三角形相似的是（）A． B． C． D．【解題思路】本題主要應(yīng)用兩三角形相似的判定定理，三邊對應(yīng)成比例，做題即可．【解答過程】解：設(shè)單位正方形的邊長為1，給出的三角形三邊長分別為2，22，10．A、三角形三邊2，10，32，與給出的三角形的各邊不成比例，故A選項錯誤；B、三角形三邊2，4，25，與給出的三角形的各邊成正比例，故B選項正確；C、三角形三邊2，3，13，與給出的三角形的各邊不成比例，故C選項錯誤；D、三角形三邊5，4，13，與給出的三角形的各邊不成比例，故D選項錯誤．故選：B．4．（2021秋?沙坪壩區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，DE∥BC，則下列等式中不成立的是（）A．ADDB=AEEC B．ADAB=【解題思路】在△ABC中，DE∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理的推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例，進(jìn)行分析即可．【解答過程】解：∵DE∥BC，∴ADDB=AEEC，∴A，B，C正確，故選：D．5．（2021?武漢）如圖，D是△ABC的邊BC上一點，已知AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，若△ABC的周長為a，則△ACD的周長為（）A．a(chǎn) B．12a C．13【解題思路】首先證明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性質(zhì)可得出答案．【解答過程】解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB＝4，AD＝2，∴△ACD的周長△ABC的周長∵△ABC的周長為a，∴△ACD的周長為12a故選：B．6．（2021?寧波校級模擬）如果三條線段的長a、b、c滿足ba=cb=5?1A．必構(gòu)成銳角三角形 B．必構(gòu)成直角三角形 C．必構(gòu)成鈍角三角形 D．不能構(gòu)成三角形【解題思路】先由黃金線段組的定義得出b+c＝a，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出結(jié)論．【解答過程】解：∵ba∴b=5?1c=5?12b∴b+c=5?12a+6?2∴三條線段a、b、c不能構(gòu)成三角形．故選：D．7．（2021?閘北區(qū)一模）如圖，平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是CD上一點，BF交AD的延長線于G，則圖中的相似三角形對數(shù)共有（）A．8對 B．6對 C．4對 D．2對【解題思路】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到平行四邊形的對邊平行，即AD∥BC，AB∥CD；再根據(jù)相似三角形的判定方法：平行于三角形一邊的直線與三角形另兩邊或另兩邊的延長線所構(gòu)成的三角形相似，進(jìn)而得出答案．【解答過程】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴△BEC∽△GEA，△ABE∽△CEF，△GDF∽△GAB，△DGF∽△BCF，∴△GAB∽△BCF，還有△ABC≌△CDA（是特殊相似），∴共有6對．故選：B．8．（2021秋?石阡縣期中）下列各組的四條線段a，b，c，d是成比例線段的是（）A．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．a(chǎn)＝2，b=5，c＝23，d=15 D．a(chǎn)=2，b＝3，c【解題思路】根據(jù)比例線段的定義即如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段，對選項一一分析，即可得出答案．【解答過程】解：A.4×10≠6×5，故不符合題意，B.1×4≠2×3，故不符合題意，C.2×15D.2×故選：C．9．（2021?甌海區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以其三邊為邊向外作正方形，延長EA交BG于點M，連接IM交AB于點N，若M是BG的中點，則BNANA．215 B．18 C．512【解題思路】先利用正方形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊平行，四個角是直角，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出△ACB∽△MBA，對應(yīng)邊成比例，再設(shè)BM＝a，根據(jù)比例關(guān)系求值即可．