新高考數(shù)學二輪復習考點突破學案4.8《與空間角有關的最值問題》（原卷版）

微重點14與空間角有關的最值問題立體幾何動態(tài)問題中，空間角的最值及范圍問題是高考的?？碱}型，常與圖形翻折、點線面等幾何元素的變化有關，常用方法有幾何法、函數(shù)(導數(shù))法、不等式法等.主要是利用三角函數(shù)值比較及最小角定理(線面角是最小的線線角，二面角是最大的線面角)等求解.考點一空間角的大小比較例1已知長方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD為正方形，AA1＝a，AB＝b，且a＞b，側棱CC1上一點E滿足CC1＝3CE，設異面直線A1B與AD1，A1B與D1B1，AE與D1B1所成的角分別為α，β，γ，則()A.α＜β＜γB.γ＜β＜αC.β＜α＜γD.α＜γ＜β規(guī)律方法(1)最小角定理：直線與平面所成角是直線與平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角(線面角是最小的線線角).(2)最大角定理：二面角是平面內(nèi)的直線與另一個平面所成角的最大角(二面角是最大的線面角).跟蹤演練1設三棱錐V﹣ABC的底面是正三角形，側棱長均相等，P是棱VA上的點(不含端點).記直線PB與直線AC所成的角為α，直線PB與平面ABC所成的角為β，二面角P﹣AC﹣B的平面角為γ，則()A.β<γ，α<γB.β<α，β<γC.β<α，γ<αD.α<β，γ<β考點二空間角的最值例2已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，M，N分別是BC，B1C1的中點，點P是截面AB1C1D(包括邊界)上的動點，D1P＝eq\f(\r(34),3)，2eq\o(ME,\s\up6(→))＝eq\o(EN,\s\up6(→))，則EP與平面AB1C1D所成最大角的正切值為________.規(guī)律方法求空間角最值、范圍的兩種常用方法(1)利用空間角的定義及幾何圖形找到空間角，構造三角形，利用三角函數(shù)的比值構造函數(shù)求最值、范圍.(2)建立空間坐標系，利用坐標運算求空間角的三角函數(shù)值，構造函數(shù)求最值、范圍.跟蹤演練2如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為線段A1D的中點，N為線段CD1上的動點，則直線C1D與直線MN所成角的正弦值的最小值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(6),6)C.eq\f(\r(6),3)D.eq\f(\r(6),4)考點三空間角的范圍例3如圖1，在平面多邊形ABCDE中，四邊形ABCD是正方形，△ADE是正三角形.將△ADE所在平面沿AD折疊，使得點E達到點S的位置(如圖2).若二面角S﹣AD﹣C的平面角θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))，則異面直線AC與SD所成角的余弦值的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),16)，\f(\r(2),4)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),16)，\f(\r(2),4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),16)，\f(\r(6)＋\r(2),16)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),8)))易錯提醒求空間角的范圍時，要注意空間角自身的范圍；利用坐標法求角時，要注意向量夾角與空間的關系.跟蹤演練3在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點O為線段BD的中點.設點P在棱CC1上，直線OP與平面A1BD所成的角為α，則sinα的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，1))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(2\r(3),3)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，1))專題強化練1.在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝1，將△ABC與△ADC沿AC所在的直線進行隨意翻折，在翻折過程中直線AD與直線BC所成角的范圍(包含初始狀態(tài))為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))2.已知四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，側棱長均相等，E是線段AB上的點(不含端點).設SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角為θ3，則()A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ13.(多選)如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P在線段B1C上運動，則()A.直線BD1⊥平面A1C1DB.三棱錐P﹣A1C1D的體積為定值C.異面直線AP與A1D所成角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))D.直線C1P與平面A1C1D所成角的正弦值的最大值為eq\f(\r(6),4)4.如圖，在等邊△ABC中，D，E分別是線段AB，AC上異于端點的動點，且BD＝CE，現(xiàn)將△ADE沿直線DE折起，使平面ADE⊥平面BCED，當D從B滑動到A的過程中，則下列選項中錯誤的是()A.∠ADB的大小不會發(fā)生變化B.二面角A﹣BD﹣C的平面角的大小不會發(fā)生變化C.BD與平面ABC所成的角變大D.AB與DE所成的角先變小后變大5.如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P是棱AB(包括端點)上的動點，設點P在運動過程中，