新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+分層練習(xí) 8.9《圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題》教案 (原卷版)

第九節(jié)圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題會證明與曲線上動點(diǎn)有關(guān)的定值問題，會處理動曲線(含直線)過定點(diǎn)的問題.考點(diǎn)1定點(diǎn)問題直線過定點(diǎn)1.動直線l過定點(diǎn)問題的基本思路設(shè)動直線方程(斜率存在)為y＝kx＋t，由題設(shè)條件將t用k表示為t＝mk，得y＝k(x＋m)，故動直線過定點(diǎn)(﹣m，0).2.動直線l過定點(diǎn)問題的解題步驟第一步：設(shè)AB直線y＝kx＋m，聯(lián)立曲線方程得根與系數(shù)關(guān)系，Δ求出參數(shù)范圍；第二步：由AP與BP關(guān)系(如kAP·kBP＝﹣1)，得一次函數(shù)k＝f(m)或者m＝f(k)；第三步：將k＝f(m)或者m＝f(k)代入y＝kx＋m，得y＝k(x﹣x定)＋y定.(2017·全國卷Ⅰ)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，四點(diǎn)P1(1，1)，P2(0，1)，P3(﹣1，eq\f(\r(3),2))，P4(1，eq\f(\r(3),2))中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為﹣1，證明：l過定點(diǎn).本題為“弦對定點(diǎn)張直角”的一個例子：圓錐曲線如橢圓上任意一點(diǎn)P做相互垂直的直線交圓錐曲線于AB，則AB必過定點(diǎn)(eq\f(x0（a2－b2）,a2＋b2)，eq\f(y0（b2－a2）,a2＋b2)).本題還可以拓展為“手電筒”模型：只要任意一個限定AP與BP條件(如kAP·kBP＝定值，kAP＋kBP＝定值)，直線AB依然會過定點(diǎn).[備選例題]過拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F且斜率為k的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)若A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D，求證：直線BD過定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)的坐標(biāo).1.已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)A(1，2)為拋物線C上一點(diǎn).(1)求拋物線C的方程；(2)若點(diǎn)B(1，﹣2)在拋物線C上，過點(diǎn)B作拋物線C的兩條弦BP與BQ，如kBP·kBQ＝﹣2，求證：直線PQ過定點(diǎn).2.已知圓x2＋y2＝4經(jīng)過橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點(diǎn)和兩個頂點(diǎn)，點(diǎn)A(0，4)，M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，它們在y軸兩側(cè)，且∠MAN的平分線在y軸上，|AM|≠|(zhì)AN|.(1)求橢圓C的方程；(2)證明：直線MN過定點(diǎn).動圓過定點(diǎn)動圓過定點(diǎn)問題求解時可以先取特殊值或者極值，找出這個定點(diǎn)，再用向量法證明用直徑所對圓周角為直角.已知拋物線C：x2＝﹣2py經(jīng)過點(diǎn)(2，﹣1).(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y＝﹣1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點(diǎn).動圓過定點(diǎn)問題本質(zhì)上是向量垂直的問題.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點(diǎn)E到定點(diǎn)(1，0)的距離與它到直線x＝﹣1的距離相等.(1)求動點(diǎn)E的軌跡C的方程；(2)設(shè)動直線l：y＝kx＋b與曲線C相切于點(diǎn)P，與直線x＝﹣1相交于點(diǎn)Q，證明：以PQ為直徑的圓恒過x軸上某定點(diǎn).考點(diǎn)2定值問題圓錐曲線中定值問題的2大解法(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；(2)引起變量法：其解題流程為在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋y2＝1，點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)是橢圓C上兩個動點(diǎn)，直線OP，OQ的斜率分別為k1，k2，若m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,2)，y1))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)，y2))，m·n＝0.(1)求證：k1·k2＝﹣eq\f(1,4)；(2)試探求△OPQ的面積S是否為定值，并說明理由.圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值：依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式，化簡即可得出定值；(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值：利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得；(3)求某線段長度為定值：利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得.[備選例題]已知動圓P經(jīng)過點(diǎn)N(1，0)，并且與圓M：(x＋1)2＋y2＝16相切.(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)設(shè)G(m，0)為軌跡C內(nèi)的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)G且斜率為k的直線l交軌跡C于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)k為何值時，ω＝|GA|2＋|GB|2是與m無關(guān)的定值？并求出該定值.1.已知拋物線C：y2＝2px經(jīng)過點(diǎn)P(1，2)，過點(diǎn)Q(0，1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.(1)求直線l的斜率的取值范圍；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，eq\o(QM,\s\up8(→))＝λeq\o(QO,\s\up8(→))，eq\o(QN,\s\up8(→))＝μeq\o(QO,\s\up8(→))，求證：eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)為定值.2.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2＋mx﹣2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，1).當(dāng)m變化時，解答下列問題：(1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由；(2)證明過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值.圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題建議用時：45分鐘1.已知動圓E經(jīng)過定點(diǎn)D(1，0)，且與直線x＝﹣1相切，設(shè)動圓圓心E的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)P(1，2)的直線l1，l2分別與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，直線l1，l2的斜率存在，且傾斜角互補(bǔ)，證明：直線AB的斜率為定值.2.已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1若直線l：y＝kx＋m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是左右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn).求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).3.已知圓O：x2＋y2＝4，點(diǎn)F(1，0)，P為平面內(nèi)一動