【解答過程】解：∵四邊形AEDC是正方形，∴∠EAC＝∠DCA＝90°，EA∥DC，∴∠MAB＝∠CBA，又∵四邊形AFGB是正方形，∴AB＝BG，∠ABG＝90°，∴∠ACB＝∠ABM＝90°，∴△ACB∽△MBA，∴ACMB又∵M(jìn)是BG中點，設(shè)BM＝a，∴AB＝BG＝2a，AM=5a∴AC=MB?ABAM=a?2a∴IA=6又AE∥DC，IM與BC相交于O，∴BOAM=BN∴CO=23AM∴BO＝BC﹣OC=4∴BNAN故選：A．10．（2021?江干區(qū)二模）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E在DC邊上，且CE＝2DE，連接AE交BD于點G，過點D作DF⊥AE，連接OF并延長，交DC于點P，過點O作OQ⊥OP分別交AE、AD于點N、H，交BA的延長線于點Q，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①∠AFO＝45°；②DP2＝NH?OH；③∠Q＝∠OAG；④OG＝DG．其中正確的結(jié)論有（）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④【解題思路】①由“ASA”可證△ANO≌△DFO，可得ON＝OF，由等腰三角形的性質(zhì)可求∠AFO＝45°；④由外角的性質(zhì)可求∠NAO＝∠AQO．②由“AAS”可證△OKG≌△DFG，可得GO＝DG；③通過證明△AHN∽△OHA，可得，進(jìn)而可得結(jié)論DP2＝NH?OH．【解答過程】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AO＝DO＝CO＝BO，AC⊥BD，∵∠AOD＝∠NOF＝90°，∴∠AON＝∠DOF，∵∠OAD+∠ADO＝90°＝∠OAF+∠DAF+∠ADO，∵DF⊥AE，∴∠DAF+∠ADF＝90°＝∠DAF+∠ADO+∠ODF，∴∠OAF＝∠ODF，∴△ANO≌△DFO（ASA），∴ON＝OF，∴∠AFO＝45°，故①正確；如圖，過點O作OK⊥AE于K，∵CE＝2DE，∴AD＝3DE，∴tan∠DAE=DE∴AF＝3DF，∵△ANO≌△DFO，∴AN＝DF，∴NF＝2DF，∵ON＝OF，∠NOF＝90°，∴OK＝KN＝KF=12∴DF＝OK，又∵∠OGK＝∠DGF，∠OKG＝∠DFG＝90°，∴△OKG≌△DFG（AAS），∴GO＝DG，故④正確；∵∠DAO＝∠ODC＝45°，OA＝OD，∠AOH＝∠DOP，∴△AOH≌ODOP（ASA），∴AH＝DP，∠ANH＝∠FNO＝45°＝∠HAO，∠AHN＝∠AHO，∴△AHN∽△OHA，∴AHHO∴AH2＝HO?HN，∴DP2＝NH?OH，故②正確；∵∠NAO+∠AON＝∠ANQ＝45°，∠AQO+∠AON＝∠BAO＝45°，∴∠NAO＝∠AQO，故③正確．綜上，正確的是①②③④．故選：D．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（2021?朝陽區(qū)校級一模）若2a＝3b，且ab≠0，則ab=3【解題思路】根據(jù)比例的基本性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化可求解．【解答過程】解：∵2a＝3b，且ab≠0，∴ab故答案為3212．（2021?宿遷模擬）如圖，在?ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，S△DEF：S△ABF＝1：9，則DE：EC＝1：2．【解題思路】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根據(jù)S△DEF：S△ABF＝1：9即可得出其相似比，由相似三角形的性質(zhì)即可求出DE：AB的值，由AB＝CD即可得出結(jié)論．【解答過程】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EAB＝∠DEF，又∵∠AFB＝∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF＝1：9，∴DE：AB＝1：3，∵AB＝CD，∴DE：EC＝1：2．故答案為：1：2．13．（2021秋?石景山區(qū)期末）如圖，樂器上的一根弦AB＝80cm，兩個端點A、B固定在樂器板面上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，則支撐點C到端點A的距離約為49.44cm．（5≈2.236【解題思路】根據(jù)黃金分割點的定義，線段AC是線段AB、BC的比例中項，然后列式進(jìn)行計算即可求解．