適用于新教材2023版高中數(shù)學(xué)第七章復(fù)數(shù)7.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算7.2.1復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算及其幾何意義教師用書新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE7.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算7.2.1復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義1.復(fù)數(shù)加法、減法的運(yùn)算法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù),則有:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=;

z1-z2=(a+bi)-(c+di)=.

2.復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律設(shè)z1,z2,z3∈C,則有:交換律:z1+z2=;

結(jié)合律:(z1+z2)+z3=.

3.復(fù)數(shù)加減法的幾何意義如圖所示,設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2對(duì)應(yīng)向量分別為,,四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形,向量與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng),向量與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng).

4.|z-z0|(z,z0∈C)的幾何意義是什么?一、單選題1.已知z1=2+i,z2=1-2i,則復(fù)數(shù)z=z2-z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.(教材改編題)a,b為實(shí)數(shù),設(shè)z1=2+bi,z2=a+i,當(dāng)z1+z2=0時(shí),復(fù)數(shù)a+bi為 ()A.1+iB.2+iC.3D.-2-i3.如圖,在復(fù)平面上,一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,O對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+2i,-2+i,0,那么這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A.3+i B.3-i C.1-3i D.-1+3i4.(教材改編題)已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量如圖所示,則復(fù)數(shù)z+1所對(duì)應(yīng)的向量正確的是 ()二、多選題5.對(duì)任意復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),i為虛數(shù)單位,則下列結(jié)論中正確的是 ()A.z-z=2a B.|z|=|z|C.z+z=2a D.z+z=2bi6.|(3+2i)-(1+i)|可以表示 ()A.點(diǎn)(3,2)與點(diǎn)(1,1)之間的距離B.點(diǎn)(3,2)與點(diǎn)(-1,-1)之間的距離C.點(diǎn)(2,1)到原點(diǎn)的距離D.坐標(biāo)為(-2,-1)的向量的模三、填空題7.(教材改編題)已知復(fù)數(shù)z滿足z+1-3i=5-2i,則z=.

8.在復(fù)平面內(nèi),O是原點(diǎn),若向量,,表示的復(fù)數(shù)分別為-2+i,3+2i,1+5i,則向量表示的復(fù)數(shù)為.

四、解答題9.計(jì)算:(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i);(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)].10.如圖,平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O,A,C對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)分別為0,3+2i,-2+4i,試求:(1)所表示的復(fù)數(shù),所表示的復(fù)數(shù);(2)對(duì)角線所表示的復(fù)數(shù);(3)對(duì)角線所表示的復(fù)數(shù)及的長度.一、選擇題1.若復(fù)數(shù)z與其共軛復(fù)數(shù)z滿足2z-z=1+3i,則|z|= ()A.2 B.3 C.2 D.52.A,B分別是復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn),O是原點(diǎn),若|z1+z2|=|z1-z2|,則△AOB一定是 ()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形二、填空題3.若復(fù)數(shù)z1=4-3i,z2=4+3i(其中i為虛數(shù)單位)所對(duì)應(yīng)的向量分別為與,則△OZ1Z2的周長為.

4.設(shè)z∈C,且|z-i|=|z-1|,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z(x,y)的軌跡方程是,|z+i|的最小值是.

