適用于新教材2023版高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.4平面向量的應(yīng)用6.4.3余弦定理正弦定理第3課時余弦定理正弦定理應(yīng)用舉例-距離問題教師用書新人教A版必修第二冊

PAGE第3課時余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例——距離問題1.基線在測量過程中,根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做基線,一般來說,基線,測量的精確度越高.

2.測量時是否一定要選取基線?3.方向角以觀測者為中心,與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角.

一、單選題1.海上A,B兩個小島相距10海里,從A島望C島和B島成60°的視角,A,C兩島相距20海里,則B島與C島間的距離是 ()A.103海里 B.107海里C.300海里 D.700海里2.如圖所示,為了測定河的寬度,在一岸邊選定兩點A,B,望對岸標(biāo)記物C,測得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,則河的寬度為 ()A.230mB.240mC.50mD.60m3.如圖所示為起重機裝置示意圖.支桿BC=10m,吊桿AC=15m,吊索AB=519m,起吊的貨物與岸的距離AD為 ()A.30m B.153C.153m D.45m4.(教材改編題)如圖,地面有四個5G中基站A,B,C,D,已知CD=(6+2)km,∠ADB=∠CDB=30°,∠DCA=45°,∠ACB=60°,則A,B兩個中基站的距離是()A.43km B.210kmC.10km D.62km二、多選題5.如圖所示,為了測量某湖泊兩側(cè)A,B間的距離,李寧同學(xué)首先選定了與A,B不共線的一點C,然后給出了下列測量方案(△ABC的角A,B,C所對的邊分別記為a,b,c),則一定能確定A,B間距離的方案為 ()A.測量A,B,b B.測量a,b,CC.測量A,B,a D.測量A,B,C6.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,∠ABC=π3,∠ABC的平分線交AC于點D,且BD=3,則下列說法正確的是 (A.ac的最小值是4B.ac的最大值是4C.a+3c的最小值是3+23D.a+3c的最小值是4+23三、填空題7.學(xué)校體育館的人字屋架為等腰三角形,如圖,測得AC的長度為4m,∠A=30°,則其跨度AB的長為.

8.有一個長為1千米的斜坡,它的傾斜角為75°,現(xiàn)要將其傾斜角改為30°,則坡底要伸長千米.

四、解答題9.如圖,A,B兩點之間隔著一座小山,現(xiàn)要測量A,B兩點間的距離,選擇在同一水平面上且均能直線到達的C點,經(jīng)測量AC=50m,BC=40m,B在C北偏東45°方向上,A在C北偏西75°方向上,求AB的長.10.海上某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°,距離為126海里;在A處看燈塔C,在貨輪的北偏西30°,距離為83海里;貨輪向正北由A處航行到D處時看燈塔B在南偏東60°,求:(1)A處與D處之間的距離;(2)燈塔C與D處之間的距離.一、選擇題1.如圖,某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB,C是該小區(qū)的一個出入口,且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD,已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘,從D沿著DC走到C用了3分鐘,若此人步行的速度為每分鐘50米,則該扇形的半徑為 ()A.502米 B.503米C.505米 D.507米2.(教材改編題)臺風(fēng)中心從A地以每小時20千米的速度向東北方向移動,離臺風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū),城市B在A的正東40千米處,B城市處于危險區(qū)內(nèi)的持續(xù)時間為()A.0.5小時 B.1小時C.1.5小時 D.2小時二、填空題3.某船開始看見一座燈塔在南偏東30°方向,該船沿南偏東60°方向航行45km后,看見燈塔在正西方向,則這時船與燈塔的距離是km.

4.如圖,為了測量兩座山峰上P,Q兩點之間的距離,選擇山坡上一段長度為3003m且和P,Q兩點在同一平面內(nèi)的路段AB的兩個端點作為觀測點,現(xiàn)測得∠PAB=90°,∠PAQ=∠PBA=∠PBQ=60°,則P,Q兩點間的距離為m.