【解答過程】解：根據(jù)題意得，ACAB即AC2＝AB?BC＝AB（AB﹣AC），∵AB＝80cm，∴AC2+80AC﹣6400＝0，解得AC=?80+320002=80故答案為：49.44．14．（2021?江西模擬）如圖，△ABO縮小后變?yōu)椤鰽′B′O，其中A、B的對應(yīng)點分別為A′、B′，A′、B′均在圖中在格點上．若線段AB上有一點P（m，n），則點P在A′B′上的對應(yīng)點P′的坐標(biāo)為（m2，n2【解題思路】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出位似比進(jìn)而得出答案．【解答過程】解：如圖所示：∵△ABO縮小后變?yōu)椤鰽′B′O，∴△OAB∽△OA′B′，∴A'B'AB∵線段AB上有一點P（m，n），∴點P在A′B′上的對應(yīng)點P′的坐標(biāo)為：（m2，n15．（2021?孝感模擬）《九章算術(shù)》是我國數(shù)學(xué)經(jīng)典，上面記載：“今有邑方不知大小，各中開門．出北門三十步有木，出西門七百五十步見木．問邑方幾何？”其意思是：如圖，已知正方形小城ABCD，點E，G分別為CD，AD的中點，EF⊥CD，GH⊥AD，點F，D，H在一條直線上，EF＝30步，GH＝750步．問正方形小城ABCD的邊長是多少？該問題的答案是300步．【解題思路】根據(jù)題意，可知Rt△DFE∽Rt△HDG，從而可以得到對應(yīng)邊的比相等，從而可以求得正方形的邊長．【解答過程】解：設(shè)正方形的邊長為x步，∵點G、點E分別是正方形ABCD的邊AD、CD的中點，∴DG=12AD，DE=∴DG＝DE，由題意易得，∠FDE＝∠H，∠FED＝∠DGH＝90°．∴Rt△DFE∽Rt△HDG，∴EFDG而EF＝30步，GH＝750步，即DE×DG＝EF×HG，∴DE2＝30×750＝22500，解得：DE＝150，∴CD＝2DE＝300步．故答案為：300步．16.（2021秋?碑林區(qū)校級月考）如圖，菱形ABCD中，∠BAD＝120°，對角線相交于點O，點E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝60°，連接AE、AF分別交對角線BD于點M、N，若AB＝5，DN＝23，則△AMN的面積為35316【解題思路】根據(jù)菱形的性質(zhì)可證△ABC是等邊三角形，可求出AO，BO的長，由AB∥CD，得△ABN∽△FDN，可求出DF的長，再通過ASA證明△BAE≌△CAF，得BE＝CF=53，同理可求出BM的長，從而得出【解答過程】解：∵四邊形ABCD為菱形，AB＝5，∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，AC⊥BD，AB∥CD，AB＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABO＝30°，∴AO=12AB∴BO＝OD=5∴BD＝53，∵DN＝23，∴BN＝33，∵AB∥CD，∴△ABN∽△FDN，∴BNDN∴DF=10∴CF＝5?∵∠EAF＝60°＝∠ABC，∴∠BAE＝∠CAF，在△BAE和△CAF中，∠ABE=∠ACFAB=AC∴△BAE≌△CAF（ASA），∴BE＝CF=5∵BC∥AD，∴△BEM∽△DAM，∴BEAD∴BM=1∴OM＝BO﹣BM=5∵ON=523∴MN=7∴S△AMN=12?MN?AO故答案為：353三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（2021秋?道里區(qū)校級期中）如圖，在正三角形ABC中，D是邊BC上任意一點，且∠ADE＝60°．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）若AB＝3，BD＝1，求AE的長．【解題思路】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝∠B＝∠C＝60°，進(jìn)而推出∠BAD＝∠CDE，即可判定△ABD∽△DCE；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)求解即可．【解答過程】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠B＝∠C＝60°，又∵∠ADE＝60°，∴∠BAD+∠BDA＝∠BDA+∠EDC＝120°，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE；（2）解：∵△ABC是等邊三角形，AB＝3，BD＝1，∴BC＝3，CD＝BC﹣BD＝2，由（1）知△ABD∽△DCE，∴ABCD即32∴CE=2∴AE＝AC﹣CE＝3?218．