三、解答題5.在復(fù)平面內(nèi),A,B,C三點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)1,2+i,-1+2i.(1)求,,對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù);(2)判斷△ABC的形狀.6.已知|z2|=|z1|=1,|z1-z2|=1,求|z1+z2|.7.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算7.2.1復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義必備知識(shí)·落實(shí)1.(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i2.z2+z1z1+(z2+z3)3.z1+z2z1-z24.|z-z0|(z,z0∈C)的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z到點(diǎn)Z0的距離.知能素養(yǎng)·進(jìn)階【基礎(chǔ)鞏固組】1.Cz=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i.故z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-1,-3),它位于第三象限.2.D因?yàn)閦1=2+bi,z2=a+i,所以z1+z2=2+bi+(a+i)=0,所以a=-2,b=-1,即a+bi=-2-i.3.D因?yàn)?+,所以對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+2i-2+i=-1+3i,所以點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-1+3i.4.A由題圖可知,z=-2+i,所以z+1=-1+i,則復(fù)數(shù)z+1所對(duì)應(yīng)的向量的坐標(biāo)為(-1,1).5.BC由已知z=a-bi,因此z-z=2bi,z+z=2a,|z|=a2+b26.ACD由復(fù)數(shù)的幾何意義,知復(fù)數(shù)3+2i,1+i分別對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)(3,2)與點(diǎn)(1,1),所以|(3+2i)-(1+i)|表示點(diǎn)(3,2)與點(diǎn)(1,1)之間的距離,故A說法正確;B說法錯(cuò)誤;|(3+2i)-(1+i)|=|2+i|,|2+i|可表示點(diǎn)(2,1)到原點(diǎn)的距離,故C說法正確;|(3+2i)-(1+i)|=|(1+i)-(3+2i)|=|-2-i|,|-2-i|可表示點(diǎn)(-2,-1)到原點(diǎn)的距離,即坐標(biāo)為(-2,-1)的向量的模,故D說法正確.7.【解析】方法一:設(shè)z=x+yi(x,y∈R),因?yàn)閦+1-3i=5-2i,所以x+yi+(1-3i)=5-2i,即x+1=5且y-3=-2,解得x=4,y=1,所以z=4+i.方法二:因?yàn)閦+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.答案:4+i8.【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),且,,表示的復(fù)數(shù)分別為-2+i,3+2i,1+5i,所以=(-2,1),=(3,2),=(1,5),則=-=(5,1),而=-=(4,-4),故向量表示的復(fù)數(shù)為4-4i.答案:4-4i9.【解析】(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)=(1+3-5)+(2-4-6)i=-1-8i.(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]=5i-(4+i)=-4+4i.10.【解題指南】要求某個(gè)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù),只要找出所求向量的始點(diǎn)和終點(diǎn),或者用向量的相等直接給出所求的結(jié)論.【解析】(1)=-,所以所表示的復(fù)數(shù)為-3-2i.因?yàn)?,所以所表示的復(fù)數(shù)為-3-2i.(2)=-.所以所表示的復(fù)數(shù)為(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)對(duì)角線=+,它所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z=(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,||=12+62=37.【素養(yǎng)提升組】1.A設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),則z=a-bi,因?yàn)?z-z=1+3i,所以2(a+bi)-(a-bi)=1+3i,即a+3bi=1+3i,所以a=1,b=1,所以z=1+i,所以|z|=2.2.B復(fù)數(shù)z1對(duì)應(yīng)向量,復(fù)數(shù)z2對(duì)應(yīng)向量.則|z1+z2|=|+|,|z1-z2|=|-|,依題意有|+|=|-|.所以以,為鄰邊所作的平行四邊形是矩形,所以△AOB是直角三角形.3.【解題指南】由已知可得=(4,-3),=(4,3),=-=(0,6),再求出復(fù)數(shù)的模,從而可得△OZ1Z2的周長.【解析】因?yàn)?(4,-3),=(4,3),=-=(0,6),所以||=42+(-3)2=5,||=42+32=5,||=0所以△OZ1Z2的周長為5+5+6=16.答案:164.【解析】|z-i|=|z-1|表示復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z到點(diǎn)A(0,1),B(1,0)的距離相等,是線段AB的垂直平分線,所以點(diǎn)Z的軌跡方程是x-y=0.|z+i|的最小值為點(diǎn)(0,-1)到直線x-y=0的距離,所以|z+i|min=22答案:x-y=025.【解析】(1)因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1,2+i,-1+2i,所以,,對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1,2+i,-1+2i(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),所以=(1,0),=(2,1),=(-1,2).所以=-=(1,1),=-=(-2,2),=-=(-3,1).即對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+i,對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-2+2i,對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3+i.(2)因?yàn)閨|