三、解答題5.一次機器人足球比賽中,甲隊1號機器人由A點開始做勻速直線運動,到達點B時,發(fā)現(xiàn)足球在點D處正以自己速度的兩倍向點A做勻速直線滾動,如圖所示,已知AB=42dm,AD=17dm,∠BAD=45°,若忽略機器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時間,則該機器人最快可在何處截住足球?6.如圖,某測量人員為了測量西江北岸不能到達的兩點A,B之間的距離,她在西江南岸找到一點C,從C點可以觀察到點A,B;找到一個點D,從D點可以觀察到點A,C;找到一個點E,從E點可以觀察到點B,C.測量得到數(shù)據(jù):∠ACD=90°,∠ADC=60°,∠ACB=15°,∠BCE=105°,∠CEB=45°,DC=CE=1.(1)求△CDE的面積;(2)求A,B之間的距離.第3課時余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例——距離問題必備知識·落實1.越長2.測量時必須選取基線,因為無論應(yīng)用正弦定理還是余弦定理解三角形時,至少應(yīng)已知一邊的長度.3.指北或指南的方向線知能素養(yǎng)·進階【基礎(chǔ)鞏固組】1.A如圖,由已知得,在△ABC中,AB=10海里,AC=20海里,∠BAC=60°,由余弦定理,可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos60°=102+202-2×10×20×12=300故BC=103海里.2.D在△ABC中∠CAB=30°,∠CBA=75°,所以∠ACB=75°,∠ACB=∠ABC.所以AC=AB=120m.如圖,作CD⊥AB,垂足為D,則CD即為河的寬度.在Rt△ACD中,由正弦定理,得ACsin∠ADC所以120sin90°=所以CD=60m,所以河的寬度為60m.3.B在△ABC中,cos∠ABC=102+(519)2-所以sin∠ABC=1-72所以在Rt△ABD中,AD=AB·sin∠ABC=519×33219=4.C由題意可得∠DAC=75°,∠DBC=45°,在△ADC中,由正弦定理得AC=CD·sin∠ADCsin在△BDC中,由正弦定理得BC=CD·sin∠BDCsin∠DBC=(6+2)×1222=3+1,在△ACB中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2×AC×BC·cos∠ACB=(23)2+(5.ABC對于A,利用內(nèi)角和定理先求出C=π-A-B,再利用正弦定理bsinB=csin對于B,直接利用余弦定理c2=a2+b2-2abcosC即可解出c;對于C,先利用內(nèi)角和定理求出C=π-A-B,再利用正弦定理asinA=csin對于D,解不出c.6.AD由題意知S△ABC=S△ABD+S△BDC,由角平分線的性質(zhì)以及面積公式可得12ac·sin60°=123a·sin30°+123c·sin30°,化簡得ac=a+c,所以ac=a+c≥2ac,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時成立,解得ac≥4,故A正確,B錯誤;因為ac=a+c,所以1=1a+1c,所以a+3c=(a+3c)1a+1c=4+ac+3ca≥4+2ac·3ca=4+237.【解析】方法一:由題意知,∠A=∠B=30°,所以∠C=180°-30°-30°=120°,由正弦定理得,ABsinC=即AB=AC·sinCsinB=答案:43m方法二:過點C作CD⊥AB,由等腰三角形性質(zhì)可知D為AB的中點,AD=AC·cosA=4×32=23所以AB=2AD=43m.答案:43m8.【解析】如圖,∠BAO=75°,∠C=30°,AB=1千米,所以∠ABC=∠BAO-∠C=75°-30°=45°.在△ABC中,ABsinC=ACsin∠ABC,所以AC=AB·sin∠答案:29.【解析】依題意知∠ACB=120°,AC=50m,BC=40m,應(yīng)用余弦定理得AB=A=5=1061(m),故AB的長為1061m.10.【解析】由題意,畫出示意圖.(1)在△ABD中,由已知∠ADB=60°,B=45°,AB=126海里.由正弦定理得AD=ABsin60°·sin45°=24(海里(2)在△ADC中,由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos30°=242+(83)2-2×24×83×32=(83)2所以CD=83(海里).【素養(yǎng)提升組】1.D設(shè)該扇形的半徑為r米,連接CO,如圖所示.由題意得OD=100米,DC=150米,因為DC∥OA,∠AOB=120°,所以∠ODC=60°,在△CDO中,由余弦定理得:CD2+OD2-2CD·OD·cos60°=OC2,即1502+1002-2×150×100×12=r2解得:r=507,所以該扇形的半徑為507米.2.B設(shè)t小時后,B城市恰好處于危險區(qū)內(nèi),則由余弦定理得:(20t)2+402-2×20t×40cos45°=302.化簡得:4t2-82t+7=0,所以t1+t2=22,t1t2=74從而|t1-t2|=(t13.【解析】設(shè)燈塔位于A處,船開始的位置為B,航行45km后到C處,如圖所示,延長CA,與BD交于點D.∠DBC=60°,∠ABD=30°,BC=45km,所以∠ABC=60°-30°=30°,∠BAC=180°-60°=120°.△ABC中,由正弦定理ACsin∠ABC可得AC=BC·sin∠ABCsin∠即此時船與燈塔的距離是153km.答案:1534.【解析】因為∠PAB=90°,∠PAQ=60°,所以∠BAQ=30°,在△ABQ中,因為∠PBA=∠PBQ=60°,所以∠ABQ=120°,又∠BAQ=30°,所以∠AQB=180°-120°-30°=30°,由正弦定理,得ABsin∠AQB=AQsin在Rt△ABP中,解得AP=900m.因為AQ=AP=900m,又∠PAQ=60°,所以△APQ是等邊三角形,所以PQ=900m,所以P,Q兩點間的距離為900m.答案:9005.【解析】設(shè)機器人最快可在點C處截住足球,點C在線段AD上,連接BC,如圖所示,設(shè)BC=xdm,由題意知CD=2xdm,AC=AD-CD=(17-2x)dm.在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA,即x2=(42)2+(17-2x)2-82(17-2x)cos45°,解得x1=5,x2=373所以AC=17-2x=7(dm)或AC=-233(dm)(舍去)所以該機器人最快可在線段AD上離A點7dm的點C處截住足球.6.【解析】(1)∠DCE=360°-90°-15°-105°=150°,所以S△CDE=12×|CD|×