（2021秋?肥西縣期末）如圖，△ABC的頂點坐標(biāo)分別為A（1，3）、B（4，2）、C（2，1），以原點為位似中心，在原點的另一側(cè)畫出△A1B1C1，使ABA1B1=12，并寫出△【解題思路】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置進(jìn)而得出答案．【解答過程】解：如圖所示：△A1B1C1，即為所求，點A1（﹣2，﹣6），B1（﹣8，﹣4），C1（﹣4，﹣2）．19．（2021秋?東臺市期末）如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊DE＝40cm，EF＝20cm，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求樹高AB．【解題思路】先判定△DEF和△DBC相似，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出BC的長，再加上AC即可得解．【解答過程】解：在△DEF和△DBC中，∠D=∠D∠DEF=∠DCB∴△DEF∽△DBC，∴DEEF即4020解得BC＝4，∵AC＝1.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，即樹高5.5m．20．（2021?武昌區(qū)模擬）定義：頂點都在網(wǎng)格點上的四邊形叫做格點四邊形，端點都在網(wǎng)格點上的線段叫做格點線．如圖1，在正方形網(wǎng)格中，格點線DE、CE將格點四邊形ABCD分割成三個彼此相似的三角形．請你在圖2、圖3中分別畫出格點線，將陰影四邊形分割成三個彼此相似的三角形．【解題思路】圖2中，連接AC、CE，得△ABC∽△CDE∽△ECA，相似比為2：2；圖3中，△BCE∽△EBA∽△CED，相似比為2：2．【解答過程】解：如圖所示21．（2021?湛江）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，把邊長分別為x1，x2，x3，…，xn的n個正方形依次放入△ABC中，請回答下列問題：（1）按要求填表：n123xn（2）第n個正方形的邊長xn＝(23（3）若m，n，p，q是正整數(shù)，且xm?xn＝xp?xq，試判斷m，n，p，q的關(guān)系．【解題思路】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以求出第一個正方形的邊長，其它正方形的邊長求法相同；（2）根據(jù)所求xn的一般式進(jìn)行計算．【解答過程】解：（1）設(shè)第一個正方形的邊長是x，則DEAC同理得到DFBC兩式相加得到x解得x=2同理解得：第二個的邊長是49=(n123xn2349827（2）依此類推，第n個正方形的邊長是(2（3）∵xm?xn＝xp?xq，∴(∴(∴m+n＝p+q．22．（2021?中山區(qū)一模）如圖1，在△ABC中，點D為BC中點，點E在AC上，AD、BE交于點F，∠ADC＝∠BEC．（1）寫出與∠EBC相等的角：∠DAC；（2）若AD＝BF，求ADDF（3）如圖2，若AD＝BF，∠BCA＝90°，BC＝m，求BE2（用含m的式子表示）．【解題思路】（1）通過三角形內(nèi)角和為180°．等量代換即可得．（2）過D點作DM∥BE交AC于M，證△BFD≌△ADM，可得BD＝AM，根據(jù)相似三角形的判定得△ADC∽△DMC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出結(jié)果．（3）DM∥BE，點D為BC中點，得EM＝MC，在直角三角形BEC中，由勾股定理可得結(jié)果．【解答過程】解：（1）∵∠ADC＝∠BEC．∴∠EBC＝180°﹣∠C﹣∠BEC．∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC，即∠EBC＝∠DAC，故答案為∠DAC；（2）過D點作DM∥BE交AC于M，如圖1，∴∠BFD＝∠ADM，在△ADM和△BFD中，∠DBF=∠MADBF=AD∴△BFD≌△ADM（ASA），∴BD＝AM，∵DM∥BE，∴∠DMC＝∠BEC，又∵∠ADC＝∠BEC，∴∠DMC＝∠ADC，又∵∠DCA＝∠MCD，∴△ADC∽△DMC，∴DCAC=CMDC=DMAD，即設(shè)BD＝CD＝a，CM＝b，則a2＝b（b+a），a2﹣ab﹣b2＝0，解得a=1+5∴ab∴ADDF（3）∵DM∥BE，點D為BC中點，∴EM＝MC∵∠BCA＝90°，∴BE2＝BC2+CE2＝（2a）2+（2b）2，由（2）知ab得b2∴B∵m＝2aBE23．（2021?長春模擬）在矩形ABCD中，AD＝3，CD＝4，點E在邊CD上，且DE＝1．感知：如圖①，連接